第四章 频率特性 前面我们介绍了用微分方程和传递函数描述系统的数学模型，运用拉氏变换的方法可以求得系统的输出响应。但是对于复杂的系统，求解的计算工作量大。而且当所求得的解不能满足技术要求时，不容易看出和决定应该如何调整系统来获得期望结果。经过工程实践的探索，人们找到了既不必求解微分方程就可预示出系统性能又能方便地指出应该如何调整系统来达到性能指标的要求的方法。这就是经典控制理论中广为运用的频率响应法和根轨迹法。本书只介绍频率响应法。 本章将首先阐明频率特性的基本概念及其与传递函数的关系。接着，分析频率特性的图形表示，深入了解和切实掌握Bode图，是本章的重点。最后讨论频域指标等其他有关问题。 4．1频率特性的基本概念 4．1．1频率响应与频率特性 1．频率响应 线性定常系统对正弦输入（或谐波输入）的稳态响应称为频率响应。 若对图4.1所示的线性定常系统输入一正弦信号，系统的响应也和其他典型信号的响应一样，包含瞬态响应和稳态响应，其瞬态响应不是正弦信号，而稳态响应是和输入同频率的正弦信号，但幅值和相位发生了变化。稳态响应的幅值正比于输入幅值，且是输入正弦信号频率的函数；稳态响应的相位与输入幅值无关，它与输入信号的相位差是的函数。即线性定常系统对正弦输入的稳态响应为  （4.1） 例4.1 设对传递函数为的系统，输入信号，则  因而有  再取拉氏反变换并整理得  （4.2） 式（4.2）右边第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。为的极点（或特征根），因为负值，所以系统是稳定的，故随着时间的推移，即时，瞬态分量迅速衰减至零，系统输出即为稳态响应，所以系统的稳态响应为  （4.3） 由此可知，它是与输入同频率的正弦信号，其幅值，相位差都是频率的函数。 2．频率特性 由上可知，线性定常系统在谐波输入作用下，其稳态输出与输入的幅值比是输入信号的频率的函数，称其为系统的幅频特性，记为。它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其幅值的衰减或增大特性。显然，  稳态输出信号与输入信号的相位差也是的函数，称其为系统相频特性。它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其相位产生超前[]或滞后[]的特性。规定按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向旋转为负值。 幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性，记作。或。 4.1.2 频率特性与传递函数的关系 （1）与的关系 设系统的传递函数为  （4.4） 当输入为谐波信号，即时，有  （4.5） 若系统无重极点，则有  （4.6） 式中，为系统特征根；、、（为的共轭复数）为待定系数。对上式进行拉氏反变换，可得系统的输出为  （4.7） 对稳定系统而言，特征根均具有负实部，则上式中的瞬态分量，当时，将衰减为零。故系统的稳态响应为  （4.8） 若系统含有重极点时，对于稳定的系统，其稳态响应也都如式（4.8）所示。式（4.8）中的和待定系数可确定如下：  同理可得  将和代入式（4.8），则系统稳态响应为  （4.9） 系统的幅频特性和相频特性分别为   故就是系统的频率特性，它是将中的s用取代后的结果，是的复变函数。 2．频率特性的几种数学表达式及转换关系 频率特性是一个复变函数，对给定的，它是一个对应的复数，复数就可用向量表示，如图4.2所示。将其分解为实部和虚部，即  （4.11） 式中，—的实部，称为实频特性；—的虚部，称为虚频特性。 图中的为向量的长度，称为的模或绝对值，它等于稳态输出量与输入量的幅值比，叫做幅频特性；为向量与实轴的夹角，称为的幅角，它等于稳态输出量与输入量的相位差，叫做相频特性。 