自动控制系统的稳定性分析
一旦建立起系统的数学模型，就可以对系统进行分析研究。分析自动控制系统，首先要进行稳定性分析。因为系统能在实际中应用的首要条件是系统必须是稳定的。本章主要介绍线性系统稳定性的初步概念、系统稳定的充要条件；接着介绍几种常用的稳定判据；讨论系统相对稳定性的问题；最后讨论系统结构和参数变化对系统稳定性的影响以及改善系统稳定性的途径。
5．1 系统稳定性的初步概念
5．1．1 稳定的概念和定义
系统在实际工作中，不可避免地会受到外界或内部一些因素的扰动，如负载或能源的波动、系统参数的变化等，将会使系统偏离其平衡位置。扰动消除后，系统将以此偏离状态作为初始状态开始系统自身的调节过程，即初始状态影响下的时间响应。通常有如图5.1所示的三种情况。
若系统在使它偏离稳定平衡位置的扰动消除之后，能够以足够的精度逐渐恢复到原来的平衡位置，如图5.1（a）所示，则该系统是稳定的；反之，若系统在扰动消除后的时间响应随时间的推移呈发散的过程，如图5.1(b)所示，则该系统是不稳定的；若呈等幅振荡的过程，如图5.1(c)所示，则该系统为临界稳定。
同样，系统在输入信号作用撤消后所形成的初始状态的影响下，也会有一个调节过程（即时间响应），这种过程通常也如图5.1所示的三种情况。
现在可给出关于系统稳定性的定义。若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称该系统为稳定的；反之，若在初始状态影响下，由它所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散（即越来越偏离平衡位置），则称该系统为不稳定的。
为什么有的系统是稳定的，而有的系统又会是不稳定的呢？让我们来讨论这个问题。
5．1．2造成系统不稳定的原因
线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与外作用无关。因为系统的稳定性是指系统在扰动或输入撤消后，从偏离平衡位置所处的初始状态出发，因系统本身的固有特性而产生的时间响应，故线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构与参数，而与外作用无关。
造成系统不稳定的原因主要有以下三方面：系统中存在相位滞后环节，如惯性、延迟环节等；系统必有适当的反馈作用；系统参数选择不适当。三者共同作用的结果就可能造成系统不稳定。
以图5.2所示的单位反馈系统为例，简单地说明一下造成系统不稳定的原因。如果原系统是不产生不稳定现象的，但其中含有相位滞后环节，那么加入反馈后就形成闭环系统。当输入撤消后，此闭环系统就以初始偏差作为进一步运动的信号，产生相应输出，而反馈联系不断地将产生了相位滞后的输出反馈回来，反馈的结果，使得在有的时间区段削弱了的作用（相当于负反馈作用），则使)越来越小；而在另外的时间区段又加强了的作用（相当于正反馈作用），则使越来越大。当系统的参数选择不适当时，如滞后相位过大，或系统放大倍数过大，致使正反馈作用成为主导作用，最终将使越来越大，呈发散过程，系统便不稳定了。
系统的稳定性只取决于系统本身的结构与参数，但究竟要如何选取，才能满足系统稳定性的要求，为此要研究系统稳定的充要条件。
5.1.3 系统稳定的充要条件
根据上述稳定的定义，我们知道线性系统的稳定性是系统自身的固有特性，它和系统的输入和扰动无关，因此可取及。分析系统稳定性，需研究初始条件影响下，系统的过渡过程，也就是需研究下列齐次微分方程：
(5.1)
