1
第二章
误差与分析数据处理
2
$2.1 有关误差的一些基本概念
一 准确度和精密度
1,误差与准确度
准确度是指：
测定结果与,真值,接近的程度, 用误差表 示。误差的
表示方法有 相对误差和绝对误差。
a 100%ET ?相对误差 Er =
绝对误差,Ea=测量值 -真实值
基本概念：真实值、平均值、中位值、总体平均值、样
本平均值。
总体：随机变量的全体。
样本：随机变量中的一部分。
3
? 用相对误差比用绝对误差表示结果的准确度更确切和更
客观,
? 例如：甲乙两人分别买 10.0斤和 1.0斤肉,价钱为每斤 10
元,回家一称分别为 9.9斤和 0.9斤,则,回家称得的是测量值,
10.0斤和 1.0斤肉是真值,
? 绝对误差, 甲, 9.9- 10.0=-0.1(斤 )
? 乙, 0.9- 1.0=-0.1(斤 )
? 相对误差,甲, 0.1/ 10.0× 100%=-1.0%
? 乙, 0.1/ 1.0× 100%=-10%
? 相对误差和绝对误差都有正负之分。正值表示测量结
果偏高；负值表示测量结果偏低。
4
滴定的体积读数误差：
V（消耗体积）
Ea（读数误差。每读
一次规定有 ?0.01 mL
的绝对误差 ）
Er（相对误差）
20.00 mL ?0.02 mL（二次读数的误差） ?0.1%
2.00 mL ?0.02 mL ?1.0%
滴定过程中，为了减少读数误差。滴定剂的体积用量,对
于 25mL的滴定管，要在 20-25mL之间，对于 50mL的滴定管，
则要在 30mL左右。
每一个实验测定值,最后一位数都有正负一个单位的误差,如,
5
平均值－ T=0.002%
例,测定含铁样品中 w(Fe),比较结果的准确度 。
x
A.铁矿中,T=62.38%,= 62.32%
xEa = T= - 0.06%
xB,Li2CO3试样中,T=0.042%,平均值 =0.044%
xEa =
a
rA, 1 0 0 %E
E
T??
=－ 0.06/62.38= - 0.1%
a
rB, 1 0 0 %E
E
T??
=0.002/0.042=5%
滴定分析法测定低组分的含量，误差会比较大。
6
二,偏差与精密度
精密度是指,平行测定的结果互相靠近的程度,用 偏差 表
示。有时也用 重现性 和 再现性 表示。
偏差,即各次测定值与平均值之差。
? 绝对偏差：
? 相对偏差：
? 平均偏差
? 特点,简单；
缺点,大偏差得不到应有反映。在要求较高时，用标准
偏差表示。
xxd ??
%1 0 0% ?? xdRD
n
XXd ? ??
7
三、标准偏差
相对标准偏差（ 变异系数 ）, CV% = S / X
标准偏差又称均方根偏差；其平方称方差。
标准偏差的计算分两种情况：
1．当测定次数趋 n无穷大时
总体标准偏差,
μ 为无限多次测定 的平均值（总体平均值）； 即：
当消除系统误差之后,μ即为真值。
2．有限测定次数
标准偏差,
? ?? ?? nX /2??
??
??
X
nlim
? ? ??
??
?
? ?
?
?
