L o g i t 模型和 P r o b i t 模型
jjj
VU ???
( 7.3,1)
假定有 2 种可选方式。个人
n
选择方式 1 是因为方式 1 的效用 1
U
大
于方式２的效用 2
U
，即
21
UU ?
( 7, 3, 2 )
在概率情况下，有，
? ?
211
Pr UUp
n
??
( 7, 3, 3 )
其中，
? ? xx,Pr
成立的概率。
将 （ 7, 3,1 ）式代入 （ 7, 3,3 ）式，并进行整理，有，
? ?
211
Pr UUp
n
??
? ?
2211
Pr ?? ???? VV
? ?
2211
Pr ?? ???? VV
? ? ??????????? ?????,,Pr
2121
VV
( 7.3,4)
设 （ 7, 3,4 ）式中的随机项服从下述干贝尔 ( G u m b e l )
分布 ( 双重指数分布 ),并且方式间相互独立，
? ?
?
???
?
?
???
e
i
ef Pr)(
(7.3.5)
? ?
21211
,Pr VVp
n
????? ????
( 方式间相互独立 )
? ? ? ?
2121
Pr.Pr VV ?????? ????
??? dVVff )()('
21
???
?
??
??
( 5 - 4, 6 )
其中,
?
?
???
d
df
f
)(
)(')P r (
1
???
(5-4.7)
∴
???
?
dVVffeP
n
)()(
211
???
?
??
??
?
(5-4.8)
再令,
)()(
21
VVffy ???? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
)
21
(
1
VV
e
e
e
?
(5-4.9)
? ?
)(
21
1
VV
eey
d
dy
??
???
?
?
(5-4.10)
∵ 当
???
时,
1
0
?? ey;
????
时,
0??
??
ey
∴
? ?
??
?
?
?
d
eey
ey
deyP
VV
n ? ?
??
??
??
?
?
??
?
???
1
0
)(
1
21
1
1
0
21
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
? VV
e
?
?
?
?
?
?
?
?
21
1
VV
V
ee
e
(5-4.11)
对一般情况,有,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
I
I
V
I
V
IN
e
e
P
(5-4.12)
L ogit 模型的性质：
① 计算比较简单
②
j
k
VV
jk
eepp
??
? //
,即两种方式的划分概率之比仅与这两种方式
有关，而与第 3 种方式无关。即 IIA (ind epe nd ent of irr el ev amt
al te rn at iv e) 特性。这是 L ogit 模型的弱点，例如，在比较汽车与公
共汽车时，与地铁无关。而实际上，地铁的存在既对汽车又对公
共汽车有影响。这时，则需要使用阶层 Logi t 模型。
例题 在仅有公共汽车和汽车两种交通方式的地区，假设有下述 Logi t
交通方式选择模型，试用下表示行驶时间和费用以及划分率，求
出这两种交通方式的将来分布 （ OD ）交通量。
C
ij
B
ij
B
ij
VV
V
B
ij
ee
e
p
?
?
，
BC
pp ?? 1
效用：
B
ij
B
ij
B
ij
CdV ?? ??
??? ???
C
ij
C
ij
C
ij
CdV
其中，
C
ij
B
ij
pp,
分别为公共汽车和汽车的划分率。
C
ij
B
ij
dd,
分别为公共汽车和汽车的利用时间。
C
ij
B
ij
CC,
分别为公共汽车和汽车的费用。
α, β, Z 为未知常数。
A,现状
时间 （公共汽车） 时间 （汽车）
B
ij
d
1 2 3
C
ij
d
1 2 3
1 5, 0 11, 0 13, 0 1 3, 0 8, 0 10, 0
2 10, 0 12, 0 12, 0 2 8, 0 7, 0 11, 0
3 14, 0 16, 0 7, 0 3 10, 0 11, 0 3, 0
费用 （公共汽车） 费用 （汽车）
B
ij
C 1 2 3
C
ij
C 1 2 3
1 13, 0 14, 0 18, 0 1 2, 1 4, 5 5, 8
2 14, 0 13, 0 22, 0 2 4, 5 4, 2 6, 0
3 18, 0 22, 0 13, 0 3 5, 8 6, 0 1, 9
划分率 （公共汽车） 划分率 （汽车）
B
ij
C
1 2 3
C
ij
C
1 2 3
1 0, 273 0, 265 0, 253 1 0, 727 0, 735 0, 747
2 0, 282 0, 248 0, 255 2 0, 718 0, 752 0, 745
3 0, 239 0, 192 0, 244 3 0, 761 0, 808 0, 756
B,将来
时间 （公共汽车） 时间 （汽车）
B
ij
d 1 2 3
C
ij
d 1 2 3
1 5, 0 10, 0 12, 0 1 3, 0 8, 0 10, 0
2 10, 0 9, 0 13, 0 2 8, 0 7, 0 11, 0
3 12, 0 13, 0 5, 0 3 10, 0 11, 0 3, 0
费用 （公共汽车） 费用 （汽车）
B
ij
C 1 2 3
C
ij
C 1 2 3
1 16, 0 17, 0 22, 0 1 2, 6 5, 6 7, 3
2 17, 0 16, 0 28, 0 2 5, 6 5, 2 7, 5
3 22, 0 28, 0 16, 0 3 7, 3 7, 5 2, 4
解：
按照以下步骤求解：
（ 1 ） 利用现状据确定出未知常数
??? ????? )()()/(
B
ij
C
ij
B
ij
C
ij
BC
CCddppLn
其中,α =-0.0796, β =-0.00387,
?