它们之间有如下关系  （4.12）  （4.13）  （4.14）  （4.15） 于是有  应用欧拉公式，得频率特性的表达式  （4.16） 它们都是的函数，可以用曲线表示它们随频率变化的关系。用曲线图形表示系统频率特性，具有直观方便的优点，在系统分析和研究中很有用处。 4．1．3 频率特性的求法 频率特性一般可通过如下三种方法得到。 1．根据系统的频率响应来求取 因为当给出系统输入时，。所以系统的输出。从的稳态项中可得到频率响应的幅值和相位。然后，按幅频特性和相频特性的定义，就可分别求得幅频特性和相频特性。 如前所述，式（4.3）为例4.1所述系统的频率响应，故系统的频率特性为：   2．将传递函数中的s用代替来求取 由频率特性和传递函数的关系分析中知道，系统的频率特性就是其传递函数中复变量在时的特殊情况。由此，得到一个极为重要的结论与方法，即将系统的传递函数中的s用替代，就得到系统的频率特性。因此也称为谐波传递函数。同时，由式（4.9）得知，还可利用频率特性快速求出系统在谐波输入作用下的稳态响应。 例4.2 求例4.1所述系统的频率特性和频率响应（即稳态响应）。 由上可知，系统的频率特性为  即   系统的频率响应  此结果与例4.1的结果相一致。 3．用试验方法求取 这是对实际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方法。当不知道系统的传递函数或微分方程时，就无法用上两种方法求频率特性，这时，就只能通过试验来求取。 改变输入谐波信号的频率，并测出与此相对应的输出幅值与相移。然后，作出幅值比对频率的函数特性曲线，即幅频特性曲线；并作出相移对频率的函数曲线，即相频特性曲线。 4．2 频率特性的图示方法 由于频率特性以及幅频特性和相频特性都是频率的函数，因而可以用曲线表示它们随频率变化的关系。常用的频率特性的图示方法有极坐标图和对数坐标图。 4．2．1 频率特性的极坐标图 频率特性的极坐标图又称Nyquist图，也称幅相频率特性图。 由于是的复变函数，故可在复平面上用复矢量表示。对于给定的，可以用一矢量或其矢端坐标来表示，矢量的长度为其幅值，与正实轴的夹角为其相角，在实轴和虚轴上的投影分别为其实频和虚频。相角的符号规定为从正实轴开始，逆时针方向旋转为正，顺时针方向旋转为负。当从时，的矢端的运动轨迹即为频率特性的极坐标图，或称为奈氏图。如图4.3所示。在一张图上，它不仅表示了幅频特性和相频特性，而且也表示了实频特性和虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。 图4.4示出常见的二、三阶系统的幅相频率特性曲线。其中： 图（a）为两个惯性环节串联的二阶系统，  图（b）为一个积分环节和一个惯性环节串联的二阶系统， 图（c）为三个惯性环节串联的三阶系统， 图（d）为一个积分环节和二个惯性环节串联的三阶系统，。 由于绘制极坐标图需逐点计算和描绘，而且图形又不规则，特别是在环节串联，频率特性相乘时，计算工作量更大，当调整参数时，图形变更很不方便，因此，它的应用受到限制，本节也就不再展开叙述。下面重点介绍工程上广泛采用的对数坐标图，即Bode图。 4．2．2 频率特性的对数坐标图 频率特性的对数坐标图又称Bode图。它由对数幅频特性图和对数相频特性图组成。它们的横坐标是按频率的以10为底的对数分度，如图4.5所示。由图4.5可知，的数值每变化10倍，在对数坐标上变化一个单位。即频率从任一数值增加（减小）到（）时的频带宽度在对数坐标上为一个单位，将该频带宽度称为十倍频程，通常以“dec”表示。注意，为了方便，其横坐标虽然是对数分度，但是习惯上其刻度值不标值，而是标真数值。 对数幅频特性图的纵坐标采用均匀分度，坐标值取幅值的对数，坐标值为，其单位称作分贝，记作dB。 对数相频特性图的纵坐标也是采用均匀分度，坐标值取的相位角，记作，，单位为度。 用Bode图表示频率特性有如下优点： （1）可以将幅值相乘转化为幅值相加，便于绘制多个环节串联组成的系统的对数频率特性图。 （2）可采用渐近线近似的作图方法绘制对数幅频图，这给绘图带来了很大方便。 （3）由于横坐标采用对数分度，所以能把较宽频率范围的图形紧凑地表示出来。尤其是低频段的扩展，对工程设计具有很重要意义。 典型环节的Bode图 （1）比例环节 比例环节的频率特性为：  其对数幅频特性和对数相频特性分别为：   可见，比例环节的对数幅频特性是一条高度等于的水平直线；其对数相频特性是与00重合的一条直线，如图4.6所示（图中K=10）。当K值改变时，只是对数幅频特性上下平移，而对数相频特性不变。 （2）积分环节 积分环节的频率特性为：  对数幅频特性为  （4.19） 对数相频特性为  （4.20） 由式（4.19）可知，每当频率变化10倍频程时，对数幅频特性就下降20dB，故积分环节的对数幅频特性曲线在整个频率范围内是一条斜率为的直线。当时，，即在此频率时，积分环节的对数幅频特性曲线与0dB线相交，如图4.7所示。积分环节的对数相频特性曲线在整个频率范围内为一条的水平线。  （3）微分环节 微分环节的频率特性为：   （4.21）  （4.22） 上述公式与积分环节的对应式（4.19）、（4.20）相比较，仅相差一个负号。故微分环节的对数幅频特性为过点（1，0），斜率为的一条直线。对数相频特性恒等于。如图4.8所示。 （4）惯性环节 惯性环节的频率特性为：  其对数幅频特性和对数相频特性分别为：  （4.23）  （4.24） 当从时，可计算出相应的和，并可绘出相应的特性曲线。在工程上常采用近似作图法来画对数幅频曲线，即用渐近线近似表示。 若令，当时，则  （4.25） 所以，对数幅频特性的低频渐近线为一条0dB直线，它止于点（，0）。 当时，则  （4.26） 若将代入式（4.26），得  所以，对数幅频特性的高频渐近线是一条始于点（，0），斜率为的斜直线。显然，是低频渐近线与高频渐近线的交点处的频率，称为转角频率。 惯性环节的Bode图如图4.9所示。图中也绘出了精确曲线。 渐近线与精确的对数幅频特性之间有误差，在低频段，误差是式（4.23）的右边减式（4.25）的右边所得，即  （4.27） 在高频段，误差是式（4.23）的右边减式（4.26）的右边所得，即  （4.28） 根据式（4.27）和式（4.28），作出不同频率的误差修正曲线，如图4.10所示。由图可知，最大误差发生在处，其误差为。在或的频率处，误差为，即约为，而在或的频率处，。据此可在范围内对渐近线进行修正，便可得到精确曲线。 由式（4.24），得 当时， 当时， 当时， 在上述三个特殊点基础上，再适当补充几个点，就可绘出惯性环节的对数相频特性曲线，如图4.9所示。由图可知，惯性环节的对数相频特性曲线斜对称于点(,-450)。当由时，其的变化范围为0→-900。 （5）一阶微分环节 一阶微分环节的传递函数为，与惯性环节的传递函数互为倒数。其频率特性为：  其对数幅频特性和对数相频特性为：  (4.28)  （4.29） 上述二式与惯性环节相应式（4.23）、（4.24）比较，仅相差一个负号，故其对频特性与惯性环节的对频特性是镜像对称于轴，一阶微分环节Bode图，如图4.11所示。 也就是说，一阶微分环节的低频渐近线也是一条线，高频渐近线始于点（，0），是斜率为的直线。相频特性是以（，450）点斜对称，变化范围为0~900的曲线。其中，为转角频率。 （6）振荡环节 振荡环节的传递函数为：  （0≤＜1） 故其频率特性为  式中，，于是对数幅频特性和对数相频特性分别为  （4.31）  （4.32） 当（即 ）时  即低频渐近线是水平线。 当（即）时  可见，高频渐近线为始于点（1，0）（即在处），斜率为的一条斜直线。 振荡环节的对数幅频特性如图4.12所示，图中横坐标为或。振荡环节的转角频率就是。图中还绘出了精确曲线，是以为参变量的一簇曲线。 渐近线与精确的对数幅频特性之间有误差，它不仅与有关，而且与也有关。