1
2
n
XX
s
8
? 用标准偏差比用平均偏差能更科学更准确地反映
出数据的离散程度。
? 例, 两组数据
? (1) 偏差 d,0.11,-0.73,0.24,0.51,-0.14,0.00,0.30,
? -0.21,
? n=8 平均偏差 d1=0.28 s1=0.38
? (2)偏差 d, 0.18,0.26,-0.25,-0.37，
? 0.32, -0.28,0.31,-0.27
? n=8 平均偏差 d2=0.28 s2=0.29
? d1=d2,s1>s2
? 显然,第一组数据比第二组数据离散 ;但平均偏差显示不出来,
而标准偏差则显示出来,
9
1x2x
3x
4x
四 准确度与精密度的关系 (p22):
10
准确度与精密度的关系：
（ 1）回答定义
（ 2）精密度好是准确度好的前提；精密度好不一定准
确度高，只有在消除系统误差以后，精密度好的准确
度才高。
? 例：水垢中 Fe2O3 的百分含量测定数据为 (测 6次 ),
? 79.58%,79.45%,79.47%,79.50%,79.62%，
79.38%
? 求平均值、平均偏差、标准偏差、相对标准偏差。
? 解：平均值 = 79.50% ；平均偏差 =0.047%
? s = 0.09% 相对标准偏差 = 0.04%
11
例：测定铁矿石中铁的质量分数（以表示）,5次结果分别为,67.48%
67.37%，, 67.47%,67.43%和 67.40%。
计算：（ 1）平均偏差（ 2）相对平均偏差 （ 3）标准偏差 ;（ 4）相对标准偏差 ;
（ 5）极差。
%43.675 %4 0 7.67%43.67%47.67%37.67%48.67 ???????x
? ??????? %04.05 %03.0%04.0%06.0%05.0||1 idnd
%06.0%100%43.67 %04.0%100 ?????
?
?
x
dd
r
%05.015 %)03.0(%)04.0(%)06.0(%)05.0(1
22222
?? ?????? ?n dS i
%07.0%1 0 0%43.67 %05.0%1 0 0 ????? ?
x
SS
r
Xm=X大 -X小 =67.48%-67.37%=0.11%
12
五 误差产生的原因及减免办法
1系统误差 (systematic error) (可测误差 )
由一些固定原因所造成造成的误差。所以在多次
测定中重复出现
为单向性。影响分析结果的准确度。它是可避免
和消除的。
特点：具单向性、重现性，可测性
系统误差的来源,
方法误差,溶解损失、终点误差－ 用对照实验校正
仪器误差,刻度不准、砝码磨损－ 校准 (绝对、相对 )
主观误差,颜色观察
试剂误差,不纯－ 空白实验
校正 系统误差的方法,
校准仪器、对照实验 （ 标准方法、标准样品、标准加入）、空
白实验
13
? 对照实验（标准方法、标准加入）,
? 标准方法,用标准方法和被检验的方法分析同一样品，其差值为
系统误差。
? 标准样品,用标准方法和被检验的方法分析同一标准样品，其差
值为系统误差（或求校正系数）。
? 标准加入法,即回收试验，是在测定试样某组分含量（ X1）的基础上，加
入已知量的该组分（ X2），再次测定其组分含量 （ X3）。计算回收率。
? 回收率 =（ X3-X1） /X2 × 100%。
? 空白实验,以配制试样溶液用的蒸馏水代替试液，在相同条件和
方法下进行试验，称为空白试验。空白试验的意义是,(1)检查
试剂、辅助试剂或器皿是否引进被鉴定离子，以及是否有发生类
似反应的其他物质。 (2)当鉴定反应的现象不够明显时，与空白
试验对照观察，有助于作出正确的判断。
14
2,随机误差 (random error) (也称不可测误差,偶然误差 )
偶然误差：
由某些难以控制且无法避免的偶然因素（如环境温度、湿度、
电压、污染等）造成的误差，是可以允许的误差。
偶然误差的性质：
测定次数不多时，误差没有规律性，但测定次数多时，误差服从正态
分布（即对称性、有界性、抵偿性） 。
服从统计规律：
不存在系统误差的情况下，测定次数越多其平均值越接近真值。一般平行
测定 3-6次。
偶然误差与精密度：偶然误差使分析结果在一定范围波动,其方
向、大小不固定,从而决定精密度的好坏,
? 减少 偶然误差的方法：多次平行实验取平均值。
? 3,过失 (mistake)
? 由粗心大意引起，可以避免的
15
置信度与置信区间
置信度：真值落在某一范围的可信程度（概率）。
? 置信区间：某一置信度下，真值落在某一范围
1.极差 (全距 ) R= xmax-xmin
? 2公差：是生产部门对于分析结果允许误差的一种表示方
法 。
? 如果分析结果超出允许的公差范围称为“超差”。
16
例 1,指出在下列情况下，各会引起哪种误差？如果是系统误差，
应该采用什么方法减免？
（ 1）砝码被腐蚀；
（ 2）天平的两臂不等长；
（ 3）容量瓶和移液管不配套；
（ 4） 试剂中含有微量的被测组分；
（ 5）天平的零点有微小变动；
（ 6）读取滴定体积时最后一位数字估计不准；
（ 7）滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液；
（ 8）标定 HCl溶液用的 NaOH标准溶液中吸收了 CO2。
答,（ 1）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更
换仪器。
（ 2）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。
（ 3）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。
（ 4）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。
（ 5）、（ 6）随机误差。
（ 7）过失误差。
（ 8）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。
17
2．如果分析天平的称量误差为 ± 0.2mg，拟分别称取试样
0.1g和 1g左右，称量的相对误差各为多少？这些结果说明了什
么问题？
解：因分析天平的称量误差为 0.2mg。故读数的绝对误差 为
0.0002g.
