第七章 瞬态响应分析 本章是在研究自动控制系统的稳定性和稳态精度的基础上，研究自动控制系统的动态过程，即研究控制系统在输入信号作用下，系统输出量随时间的变化过程。对于这个动态过程，可以用几个特征量表达它的性能指标。这些动态性能指标在时域的特征量为：上升时间、最大超调量和调整时间等；在频域的特征量为：相位裕量、增益裕量、谐振峰值和频宽等。本章具体研究的内容是控制系统的时间响应和频率响应及它们之间的关系。 7.1 时间响应的概念 7.1.1 控制系统典型的输入信号 分析控制系统的第一步工作，是建立系统的数学模型（如传递函数和频率特性）。一旦获得系统的数学模型，就可以采用各种不同的分析方法，去分析系统的性能。 研究系统的动态特性，就是研究系统在输入信号作用下，输出量是怎样按输入量的作用而变化的，亦即系统对输入如何产生响应。 是否有必要把任何一种输入作用下的响应都加以研究呢？这样做太复杂，也没有必要。实际上，系统的输入信号往往具有随机的性质，在某一瞬间具体的输入形式是什么，预先常无法知道，并且输入量往往也不可能用解析的方法准确地表示出来。 在分析和设计系统时，我们需要有一个对各种系统性能进行比较的基础，这种基础就是预先规定一些具有特殊形式的试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。 经常采用的试验输入信号有阶跃函数、斜坡函数、加速度函数、脉冲函数和正弦函数。因为它们都是简单的时间函数，可以容易地对控制系统进行数学和实验的分析。 分析系统响应特性究竟采用哪一种或哪几种典型输入信号，取决于系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。如果控制系统的输入量是随时间逐渐变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的试验信号；同样，如果系统的输入信号是突然的扰动量或突加的输入，则阶跃函数是比较合适的试验信号；而当系统的输入是冲击输入量时，则采用脉冲函数最为合适；如果系统的输入信号是随时间变化的往复运动，则采用正弦函数是最合适的。 7.1.2 瞬态响应和稳态响应 系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过程，即系统的时间响应。 输入引起的时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应是指系统在某一输入信号作用于系统时，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。稳态响应是指时间趋于无穷大时，系统的输出状态。 因为实际的物理系统总是包含一些储能元件，如质量、弹簧、电感、电容等元件，所以当输入信号作用于系统时，系统的输出量不能立刻跟随输入量而变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。对于一般稳定的控制系统来说，瞬态响应（阶跃输入信号作用时）有如图7.1所示的两大类形式。曲线①为减幅振荡过程，它对应系统具有负实部的共轭复数极点。曲线②为单调过程，它对应系统具有负实数的极点。 7.2 一阶系统的时间响应 7.2.1 一阶系统的数学模型 由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。图7.2表示一个典型的一阶系统，其传递函数为  (7.1 ) 式中，称为一阶系统的时间常数，它表达了一阶系统本身的与外界无关的固有特性，是一阶系统的特征参数。 7.2.2 一阶系统的单位阶跃响应 当系统的输入信号是单位阶跃函数时，系统的输出称为单位阶跃响应。 当，即时，则一阶系统的单位阶跃响应的拉氏式为  取的拉氏反变换，可得单位阶跃响应为  （t ≥0） （7.2） 式（7.2）右边第一项是单位阶跃响应的稳态分量，即。