第八章 自动控制系统的校正 前已论及，控制系统是为完成特定任务而设置的一系列元件的组合。为完成既定任务，需对控制系统提出要求，通常以性能指标来表示，这些指标常常与精度、相对稳定性和响应速度等有关。当系统通过调整参数（如增益）也不能全面满足性能指标要求时，就需对系统进行校正。 本章将首先介绍系统校正的有关概念，接着介绍串联校正中的相位超前校正、相位滞后校正、相位滞后—超前校正和PID校正，以及反馈校正和顺馈补偿。应掌握各种校正的特点，对系统性能的影响及其实现的方法。 8.1系统的校正 8.1.1校正的含义 一个系统的性能指标总是根据它所要完成的具体任务规定的。一般情况下，几个性能指标的要求往往是矛盾的，例如，增大开环增益能减小稳态误差，但又会影响系统的瞬态响应，甚至破坏系统的稳定性。也就是说，仅仅依靠调整参数，并不一定能使系统全面地满足性能指标的要求。此时，可在原有系统中，有目的地增添一些装置或元件，使系统全面地满足性能指标的要求。我们把这种在系统中增加新的环节，以改善系统性能的方法称为对系统进行校正。新增的环节（或装置）称为校正环节（或校正装置）。 8.1.2 校正的实质 在原系统中，增加校正环节，必定会使系统的传递函数发生改变，导致系统零点和极点的重新分布。适当地增加零点和（或）极点，可使系统满足期望的要求，以实现对系统进行校正的目的。校正的实质就在于改变系统的零、极点分布，改变系统频率特性或根轨迹的形状。 图8.1示出了系统校正改善性能的一个例子。曲线①为开环右极点的系统的开环奈氏图，由于奈氏轨迹包围了点，故相应的系统不稳定。为了使系统稳定，可能的方法之一是减小系统的开环增益，即由变为，使减小。因模减小，相位不变，曲线①变为曲线②，而不包围点，这样系统就稳定了。但是，减小会使系统的稳态误差增大， 这是不希望的，甚至是不允许的。另一种方法是在原系统中增加新的环节，使奈氏轨迹在某频率范围（如至内）发生变化，例如从曲线①变为曲线③，使原来不稳定的系统变为稳定系统，而且并不改变值，即不增大系统的稳态误差。 图8.2给出了系统校正兼顾幅值与相位裕量的另一个例子。曲线①为开环右极点的系统的开环奈氏图，系统是稳定的。但是，相位裕量太小，使系统的瞬态响应有很大的超调量，调整时间太长。对这样的系统，即使减小，因相位裕量没有变化，系统的性能仍得不到全面改善。只有加入新的环节，例如使奈氏轨迹变为曲线②，即，使原来的特性在至频率区间产生正的相移，才能使系统的相位裕量得到明显的提高，系统的性能得到改善。 由此可见，从频率法的观点看，增加新的环节，主要是改变系统的频率特性的形状。 8.1.3 校正方式 按照校正环节在系统中的联结方式不同，校正可分为串联校正、反馈校正和顺馈校正等。 （1）串联校正 校正环节串联在系统的前向通道中称为串联校正。如图8.3所示。校正前系统的闭环传递函数为  校正后，闭环传递函数为  显然，零、极点都发生了变化。为了减小功率消耗，串联校正装置一般都放在前向通道的前端，即低功率部分。 （2）反馈校正 校正环节联结在系统的局部反馈通道中，或者说，通过增加一反馈回路。如图8.4所示。为保证局部回路的稳定，校正环节所包围的环节不宜太多（2个或是3个）。 （3）顺馈校正 通过校正环节增加一条前向通道。如图8.5所示。顺馈校正亦称顺馈补偿。根据补偿采样信号源的不同，又分为输入顺馈补偿和扰动顺馈补偿。图8.5为输入顺馈补偿方式。顺馈校正既可作为反馈控制系统的附加校正而组成复合控制系统，也可单独用于开环控制。 8.2 串联校正 串联校正指校正环节串联在原系统的前向通道中，如图8.3所示。 