根据
%1 0 0????? ar
%2.0%1001000.0 0002.01.0 ?????? g ggr
%02.0%1000000.1 0002.01 ?????? g ggr
这说明，两物体称量的绝对误差相等，但他们的相对误
差并不相同。也就是说，当被测定的量较大时，相对误差就
比较小，测定的准确程度也就比较高。
18
? 2,当置信度为 0.95时，测得 Al2O3的 μ置信区间为
（ 35.21± 0.10） %，其意义是（ ）
A在所测定的数据中有 95%落在此区间内；
B若再进行测定，将有 95%的数据落入此区间；
C在此区间内包含 μ值的概率为 0.95；
? 答,C
? 3,衡量样本平均值的离散程度时，应采用（ ）
A 标准偏差
B 相对标准偏差
C 极差
D 平均值的标准偏差
? 答,D
第二章
误差与分析数据处理
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$2.1 有关误差的一些基本概念
一 准确度和精密度
1,误差与准确度
准确度是指：
测定结果与,真值,接近的程度, 用误差表 示。误差的
表示方法有 相对误差和绝对误差。
a 100%ET ?相对误差 Er =
绝对误差,Ea=测量值 -真实值
基本概念：真实值、平均值、中位值、总体平均值、样
本平均值。
总体：随机变量的全体。
样本：随机变量中的一部分。
3
? 用相对误差比用绝对误差表示结果的准确度更确切和更
客观,
? 例如：甲乙两人分别买 10.0斤和 1.0斤肉,价钱为每斤 10
元,回家一称分别为 9.9斤和 0.9斤,则,回家称得的是测量值,
10.0斤和 1.0斤肉是真值,
? 绝对误差, 甲, 9.9- 10.0=-0.1(斤 )
? 乙, 0.9- 1.0=-0.1(斤 )
? 相对误差,甲, 0.1/ 10.0× 100%=-1.0%
? 乙, 0.1/ 1.0× 100%=-10%
? 相对误差和绝对误差都有正负之分。正值表示测量结
果偏高；负值表示测量结果偏低。
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滴定的体积读数误差：
V（消耗体积）
Ea（读数误差。每读
一次规定有 ?0.01 mL
的绝对误差 ）
Er（相对误差）
20.00 mL ?0.02 mL（二次读数的误差） ?0.1%
2.00 mL ?0.02 mL ?1.0%
滴定过程中，为了减少读数误差。滴定剂的体积用量,对
于 25mL的滴定管，要在 20-25mL之间，对于 50mL的滴定管，
则要在 30mL左右。
每一个实验测定值,最后一位数都有正负一个单位的误差,如,
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平均值－ T=0.002%
例,测定含铁样品中 w(Fe),比较结果的准确度 。
x
A.铁矿中,T=62.38%,= 62.32%
xEa = T= - 0.06%
xB,Li2CO3试样中,T=0.042%,平均值 =0.044%
xEa =
a
rA, 1 0 0 %E
E
T??