=0.390 。
（ 2 ） 利用 α, β,
?
和给定的将来值求出交通方式划分率，并求出
交通方式 OD 表。
1? 12 ?? 3μ μ? D§ó? ?μ ?? 3μ μ? D§ó? ?μ
BUS 1 2 3 CAR 1 2 3
1 -1.017 -1.534 -1.807 1 0.0506 -0.464 -0.689
2 -1.454 -1.336 -2.118 2 -0.464 -0.368 -0.776
3 -1.807 -2.118 -1.017 3 -0.689 -0.776 0.0583
1? 12 ?? 3μ μ? ?? ·? ?ê ?? 3μ μ? ?? ·? ?ê
BUS 1 2 3 CAR 1 2 3
1 0.2558 0.2554 0.2464 1 0.7442 0.7446 0.7536
2 0.2708 0.2754 0.2071 2 0.7292 0.7246 0.7929
3 0.2464 0.2071 0.2544 3 0.7536 0.7929 0.7456
?? à′ OD ±í
O/D 1 2 3 ó?
1 17.8 16.3 4.3 38.4
2 16.5 63.1 12.1 91.7
3 3.9 11.1 21.4 36.5
ó? 38.2 90.5 37.8 166.5
1? 12 ?? 3μ μ? OD ±í ?? 3μ μ? OD ±í
O/D 1 2 3 ó? O/D 1 2 3 ó?
1 4.5 4.2 1.1 9.8 1 13.2 12.1 3.2 28.6
2 4.5 17.4 2.5 24.3 2 12.0 45.7 9.6 67.3
3 1.0 2.3 5.5 8.7 3 3.0 8.8 16.0 27.7
ó? 10.0 23.8 9.0 42.8 ó? 28.2 66.6 28.8 123.7
2, P r obi t 模型
假设 效用 函数 ???
jj
VU 中 的 随机 项服 从多 变 量 正态 分布 （ m ul t i v ar i at e norm a l
di st ri buti on ）时，交通方式选择模型将成为 Pr o bi t 模型。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
1
2
111
,~
k
k
kk
V
V
M V N
U
U
??
??
?
???
?
??
其中，
22
1
,,
k
?? ??
为方差,11
,,
kk
?? ??
为协方差。
当固定效用项 k
V
和随机项的方差,协方差矩阵给定时,P r o bi t 模型的方式划分概率即可求
出。
对两种方式情况，方式 1 被选择的概率：
? ?)2()1(Pr)1( UUp ??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
12
2
2
2
1
2
)2()1(
???
VV
当交通方式为 3 种时，方式 3 被选择的概率为：
? ?? ?)3()2(),1(m a x)3( UUUPp ??
这时，分布函数式将相当复杂。
对一般情况，有，
? ? ? ?? ?)(,),2(),1(m a x (m a xm a xm a x)(,),2(),1(m a x kUUUkUUU ?????? ?
因为,Probit 模型对 3 种以上的方式划分将非常复杂，所以，一般多
使用 Lo git 模型近似处理。
３,Logi t 模型与 P r obit 模型的差异
讨论以下问题。
假设 A.B 间有 2 条经路可供选择，各自的固定效用和
其方差、协方差分别为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
12
,
12
10
~
)2(
)1(
M V N
U
U
a,用 Lo gi t 模型时，划分率分别为：
881.0)1(1)2(,119.0)1(
1012
12
????
?
?
??
?
pp
ee
e
p
b,使用模型时，划分率为,
8 4 1.0)1(1)2(,1 5 9.0
2
2
222
1012
)1( ????
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?? ppp
C
径路 1
径路 2
径路 3
A B
Probit Model
Logitt Model
0.33
0.50
在图示 3 条经路分别独立 （非重叠）时，划
分率都为 0, 3 3 。然而，重复部分比率为 0 时,P r o b i t
模型认为经路 2 与经路 3 相同，即共有两条经路，
划分率为 0, 5 0 。但是，对 L o g i t 模型而言，即使
2 条经路完全重叠，也视之为 3 条经路，所以划
分率为 0, 3 3 。
jjj
VU ???
