材 料 力 学
第二章 轴向拉伸和压缩
(Ch2,Axial Tension and Compression)
§ 2-1 轴向拉伸和压缩的概念
The Basic Concept of Axial Tension and Compression
? Introduction,
? (Axial Tension Bar,..Axial Compression Bar)
? 受力特点,是 杆在两端各受一集中力Ｐ作用, 两
个Ｐ力大小相等，指向相反，且作用线与杆轴线
重合 。 如果两个Ｐ力是一对离开端截面的力, 则将使杆发生纵
向伸长，这样的力称为 轴向拉力 ; 如果是一对指向端截面的力，
则将使杆发生纵向缩短，称为 轴向压力 。
? 变形特点, 主要变形是纵向伸长或缩短
Elongation(伸长 )； Contraction(缩短 )
轴向拉伸和压缩杆件的 受力特性 是,
在杆的每一个截面上,仅存在轴向内力
一个分量 。 若为直杆,外力的合力必须沿杆
轴线作用 。
相应的 变形特点 为,
轴向伸长 (拉 )或缩短 (压 ),并伴随横向
收缩或膨胀 。 即 纵伸横缩, 纵缩横伸 。
§ 2-1 轴向拉伸和压缩的概念
The Basic Concept of Axial Tension and Compression
§ 2-2 内力 internal force · 截面法 method of section
· 轴力 axial force 及 轴力图 axial forces figure
Ⅰ,内力 internal force,
内力是指由外
力作用所引起的、
物体内相邻部分之
间分布内力系的合成 。
Ⅱ,截面法 · 轴力,
由于内力是物体内相邻部分之间的相互作
用力,为了显示内力,可应用 截面法 。
设一等直杆在两端轴向拉力Ｐ的作用下处于平衡,欲求杆件 Ⅰ,
Ⅱ 两部分之间横截面ｍ － ｍ上的内力 (图 2－ 3ａ )。 为此,假想一平
面沿横截面ｍ － ｍ将杆件截分为Ｉ, Ⅱ 两部分,任取一部分 (如部分
Ｉ ),弃去另一部分 (如部分 Ⅱ) 。 并将弃去部分对留下部分的作用以
截开面上的内力来代替 (图 2－ 3ｂ )。
对于留下部分Ｉ来说,截开面ｍ － ｍ上内力Ｎ就成为外力 。
由于整个杆件处于平衡状态,故其留下部分Ｉ也应保持平衡 。 于是,
考虑留下部分Ｉ的平衡,即可计算杆件核截面ｍ － ｍ上的内力Ｎ 。
由平衡方程, Σ Ｘ =０,即,Ｎ -Ｐ ==０
得 Ｎ ==Ｐ（ａ）
式中,Ｎ为杆件任一横截面ｍ － ｍ上的内力。
由共线力系的平衡条件可知,内力Ｎ也与杆的
轴线重合,即垂直于横截面并通过其形心。这
种内力称为 轴力,并规定用记号 Ｎ 表示。
§ 2-2 内力 internal force · 截面法 method of section
· 轴力 axial force 及 轴力图 axial forces figure
若取部分 Ⅱ
为留下部分,则
由作用与反作用
原理可知,部分 Ⅱ
在截开面上的轴
力与前述部分Ｉ
上的轴力数值相
等而指向相反
(图 2－ 3b,c)。 当然,同样也可以从部分 Ⅱ 上的
外力,通过平衡方程来确定轴力Ｎ 。
对于压杆,也可通过上述过程求得其任一横截
面ｍ－ｍ上的轴力Ｎ,其指向如图２－４所示。
§ 2-2 内力 internal force · 截面法 method of section
· 轴力 axial force 及 轴力图 axial forces figure
§ 2-2 内力 internal force · 截面法 method of section
· 轴力 axial force 及 轴力图 axial forces figure
为了使由部分Ｉ和部分 Ⅱ 所得同一截面ｍ－ｍ上的轴
力具有相同的正负号,联系到变形的情况,规定,
拉杆的变形是纵向伸长，其轴力为正,称为
拉力 。由图 2－ 3b,c可见 拉力是背离截面的 。
压杆的变形是纵向缩短，其轴力为负,称为
压力 。由图 2－ 4b,c可见,压力是指向截面的 。
上述分析轴力的方法称为 截面法 。它是 求内力
的一般方法,也是 材料力学中的基本方法之一 。
? 截面法包括以下三个步骤：
? （ １ ） 截开,在需要求内力的截面处,假想地将杆
截分为两部分；
? （ ２ ） 代替,将两部分中的任一部分留下,并把弃
去部分对留下部分的作用代之以作用在截开面上
的内力 (力或力偶 )；
? （ ３ ） 平衡,对留下的部分建立平衡方程,根据其
上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力 。
? 应该注意,截开面上的内力对留下部分而言已
属外力了 。
§ 2-2 内力 internal force · 截面法 method of section
· 轴力 axial force 及 轴力图 axial forces figure
? 必须指出, 静力学中的力 (或力偶 )的可移性
原理,在用截面法求内力的过程中是有限制的 。
一般地说,在采用截面法之前不要使用力的可移
性原理, 以免引起错误 。 而在采用截面法之后,
研究留下部分的外力平衡, 则纯粹属于静力学的
范畴, 可随意使用力的可移性原理 。
? 同理,将杆上的荷载用一个静力等效的相当
力系来代替,在求内力的过程中也有所限制,这将
在第四章的例题４－４中加以讨论 。