第二项是瞬态分量，当时，瞬态分量趋于零。随时间变化的曲线如图7.3所示，是一条按指数规律单调上升的曲线，稳态值为。由图可知，曲线有两个重要的特征点。 一个是点，其对应的时间时，系统的响应达到了稳态值的；另一个是时，系统响应的切线斜率等于。因为  这两个特征点都十分直接地同系统的时间常数相联系，都包含了与一阶系统固有特性有关的信息。 由式（7.2）可见，时间常数越小，上升速度越快，达到稳态值所用的时间越短，也就是系统惯性越小；反之，越大，系统对信号的响应越缓慢，惯性越大。所以的大小反映了一阶系统惯性的大小。 从响应开始到进入稳态所经过的时间通常叫做调整时间（或过渡过程时间）。理论上讲，一阶系统结束瞬态过程进入稳态，要求。而工程上往往是这样来定义的，如果系统允许有（或）的误差，那么当输出值达到稳态值的（或）时，就认为系统瞬态过程结束，由式（7.2）可求得。因此一阶系统的调整时间的值为 （误差范围时） （7.3） （误差范围5%时） 显然，的大小可作为评价系统响应快慢的指标。应当指出，调整时间只反映系统的固有特性，而与输入输出无关。 由以上分析还可知，若要求用实验方法求出一阶系统的传递函数，就可以先对系统输入一个单位阶跃信号，并测出它的响应曲线，当然包括其稳态值，然后从响应曲线上找出（即特征点）处所对应的时间，这个就是系统的时间常数；或者找出时的切线斜率，这个斜率的倒数也是时间常数。再依式（7.1）即可求得。 7.2.3 一阶系统的单位脉冲响应 单位脉冲输入时，输入量的拉氏变换，其响应的拉氏变换  将上式两边取拉氏反变换，得到一阶系统的单位脉冲响应为  () (7.4) 由式（7.4）可知，一阶系统的单位脉冲响应只有瞬态项，其稳态项为零。单位脉冲响应曲线如图7.4所示。它为一单调下降的指数曲线。如果将上述指数曲线衰减到初值的2%之前的过程定义为过渡过程，则可算得相应的时间为。称此时间（）为过渡过程时间或调整时间，记为。由此可见，系统的时间常数愈小，其过渡过程的持续时间愈短，这表明系统的惯性愈小，系统对输入信号反应的快速性能愈好。 由上述两种响应的结果可以看出，瞬态响应的特性反映系统本身的特性，时间常数大的系统，其响应速度慢于时间常数小的系统，不管用哪种信号输入，都有这种规律。输入试验信号是为了识别系统的特性，而系统的特性只取决于组成系统的参数，不取决于外作用的形式。 7.2.4 响应之间的关系 我们还可求出一阶系统的单位斜坡响应和单位抛物线响应，将几种典型输入时间响应列入表7.1，可以看出输入信号之间有依次微分（或积分）的关系：  （7.5） 表7.1 几种典型输入的时间响应                 它们所对应的时间响应，也依次有相应的微分（或积分）关系。这种对应的关系表明，系统对某输入信号的导数（或积分）的响应，就等于系统对该信号的响应的导数（或积分，积分常数由零阶输出初始条件确定）。这个特性不仅适用于一阶线性定常系统，而且适用于任意阶线性定常系统。利用这一特点，在测试系统时，可以用一种信号输入推断出几种相应信号的响应结果，带来很大方便。而线性时变系统和非线性系统都不具备这种特性。 7.3 二阶系统的时间响应 由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。二阶系统的实例很多，如前述的R—L—C电网络，质量一弹簧一阻尼机械系统等等。对于一般控制系统来说，虽然系高阶系统，但在一定条件下常常近似地作为二阶系统来研究，因此，详细讨论和分析二阶系统的特性，具有较大实际意义。 7.3.1 典型二阶系统的数学模型 典型二阶系统如图7.5所示。其开环传递函数  (7.6) 式中，—无阻尼固有频率；—系统的阻尼比；—时间常数；—开环增益。 它们之间的关系：   (7.7) 典型二阶系统的传递函数具有如下形式  (7.8) 工程中的二阶系统都可以化成上边的形式，不同系统的和值，取决于各系统的元件参数。 