( 7.3,1)
假定有 2 种可选方式。个人
n
选择方式 1 是因为方式 1 的效用 1
U
大
于方式２的效用 2
U
，即
21
UU ?
( 7, 3, 2 )
在概率情况下，有，
? ?
211
Pr UUp
n
??
( 7, 3, 3 )
其中，
? ? xx,Pr
成立的概率。
将 （ 7, 3,1 ）式代入 （ 7, 3,3 ）式，并进行整理，有，
? ?
211
Pr UUp
n
??
? ?
2211
Pr ?? ???? VV
? ?
2211
Pr ?? ???? VV
? ? ??????????? ?????,,Pr
2121
VV
( 7.3,4)
设 （ 7, 3,4 ）式中的随机项服从下述干贝尔 ( G u m b e l )
分布 ( 双重指数分布 ),并且方式间相互独立，
? ?
?
???
?
?
???
e
i
ef Pr)(
(7.3.5)
? ?
21211
,Pr VVp
n
????? ????
( 方式间相互独立 )
? ? ? ?
2121
Pr.Pr VV ?????? ????
??? dVVff )()('
21
???
?
??
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( 5 - 4, 6 )
其中,
?
?
???
d
df
f
)(
)(')P r (
1
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(5-4.7)
∴
???
?
dVVffeP
n
)()(
211
???
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(5-4.8)
再令,
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21
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(
1
VV
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e
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(5-4.9)
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21
1
VV
eey
d
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(5-4.10)
∵ 当
???
时,
1
0
?? ey;
????
时,
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∴
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VV
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1
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1
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21
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VV
V
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e
(5-4.11)
对一般情况,有,
?
?
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?
?
?
?
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?
I
I
V
I
V
IN
e
e
P
(5-4.12)
L ogit 模型的性质：
① 计算比较简单
②
j
k
VV
jk
eepp
??
? //
,即两种方式的划分概率之比仅与这两种方式
有关，而与第 3 种方式无关。即 IIA (ind epe nd ent of irr el ev amt
al te rn at iv e) 特性。这是 L ogit 模型的弱点，例如，在比较汽车与公
共汽车时，与地铁无关。而实际上，地铁的存在既对汽车又对公
共汽车有影响。这时，则需要使用阶层 Logi t 模型。
例题 在仅有公共汽车和汽车两种交通方式的地区，假设有下述 Logi t
交通方式选择模型，试用下表示行驶时间和费用以及划分率，求
出这两种交通方式的将来分布 （ OD ）交通量。
C
ij
B
ij
B
ij
VV
V
B
ij
ee
e
p
?
?
，
BC
pp ?? 1
效用：
B
ij
B
ij
B
ij
CdV ?? ??
??? ???
C
ij
C
ij
C
ij
CdV
其中，
C
ij
B
ij
pp,
分别为公共汽车和汽车的划分率。
C
ij
B
ij
dd,
分别为公共汽车和汽车的利用时间。
C
ij
B
ij
CC,
分别为公共汽车和汽车的费用。
α, β, Z 为未知常数。
A,现状
时间 （公共汽车） 时间 （汽车）
B
ij
d
1 2 3
C
ij
d
1 2 3
1 5, 0 11, 0 13, 0 1 3, 0 8, 0 10, 0
2 10, 0 12, 0 12, 0 2 8, 0 7, 0 11, 0
3 14, 0 16, 0 7, 0 3 10, 0 11, 0 3, 0
费用 （公共汽车） 费用 （汽车）
B
ij
C 1 2 3
C
ij
C 1 2 3
1 13, 0 14, 0 18, 0 1 2, 1 4, 5 5, 8
2 14, 0 13, 0 22, 0 2 4, 5 4, 2 6, 0
3 18, 0 22, 0 13, 0 3 5, 8 6, 0 1, 9
划分率 （公共汽车） 划分率 （汽车）
B
ij
C
1 2 3
C
ij
C
1 2 3
1 0, 273 0, 265 0, 253 1 0, 727 0, 735 0, 747
2 0, 282 0, 248 0, 255 2 0, 718 0, 752 0, 745
3 0, 239 0, 192 0, 244 3 0, 761 0, 808 0, 756
B,将来
时间 （公共汽车） 时间 （汽车）
B
ij
d 1 2 3
C
ij
d 1 2 3
1 5, 0 10, 0 12, 0 1 3, 0 8, 0 10, 0
2 10, 0 9, 0 13, 0 2 8, 0 7, 0 11, 0
3 12, 0 13, 0 5, 0 3 10, 0 11, 0 3, 0
费用 （公共汽车） 费用 （汽车）
B
ij
C 1 2 3
C
ij
C 1 2 3
1 16, 0 17, 0 22, 0 1 2, 6 5, 6 7, 3
2 17, 0 16, 0 28, 0 2 5, 6 5, 2 7, 5
3 22, 0 28, 0 16, 0 3 7, 3 7, 5 2, 4
解：
按照以下步骤求解：
（ 1 ） 利用现状据确定出未知常数
??? ????? )()()/(
B
ij
C
ij
B
ij
C
ij
BC
CCddppLn
其中,α =-0.0796, β =-0.00387,
?