的解。若此解是收敛的，即，则该系统便是稳定的；若此解是发散的，即，则该系统便是不稳定的。
式（5.1）的特征方程式为：
(5.2)
其解的一般式为：
(5.3)
式中，，是由初始条件决定的积分常数；式中，，是特征方程式（5.2）的根。这些根可能是实根，也可能是复数根。如果（5.2）式中有个实根，对共轭复根，则有
(5.4)
那么，式（5.3）可改写成
(5.5)
由式（5.5）可知，如果都为负值，则。这说明当系统特征方程式(5.2)的全部根是负实根或具有负实部共轭复根时，则系统是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则，这样的系统就是不稳定的。
因此，得出系统稳定的充要条件是：稳定系统的特征根必须全部具有负实部；反之，若特征根中有一个或一个以上具有正实部时，则系统必为不稳定。或者说，若系统闭环传递函数的全部极点位于[s]复平面之左半部，则系统是稳定的；反之，若有一个或一个以上的极点位于[s]平面之右半部，则系统为不稳定的。
若有部分闭环极点位于虚轴之上，而其余的极点位于[s]平面的左半部时，便出现了所谓临界稳定状态。由于在实际运行过程中系统的参数值总是可能有变动，以及对这些参数的原始估计和测量也可能不够准确，因此原来处于虚轴上的极点，实际上却可能分布到[s]平面的右半部去，致使系统不稳定，因此从工程实践角度看，一般认为临界稳定属于系统的实际不稳定工作状态。
由系统稳定的充要条件可知，判断系统稳定与否的问题，就变成求解特征方程的根，并校验其特征根是否都具有负实部的问题。但是当系统阶次较高时，求解其特征方程将会遇到较大的困难，于是相继出现了一些不需求解特征方程的根而能间接判断特征方程根的符号的方法，这就是下面开始要讨论的“稳定判据”。
5.2 劳斯稳定判据
劳斯稳定判据并不直接对特征方程式求解，而是利用特征方程式根与系数的代数关系，由特征方程中已知的系数，间接判别出方程的根是否具有负实部，从而判定系统是否稳定。它是一种代数稳定性判据。
关于劳斯稳定判据的数学推导过程从略。
应用劳斯稳定判据的步骤如下：
步骤1：列出闭环系统特征方程为
其中，各项系数均为实数。检查各项系数是否都大于零，若都大于零，则进行下一步。若某系数小于零或出现缺项，便可立即断定这样的系统是不稳定的。
步骤2： 列写劳斯阵表
表中：
， ，
直至其余均为零。
，
，
阵表的第一行和第二行依特征方程式的系数直接排列。从第三行往下需按上述公式计算。这些公式的规律是：每行的数都是由该行上边两行的相关数算得，等号右边的二阶行列式中，第二列都是上两行中第一列的两个数，第一列是被算数下一列的上两行的两个数，等号右边的分母是上一行的第一列的数。表中最后一行只有第一列的一个数。为简化运算，可用一个正数去乘或除某一行的各项。
步骤3： 考察表中第一列各数的符号：若第一列各数均为正数，则闭环特征方程所有根具有负实部，系统稳定；如果第一列中有负数，则系统不稳定，并且第一列中数值符号的改变次数即等于特征方程含有正实部根的数目。
例5.1 系统的特征方程为，试用劳斯判据确定系统是否稳定。
解：特征方程式各项系数均大于零，列出劳斯阵表
第一列出现了负数，且有两次符号变化，即从和，所以系统不稳定，且有两个正根。
如将特征方程解出，有。确有两个正根，与劳斯判据结果相一致。
如果劳斯阵表中某一行第一个元为零，其余不全为零，这时可用一个很小的正数来代替这个零，从而可以使劳斯阵表继续算下去。否则下一行将出现。
例5.2 特征方程为，判别其是否稳定及不稳定根数目。
解：列出劳斯阵表