令式（7.8）传递函数的分母等于零，即得二阶系统的特征方程  (7.9) 方程的特征根就是系统的极点  (7.10) 当时，两特征根为共轭复数，即  此时，二阶系统的传递函数的极点是一对位于复数[s]平面的左半面内的共轭复数极点，如图7.6（a）所示。这时，系统称为欠阻尼系统。 当时，两特征根为共轭纯虚根，即，如图7.6（b）所示。这时，系统称为无阻尼系统。 当时，特征方程有两个相等的负实根，即，如图7.6(c)所示。这时，系统称为临界阻尼系统。 当时，特征方程有两个不等的负实根，即，如图7.6(d)所示。这时，系统称为过阻尼系统。 二阶系统的单位阶跃响应 若系统的输入信号为单位阶跃函数，即，则二阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换为  (7.11) 不同阻尼比时的单位阶跃响应可讨论如下。 当，系统为欠阻尼系统时，将式（7.11）改写成  (7.12) 式中，称为二阶系统的有阻尼振荡频率。 对式（7.12）取拉氏反变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应  （≥0） （7.13） 或写成  （≥0） (7.14) 式中  式（7.14）表明系统的响应由稳态分量和瞬态分量两部分组成，稳态分量值等于1，瞬态分量是一个随时间增长而衰减的振荡过程，其衰减的快慢取决于指数，所以又称为衰减系数，或将称为衰减时间常数。振荡的角频率为。 当，系统为无阻尼系统时，由式（7.11）有  取拉氏反变换得  （≥0） (7.15) 系统响应呈等幅振荡，振荡的角频率为。 当，系统为临界阻尼系统时，由式（7.11）有   取拉氏反变换得  （≥0） (7.16) 系统响应为单调上升，不再具有振荡。 当，系统为过阻尼系统时，系统有两个不等的负实根，；。将式(7.11)展开有   可求得待定系数  取拉氏反变换得  （≥0） (7.17) 或写成  （≥0） (7.18) 过阻尼时系统的阶跃响应也为单调上升，其上升的速度较临界阻尼更慢。 计算表明，当时，在式(7.18)的两个衰减的指数项中，的衰减比的衰减要快得多，因此过渡过程的变化以项起主要作用。从S平面看，愈靠近虚轴的根，过渡过程的时间愈长，对过渡过程的影响愈大，更起主导作用。 式(7.14)～(7.17)所描述的典型二阶系统单位阶跃响应曲线如图7.7所示。 由图可知，二阶系统在不同的阻尼比时，它们的单位阶跃响应差异很大。时，响应是衰减振荡特性，并且随着阻尼比的减小，其振荡特性表现得愈加强烈，当时达到等幅振荡。在和时，响应具有单调上升的特性。从过渡过程的持续时间来看，在无振荡单调上升的曲线中，以时的过渡时间最短。在欠阻尼系统中，当时，不仅其过渡过程时间比时的更短，而且振荡不太严重。因此，一般希望二阶系统工作在的欠阻尼状态，因为这个工作状态有一个振荡特性适度而持续时间又较短的过渡过程。每一个实际的系统允许工作在什么状态，是根据具体工作任务要求所决定的。为系统选择一个最佳的工作状态，使其动态性能良好，实际上是选择合适的特征参数和值。 7.4 瞬态响应的性能指标 在许多情况下，系统所需的性能指标一般以时域量值的形式给出。 通常，系统的性能指标，是以二阶系统对单位阶跃输入的响应的特征量来定义的。这是由于二阶系统的阶跃响应比较典型，数学分析也比较容易，许多高阶系统的动态过程，常可用二阶系统来近似处理。 还应指出，除了那些不允许产生振荡的控制系统外，通常都允许系统有适度的振荡，以获得较短的过渡过程时间，这便是常常使系统工作在欠阻尼状态的原因。因此，下面有关性能指标的定义及计算公式的推导除特别说明者外，都是针对欠阻尼二阶系统而言。 7.4.1性能指标及其计算 为了说明欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的过渡过程特性，通常采用下列性能指标（见图7.8）：上升时间，峰值时间，最大超调量，调整时间，振荡次数。 