=－ 0.06/62.38= - 0.1%
a
rB, 1 0 0 %E
E
T??
=0.002/0.042=5%
滴定分析法测定低组分的含量，误差会比较大。
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二,偏差与精密度
精密度是指,平行测定的结果互相靠近的程度,用 偏差 表
示。有时也用 重现性 和 再现性 表示。
偏差,即各次测定值与平均值之差。
? 绝对偏差：
? 相对偏差：
? 平均偏差
? 特点,简单；
缺点,大偏差得不到应有反映。在要求较高时，用标准
偏差表示。
xxd ??
%1 0 0% ?? xdRD
n
XXd ? ??
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三、标准偏差
相对标准偏差（ 变异系数 ）, CV% = S / X
标准偏差又称均方根偏差；其平方称方差。
标准偏差的计算分两种情况：
1．当测定次数趋 n无穷大时
总体标准偏差,
μ 为无限多次测定 的平均值（总体平均值）； 即：
当消除系统误差之后,μ即为真值。
2．有限测定次数
标准偏差,
? ?? ?? nX /2??
??
??
X
nlim
? ? ??
??
?
? ?
?
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1
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s
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? 用标准偏差比用平均偏差能更科学更准确地反映
出数据的离散程度。
? 例, 两组数据
? (1) 偏差 d,0.11,-0.73,0.24,0.51,-0.14,0.00,0.30,
? -0.21,
? n=8 平均偏差 d1=0.28 s1=0.38
? (2)偏差 d, 0.18,0.26,-0.25,-0.37，
? 0.32, -0.28,0.31,-0.27
? n=8 平均偏差 d2=0.28 s2=0.29
? d1=d2,s1>s2
? 显然,第一组数据比第二组数据离散 ;但平均偏差显示不出来,
而标准偏差则显示出来,
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1x2x
3x
4x
四 准确度与精密度的关系 (p22):
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准确度与精密度的关系：
（ 1）回答定义
（ 2）精密度好是准确度好的前提；精密度好不一定准
确度高，只有在消除系统误差以后，精密度好的准确
度才高。
? 例：水垢中 Fe2O3 的百分含量测定数据为 (测 6次 ),
? 79.58%,79.45%,79.47%,79.50%,79.62%，
79.38%
? 求平均值、平均偏差、标准偏差、相对标准偏差。
? 解：平均值 = 79.50% ；平均偏差 =0.047%
? s = 0.09% 相对标准偏差 = 0.04%
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例：测定铁矿石中铁的质量分数（以表示）,5次结果分别为,67.48%
67.37%，, 67.47%,67.43%和 67.40%。
计算：（ 1）平均偏差（ 2）相对平均偏差 （ 3）标准偏差 ;（ 4）相对标准偏差 ;
（ 5）极差。
%43.675 %4 0 7.67%43.67%47.67%37.67%48.67 ???????x
? ??????? %04.05 %03.0%04.0%06.0%05.0||1 idnd
%06.0%100%43.67 %04.0%100 ?????
?
?
x
dd
r
%05.015 %)03.0(%)04.0(%)06.0(%)05.0(1
22222
?? ?????? ?n dS i
%07.0%1 0 0%43.67 %05.0%1 0 0 ????? ?