当时，，而，即第一列改变符号两次，因此特征方程有两个正根，系统肯定不稳定。
在劳斯阵表计算中，当出现某行的元全为零时，可由该行的上一行的元构成辅助方程。将辅助方程对变量求导，得到一个新方程，将新方程的系数作为阵表中全为零的行的元，则阵表的计算工作可继续下去。并且通过求解辅助方程，便可求出特征方程中所含数值相同、符号相异的这类特征根。
例5.3 设系统的特征方程式为，劳斯阵表计算时，发现第三行的元全为零，即
根据第二行各元，可求得辅助方程，即，将辅助方程对变量求导，得新方程，并用新方程的系数代换第三行的零元。劳斯阵表可继续计算，最后得：
这种情况表明，系统的特征根中有一对纯虚根存在。这对纯虚根可由辅助方程解得，即。
对于阶次较低的系统（如二阶和三阶系统），劳斯稳定判据可以化为如下简单形式。
二阶系统稳定的充要条件为：
(5.6)
三阶系统稳定的充要条件为：
(5.7)
请读者分别列出其劳斯阵表加以验证。
应用劳斯判据，还可确定保证系统稳定时系统某参数的取值。
例5.4 设某控制系统的方框图如图7.3所示。已知及，试确定取何值时，系统方能稳定。
解：由图5.3可分别求得系统的开环及闭环传递函数，即
及
则闭环特征方程式为：
将已知参数及数值代入特征方程，得到：
依三阶系统稳定的充要条件得：
故。
此例的劳斯阵表请读者列出，并加以验证。
5.3 奈奎斯特稳定判据
奈奎斯特稳定判据，简称奈氏判据。它是将系统开环频率特性与系统闭环极点联系起来的判据，即由系统的开环幅相频率特性曲线来判别闭环系统的稳定性。应用奈氏判据，无论是由解析法还是由实验方法获得的开环频率特性曲线，都可用来分析系统的稳定性。奈氏稳定判据还能指出系统的稳定程度，即相对稳定性，指出进一步提高和改善系统动态性能（包括稳定性）的途径。因此，它得到了广泛的应用。
5.3.1 奈奎斯特稳定判据
奈奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数中的幅角原理。由幅角原理可以证明（证明从略）有如下关系：
(5.8)
式中，—闭环右极点个数，即闭环特征方程中为正根的个数，其值为正整数或零；
—开环（传递函数）右极点个数，其值为正整数或零；
—当从变化时，封闭曲线在[GH]平面内包围点的次数。当时表示逆时针方向包围的情况；当时表示顺时针方向包围的情况；当时表示曲线不包围点。
由式（5.8），则可根据开环右极点数目和开环奈氏曲线对点的包围次数，来判断闭环右极点数是否等于零。若要闭环系统稳定，闭环不能有右极点，即必须使，也就是要求。由于开环传递函数通常是一些简单典型环节串联相乘的形式，因此开环右极点数容易求出。
从的开环奈氏图是关于实轴上下对称的曲线，见图5.4。为了简单起见，通常仅用正半部分奈氏曲线来判别系统的稳定性，此时，包围次数应当增加一倍才符合式（5.8）的关系。即把式（5.8）改写为：
(5.9)
式中为从时的曲线对点包围的次数，的正负及、的含义与式（5.8）相同。
由式（5.9）可知，闭环系统稳定时，即当时应满足
或
综上所述，给出奈氏据判据的结论：当从时，开环频率特性曲线逆时针包围点的次数等于开环右极点数的一半，则闭环系统稳定，否则不稳定。
5.3.2 奈氏判据应用举例
应用奈氏判据判断系统稳定性的一般步骤如下。
首先，绘制从变化时的开环频率特性曲线，并在曲线上标出从增加的方向。根据曲线包围点的次数和方向，求出的大小及正负。为此可从点向曲线上作一矢量，并计算这个矢量当从变化时相应转过的“净”角度，规定逆时针旋转方向为正角度方向，并按转过折算，转过折算。要注意的正负及的情况，见图5.5。