下面来定义上述性能指标，推导它们的计算公式，分析它们与系统特征参数和之间的关系。 （1）上升时间 响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间（对过阻尼系统，一般将响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间称为上升时间）。 根据定义，当时，。由式（7.14）求得  若使上式成立，只有，所以   因为上升时间是第一次到达输出稳态值的时间，故取，即  (7.19) 由式(7.19)可知，当一定时，增大，就减小；当一定时，增大，就增大。 （2）峰值时间 响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间。 将式(7.14)对时间求导数，并令其为零，便可求得峰值时间，即由  整理得  因为，且峰值时间对应于振荡第一个周期内的极大值，所以取,故  (7.20) 可见峰值时间是有阻尼振荡周期的一半。由式（7.20）还可知，当一定时， 增大，就减小；当一定时，增大，就增大。此情况与的相同。 ⑶ 最大超调量 将输出量超出稳态值的最大偏差与稳态值之比定义为最大超调量。由于最大偏差恰好发生在时刻，所以最大超调量可表示为  (7.21) 将代入式（7.14）求得，再与一并代入式（7.21），可求得  (7.22) 可见，最大超调量只与阻尼比有关，而与无阻尼固有频率无关。所以的大小直接说明系统的阻尼特性。也就是说，当二阶系统阻尼比确定后，即可求得与其对应的超调量；反之，如果给出了系统所要求的，也可由此确定相应的阻尼比。当时，相应的超调量 与的关系曲线如图7.9所示。 ⑷ 调整时间 在过渡过程中，取的值满足下面不等式时所需的时间，定义为调整时间。不等式为 ≤ (≥) (7.23) 式中，是指定的微小量，一般取=0.02～0.05。在之后，系统的输出不会超出允许误差带范围： ≤ (≥) (7.24) 由于进入允许误差带的情况比较复杂，通常以输出量的包络线进入允许误差带所对应的时间来求取。  则有 ≤ ≤ 解得  ≥ （7.25） 若取，得 ≥ (7.26) 若取，得 ≥ (7.27) 当时常采用下式进行计算。  (7.28) 由上述分析可知，调整时间是和和的乘积成反比的（当然还与取值有关）。由于通常是根据最大超调量的要求值来确定的，所以调整时间主要是根据系统的来确定的。调整系统的无阻尼固有频率可以在不改变的情况下，改变调整时间。由此可见，二阶系统的特征参数和决定了系统的调整时间和最大超调量；反过来，根据对和的要求，也能确定系统具有的特征参数和。 还应指出，如果由式（7.24）求出与的精确关系，将会发现当时，为最小；当时，为最小。在设计二阶系统时，一般取=0.707作为最佳阻尼比。这是因为此时不仅小，而且超调量也并不大。 振荡次数 在过渡过程时间0≤≤内，穿越其稳态值的次数的一半定义为振荡次数。 系统的有阻尼振荡周期，所以振荡次数为  (7.29) 根据时，得到  (7.30) 又由时，得到  (7.31) 从式（7.30）和式（7.31）可以看出，振荡次数随着的增大而减小，它的大小直接反映了系统的阻尼特性。 综上讨论，可以看出，欲使二阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合适的阻尼比和无阻尼固有频率。提高，可以提高二阶系统的响应速度，减少上升时间、峰值时间和调整时间；增大，可以减弱系统的振荡性能，即降低超调量，减少振荡次数，但增大上升时间和峰值时间。系统的响应速度与振荡性能(或称阻尼性能)之间往往是存在矛盾的。譬如,在质量—弹簧—阻尼系统中，由于，所以的提高，一般是通过提高值来实现的；另外，又由于，所以要增大，当然希望减小。因此，既要减弱系统的振荡性能，又要系统具有一定的响应速度，那就只有选择合适的和值才能实现。