第六章 自动控制系统的稳态性能分析
自动控制系统的输出量一般都包含着两个分量：一个是暂态分量，另一个是稳态分量。暂态分量反映控制系统的动态性能。对于稳定的系统，暂态分量随着时间的推移，将逐渐减小并最终趋于零。稳态分量反映控制系统跟踪给定量和抑制扰动量的能力和准确度。对于稳定的系统来说，稳态性能的优劣一般是以稳态误差的大小来度量。
由于稳态误差始终存在于系统工作过程之中，因此在设计控制系统时，除了首先要保证系统能稳定运行外，其次就是要求系统的稳态误差小于规定的容许值。
本章着重建立有关稳态误差的概念，介绍稳态误差的分析和计算方法，并将讨论减小稳态误差的途径。
6.1 系统稳态误差的概念
为建立稳态误差的概念，需要对控制系统的误差给出确切的定义，同时要明确系统的误差和偏差的区别以及它们的联系。
6.1.1系统的误差与偏差
设为控制系统的希望输出，为其实际输出，则误差定义为：
其拉氏变换记为
（6.1）
系统的偏差则是以输入端为基准来定义的，记为，
其拉氏变换记为
(6.2)
式中为反馈回路的传递函数。
由此可见，系统的误差和系统的偏差，在一般情况下并不相同。
现绘出图6.1来求与之间的关系。
如前所述，一个闭环控制系统是运用偏差来对输出进行自动控制的。当时，，就起控制作用，力图将调节到值；反之，当时，应有，不再对进行调节。
因此，当时，，故：
（6.3）
由式(6.1)、式(6.2)、和式(6.3)可求得在一般情况下系统的误差与偏差的关系为：
或
(6.4)
由上式可知，求出偏差后即可求出误差，对单位反馈系统来说，，故偏差与误差二者相同。
6.1.2 误差的一般计算
为了在一般情况下分析、计算系统的误差，设输入与扰动同时作用于系统，绘出如图6.2所示的典型系统框图。
现可求得图示情况下系统的实际输出的拉氏式，它是由引起的输出和扰动引起的输出的叠加。
（6.5）
式中为输入与输出之间的传递函数；
为扰动与输出之间的传递函数。
将式（6.3）、式(6.5)代入式（6.1）得：
（6.6）
式中
为无扰动时误差对于输入的传递函数； 为无输入时误差对于扰动的传递函数。和总称为误差传递函数，反映了系统的结构与参数对误差的影响。为输入量产生的误差拉氏式；为扰动量产生的误差拉氏式。
若对式（6.6）进行拉氏反变换，即可得：
（6.7）
式(6.7)表明，系统总的误差为输入产生的跟随误差和扰动产生的扰动误差的代数和。
6.1.3 系统的稳态误差和稳态偏差
系统的稳态误差是指系统进入稳态后的误差。只有稳定的系统才存在稳态误差。不稳定的系统，讨论其稳态误差失去意义。
稳定系统的稳态误差定义为：
（6.8）
为了计算稳态误差，可首先求出系统的误差信号的拉氏变换式，再应用终值定理求解
（6.9）
同理，系统的稳态偏差
（6.10）
6.2 与输入信号有关的稳态误差
6.2.1 跟踪稳态误差
系统在输入信号作用下的稳态误差反映了系统跟踪输入信号的准确度，称为系统的跟踪稳态误差。此时不考虑扰动作用，即，只有作用于系统的框图如图6.3所示。
由图6.3可知
(6.11)
将式(6.11)代入式(6.4)有
由终值定理得跟随稳态误差为：
（6.12）
由式(6.12)可见，输入信号所产生的跟随稳态误差与系统的结构参数有关，还与输入信号的大小和变化规律有关。当输入信号一定时，取决于系统的结构和参数。下面就此作进一步讨论。
6.2.2 与系统结构参数的关系
系统开环传递函数，一般可化为分子分母各因式的常数项均为1的形式
（6.13）
式中为开环增益，分别为时间常数。表示原点处有重极点，也就是说开环传递函数含有个积分环节，，1，2…，表征了系统的结构特征。工程上往往把系统中包含的积分环节的个数称为型别，或无静差度。