x
SS
r
Xm=X大 -X小 =67.48%-67.37%=0.11%
12
五 误差产生的原因及减免办法
1系统误差 (systematic error) (可测误差 )
由一些固定原因所造成造成的误差。所以在多次
测定中重复出现
为单向性。影响分析结果的准确度。它是可避免
和消除的。
特点：具单向性、重现性，可测性
系统误差的来源,
方法误差,溶解损失、终点误差－ 用对照实验校正
仪器误差,刻度不准、砝码磨损－ 校准 (绝对、相对 )
主观误差,颜色观察
试剂误差,不纯－ 空白实验
校正 系统误差的方法,
校准仪器、对照实验 （ 标准方法、标准样品、标准加入）、空
白实验
13
? 对照实验（标准方法、标准加入）,
? 标准方法,用标准方法和被检验的方法分析同一样品，其差值为
系统误差。
? 标准样品,用标准方法和被检验的方法分析同一标准样品，其差
值为系统误差（或求校正系数）。
? 标准加入法,即回收试验，是在测定试样某组分含量（ X1）的基础上，加
入已知量的该组分（ X2），再次测定其组分含量 （ X3）。计算回收率。
? 回收率 =（ X3-X1） /X2 × 100%。
? 空白实验,以配制试样溶液用的蒸馏水代替试液，在相同条件和
方法下进行试验，称为空白试验。空白试验的意义是,(1)检查
试剂、辅助试剂或器皿是否引进被鉴定离子，以及是否有发生类
似反应的其他物质。 (2)当鉴定反应的现象不够明显时，与空白
试验对照观察，有助于作出正确的判断。
14
2,随机误差 (random error) (也称不可测误差,偶然误差 )
偶然误差：
由某些难以控制且无法避免的偶然因素（如环境温度、湿度、
电压、污染等）造成的误差，是可以允许的误差。
偶然误差的性质：
测定次数不多时，误差没有规律性，但测定次数多时，误差服从正态
分布（即对称性、有界性、抵偿性） 。
服从统计规律：
不存在系统误差的情况下，测定次数越多其平均值越接近真值。一般平行
测定 3-6次。
偶然误差与精密度：偶然误差使分析结果在一定范围波动,其方
向、大小不固定,从而决定精密度的好坏,
? 减少 偶然误差的方法：多次平行实验取平均值。
? 3,过失 (mistake)
? 由粗心大意引起，可以避免的
15
置信度与置信区间
置信度：真值落在某一范围的可信程度（概率）。
? 置信区间：某一置信度下，真值落在某一范围
1.极差 (全距 ) R= xmax-xmin
? 2公差：是生产部门对于分析结果允许误差的一种表示方
法 。
? 如果分析结果超出允许的公差范围称为“超差”。
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例 1,指出在下列情况下，各会引起哪种误差？如果是系统误差，
应该采用什么方法减免？
（ 1）砝码被腐蚀；
（ 2）天平的两臂不等长；
（ 3）容量瓶和移液管不配套；
（ 4） 试剂中含有微量的被测组分；
（ 5）天平的零点有微小变动；
（ 6）读取滴定体积时最后一位数字估计不准；
（ 7）滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液；
（ 8）标定 HCl溶液用的 NaOH标准溶液中吸收了 CO2。
答,（ 1）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更
换仪器。
（ 2）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。
（ 3）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。
（ 4）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。
（ 5）、（ 6）随机误差。
（ 7）过失误差。
（ 8）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。
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2．如果分析天平的称量误差为 ± 0.2mg，拟分别称取试样
0.1g和 1g左右，称量的相对误差各为多少？这些结果说明了什
么问题？
解：因分析天平的称量误差为 0.2mg。故读数的绝对误差 为
0.0002g.
根据
%1 0 0????? ar
%2.0%1001000.0 0002.01.0 ?????? g ggr
%02.0%1000000.1 0002.01 ?????? g ggr
这说明，两物体称量的绝对误差相等，但他们的相对误
差并不相同。也就是说，当被测定的量较大时，相对误差就
比较小，测定的准确程度也就比较高。
18
? 2,当置信度为 0.95时，测得 Al2O3的 μ置信区间为
（ 35.21± 0.10） %，其意义是（ ）
A在所测定的数据中有 95%落在此区间内；
B若再进行测定，将有 95%的数据落入此区间；
C在此区间内包含 μ值的概率为 0.95；
? 答,C
? 3,衡量样本平均值的离散程度时，应采用（ ）
A 标准偏差
B 相对标准偏差
C 极差
D 平均值的标准偏差
? 答,D