往往采用的是折衷处理办法。 7.4.2 二阶系统计算举例 例7.1 已知单位负反馈的二阶系统的闭环传递函数为  其中=0.6，。当有一单位阶跃信号作用于系统时，求其性能指标、、和。 解: ⑴ 求 因为   故由式（7.19）得  ⑵ 求 由式（7.20）得  （3）求 由式（7.22）得  ⑷ 求 由式(7.28)的近似式得  （） （） 例7.2 图7.10(a)所示的机械系统，在质块上施加阶跃力后，质块的位移响应如图7.10(b)所示，试求系统的、和值。 解：首先求出系统的传递函数。根据牛顿定律，有  系统的传递函数为  与二阶系统传递函数的标准形式比较有  ， 然后根据已知条件：稳态输出，阶跃力，即，峰值时间，来求、和。 （1）求 由拉氏变换终值定理可知  因此  （2）求 由式（7.21）得  又由式（7.22），得  解得  将、，代入中，得，再由求得  （3）求 由求得  例7.3 有一位置随动系统，其方框图如图7.11（a）所示。当系统输入单位阶跃函数时，要求系统的超调量，试 （1）校核该系统现有参数是否满足要求； （2）如在原系统中增加一微分反馈，如图7.11(b)所示，求微分反馈的时间常数。 解：(1) 由图7.11（a）求得系统闭环传递函数为  与标准形式比较求得  将代入式（7.22）得  可见原系统不满足的要求。 (2) 由图7.11(b)得  为了满足，由式（7.22）求得,现因  而  从而求得。 由此可见，当系统加入微分负反馈时，相当于增大了系统的阻尼比，从而改善系统的振荡性能，即减小了超调量，但并不改变系统的无阻尼固有频率。 7.5 频域性能指标与时域性能指标间的关系 本节主要阐明用以描述系统控制性能的频域性能指标与时域性能指标间的关系，从而揭示出从不同的角度根据不同的方法分析与设计控制系统的内在联系。以下仅对单位负反馈的二阶系统进行讨论。 7.5.1 相对谐振峰值与控制系统振荡性能指标间的关系 设单位反馈的二阶控制系统，其开环传递函数具有如下的标准形式：  与之相对应的闭环频率特性为  (7.32) 式中的闭环幅频和相频分别为  (7.33)  (7.34) 如果在某一频率处有峰值，那么这个频率就称为谐振频率，对应的峰值称为谐振峰值。 由可得，当  (0≤＜0.707) (7.35) 时，出现峰值。即称为谐振频率。在为时的谐振峰值  (0≤＜0.707) (7.36) 而将闭环幅频特性的峰值与零频幅值之比定义为相对谐振峰值，即  将代入式(7.33)可求得典型二阶系统的零频幅值，因此  (7.37) 而在分析二阶系统时域性能时，得知超调量与阻尼比的关系如式(7.22)， 即  由式(7.37)和(7.22)式可知，频域性能指标中的相对谐振峰值和时域性能指标中的超调量二者都是仅仅与阻尼比有关。为便于比较，把与的关系和与的关系画在同一张图上，见图7.12。 若将式（7.37）代入式（7.22），得到二阶系统时域性能指标的超调量与频域性能指标的相对谐振峰值间的关系如图7.13所示。 由图7.13可见，对二阶系统来说，对应于。这时可以获得较满意的过渡过程。然而，若出现，则与此对应的超调量可高达40%以上。 7．5．2 谐振频率及带宽与时域性能指标间的关系 先讨论一下二阶系统的谐振频率与时域性能指标中的峰值时间和调整时间之间的关系。 上一节已讨论，峰值时间及调整时间与无阻尼固有频率及阻尼比的关系分别为式（7.20）和式（7.28），即   再由谐振频率，可得  将它分别代入和表达式，整理后得  （7.38） 及  (7.39) 式(7.39)，对应时，分子系数取3 ；对应时，分子系数取4。 从式（7.38）、式（7.39）可见，对于阻尼比给定时，峰值时间及调整时间均与系统的谐振频率成反比。也说是说，谐振频率高的系统，其响应速度快；反之，则响应速度慢。 下面讨论截止频率和带宽与及之间的关系。 截止频率和带宽的概念在第6章已经作了介绍。