=0.390 。
（ 2 ） 利用 α, β,
?
和给定的将来值求出交通方式划分率，并求出
交通方式 OD 表。
1? 12 ?? 3μ μ? D§ó? ?μ ?? 3μ μ? D§ó? ?μ
BUS 1 2 3 CAR 1 2 3
1 -1.017 -1.534 -1.807 1 0.0506 -0.464 -0.689
2 -1.454 -1.336 -2.118 2 -0.464 -0.368 -0.776
3 -1.807 -2.118 -1.017 3 -0.689 -0.776 0.0583
1? 12 ?? 3μ μ? ?? ·? ?ê ?? 3μ μ? ?? ·? ?ê
BUS 1 2 3 CAR 1 2 3
1 0.2558 0.2554 0.2464 1 0.7442 0.7446 0.7536
2 0.2708 0.2754 0.2071 2 0.7292 0.7246 0.7929
3 0.2464 0.2071 0.2544 3 0.7536 0.7929 0.7456
?? à′ OD ±í
O/D 1 2 3 ó?
1 17.8 16.3 4.3 38.4
2 16.5 63.1 12.1 91.7
3 3.9 11.1 21.4 36.5
ó? 38.2 90.5 37.8 166.5
1? 12 ?? 3μ μ? OD ±í ?? 3μ μ? OD ±í
O/D 1 2 3 ó? O/D 1 2 3 ó?
1 4.5 4.2 1.1 9.8 1 13.2 12.1 3.2 28.6
2 4.5 17.4 2.5 24.3 2 12.0 45.7 9.6 67.3
3 1.0 2.3 5.5 8.7 3 3.0 8.8 16.0 27.7
ó? 10.0 23.8 9.0 42.8 ó? 28.2 66.6 28.8 123.7
2, P r obi t 模型
假设 效用 函数 ???
jj
VU 中 的 随机 项服 从多 变 量 正态 分布 （ m ul t i v ar i at e norm a l
di st ri buti on ）时，交通方式选择模型将成为 Pr o bi t 模型。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
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?
?
?
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?
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2
1
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,~
k
k
kk
V
V
M V N
U
U
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???
?
??
其中，
22
1
,,
k
?? ??
为方差,11
,,
kk
?? ??
为协方差。
当固定效用项 k
V
和随机项的方差,协方差矩阵给定时,P r o bi t 模型的方式划分概率即可求
出。
对两种方式情况，方式 1 被选择的概率：
? ?)2()1(Pr)1( UUp ??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
12
2
2
2
1
2
)2()1(
???
VV
当交通方式为 3 种时，方式 3 被选择的概率为：
? ?? ?)3()2(),1(m a x)3( UUUPp ??
这时，分布函数式将相当复杂。
对一般情况，有，
? ? ? ?? ?)(,),2(),1(m a x (m a xm a xm a x)(,),2(),1(m a x kUUUkUUU ?????? ?
因为,Probit 模型对 3 种以上的方式划分将非常复杂，所以，一般多
使用 Lo git 模型近似处理。
３,Logi t 模型与 P r obit 模型的差异
讨论以下问题。
假设 A.B 间有 2 条经路可供选择，各自的固定效用和
其方差、协方差分别为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
12
,
12
10
~
)2(
)1(
M V N
U
U
a,用 Lo gi t 模型时，划分率分别为：
881.0)1(1)2(,119.0)1(
1012
12
????
?
?
??
?
pp
ee
e
p
b,使用模型时，划分率为,
8 4 1.0)1(1)2(,1 5 9.0
2
2
222
1012
)1( ????
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?
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?
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??
?
?? ppp
C
径路 1
径路 2
径路 3
A B
Probit Model
Logitt Model
0.33
0.50
在图示 3 条经路分别独立 （非重叠）时，划
分率都为 0, 3 3 。然而，重复部分比率为 0 时,P r o b i t
模型认为经路 2 与经路 3 相同，即共有两条经路，
划分率为 0, 5 0 。但是，对 L o g i t 模型而言，即使
2 条经路完全重叠，也视之为 3 条经路，所以划
分率为 0, 3 3 。