§ 2-2 内力 internal force · 截面法 method of section
· 轴力 axial force 及 轴力图 axial forces figure
? 例如,图 2-5a 所示拉杆在自由端Ａ承受集中力Ｐ,由截面
法可得,杆任一横截面ｍ－ｍ或 n－ n 上的轴力Ｎ均等于Ｐ (图
2-5b,c)。 若将集中力Ｐ由自由端Ａ沿其作用线移至杆的Ｂ点
处 (图 2－ 5d),则其ＡＢ段内任一横截面ｍ－ｍ上的轴力都将等
于零 (图 2－ 5e),而ＢＣ段内任一横截面 n－ n 上的轴力仍等于
Ｐ (图 2－ 5f),保持不变。这是因为集中力Ｐ由自由端 A 移至
Ｂ点后,改变了杆件ＡＢ段的变形,而并不改变ＢＣ段的变形。
§ 2-2 内力 internal force · 截面法 method of section
· 轴力 axial force 及 轴力图 axial forces figure
例２ -１,求图 2.3(a)所示直杆 1－ 1,２－２，３－３截面上的内力。
解 本题各
外力均沿杆
轴线方向作
用，称为轴
向受力杆。
解题时，可先求出左端的约束反力，然后再用截面法
求各截面内力。亦可不求约束反力，而分别取各截面以右
为研究对象。
可得左端的约束反力Ｒ＝５０ｋＮ，沿杆轴线方向向左作用。
? ? 0X以整杆为研究对象，由,
1.计算 1－ 1截面内力 取 1一 1截面以左为研究对象，
? ? 0X如图 2.3(b)所示。由平衡条件
得, Ｎ 1—Ｒ =０,Ｎ 1＝Ｒ＝ 50kN 结果为正，说明Ｎ 1的方向
如图上所设方向，即为拉力。
2,计算２－２截面的内力 取２－２截面以左为研究对象,
如图 2.3（ c） 所示 。 由平衡条件, 得,? ? 0X
例２ -１ (续 )
这种在
轴向荷载作
用下的杆件，
横截面上的
另外五个内
力分量都为零，即,Qy=Qz=My=Mz=T=0,可不必一一示出，也不列出
另外五个内力方程。
Ｎ 2＋ 40 —Ｒ ＝ 0
Ｎ 2 ＝Ｒ — 40 ＝ 10 kN
结果为正，表明Ｎ 2为拉力。
结果为负，说明Ｎ 3的方向
与所设方向相反，即Ｎ 3为压力。
在求内力时,当把截面上的
内力均设为正内力时，则计算结
果的符号与内力正负号规 定一致 。
这种方法称为 设正法 。下面各
例均用设正法。
? ? 0X
例２ -１ (续 )
３,计算 3-3
截面的内力
取３－３截
面以有为研
究对象，如
图 ２,３ (d)所示。由平衡条件
得,—Ｎ 3 — 20＝ 0
Ｎ 3 = —20 kN
§ 2-2内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
Ⅲ, 轴力图 (Axial Forces Figure)
? 当杆受到多个轴向外力作用时，在杆的不同部分
中横截面上的轴力将各不相同。对等直拉杆或压杆作
强度计算时，都要以杆的最大轴力为依据，为此就必
须知道杆的各个横截面上的轴力，以确定其最大轴力。
为了表明横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况，
可按 选定的比例尺, 用平行于杆轴线的坐标表示横截
面的位置, 用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力
的数值,从而绘出 表示轴力与截面位置关系的图线,
称为 轴力图,从该图上即可确定最大轴力的数值及其
所在横截面的位置。 习惯上 将正值的轴力画在上侧,
负值的画在下侧 。
§ 2-2内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
例题２－ 1 一等
直杆及其受力情况
如图ａ所示。试作
杆的轴力图。
解,为了下面运算
的方便，首先求出
支反力Ｒ (图 b)。
由整个杆的平衡
方程 (Σ X=0):
有,－Ｒ－Ｐ 1＋Ｐ 2－Ｐ 3＋Ｐ 4 ＝ 0 得,R = 10kN
在求ＡＢ段内任一横截面上的轴力时，应用
截面法研究截开后左段杆的平衡。
假定轴力Ｎ 1为拉力 (图 c),由平衡方程求得ＡＢ段内任一横截
面上的轴力为, N1 = R = 10kN
结果为正值，故与原先假定的 N1方向一致 (即为拉力 )。
§ 2-2内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
例题２－ 1(续 1)同理。可求得 BC段内任一
横截面上的轴力 (图ｄ )为,
NⅡ = R + P1 = 50kN
在求ＣＤ
段内的轴力时
，将杆截开后
宜研究其右段
的平衡，因为
右段杆比左段
杆上包含的外
力较少，并假
定轴力 NⅢ 为拉
力 (图 c)。
由 Σ X = 0，
即, -NⅢ - P3＋ P4 = 0
(
设
正
法)
得, NⅢ = - P3 + P4 = -5 kN
结果为负值，说明原先假定的 NⅢ 的指向不对，
应为压力。 同理，可得 DE段内任一横截面上的
轴力Ｎ Ⅳ 为, Ｎ Ⅳ =Ｐ 4= 20ｋＮ (拉力）
例题２－ 1(续 2) 按前述作轴力图的规则，作出杆的
轴力图如图 f 所示。Ｎ max发生在 BC段内的任一横截面上，
其值为５ 0kN。
§ 2-2内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
由, 0??