然后，由给定的开环传递函数确定开环右极点数，并按奈氏判据判断系统的稳定性。若，则闭环系统稳定，否则不稳定。如果曲线刚好通过点，表明闭环系统有极点位于虚轴上，系统处于临界稳定状态。
需要指出，开环传递函数中没有的极点时，开环奈氏曲线为一条封闭曲线，而当开环传递函数中有的极点，即含有积分环节时，奈氏曲线就不是封闭曲线，为了确定曲线对点的包围情况，这时需要作辅助曲线。可以证明（证明从略），辅助曲线的作法是：以原点为圆心以无穷大为半径，从实轴上开始顺时针方向绕行（为积分环节的个数）作圆弧至奈氏曲线的起始端。注意从实轴上开始并不一定都是从正实轴上开始。
例5.5 单位负反馈系统的开环传递函数为，试用奈氏判据判断和情况下的稳定性。
解：作出和时的开环奈氏图，见图5.6。
时，曲线不包围点，所以。开环极点为，因此。由判据知系统在时是稳定的。
当时，开环极点没有变化，仍是，但曲线顺时针包围点半周，即，可见在时系统不稳定。
此例说明，开环状态稳定，闭环可能稳定，也可能不稳定。结论在用判据判断之后得出。
例5.6已知三阶系统开环频率特性为
式中，、、及均大于零。试判断闭环系统的稳定性。
解：当时
当时
该三阶系统的开环奈氏图大致形状如图5.7所示。曲线从正实轴上的点开始，顺时针穿过三个象限，沿线终止于原点。当值较小时如曲线①所示，不包围点，。当值增大到，曲线相位不变，仅幅值增大，如曲线②所示，顺时针包围点一周，即。因为开环无右极点，，所以曲线①所示情况下，闭环系统稳定，曲线②的情况下系统不稳定。一般来说，对于三阶及以上的系统来说，开环增益的增大，不利于系统的稳定性。
例5.7设某非最小相位系统的开环传递函数为，其中、均为正值。试判断闭环系统的稳定性。
解：作出开环奈氏图如图5.8，图中的虚线为辅助线。因为开环传递函数中只含一个积分环节，，辅助线只有范围的幅角，所以这里是从负实轴开始。曲线顺时针包围点半周，即。
检查开环极点：，其中是右极点，而不能算为右极点，所以。由奈氏判据得知，系统不稳定。
例5.8 Ⅱ型系统开环传递函数如下，试判断闭环系统的稳定性。
解：作出开环奈氏图如图5.9(a)所示。
由图知，而，所以系统不稳定。
如果在原系统中串入一个一阶微分环节，使开环传递函数变成
其开环奈氏图示于图5.9（b）。曲线不会进入第二象限，只在第四、第三象限，当然也就不会包围点，系统变得稳定了。此例说明，通过串联一阶微分环节，起到使相位超前的作用，有利于改善系统的稳定性。
5.3.3穿越的概念
如图5.10所示的复杂的开环奈氏图，若用对点的包围圈数来确定，就很不方便，为此引出“穿越”的概念。
所谓“穿越”，是指开环奈氏曲线穿过点左边实轴部分。穿过点以左的实轴一次，则穿越次数为1。若曲线始于或止于点以左的实轴上，则穿越次数为。若曲线由上向下穿过时称“正穿越”，曲线由下向上穿过时称“负穿越”。
正穿越相当于奈氏曲线逆时针包围点，对应相位增大；负穿越相当于顺时针包围，对应相位减小。
这样奈氏判据可叙述成：当从变化时，若开环奈氏曲线在点以左实轴上正穿越次数与负穿越次数之差（或代数和）等于，则闭环系统稳定，否则不稳定。
应用此法可判断图5.10所示系统是稳定的。因为正穿越次数为2，负穿越次数为1，。
5.3.4 对数频率判据
奈氏判据是利用开环奈氏图来判定闭环系统的稳定性。如果将开环奈氏图改画成开环对数坐标图，即伯德图，同样可利用它来判定系统的稳定性。这种方法称为对数频率判据，其实质是奈氏判据的引申。
如图5.11所示，系统开环频率特性的奈氏图和伯德图有如下对应关系：