，无积分环节，称为型系统（又称零阶无静差）；
，有1个积分环节，称为Ⅰ型系统（又称一阶无静差）；
，有2个积分环节，称为Ⅱ型系统（又称二阶无静差）。
愈高，稳态精度愈高，但稳定性愈差，因此，一般系统不超过Ⅲ型。
注意，系统的型别与系统的阶次是完全不同的两个概念。例如
由于，故为Ⅰ型系统，但就其阶次而言，由分母部分可知属于三阶系统。
稳态误差与开环传递函数中的时间常数无关，这可从下面的分析看出。
式（6.13）可改写成如下形式
(6.14)
式中，
显然有
（6.15）
如果再假设反馈回路不含积分环节，增益为，那么
（6.16）
经上述处理后，式（6.12）所表示的跟随稳态误差可表达为
（6.17）
由式(6.17)可知，由输入信号所产生的系统的跟随稳态误差与前向通道所含积分环节的个数和开环增益值有关。值愈高，值愈大，则跟随稳态误差愈小，系统稳态精度愈高。当然，还与输入信号有关。下面再来讨论不同类型的系统，在不同输入信号作用下的稳态误差。
6.2.3 与之间的系统
常用的典型输入信号有：
·阶跃信号 ，，常数表示阶跃信号幅值。当时，称为单位阶跃信号。
·匀速信号（斜坡函数） ，，常数表示输入信号速度的大小，即斜率的大小。当时，称为单位斜坡信号。
·匀加速度信号（抛物线函数） ，，常数为加速度的大小。当=1时，称为单位抛物线信号。
下面分别就上述三种典型输入信号作用下的进行讨论。
⑴当时
将代入式（6.17）有
(6.18)
式(6.18)表明，在阶跃信号输入下，系统消除跟随稳态误差的条件是≥1，即在系统的开环传递函数中至少要有一个积分环节。
⑵当时
将代入式（6.17）有
(6.19)
式(6.19)表明，在斜坡信号输入下，系统消除跟随稳态误差的条件是≥2，即在系统中至少含有两个积分环节。
⑶当时
将代入式（6.17）有
(6.20)
式(6.20)表明，在抛物线信号输入下，系统消除跟随稳态误差的条件是≥3，即开环传递函数中至少应有三个积分环节。
由以上分析可看出，同一种输入信号，对于结构不同的系统产生的稳态误差不同。系统型别愈高，误差愈小，即跟踪输入信号的无差能力愈强。所以系统的型别反映了系统无差的度量，故又称无差度。系统的型别从系统本身结构的特征上，反映了系统跟踪输入信号的稳态精度。另一方面，型别相同的系统输入不同信号所引起的稳态误差不同，即同一系统对不同信号的跟踪能力不同，从另一角度反映了系统消除稳态误差的能力。
将三种典型输入下的跟随稳态误差与系统型别之间有规律的关系，综合在表6.1中，可由此根据具体的输入信号的形式，从精度要求方面正确选择系统型别。
表6.1 三种典型输入下与的关系
0
Ⅰ
0
Ⅱ
0
0
从表中可看出，在主对角线上，跟随稳态误差为有限值，在主对角线以上，跟随稳态误差为无穷大，在主对角线以下，跟随稳态误差为零。当时，表明此类系统不仅能跟踪该输入信号，而且可实现无静差。当为时，表明此类系统不具有跟踪这种输入信号的能力。当为有限值时，表明此类系统对该种输入信号能跟踪，但是它为有差系统。
增加系统开环传递函数中的积分环节和增大开环增益，是消除和减小系统稳态误差的途径。但和值的增大，都会造成系统的稳定性变坏，设计者的任务正在于合理地解决这些相互制约的矛盾，选择合理的结构与参数。
最后还需再说明几点。第一，系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义。第二，上述公式及表6.1中的值是系统的开环增益，即在开环传递函数中，各环节中的常数项须化成1的形式。第三，表6.1显示的规律是在反馈回路传递函数情况下建立的。当单位反馈时，取。如果中含有的因子，其应当用式（6.12）计算。第四，当输入信号是上述典型信号的线性组合时，可根据线性系统的叠加原理，总的跟随稳态误差应是它们分别作用时的跟随稳态误差之和。第五，上述结论只适用于输入信号作用下系统的稳态误差，即跟随稳态误差，不适用于扰动作用下的稳态误差。有关扰动稳态误差的分析请见下一节。