i
X,可得, ??
一侧
Xi
FN 故,
)(1040552520 kNFN
Xi
?????? ?
?
右侧
)(50552520 kNFN
Xi
????? ?
??
右侧
)(52520 kNFN
Xi
????? ?
???
右侧
)(2020 kNFN
Xi
??? ?
右侧
Ⅳ以上为求轴力图的简便法。其要点为：
1, 直杆任一横截面上的轴力等于此横截面一侧脱离
体上所有轴向外力的代数和。
2, 代数式中各外力，当与待求轴力同指向时，为负
值；反之，为正值。
Ⅰ 40k N Ⅱ 55k N Ⅲ 25k N Ⅳ 20k N
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
A B C D E
5 0
2 0
10
N, ( kN )
5
§ ２－３ 横截面 (cross section)及
斜截面 (oblique section)上的应力 (stress)
? Ⅰ,应力的概念, 平均应力 总应力
? 正应力 s 为 p的法向分量 ;剪应力 t 为 p 的切向分量。
? 应力具有如下特征：
? （ｌ）应力是在受力物体的某一截面上某一点处定义的，
因此，讨论应力必须明确是在哪一个截面上的哪一点处。
（２）在某一截面上一点处的应力是矢量。 通常规定离
开截面的正应力为正，指向截面的正应力为负,即 拉应
力为正，压应力为负 ;而对截面内部 (靠近截面 )的一点产
生顺钟向力矩的剪应力为正，反之为负。
? （３）应力的量纲为ＭＬ -1Ｔ -2。应力的单位为帕，其符
号为 Pa ① 。
? （４） 整个截面上各点处的应力与微面积 dA之乘积的合
成，即为该截面上的内力。
A
Pp
m ?
?? dAdPAPp
A
????
??lim 0
§ ２－３ 横截面及斜截面上的应力
Ⅱ, 拉（压）杆横截面上的应力
拉（压）杆横截面上的内
力为轴力，其方向垂直于横截
面，且通过横截面的形心，而
截面上各点处应力与微面积 dA
之乘积的合成即为该截面上的
内力。
显然，截面上各点处的剪
应力不可能合成为一个垂直于
截面的轴力。因而,与轴力相
应的只可能是垂直于截面的正
应力 。
但是，由于还 不知道正应
力在截面上的变化规律,所以无法求出它。为此，可考察杆件在受力后表面上的
变形情况,并由表及里地作出杆件内部变形情况的 几何假设,再根据 力与变形间
的物理关系,得到应力在截面上的变化规律，然后再通过应力与 dA之乘积的合成
即为内力这一 静力学关系,得到以内力表示的应力计算公式。
§ ２－３ 横截面及斜截面上的应力
Ⅱ, 拉（压）杆横截面上的应力
? 平面假设, 假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面 。
? 对拉杆来说，平面假设的 特点 是 杆变形后两横截面
沿杆轴线作相对平移,所以,其间的所有纵向线段的伸
长都相同,也就是说,拉杆在其任意两个横截面之间的伸
长变形是均匀的 。
由于假设材料是均匀的，而杆的分布内力集度又与杆的变形程度有关，因而，
从上述均匀变形的推理可知,拉杆在横截面上的分布内力也是均匀分布的 。于是，
横截面上各点处的正应力 s 都相等 。然后，按静力学求合力的概念，得,
? 即得拉杆横截面上正应力 s 的计算公式,
? 式中,Ｎ为轴力, Ａ为杆的横截面面积 。
AdAdAdNN AA sss ???? ???