⑴奈氏图上的单位圆对应于伯德图上的0分贝线。因为此时
而单位圆之外即对应于对数幅频特性圆的0分贝线之上。
奈氏图上的负实轴相当于伯德图上的线。因为此时
再将穿越的概念引申到伯德图上，那就是在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，沿增加的方向，对数相频特性曲线自下而上穿过线为正穿越；反之，自上而下穿过线为负穿越。若对数相频特性曲线自线开始向上，为半次正穿越；反之自线开始向下，为半次负穿越。
根据上述对应关系，对数频率判据可表述如下：
闭环系统稳定的充要条件是，在开环伯德图上的所有频段内，相频特性曲线在线上正负穿越次数之差等于（为开环右极点数）。如果，则上述正、负穿越次数相等。
如果恰好在处的相频曲线穿过线，系统是临界稳定状态。
用此判据可知图5.12所示两个开环伯德图对应的系统，闭环状态下都是稳定的。
5.4 系统的相对稳定性
对系统稳定性的分析，仅仅判断系统是否稳定还不够，还必须保证系统具有一定的稳定程度，即所谓系统的相对稳定性。
由奈氏判据可知，对于最小相位系统而言，当其开环奈氏曲线不包围点时，则闭环系统就是稳定的。若开环奈氏曲线虽然不包围但已十分接近点，从理论上讲，该系统应是稳定的系统，但由于系统的某参数的波动等原因，就可能使系统的开环奈氏曲线包围点，造成实际运行系统的不稳定。因此，系统的开环奈氏曲线应相对点保持一定距离。这便是通常所说的相对稳定性。其定量表示为相位裕量和幅值裕量，如图5.13所示。
在这里，我们定义，开环奈氏曲线与单位圆相交时的频率称为幅值交界频率（也称幅值穿越频率）。当时，。在伯德图上，是对数幅频特性曲线与线相交时的频率。
再定义，开环奈氏曲线与负实轴相交时的频率称为相位交界频率（也称相位穿越频率）。当时，。在伯德图上，是对数相频特性曲线与线相交时的频率。
5.4.1 相位裕量
在时，相频特性距离相位稳定边界（）的相位差值称为相位裕量，即
（5.11）
其中是开环频率特性在处的相角，即开环奈氏曲线与单位圆相交的A点与坐标原点的连线与正实轴之间的夹角。
在奈氏图中，最小相位系统稳定时，开环奈氏曲线不包围点，即不应小于。依式（5.11），，系统具有正相位裕量，且必在负实轴下方，如图5.13(a)所示。系统不稳定时，奈氏曲线包围点，，系统具有负相位裕量，必在负实轴上方，如图5.13（b）所示。
在伯德图中，正相位裕量，必在线上方，如图5.13（c）所示；负相位裕量，必在线下方，如图5.13（d）所示。
相位裕量大，则表明系统的相对稳定程度高，通常希望。
5.4.2 幅值裕量
在时，开环幅频特性的倒数，称为幅值裕量，即
（5.12）
在伯德图上，幅值裕量以分贝值表示，记作。
(5.13)
最小相位系统闭环系统稳定时，其开环奈氏曲线不能包围点，因此，即，，这种情况称系统具有正幅值裕量，如图5.13（a）和（c）所示。与此情况相反，则为负幅值裕量，如图5.13（b）和（d）所示。
注意，在伯德图上，正幅值裕量必在线下方，而负幅值裕量在线上方。
幅值裕量大，同样表明系统的相对稳定程度高。通常希望。
应当着重指出，为了确定系统的相对稳定性，必须同时考虑相位裕量和幅值裕量，只应用其中一个指标，不足以充分说明系统的相对稳定性。
5.5 典型自动控制系统稳定性分析
如前所述，对一个应用的实际系统，首先要求系统必须是稳定的，并要保证系统有足够的稳定裕量。本节将对几种典型的控制系统的稳定性进行分析，介绍分析的一般方法，讨论系统结构和参数对稳定性的影响，寻求改善系统稳定性的途径。
5.5.1 二阶系统的稳定性分析