越小， （即）处或其附近的峰值越高，精确曲线与渐近线之间的误差就越大。用类似上述惯性环节求的方法可得： 当≤1时，  （4.33） 当≥1时，  （4.34） 根据不同的和值依式（4.33）和式（4.34）可作出如图4.13所示误差修正曲线。根据此修正曲线，一般在范围内对渐近线进行修正，即可得如图4.12所示的较精确的对数幅频特性曲线。 由振荡环节的相频特性，有 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 以上三点对于任何值都是成立的。依式（4.32）绘出振荡环节的对数相频特性曲线如图4.12所示。它也是以为参变量的一簇曲线，以点（1，-900）斜对称。当由，相角变化范围为。 （7）二阶微分环节 二阶微分环节的传递函数为：  故其频率特性为：  其对数幅频特性与对数相频特性如图4.14所示。它们是如何得来，又有什么特点，请读者思考。 （8）延时环节 延时环节的传递函数为，故其频率特性为，幅频特性为1，相频特性。对数幅频特性，即对数幅频特性为线。相频特性随增加，滞后相角线性增加，在线性坐标中，应是一条直线。但对数相频特性是一条曲线。如图4.15所示。延时环节将使系统的相频特性产生相位上的滞后，特别是角频率较大时，这种相位滞后的作用将更明显。延时时间的增大将产生更大的滞后相角。 2．系统的开环对数频率特性的绘制 在熟悉了典型环节的Bode图后，绘制系统的Bode图就比较容易了，特别是按渐近线绘制Bode图是很方便的。 （1）采用叠加的方法绘制 设系统的开环传递函数为  其对应的开环频率特性则为  其对数幅频特性为  （4.35） 其对数相频特性为  (4.36） 由以上分析可见，串联环节的对数频率特性，即为各串联环节的对数频率特性的叠加。 例4.3 绘制系统开环传递函数的对数频率特性。 该系统可看成由比例、积分和惯性三个典型环节所组成。因此，该系统的开环对数频率特性则为上述三个典型环节的对数频率特性的叠加。 对照图4.6可画出比例环节（设）的Bode图（如图4.16中的①所示）。对照图4.7可画出积分环节（）的Bode图（如图4.16中的②所示）。对照图4.9可画出惯性环节的图（如图4.16中的③所示）。 上述三条曲线的叠加（①+②+③）即为该系统的Bode图，如图4.16中的曲线④所示。图中采用渐近线画法绘制特性。 例4.4 绘出比例积分调节器的Bode图。 比例加积分调节器的传递函数。先要将系统传递函数转化为若干典型环节的传递函数的乘积形式。  由上式可见，比例积分调节器变换成比例、积分和比例微分三个典型环节的串联。采用和上例一样的叠加方法，便可得到如图4.17所示的比例积分调节器的Bode图。 图中曲线①为比例环节的Bode图；曲线②为积分环节的Bode图；曲线③为比例微分环节的Bode图；曲线④为叠加的结果，即比例积分调节器的Bode图。图中采用渐近线画法。 由图4.17（b）的曲线④还可以看出，若在，高度为的a点，作一斜率为的斜直线，由左上方至a处，然后再作一水平直线，即可获得PI调节器的对数幅频特性的图线。 （2）系统开环渐近线对数幅频特性的简便画法 若系统的开环频率特性为 （） 则系统的开环对数幅频特性具有以下几个特点： ① 系统在低频段的频率特性为，因此其对数幅频特性在低频段表现为过点（1，），斜率为的直线。 ②在各环节的转角频率处，对数幅频特性渐近线的斜率发生变化，其变化量等于相应的典型环节在其转角处斜率的变化量（即其高频渐近线的斜率）。 ③当包含振荡环节时，不改变上述结论。 根据上述特点，便可以直接绘制系统开环对数幅频特性，其一般步骤为： 步骤1，将系统的传递函数写成标准形式（各因式常数项为1），并求出其频率特性。 步骤2，确定各典型环节的转角频率，并按由小到大顺序将其标在横坐标上。 步骤3，计算，在横坐标上找到，纵坐标为的点。 