A
N?s
§ ２－３ 横截面及斜截面上的应力
的适用条件 Ⅱ, 拉（压）杆横截面上的应力
? １,端部施加荷载方式的影响
? 图 3.5示出了三种静力等效的不同加载方式 。 图 3.5(a)表示整个端面均匀加
载, 它满足横截面上应力均布的条件,上式对全杆各横截面均适用 。 而后两种 (图
3.5(b)和 (c))加载方式则不然,它们在离加载点较远处正应力才在横 截面上均匀
分布, 在加载点附近应力分布很复杂 。
? 这就是圣维南原理, 该原理指出：
? 静力等效的力作用杆端方
? 式不同, 只会使杆端距离不大
? 于杆横向尺寸的范围的应力分
? 布受到影响 。
? 因此, 对图 3.5(b),(c)的加载情形, 在杆
? 端阴影线范围内公式 不适用, 其
? 余部分仍适用 。
A
N?s
A
N?s
§ ２－３ 横截面及斜截面上的应力
的适用条件 Ⅱ, 拉（压）杆横截面上的应力
? ２．应力集中的影响
? 实际构件, 由于工作需要, 常常具有孔洞, 台肩, 沟槽和螺纹等构造, 导致杆件在接
近孔槽边缘的局部区域内截面尺寸发生急剧变化并产生 应力集中 。 例如, 有孔板条 (图
3.6(a))受到轴向拉伸时, 1－ 1截面的应力分布是不均匀的, 在孔壁附近各点的应力大于
该截面的平均应力 (图 3.6(b))。
? 具有应力集中的截面的最大应力 smax与该处
? 横截面上平均应力 sm的比值, 称为理论应力集
? 中系数 a,即
? 式中 sm表示削弱了的横截面上的平均应力 。
? a＞ 1,其值通过理论计算或实验确定, 可由
? 有关手册中查出 。
? 研究表明, 截面尺寸改变越急剧, 即变化
? 梯度越大, a值越大 。 因此, 工程构件应尽可
? 能避免带尖角的槽或切口, 尽量做到平缓变化,
? 以减小应力集中的影响 。
? 应力集中具有局部性, 在离开孔稍远处,
? 例如２－２截面 (图 3.6(c)),应力便均匀分布了 。
A
N?s
mssa m a x?
§ ２－３ 横截面及斜截面上的应力
的适用条件 Ⅱ, 拉（压）杆横截面上的应力
? ３．带锥度杆的拉伸或压缩
? 图 3.7(a)带锥度拉杆，设截面为等厚变宽的矩形，锥角为 2a。 取出图
示阴影线所示单元体，如图 3.7(b)。 斜边为
? 自由边，设其面积为 dA。 根据单元体的平
? 衡条件,t ’dAcosa ＝ sxdAsin a
? sydAcosa＝ t dAsina
? 引入剪应力互等定理 t＝ t’,求得
? (3.6)
? 由式 (3.6)可见,横截面上存在剪应力,平面
? 假设不再成立, 式 不再适用 。
? 对小锥度杆,可略去横截面上剪应力的影响,
? 仍可用式 (3.1)计算横截面上的正应力 。 但横截
? 面面积随 x而改变,
? ( 当 2a＝ 10o时, 求得 t＝ 0.87sｘ, sy=0.0076sｘ ）
A
N?s
?
?
?
?
??
ass
astt
2
'
tg
tg
xy
x
AN?s
)(xA
N?s
§ ２－３ 横截面及斜截面上的应力
Ⅱ, 拉（压）杆斜截面上的应力
asa
a
a
a c o sc o s/ ??? A
N
A
Np
?
?
?
???
????
22s inc o ss ins in
2)2c o s1(c o sc o s 2
asaasat
asasas
aa
aa
p
p
0,0m ax0 ??? ?? aa tsss
0,0 9090 ?? ?? ?? aa ts
2,2 m ax4545 sttss aa ??? ?? ??
2,2 m i n4545 sttss aa ???? ?? ????
§ ２－３ 横截面及斜截面上的应力
Ⅱ, 拉（压）杆斜截面上的应力
? 结论,
? （ １ ） 在 a=0O的截面 (横截面 )上, 正应力最大,
剪应力为零 。
? （ ２ ） 在 a =90O的截面 (纵截面 )上, 正应力和剪
应力均为零 。
? （ ３ ） 在 a?± 45O的斜截面上,剪应力取极值 。
? （ ４ ） 拉 (压 )杆互为垂直的两个面上剪应力大小相等,
转向相反 。
2?aa tt ???