典型二阶系统的方块图如图5.14所示。其开环传递函数为，通常，时间常数为系统固有参数，增益为可调参数，二者均为正实数。
系统的闭环特征方程式为。
由劳斯判据可知，当，时，系统总是稳定的。但是，当改变值时，系统的相对稳定性将会发生什么变化呢？
为此，绘出其对应的伯德图如图5.15所示。
当增益时，其对数幅频特性如图中实线所示。此时穿越线的斜率为，，相位裕量较大。
当增益增大到时，其对数幅频特性向上平移，如图中虚线所示。此时穿越线的斜率为，，但相位裕量，系统的相对稳定性差或者简单说系统稳定性变差。
由以上分析表明，对二阶系统，当参数为正值时，系统总是能稳定的，但是增益加大，将使系统稳定性变差。
工程上通常将以开环传递函数为，且满足条件的单位负反馈系统，称为典型Ⅰ型系统。显然，典型Ⅰ型系统不仅稳定，而且具有良好的相对稳定性，而且其一定是以斜率穿越线，其穿越频率的数值就等于其增益。
5.5.2典型三阶系统的稳定性分析
三阶系统是经常遇见的，对于单位负反馈的三阶系统，其开环传递函数大体上有如下几种情况：
(5.14)
(5.15)
(5.16)
式（5.14）、（5.15）和（5.16）所示三阶系统，分别不含、含1个和含2个积分环节。为叙述方便，不妨分别称它们为0型、Ⅰ型、Ⅱ型的三阶系统。
让我们先分析0型的三阶系统。今设。随增加，其渐近对数幅频特性各段斜率的变化为水平线，而呈单调减小的变化。改变增益，随增益的增大而向上平移，而增大值，对不发生影响。改变增益对0型三阶系统稳定性的影响见图5.16所示。
当，增益较小时，对应中的曲线①，以的斜率过线，穿越频率为，数值较小，相位裕量为，且较大，说明系统稳定并且相对稳定性较好。
当时，对应中的曲线②， 以斜率过线，穿越频率为，，相位裕量为，此时虽然，但数值很小，系统稳定性变差。
当，增益进一步增大，对应中曲线③， 以过线，穿越频率为，，相位裕量，这时，系统已不稳定了。
显然，当增益大到某数值，即时，，系统处于稳定边界，对应系统处于稳定边界的增益称为临界增益。若，则系统稳定。若，则系统将是不稳定的。
由以上分析可见，对0型三阶系统，加大增益，将使系统稳定性变差，甚至造成不稳定。因此，当遇到系统不能稳定运行时，可首先考虑将系统增益调小。
式（5.14）与式（5.15）比较，就可发现它们的开环传递函数中都只含极点，而不含零点。改变增益对Ⅰ型三阶系统稳定性的影响与0型三阶系统的情况类似。请读者自行分析。
可是，改变增益对Ⅱ型三阶系统稳定性的影响，就有些特殊。
由式（5.16）表示的单位负反馈系统，其闭环特征方程式为
依据劳斯判据，该系统稳定的条件为：
于是我们将满足，开环传递函数的系统称为典型Ⅱ型系统（系统参数均为正参数）。
改变增益对典型Ⅱ型系统稳定性的影响，见图5.17所示。
由于系统中引入了一阶微分环节，增加了一个零点。随着的增加。其各段斜率的变化为；不再呈单调减小而出现了峰值。
如前所述，改变系统的开环增益，将上、下平移，而不会发生变化。由图5.17可见，当增益过大（如曲线③）或过小（如曲线①）时，穿越零分贝线的斜率都会由变为，系统的相位裕量变小，系统稳定性变差。
显然，当处于最大值时，相位裕量最大，即，其条件分析如下。
由式（5.11）有：
(5.17)
令，可得
(5.18)
或
（5.19）
式(5.19)表明，对典Ⅱ型系统，在对数坐标轴上，当处于两个转角频率与的中点时，相位裕量最大，即。
若令，即，其中称为中频宽。那么发生最大相位裕量时所对应的开环增益可由下式
求得：
（5.20）