串联校正按校正环节的性质可分为增益调整、相位超前校正、相位滞后校正及相位滞后一超前校正。 在这几种串联校正中，增益调整的实现比较简单。例如，在液压随动系统中，提高供油压力，即可实现调整增益。但是，仅仅调整增益，难以同时满足静态和动态性能指标，其校正作用有限，还需采用其他校正方法。本节主要介绍由电阻、电容构成的无源的三种（即超前、滞后、滞后一超前）校正线路、数学模型及其在系统中起的作用，并举例说明用波德图分析计算串联校正装置的方法。 8.2.1 相位超前校正 图8.6所示的超前网络，其传递函数为  (8.1) 式中， 其频率特性为  (8.2) 相频特性为  可见相位超前。它的幅频特性为  将分为虚部和实部，可求得  可见，是经过点，半径为，圆心为的一个半圆。又由于是正的，故为上半圆，如图8.7所示。 网络所提供的最大超前相角，则由  （8.3) 可知，当减小，增大。 超前网络的波德图如图8.8所示。由图可见，超前网络具有以下两个特点：一是始终提供超前相角；二是随的减小，幅频也减小，即低频衰减特性，所以，超前网络相当于一个高通滤波器。 对应于的频率为，可如下求出： 令 ，得  （8.4） 显然，即发生在两个转角频率和的几何中点。 采用了上述相位超前校正后，由于在对数幅频特性上有段存在，故加大了系统的穿越频率，谐振频率与截止频率，其结果是加大了系统的带宽，加快了系统的响应速度；又由于产生了一定量的相位超前角，以补偿原系统中某些元件造成的过大的相角滞后，这就有可能加大系统的相位裕量，结果是增大了系统的相对稳定性。 下面举例说明用波德图确定超前校正环节的方法及超前校正的作用。 例8.1 设有一控制系统如图8.9所示，若要使系统在单位速度输入下的稳态误差，相位裕量≥，幅值裕量≥，试求系统的校正装置。 解：首先根据稳态误差的要求确定值。由于系统开环传递函数  显然这是个Ⅰ型系统，有  所以  ， 然后绘制系统的开环波德图，如图8.10中的曲线①。由图可见，校正前系统的相位裕量，幅值裕量大于10分贝，故系统是稳定的，但，相对稳定性不合要求。为了在不减小增益裕量的前提下，将相位裕量从提高到，需要采用超前校正环节进行校正。接着确定所需要增加的相位超前角。为使从提高到，二者相差的当然应由超前校正环节提供。还应考虑超前校正环节会使系统的穿越频率右移，又会造成附加滞后相角，因此在考虑相位补偿量时应再增加，因此取  根据，由公式（8.3）可确定衰减系数，  下面确定超前校正环节的两个转角频率和。确定的思路是根据最大相位超前角发生在两个转角频率的几何中点，即。 这里需注意一个问题，那就是超前校正环节具有低频衰减的特性 。如果直接串联后，将使校正后的对数幅频特性在低频段的高度下降，又不能满足稳态误差的要求了。为此，需附加一个放大器，其增益为，使，即。 带有附加放大器的超前校正环节的传递函数为  那么，它对应的对数幅频特性在处的分贝数为  于是，可从图8.10的处找到对应的频率，这个频率就是校正后系统的穿越频率， 。 因此求得   由此得相位超前校正环节的传递函数为  带有附加放大器后的传递函数为  对应的对数幅频、相频曲线如图8.10中曲线②。校正后系统的开环传递函数为  校正后的对数幅频、相频曲线见图8.10中实线③。 比较曲线①和③可看出，校正后系统的带宽增加，相位裕量从170增加为500，幅值裕量也足够。 综上所述，串联超前校正环节增大了相位裕量，加大了带宽。这意味着提高了系统的相对稳定性，加快了系统的响应速度，使过渡过程得到显著改善。