§ ２－３ 横截面及斜截面上
的应力
§ ２－３ 横截面及斜
截面上的应力
作业, 2-2(d),2-4,2-5,2-7
第二章 轴向拉伸和压缩
(Ch2,Axial Tension and Compression)
§ 2-1 轴向拉伸和压缩的概念
The Basic Concept of Axial Tension and Compression
? Introduction,
? (Axial Tension Bar,..Axial Compression Bar)
? 受力特点,是 杆在两端各受一集中力Ｐ作用, 两
个Ｐ力大小相等，指向相反，且作用线与杆轴线
重合 。 如果两个Ｐ力是一对离开端截面的力, 则将使杆发生纵
向伸长，这样的力称为 轴向拉力 ; 如果是一对指向端截面的力，
则将使杆发生纵向缩短，称为 轴向压力 。
? 变形特点, 主要变形是纵向伸长或缩短
Elongation(伸长 )； Contraction(缩短 )
轴向拉伸和压缩杆件的 受力特性 是,
在杆的每一个截面上,仅存在轴向内力
一个分量 。 若为直杆,外力的合力必须沿杆
轴线作用 。
相应的 变形特点 为,
轴向伸长 (拉 )或缩短 (压 ),并伴随横向
收缩或膨胀 。 即 纵伸横缩, 纵缩横伸 。
§ 2-1 轴向拉伸和压缩的概念
The Basic Concept of Axial Tension and Compression
§ 2-2 内力 internal force · 截面法 method of section
· 轴力 axial force 及 轴力图 axial forces figure
Ⅰ,内力 internal force,
内力是指由外
力作用所引起的、
物体内相邻部分之
间分布内力系的合成 。
Ⅱ,截面法 · 轴力,
由于内力是物体内相邻部分之间的相互作
用力,为了显示内力,可应用 截面法 。
设一等直杆在两端轴向拉力Ｐ的作用下处于平衡,欲求杆件 Ⅰ,
Ⅱ 两部分之间横截面ｍ － ｍ上的内力 (图 2－ 3ａ )。 为此,假想一平
面沿横截面ｍ － ｍ将杆件截分为Ｉ, Ⅱ 两部分,任取一部分 (如部分
Ｉ ),弃去另一部分 (如部分 Ⅱ) 。 并将弃去部分对留下部分的作用以
截开面上的内力来代替 (图 2－ 3ｂ )。
对于留下部分Ｉ来说,截开面ｍ － ｍ上内力Ｎ就成为外力 。
由于整个杆件处于平衡状态,故其留下部分Ｉ也应保持平衡 。 于是,
考虑留下部分Ｉ的平衡,即可计算杆件核截面ｍ － ｍ上的内力Ｎ 。
由平衡方程, Σ Ｘ =０,即,Ｎ -Ｐ ==０
得 Ｎ ==Ｐ（ａ）
式中,Ｎ为杆件任一横截面ｍ － ｍ上的内力。
由共线力系的平衡条件可知,内力Ｎ也与杆的
轴线重合,即垂直于横截面并通过其形心。这
种内力称为 轴力,并规定用记号 Ｎ 表示。
§ 2-2 内力 internal force · 截面法 method of section
· 轴力 axial force 及 轴力图 axial forces figure
若取部分 Ⅱ
为留下部分,则
由作用与反作用
原理可知,部分 Ⅱ
在截开面上的轴
力与前述部分Ｉ
上的轴力数值相
等而指向相反
(图 2－ 3b,c)。 当然,同样也可以从部分 Ⅱ 上的
外力,通过平衡方程来确定轴力Ｎ 。
对于压杆,也可通过上述过程求得其任一横截
面ｍ－ｍ上的轴力Ｎ,其指向如图２－４所示。
§ 2-2 内力 internal force · 截面法 method of section
· 轴力 axial force 及 轴力图 axial forces figure
§ 2-2 内力 internal force · 截面法 method of section
· 轴力 axial force 及 轴力图 axial forces figure
为了使由部分Ｉ和部分 Ⅱ 所得同一截面ｍ－ｍ上的轴
力具有相同的正负号,联系到变形的情况,规定,
拉杆的变形是纵向伸长，其轴力为正,称为
拉力 。由图 2－ 3b,c可见 拉力是背离截面的 。
压杆的变形是纵向缩短，其轴力为负,称为
压力 。由图 2－ 4b,c可见,压力是指向截面的 。
上述分析轴力的方法称为 截面法 。它是 求内力
的一般方法,也是 材料力学中的基本方法之一 。
? 截面法包括以下三个步骤：
? （ １ ） 截开,在需要求内力的截面处,假想地将杆
截分为两部分；
? （ ２ ） 代替,将两部分中的任一部分留下,并把弃
去部分对留下部分的作用代之以作用在截开面上
的内力 (力或力偶 )；
? （ ３ ） 平衡,对留下的部分建立平衡方程,根据其
上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力 。
? 应该注意,截开面上的内力对留下部分而言已
属外力了 。
§ 2-2 内力 internal force · 截面法 method of section
· 轴力 axial force 及 轴力图 axial forces figure
? 必须指出, 静力学中的力 (或力偶 )的可移性
原理,在用截面法求内力的过程中是有限制的 。
一般地说,在采用截面法之前不要使用力的可移
性原理, 以免引起错误 。 而在采用截面法之后,
研究留下部分的外力平衡, 则纯粹属于静力学的
范畴, 可随意使用力的可移性原理 。
? 同理,将杆上的荷载用一个静力等效的相当