上式表明，当系统增益时，系统相位裕量最大，系统稳定性最好。当系统增益偏离值（不论增大还是减小）时，系统的稳定性都将变差。
由此还指明，减小系统增益，一般来说，有利于改善系统的稳定性，但并不总是能改善系统的稳定性，而是要具体问题具体分析。
还需要指出，中频宽的取值为。一般来说取大，有利于改善系统稳定性。因为通常为系统固有参数，为可调参数。的增大意味的增大，即减小，将式（5.18）代入式（5.17）可得：
(5.21)
当固定不变，增大，即减小时，则上式的第一项增大，而第二项减小，故增大，有利于改善系统的稳定性。
5.5.2 延迟环节对系统稳定性的影响
延迟环节对系统稳定性的影响，让我们通过下面两个例子加以分析讨论。
例5.9 图5.18为晶闸管整流供电的直流调速系统方块图。试分析晶闸管整流延迟对系统稳定性的影响。
图中：—放大器增益，。
—晶闸管整流装置增益，。
—晶闸管整流输出响应延迟时间。对单相全波，；对三相桥式， 。
—电动机电动势恒量。。
—电动机机电时间常数。。
—电动机电磁时间常数。。
—转速反馈系数。。
解：若不计晶闸管延迟影响，则调速系统的开环传递函数为
以各参数数据代入上式有
由上式可得：
，
于是可绘出如图5.19所示的的伯德图（高频段为①曲线）。
由图可知，穿越频率，由此可求得该系统的相位裕量
故此时系统是稳定的，且相位裕量为。
若考虑晶闸管的延迟影响，如今将它处理成一个小惯性环节。由可得，对应的转角频率（见图5.19高频段曲线②）。
由图7.19可见，此时系统的穿越频率仍为。但此时因小惯性环节而产生的相位滞后为
因此若计及晶闸管延迟影响，则系统的相位裕量，应计入它的滞后影响，即
此时系统已处于不稳定状态了。
若晶闸管整流装置采用的是三相桥式，即取。相应产生的相位滞后为
此时系统的相位裕量为
表明系统仍处于稳定，但相位裕量减小，稳定性变差。
由此例可见，延迟环节会使系统的稳定性变差，甚至造成不稳定。而且延迟时间越大，对系统造成的影响越严重。
例5.10 图5.20为一工件加工检测示意图。若已知不计检测延迟时的系统开环传递函数为，并且工件以的恒定速度移动，求不产生持续振荡的最大允许检测距离。
解：由，可知，此为典型二阶系统，且此时，则
。
可求得此系统的相位裕量
设测厚仪检测时刻较切削加工时刻延迟了，由它带来的相位滞后为。计入测厚延迟后，系统的相位裕量为，则有
依据题意，要求不产生持续振荡，意味着≥0，于是有≤，而，由此可得：
≤
由以上求得最大允许检测距离仅3.8cm。显然在这样短的间距内安装测厚仪，将是十分困难的。出路在于降低系统开环增益（或增加校正环节），以增加相位裕量，使扩大。
5.6 习 题
1 用劳斯稳定判据判断具有下列特征方程的系统的稳定性。
⑴
⑵
⑶
2 设单位负反馈系统的开环传递函数为，试确定系统稳定时的取值范围。
3. 设单位负反馈系统的开环传递函数为，其中无阻尼固有频率，阻尼比，试确定为多大时系统才能稳定。
4. 设单位反馈系统的开环传递函数为，试确定使相位裕量等于时的值。
5. 在图5.18所示的调速系统中，若已知
，
⑴问该系统是否稳定？
⑵求该系统的相位裕量。
6. 设系统的开环传递函数为，求及时的相位裕量和幅值裕量。
7. 设系统如图5.21所示，试分别判别下面两种情况下该系统的稳定性，并求出其稳定裕量，其中，。
⑴
⑵
8.系统的传递函数方块图如图5.22所示。试确定和取何值时，系统将维持以的持续振荡（提示：临界稳定状态，具有一对纯虚根）。
9. 在如图5.20所示的工件加工检测系统中，若未计检测延迟时的开环传递函数为
，工件以的恒速移动，求不产生持续振荡的最大允许检测距离。