6.2.4由系统开环对数频率特性分析系统的稳态性能
由上述可知，系统的稳态精度取决于系统的型别和开环增益，而系统开环幅频（渐近线）特性的低频段可很直观地反映系统的型别和增益。
低频段的斜率确定了系统的型别。当低频段斜率为（水平直线）时，则，如图6.4(a)所示；当低频段斜率为时，则，如图6.4(b)所示；当低频段斜率为时，则，如图6.4(c)所示。在的高度为，即，如图6.4所示。
综上所述，系统开环对数幅频特性低频段曲线愈陡，在处的高度愈大，则系统的稳态误差将愈小，系统稳态性能愈好。
6.3 扰动作用下的稳态误差
系统除承受输入信号作用外，还经常会受到各种扰动的作用，如负载的突变、温度的变化、电源的波动等，系统在扰动作用下的稳态误差，称扰动稳态误差，它反映了系统抗干扰的能力，显然，我们希望扰动引起的稳态误差愈小愈好，理想情况误差最好为零。
6.3.1 扰动稳态误差的求取
此时不考虑给定输入作用，即，只有扰动信号，由图6.2得
(6.21)
将式(6.21)代入式(6.4)，并考虑此时，于是有
再由终值定理得扰动引起的扰动稳态误差为
（6.22）
由式(6.22)可见，扰动信号所产生的稳态误差亦与系统的结构参数有关，还与扰动信号的大小、变化规律以及作用点有关。扰动稳态误差和跟随稳态误差二者在与系统结构参数的关系方面所涉及的内涵是不一样的，弄清这个问题对于稳态误差的正确分析显得十分重要。
6.3.2 扰动稳态误差与系统结构参数间的关系
类似给定输入作用下跟随稳态误差的分析，不妨假设：在扰动作用点之前回路传递函数含有个积分环节，其增益为；在扰动作用点之后回路传递函数中含有个积分环节，其增益为； 中不含积分环节，其增益为。于是有
(6.23)
(6.24)
(6.25)
将式(6.23)～式(6.25)代入式(6.22) 得
（6.26）
当时，即前向通道不含积分环节时
（6.27）
当、不同时为零时
（6.28）
当时，式(6.27)可近似表示成式(6.28)。
由式(6.28)可知：扰动稳态误差与扰动作用点之前的积分环节个数和增益有关，值愈高，值愈大，则扰动稳态误差愈小，系统抗扰动的稳态精度愈高。当然还与扰动量及其作用点有关。
根据上述分析，可依据系统的型别（或）、增益（或）以及作用量[或]来求取系统的（或）。
下面再让我们讨论一下扰动信号确定时，的情况。不失一般性，考虑单位反馈系统，并考虑单位阶跃扰动的形式，即。
⑴当及都不含积分环节时，即，由式（6.27）有：
（6.29）
可见，增加增益、对的影响是相反的，增加，则减小，而增加，则更大。但是当比较大时，对的影响不大显著，这时可以写成下列近似式：
⑵当中有一积分环节，而中无积分环节时，即，由式（6.28）
有：
（6.30）
⑶当中无积分环节，而中有一个积分环节，即时依式（6.28）
有
(6.31)
此时的与成反比，而不是为零值。由此可见对阶跃扰动作用下的无差条件是≥1。分析扰动稳态误差时，表征系统结构特征的系统型别是。
综上所述，为了提高系统的准确度，增加系统的抗干扰能力，必须增大扰动作用点之前的回路的增益，以及增加这一段回路中积分环节的个数。而增加扰动作用点之后到输出量之间这一段回路的增益或增多这一段回路中积分环节个数，对减小扰动引起的误差是没有好处的。
6.4 系统稳态性能分析举例
例6.1 图6.5为直流调速系统框图。若已知负载扰动为阶跃信号，求该系统因扰动而引起的稳态误差。