力系来代替,在求内力的过程中也有所限制,这将
在第四章的例题４－４中加以讨论 。
§ 2-2 内力 internal force · 截面法 method of section
· 轴力 axial force 及 轴力图 axial forces figure
? 例如,图 2-5a 所示拉杆在自由端Ａ承受集中力Ｐ,由截面
法可得,杆任一横截面ｍ－ｍ或 n－ n 上的轴力Ｎ均等于Ｐ (图
2-5b,c)。 若将集中力Ｐ由自由端Ａ沿其作用线移至杆的Ｂ点
处 (图 2－ 5d),则其ＡＢ段内任一横截面ｍ－ｍ上的轴力都将等
于零 (图 2－ 5e),而ＢＣ段内任一横截面 n－ n 上的轴力仍等于
Ｐ (图 2－ 5f),保持不变。这是因为集中力Ｐ由自由端 A 移至
Ｂ点后,改变了杆件ＡＢ段的变形,而并不改变ＢＣ段的变形。
§ 2-2 内力 internal force · 截面法 method of section
· 轴力 axial force 及 轴力图 axial forces figure
例２ -１,求图 2.3(a)所示直杆 1－ 1,２－２，３－３截面上的内力。
解 本题各
外力均沿杆
轴线方向作
用，称为轴
向受力杆。
解题时，可先求出左端的约束反力，然后再用截面法
求各截面内力。亦可不求约束反力，而分别取各截面以右
为研究对象。
可得左端的约束反力Ｒ＝５０ｋＮ，沿杆轴线方向向左作用。
? ? 0X以整杆为研究对象，由,
1.计算 1－ 1截面内力 取 1一 1截面以左为研究对象，
? ? 0X如图 2.3(b)所示。由平衡条件
得, Ｎ 1—Ｒ =０,Ｎ 1＝Ｒ＝ 50kN 结果为正，说明Ｎ 1的方向
如图上所设方向，即为拉力。
2,计算２－２截面的内力 取２－２截面以左为研究对象,
如图 2.3（ c） 所示 。 由平衡条件, 得,? ? 0X
例２ -１ (续 )
这种在
轴向荷载作
用下的杆件，
横截面上的
另外五个内
力分量都为零，即,Qy=Qz=My=Mz=T=0,可不必一一示出，也不列出
另外五个内力方程。
Ｎ 2＋ 40 —Ｒ ＝ 0
Ｎ 2 ＝Ｒ — 40 ＝ 10 kN
结果为正，表明Ｎ 2为拉力。
结果为负，说明Ｎ 3的方向
与所设方向相反，即Ｎ 3为压力。
在求内力时,当把截面上的
内力均设为正内力时，则计算结
果的符号与内力正负号规 定一致 。
这种方法称为 设正法 。下面各
例均用设正法。
? ? 0X
例２ -１ (续 )
３,计算 3-3
截面的内力
取３－３截
面以有为研
究对象，如
图 ２,３ (d)所示。由平衡条件
得,—Ｎ 3 — 20＝ 0
Ｎ 3 = —20 kN
§ 2-2内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
Ⅲ, 轴力图 (Axial Forces Figure)
? 当杆受到多个轴向外力作用时，在杆的不同部分
中横截面上的轴力将各不相同。对等直拉杆或压杆作
强度计算时，都要以杆的最大轴力为依据，为此就必
须知道杆的各个横截面上的轴力，以确定其最大轴力。
为了表明横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况，
可按 选定的比例尺, 用平行于杆轴线的坐标表示横截
面的位置, 用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力
的数值,从而绘出 表示轴力与截面位置关系的图线,
称为 轴力图,从该图上即可确定最大轴力的数值及其
所在横截面的位置。 习惯上 将正值的轴力画在上侧,
负值的画在下侧 。
§ 2-2内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
例题２－ 1 一等
直杆及其受力情况
如图ａ所示。试作
杆的轴力图。
解,为了下面运算
的方便，首先求出
支反力Ｒ (图 b)。
由整个杆的平衡
方程 (Σ X=0):
有,－Ｒ－Ｐ 1＋Ｐ 2－Ｐ 3＋Ｐ 4 ＝ 0 得,R = 10kN
在求ＡＢ段内任一横截面上的轴力时，应用
截面法研究截开后左段杆的平衡。
假定轴力Ｎ 1为拉力 (图 c),由平衡方程求得ＡＢ段内任一横截
面上的轴力为, N1 = R = 10kN
结果为正值，故与原先假定的 N1方向一致 (即为拉力 )。
§ 2-2内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
例题２－ 1(续 1)同理。可求得 BC段内任一
横截面上的轴力 (图ｄ )为,
NⅡ = R + P1 = 50kN
在求ＣＤ
段内的轴力时
，将杆截开后
宜研究其右段
的平衡，因为
右段杆比左段
杆上包含的外
力较少，并假
定轴力 NⅢ 为拉
力 (图 c)。
由 Σ X = 0，
即, -NⅢ - P3＋ P4 = 0
(
设
正
法)
得, NⅢ = - P3 + P4 = -5 kN
结果为负值，说明原先假定的 NⅢ 的指向不对，
应为压力。 同理，可得 DE段内任一横截面上的
轴力Ｎ Ⅳ 为, Ｎ Ⅳ =Ｐ 4= 20ｋＮ (拉力）
例题２－ 1(续 2) 按前述作轴力图的规则，作出杆的
轴力图如图 f 所示。Ｎ max发生在 BC段内的任一横截面上，
其值为５ 0kN。
§ 2-2内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
由, 0??