步骤4，过该点作斜率为的斜线，以后每遇到一个转角频率便改变一次斜率，其原则是：如遇到惯性环节的转角频率增加；遇一阶微分（比例微分）环节的转角频率，斜率增加；如遇到振荡环节的转角频率，斜率增加；二阶微分环节则增加。 步骤5，如果需要，可根据误差修正曲线对渐近线进行修正，其办法是在同一频率处将各环节误差值叠加，即可得到精确的对数幅频特性曲线。 例4.5 若某控制系统的开环传递函数，其中，，，绘制该系统的开环对数频率特性曲线。 由于  可见，系统是由一个比例环节、两个积分环节、一个惯性环节和一个比例微分环节串联组成。 由于，所以在处的高度为  比例微分环节的转角频率；惯性环节的转角频率。系统含两个积分环节，，所以起始段（低频段）斜率为。 因此，该系统的对数幅频特性（渐近线）的绘制方法为： 过（1，）点作一条斜率为的斜直线，至处，斜率改变成的斜直线，至处，斜率再次改变成的斜直线。因此该系统的对数幅频特性（渐近线）为斜率依次为的三段斜直线，如图4.18（a）所示。 系统的对数相频特性为  其中，为比例环节的相频特性，图4.18（b）中曲线①； 为两个积分环节的相频特性，图中曲线②； 为比例微分环节的相频特性，它是一条由00向正角度变化，经过时为+450的点，趋于+900的图线，如图中曲线③所示； ，为惯性环节的相频特性，它是一条由00向负角度变化，经过时为-450的点，趋于-900的图线，如图中曲线④所示。 系统的对数相频特性，则为上述四条曲线的叠加，如图4.18（b）所示。 4．3 最小相位系统和非最小相位系统 有时会遇到这样的情况，两个系统的幅频特性完全相同，而相频特性却相异。为了说明幅频特性和相频特性的关系，本节将阐明最小相位系统和非最小相位系统的概念。 4．3．1 最小相位传递函数与最小相位系统 在复平面右半面上没有极点和零点的传递函数称为最小相位传递函数；反之在右半面上有极点和（或）零点的传递函数则称为非最小相位传递函数。 具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统；反之，具有非最小相位传递函数的系统称为非最小相位系统。 .例4.6 已知三个控制系统的开环传递函数分别为 ；； 且有。 显然，的零点，极点，如图4.19（a）所示。的零点，极点，如图4.19（b）所示。的零点，极点，如图4.19（c）所示。根据最小相位系统的定义，具有的系统是最小相位系统；而具有、的系统是非最小相位系统。 由、、有  （4.37）  （4.38）  （4.39） 可见，它们的对数幅频特性相同，即  （4.40） 对数幅频特性如图4.20（a）所示。 它们的对数相频特性分别为  （4.41）  （4.42）  （4.43） 对数相频特性曲线如图4.20（b）所示。 由上例可见，、和三个系统具有相同的对数幅频特性，但它们的对数相频特性却差异很大，而最小相位系统的相位变化范围最小。 最小相位系统的对数频率特性具有以下两个特征：① ，对数幅频特性的渐近线斜率等于（其中，分别为传递函数分母、分子多项式的阶数）；② 对数相频特性在时为。如果系统的对数频率特性具有上述两个特征，则该系统为最小相位系统。 最小相位系统的对数幅频特性和对数相频特性二者的变化趋势一致，两特性间存在着确定的对应关系。即一条对数幅频特性曲线，只能有一条对数相频特性与之对应。因而利用Bode图对系统进行分析时，对最小相位系统，往往只画出它的对数幅频特性曲线就够了。因此，对于最小相位系统，只需根据其对数幅频特性就能写出其传递函数。在本书中，为简化起见，若非特别注明，则意味系统为最小相位系统。 4．3．2 产生非最小相位的环节 （1）延时环节 延时环节的对数幅频特性为，而它的相频特性却可能有多种，二者间不存在着确定的对应关系。因此含有延迟环节的系统，是非最小相位系统。但是倘若延迟的时间很小，，则以小惯性环节来取代延迟环节，这样系统便近似处理成最小相位系统。 （2）不稳定的一阶微分和二阶微分环节 不稳定的一阶微分环节（）和不稳定的二阶微分环节（）均有零点位于平面的右半平面。 （3）不稳定的惯性环节和不稳定的振荡环节均有极点位于 面的右半平面。 4.4系统的闭环频率特性 本节主要阐明如何由系统的开环频率特性求得系统的闭环频率特性，并简单介绍闭环频率特性曲线上的几个特征量，即频域性能指标。 4.4.1 闭环频率特性 如果以和分别表示系统的开环频率特性和闭环频率特性，那么，对于如图4.21所示的单位反馈系统有   （4.44） 由于、均是的复变函数，所以的幅值和相位分别写为  （4.45）  （4.46） 若逐点取值，计算出对应的的幅值和相位的值，则可作出闭环幅频特性图和相频特性图。 因此，已知开环频率特性，就可以求出系统的闭环频率特性，也就可以绘出闭环频率特性图。 例4.7 设单位反馈系统的，求取其对应的闭环幅频特性和相频特性。 解. 依式（4.44）有  又依式（4.44）、（4.45）有   计算结果列于表4.1。 表4.1 例6.7幅频、相频计算结果表 ω 0.5 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 8.0 10.0   1.01 1.03 1.08 1.06 0.86 0.60 0.42 0.23 0.14   -9.50 -19.80 -43.80 -74.60 -106.8 -130.90 -147.40 -167.60 -1800  根据表4.1可绘出和关系曲线如图4.22和图4.23所示。 同理，若对闭环频率特性取对数，也可绘出闭环Bode图。 对于非单位反馈系统，则有   （4.47） 式（4.47）表明，非单位反馈系统的闭环频率特性的求取可分两步进行，先求出开环频率特性所对应的单位反馈系统的闭环频率特性，然后再乘以，即得非单位反馈系统的闭环频率特性。 4.4.2 频率特性的特征量 图4.24为反馈控制系统的典型闭环幅频特性曲线。这种典型幅频特性曲线随着的变化特征可用下述一些特征量加以概括，这些特征量构成了由频率特性分析、设计系统的频域性能指标。 1．零频幅值 它表示频率接近于零时，系统稳态输出的幅值与输入幅值之比。在频率时，若，则输出幅值能完全准确地反映输入幅值。零频幅值越接近于1，系统的稳态误差将越小。 2. 复现带宽频率 若事先规定一个△作为反映低频输入信号的允许误差，那么，就是幅频特性值与之差第一次达到△时的频率值。当时，输出就不能准确“复现”输入。所以表征复现低频输入信号的频率宽度，称为复现带宽。 根据△所确定的越大，则表明系统能以规定精度复现低频输入信号的频带越宽。反之，若给定，由确定的允许误差△越小，说明系统反映低频输入信号的精度越高。 3．谐振频率及谐振峰值 幅频特性出现最大值时的频率称为谐振频率。时的幅值称为谐振峰值，即 对于二阶系统，谐振频率，谐振峰值，谐振频率在一定程度上反映了系统的瞬态响应的速度，数值越大，则瞬态响应越快。谐振峰值反映了系统的相对平稳性，越大，系统的平稳性越差（具体分析见第7章）。 4．截止频率和截止带宽 所谓截止频率是系统闭环频率特性的幅值由下降到，也就是下降到时的频率。此时有  所以截止频率也就是由下降所对应的频率。频率由0至的范围称为系统的带宽。若，输出幅值就急剧衰减，形成系统响应的截止状态。 系统的带宽越大，则该系统反映输入信号的快速性越好。同时带宽还表征系统对高频噪声所具有的滤波特性。频带越宽，系统抑制高频噪声信号的能力越不好。 4.5 习题 1 试求下列系统的幅频、相频、实频和虚频。 （1） （2） 2 设系统的闭环传递函数为  当作用输入信号时，试求该系统的稳态输出。 3 设单位反馈控制系统的开环传递函数为  当系统作用以下输入信号： （1） （2） 时，试求系统的稳态输出。 4 试绘出具有下列传递函数系统的Bode图： （1） （2） （3） （4） 5 某放大器的传递函数，今测得其频率响应，当时，幅频，相频。问放大器的放大系数K和时间常数T各为多少? 6 试绘制具有下列传递函数的系统奈氏图，即极坐标图： （1） （2） （3）