这里稍加重复提一下（参见图7.14）。当闭环频率特性的幅值下降到零频幅值的0.707倍时所对应的频率，称为系统的截止频率，即  (7.40) 或者说，在闭环幅频特性上，幅值由零频幅值下降3分贝时所对应的频率，称为截止频率，即  (7.41) 将频率范围0≤≤，称为系统的带宽。 对于二阶控制系统，根据式（7.33）和式（7.40）有  解得截止频率与无阻尼固有频率及阻尼比的关系为  (7.42) 由式（7.42）解出，并分别代入和表达式，整理后得  （7.43） 及  (7.44) 式（7.44）中，对应时，分子系数取3；对应时，分子系数取4。由式（7.43）及式（7.44）可见，当阻尼比给定后，系统的截止频率与及同样都呈反比关系。或者说，控制系统的带宽越宽，则该系统响应输入信号的快速性便越好。这说明，带宽表征控制系统的响应速度。 需要指出，系统的带宽也表征系统对高频噪声所具有的滤波特性，即抗干扰能力，为了能使控制系统准确地跟踪任意输入信号,需要系统具有较大带宽，而从抑制高频噪声的角度来看，带宽又不宜过大。对于一个好的设计，要恰当地处理好这个矛盾，通常需要有一个折衷的考虑。 7．5．3 相位裕量及穿越频率与时域性能指标之间的关系 具有开环传递函数的二阶系统对应的开环频率特性为  其中开环幅频和开环相频分别为   令，可求得幅值穿越频率  (7.45) 将式（7.45）代入相位裕量的求取公式，可得  （7.46） 由式（7.46）可见，二阶系统的相位裕量也仅仅与系统的阻尼比有关。与之间的关系如图7.15所示。 在时域性能指标中的超调量仅与有关，因此通过阻尼比可建立起与的关系。这里不再作进一步的数学推证，只要对照图7.9和图7.15，可得与间的关系。与的关系如图7.16所示。 由图7.16可见，系统开环频率特性的相位稳定裕量愈大，则系统的最大超调量愈小。例如当时，则。也就是说，相对稳定性愈好的系统，其过渡过程的平稳性越好。 若将式（7.45）改写成  并代入和的表达式，整理后得  (7.47) 及  (7.48) 式（7.48）中，对应时，分子系数取3；对应时，分子系数取4。 由式（7.47）和式（7.48）可见，当一定时，幅值穿越频率亦与及呈反比关系。亦反映系统的快速性，即越大，则系统的快速性越好。 7．6 习 题 1.设单位反馈系统的开环传递函数为，试求该系统的单位阶跃响应。 2.设单位反馈控制系统的开环传递函数为，试求系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间。 3.设有一闭环系统的传递函数为，为了使系统对阶跃输入的响应，有约5%的超调量和的调整时间，试求和的值应等于多大。 4. 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数，求 ⑴；⑵；⑶。 等三种情况时的单位阶跃响应。并分析开环增益和时间常数对系统性能的影响。（提示：该系统为单位负反馈的闭环控制系统） 5.图7.17为某数控机床的位置随动控制系统的方块图，试求： ⑴阻尼比、无阻尼固有频率及有阻尼固有频率。 ⑵该系统的最大超调量、峰值时间和调整时间。 6.某控制系统如图7.18所示。 ⑴当，且使系统阻尼比，试确定值。 ⑵若要使系统最大超调量，峰值时间，试确定增益和反馈系数的数值。并确定在这个和值的情况下，系统的上升时间和调整时间。 7.已知系统的单位阶跃响应为，试求： （1）系统的闭环传递函数； （2）系统的和无阻尼固有频率。 8.要使图7.19所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等于25%，峰值时间为2秒，试确定和的值。 7.设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图7.19所示，如果该系统是单位负反馈形式，试确定其开环传递函数。