i
X,可得, ??
一侧
Xi
FN 故,
)(1040552520 kNFN
Xi
?????? ?
?
右侧
)(50552520 kNFN
Xi
????? ?
??
右侧
)(52520 kNFN
Xi
????? ?
???
右侧
)(2020 kNFN
Xi
??? ?
右侧
Ⅳ以上为求轴力图的简便法。其要点为：
1, 直杆任一横截面上的轴力等于此横截面一侧脱离
体上所有轴向外力的代数和。
2, 代数式中各外力，当与待求轴力同指向时，为负
值；反之，为正值。
Ⅰ 40k N Ⅱ 55k N Ⅲ 25k N Ⅳ 20k N
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
A B C D E
5 0
2 0
10
N, ( kN )
5
§ ２－３ 横截面 (cross section)及
斜截面 (oblique section)上的应力 (stress)
? Ⅰ,应力的概念, 平均应力 总应力
? 正应力 s 为 p的法向分量 ;剪应力 t 为 p 的切向分量。
? 应力具有如下特征：
? （ｌ）应力是在受力物体的某一截面上某一点处定义的，
因此，讨论应力必须明确是在哪一个截面上的哪一点处。
（２）在某一截面上一点处的应力是矢量。 通常规定离
开截面的正应力为正，指向截面的正应力为负,即 拉应
力为正，压应力为负 ;而对截面内部 (靠近截面 )的一点产
生顺钟向力矩的剪应力为正，反之为负。
? （３）应力的量纲为ＭＬ -1Ｔ -2。应力的单位为帕，其符
号为 Pa ① 。
? （４） 整个截面上各点处的应力与微面积 dA之乘积的合
成，即为该截面上的内力。
A
Pp
m ?
?? dAdPAPp
A
????
??lim 0
§ ２－３ 横截面及斜截面上的应力
Ⅱ, 拉（压）杆横截面上的应力
拉（压）杆横截面上的内
力为轴力，其方向垂直于横截
面，且通过横截面的形心，而
截面上各点处应力与微面积 dA
之乘积的合成即为该截面上的
内力。
显然，截面上各点处的剪
应力不可能合成为一个垂直于
截面的轴力。因而,与轴力相
应的只可能是垂直于截面的正
应力 。
但是，由于还 不知道正应
力在截面上的变化规律,所以无法求出它。为此，可考察杆件在受力后表面上的
变形情况,并由表及里地作出杆件内部变形情况的 几何假设,再根据 力与变形间
的物理关系,得到应力在截面上的变化规律，然后再通过应力与 dA之乘积的合成
即为内力这一 静力学关系,得到以内力表示的应力计算公式。
§ ２－３ 横截面及斜截面上的应力
Ⅱ, 拉（压）杆横截面上的应力
? 平面假设, 假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面 。
? 对拉杆来说，平面假设的 特点 是 杆变形后两横截面
沿杆轴线作相对平移,所以,其间的所有纵向线段的伸
长都相同,也就是说,拉杆在其任意两个横截面之间的伸
长变形是均匀的 。
由于假设材料是均匀的，而杆的分布内力集度又与杆的变形程度有关，因而，
从上述均匀变形的推理可知,拉杆在横截面上的分布内力也是均匀分布的 。于是，
横截面上各点处的正应力 s 都相等 。然后，按静力学求合力的概念，得,
? 即得拉杆横截面上正应力 s 的计算公式,
? 式中,Ｎ为轴力, Ａ为杆的横截面面积 。
AdAdAdNN AA sss ???? ???