但由于系统的增益和型次都未变，所以基本保持了校正前的稳态精度。 8.2.2 相位滞后校正 图8.11所示的RC滞后校正网络，其传递函数为  (8.5) 式中  其频率特性为   (8.6) 相频特性为  可见相位滞后。它的幅频特性为  相位滞后网络的波德图如图8.12所示。由图可见，滞后校正环节具有两个特点：一是始终提供滞后相角；二是具有高频衰减特性，即它相当于一个低通滤波器。 可求得滞后网络的最大滞后相角及其对应的频率为  (8.7)  (8.8) 滞后校正的作用主要是利用它的高频衰减特性（即负斜率特性），其校正机理并不是相位滞后。相位滞后的负面影响还应设法降至最小限度，具体方法是使滞后校正的转角频率和均远离原系统的穿越频率，靠近低频段，即和要选得尽可能大些，但考虑实现的可能性，也不能选得过分大。一般取其时间常数比原系统的最大时间常数还要大些。 关于利用它的高频衰减特性，通常有两种用法。一种是如果把高于频率范围的增益提高到原系统的增益值，当然低频段的增益就提高了。而由于比校正前系统的小很多，即使加入滞后环节，附近的相位几乎没有什么变化，响应速度等也几乎不会受影响。这时因低频段增益的增大可改善系统的稳态性能。另一种用法是，当稳态性能满足要求，不需再提高增益，这时由于滞后校正的高频衰减特性，会使系统的穿越频率左移，从而使相位裕量增大，改善系统的相对稳态性，当然此时系统的带宽减小，响应速度要慢些。 下面举例说明用波德图进行相位滞后校正。 例8.2 设有单位反馈控制系统，其开环传递函数为  要求系统在单位速度输入时的稳态误差；相位裕量≥；幅值裕量≥。 解：首先，根据稳态误差确定开环增益。对于Ⅰ型系统  由已确定的开环增益，绘出系统校正前的开环波德图，如图8.13中曲线①所示。 由图8.13可知，原系统的相位裕量为，幅值裕量为，系统是不稳定的。 如果在此例中，采用相位超前校正是不怎么有效的。此例在附近很窄的频率范围内对数幅频和相频特性衰减很快。若采用相位超前校正，虽然校正环节可提供超前相角，但又会使右移，又将使系统的相位产生较大的滞后量，而使系统的相位裕量不会有明显的改善。如果采用相位滞后校正，反而能有效地改善系统的稳定性。但由于在系统中串联相位滞后环节后，对数相频特性曲线在穿越频率处的相位将有所滞后，所以，对给定的相位裕量要增加50～120作为补充。现在取相位裕量的设计值为400+120=520。 然后在图8.13所示的原系统的相频特性曲线上找到对应于时的频率为，并以此作为校正后系统的穿越频率。 相位滞后校正的环节的高端转角频率应远低于已校正系统的穿越频率，今选，因此   从图8.13可知，要使成为校正后的系统的穿越频率，就需要在该点将的对数幅频特性移动，故在处，相位滞后校正的环节的对数幅频特性对应的分贝值应为  当≥1时，有  即  故   相位滞后校正环节的频率特性为  校正后系统的开环传递函数为  图8.13中的曲线②为滞后校正环节的对数频率特性，曲线③为校正后系统的开环波德图。 由图8.13可见，校正后系统的相位裕量约等于，幅值裕量约等于，稳态速度误差等于0.2s，都满足了预先提出的性能指标要求。但由于校正后开环系统的穿越频率从约降到，闭环系统的带宽随之下降，所以，这种校正会使系统的响应速度降低。 8.2.3 相位滞后—超前校正 超前校正的作用在于提高系统的相对稳定性和响应快速性，但对稳态性能改善不利。滞后校正的主要作用在于，在基本上不影响原有动态性能的前提下，提高系统的开环增益，从而改善系统的稳态性能。