解：首先判定系统的稳定性。由图6.5可见，系统特征方程式为
即
该系统为三阶系统，特征方程各项系数均大于零，同时
故系统稳定。
再求，此系统， ，由式（6.27）有
例6.2 若在上例中，如果，希望此系统能实现无静差，问如何改进？
解：由于给定输入量和扰动量均为阶跃信号，只要在前向通道的扰动作用点之前引入一个积分环节，就能实现无静差。常用的方法就是将比例调节器改变成比例积分（PⅠ）调节器即可。但注意在选择PⅠ调节器的参数时,要保证系统满足稳定性的要求。此项工作请读者自行完成。
例6.3 图6.6为一位置随动系统框图，已知开环增益，系统的最大跟踪速度为，求
（1）该系统的位置跃变形成的稳态误差。
（2）该系统的速度跟随稳态误差。
解：该系统的特征方程为
即
系统稳定的条件为
解得
如今，故系统是稳定的。
（1）由图6.6可知，此系统为Ⅰ型系统，因此位置跟随稳态误差为零，即。
（2）对速度跟随稳态误差，由于此时输入信号，系统为Ⅰ型系统（），系统开环增益，依据式（6.17）有
例6.4 若在上例中，要求速度跟踪精度小于，问该系统应如何改进？
分析：(1) 若要求，由上例可知，若将开环增益增大为原先的7倍，则为原先的，即可达到要求。此时。但上例已分析，当时，系统就已不稳定。如今要求，显然系统无法稳定运行。因此，在本例中单纯依靠调整系统的开环增益是无法实现的要求的。
(2) 采取增大系统的型别，再引入一个积分环节，将原系统中的P调节器改为PⅠ调节器，系统由Ⅰ型校正成Ⅱ型，初步看来。但是系统开环传递函数改为
式中
此时系统的相位裕量：
由此式不难发现，系统不易稳定，因此位置随动系统很少采用PI调节器。
(3) 采用PID调节器，在PI的基础上，增加一个比例微分环节，即增加一个零点，由该环节提供的超前相位来改善系统的相对稳定性，以兼顾系统的稳态精度和相对稳定性。详细分析见第10章。
(4) 采用顺馈补偿，此方法将在第10章中介绍。
例6.5 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
确定为单位斜坡函数输入时，系统稳态误差≤0.5时的值。
解：先将开环传递函数化为标准形式，即分子分母各因式的常数项为1。
系统的开环增益为。
据题意，此系统为Ⅰ型（）系统，，有
≤0.5
则 ≥
再考虑系统的稳定性。系统特征方程为
由此得系统稳定条件为，故本例的取值范围应为
10≤
6.5 习 题
1.已知单位负反馈控制系统的开环传递函数如下：
⑴
⑵
试分别求出当输入信号为、、时系统的稳态误差。
2.单位负反馈系统的开环传递函数为
试求当输入（≥0）时的稳态误差。
3 单位负反馈系统的开环传递函数为，试求当斜坡函数输入时，系统的稳态误差的值。
4. 某调速系统如图6.7所示
⑴求该系统因扰动引起的稳态误差。
⑵若希望此系统能实现无静差，请提出改进方案。
5. 控制系统如图6.8所示。在输入信号为单位阶跃和扰动信号亦为阶跃信号作用下，试求
⑴当和时，系统的稳态误差。
⑵若在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节，对稳态误差有什么影响？在扰动作用点之后引入积分环节，结果又将如何？
控制系统如图6.9所示。
⑴试求在单位阶跃输入信号作用下系统的稳态误差。
⑵试求外部扰动和分别单独作用时系统的稳态误差。
⑶假设和，试求出外部扰动为单位阶跃函数时系统的稳态误差。
7. 控制系统如图6.10所示，试确定系统对斜坡输入时，稳态误差为零的值。
6. 试求取图6.11所示的控制系统在下列控制信号作用下的稳态误差。
⑴
⑵
⑶