A
N?s
§ ２－３ 横截面及斜截面上的应力
的适用条件 Ⅱ, 拉（压）杆横截面上的应力
? １,端部施加荷载方式的影响
? 图 3.5示出了三种静力等效的不同加载方式 。 图 3.5(a)表示整个端面均匀加
载, 它满足横截面上应力均布的条件,上式对全杆各横截面均适用 。 而后两种 (图
3.5(b)和 (c))加载方式则不然,它们在离加载点较远处正应力才在横 截面上均匀
分布, 在加载点附近应力分布很复杂 。
? 这就是圣维南原理, 该原理指出：
? 静力等效的力作用杆端方
? 式不同, 只会使杆端距离不大
? 于杆横向尺寸的范围的应力分
? 布受到影响 。
? 因此, 对图 3.5(b),(c)的加载情形, 在杆
? 端阴影线范围内公式 不适用, 其
? 余部分仍适用 。
A
N?s
A
N?s
§ ２－３ 横截面及斜截面上的应力
的适用条件 Ⅱ, 拉（压）杆横截面上的应力
? ２．应力集中的影响
? 实际构件, 由于工作需要, 常常具有孔洞, 台肩, 沟槽和螺纹等构造, 导致杆件在接
近孔槽边缘的局部区域内截面尺寸发生急剧变化并产生 应力集中 。 例如, 有孔板条 (图
3.6(a))受到轴向拉伸时, 1－ 1截面的应力分布是不均匀的, 在孔壁附近各点的应力大于
该截面的平均应力 (图 3.6(b))。
? 具有应力集中的截面的最大应力 smax与该处
? 横截面上平均应力 sm的比值, 称为理论应力集
? 中系数 a,即
? 式中 sm表示削弱了的横截面上的平均应力 。
? a＞ 1,其值通过理论计算或实验确定, 可由
? 有关手册中查出 。
? 研究表明, 截面尺寸改变越急剧, 即变化
? 梯度越大, a值越大 。 因此, 工程构件应尽可
? 能避免带尖角的槽或切口, 尽量做到平缓变化,
? 以减小应力集中的影响 。
? 应力集中具有局部性, 在离开孔稍远处,
? 例如２－２截面 (图 3.6(c)),应力便均匀分布了 。
A
N?s
mssa m a x?
§ ２－３ 横截面及斜截面上的应力
的适用条件 Ⅱ, 拉（压）杆横截面上的应力
? ３．带锥度杆的拉伸或压缩
? 图 3.7(a)带锥度拉杆，设截面为等厚变宽的矩形，锥角为 2a。 取出图
示阴影线所示单元体，如图 3.7(b)。 斜边为
? 自由边，设其面积为 dA。 根据单元体的平
? 衡条件,t ’dAcosa ＝ sxdAsin a
? sydAcosa＝ t dAsina
? 引入剪应力互等定理 t＝ t’,求得
? (3.6)
? 由式 (3.6)可见,横截面上存在剪应力,平面
? 假设不再成立, 式 不再适用 。
? 对小锥度杆,可略去横截面上剪应力的影响,
? 仍可用式 (3.1)计算横截面上的正应力 。 但横截
? 面面积随 x而改变,
? ( 当 2a＝ 10o时, 求得 t＝ 0.87sｘ, sy=0.0076sｘ ）
A
N?s
?
?
?
?
??
ass
astt
2
'
tg
tg
xy
x
AN?s
)(xA
N?s
§ ２－３ 横截面及斜截面上的应力
Ⅱ, 拉（压）杆斜截面上的应力
asa
a
a
a c o sc o s/ ??? A
N
A
Np
?
?
?
???
????
22s inc o ss ins in
2)2c o s1(c o sc o s 2
asaasat
asasas
aa
aa
p
p
0,0m ax0 ??? ?? aa tsss
0,0 9090 ?? ?? ?? aa ts
2,2 m ax4545 sttss aa ??? ?? ??
2,2 m i n4545 sttss aa ???? ?? ????
§ ２－３ 横截面及斜截面上的应力
Ⅱ, 拉（压）杆斜截面上的应力
? 结论,
? （ １ ） 在 a=0O的截面 (横截面 )上, 正应力最大,
剪应力为零 。
? （ ２ ） 在 a =90O的截面 (纵截面 )上, 正应力和剪
应力均为零 。
? （ ３ ） 在 a?± 45O的斜截面上,剪应力取极值 。
? （ ４ ） 拉 (压 )杆互为垂直的两个面上剪应力大小相等,
转向相反 。
2?aa tt ???
§ ２－３ 横截面及斜截面上
的应力
§ ２－３ 横截面及斜
截面上的应力
作业, 2-2(d),2-4,2-5,2-7