而采用滞后—超前校正环节，则可同时改善系统的动态性能和稳态性能。 图8.14所示为RC滞后—超前网络，其传递函数为  (8.9) 设 (取) 并使 () 则式（8.9）可写成  (8.10) 式中，相当于超前校正中的。上式右端第一项代表超前校正，第二项代表滞后校正。滞后—超前校正的波德图示于8.15。 由图可见，当时，它起滞后网络的作用，而当时，它起超前网络的作用。在相角等于零处的频率为  且高频段和低频段均无衰减，即。 设计滞后—超前校正环节所用的方法，实际上是设计超前校正环节和滞后校正环节这两种方法的结合。现用下面的例子说明。 例8.3 单位反馈系统，其开环传递函数为，要求单位速度输入下稳态误差为0.1，相位裕量≥，幅值裕量≥。 解： 首先，根据稳态误差的要求确定值。对于Ⅰ型系统  所以 绘出时，未校正系统的波德图如图8.16中的曲线①所示。由图可见，未校正系统的相位裕量等于-320，说明未校正系统是不稳定的，现采用滞后—超前校正。 设计滞后—超前校正的下一步是选择新的增益穿越频率。从的相频曲线可以发现，当。选择新的增益穿越频率等于较方便，这样在时，所需的相位超前角约为500，采用一个滞后—超前网络是完全可以做到的。 当选定后，就可确定滞后—超前网络相位滞后部分的转角频率。设转角频率为，（它相当于网络的相位滞后部分的零点）选在新的增益穿越频率以下十倍频程处，并取，则   滞后部分的传递函数为  相位超前部分可确定如下：由未校正系统的波德图上知，要使处的幅值经过校正下降到，也就是要让成为新的增益穿越频率，需要校正环节在此处产生的幅值。按这一要求，可通过点处画一条斜率为的直线，与线及的两个交点，所对应的频率分别为 (即)和 (即)，即为超前部分的两个转角频率。计算出，，所以超前部分的传递函数为  将滞后部分与超前部分的传递函数组合在一起，就是滞后—超前校正环节的传递函数。  校正后系统的开环传递函数为  校正环节和校正后系统的开环波德图分别如图8.16中曲线②和曲线③所示。由图看出，校正后系统的相位裕量等于，幅值裕量等于，稳态误差等于0.1，所有指标要求均已满足。 8.3 PID校正 前述相位超前、相位滞后及相位滞后—超前校正环节都是由电阻和电容组成的网络，统称为无源校正环节。这类校正环节结构简单，但是本身没有放大作用，而且输入阻抗低，输出阻抗高。当系统要求较高时，常常采用有源校正环节。有源校正环节一般是由运算放大器和电阻、电容组成的反馈网络连接而成，被广泛应用于工程控制系统中，常常被称为调节器。其中按偏差的比例、积分和微分进行控制的PID调节器（亦称PID校正器）是应用最为广泛的一种调节器。PID调节器已经形成了典型结构，其参数整定方便，结构改变灵活（有P、PI、PD、PID等），在许多控制系统中获得了良好的效果。 8.3.1 PID控制规律分析 所谓PID控制规律，就是一种对偏差进行比例、积分和微分变换的控制规律，若调节器的输出用表示，则有  （8.11） 式中，为比例控制项，为比例系数；为积分控制项，为积分时间常数；为微分控制项，为微分时间常数。 比例控制项与微分、积分控制项的不同组合分别构成PD（比例微分）、PI（比例积分）和PID（比例积分微分）等三种调节器。PID调节器通常用作串联校正环节。 表8.1为几种典型的有源校正装置。表中列出了有关的线路、传递函数和对应的波德图。 假若校正前(或固有)系统的开环传递函数为,调节器的传递函数为，采用调节器串联校正的控制框图如图8.17所示。 下面分别讨论PD、PI、PID调节器对控制系统性能的影响。 1．PD调节器