材 料 力 学
第二章 轴向拉伸和压缩
(Ch2,Axial Tension and Compression)
§ ２－４ 拉 (压 )杆的变形 (Deformation of Axial
Forced Bar)·胡克定律 (Hooke’s Law)
? 变形 Deformation:
? Dl = l1- l
? 横向 Lateral变形,
? Dd = d1- d
? 线应变 Linear Strain:1,轴向应变 Axial Strain:ε =Dl/l=const
? 2,横向 应变 Lateral Strain,e’=Dd / d 显然, e ·e’ <0
? 受力变形关系, Dl = Nl / EA (or:σ =Ee; σ ≤ σ p)
? 其中, E----弹性模量 Elastic Modulus;
? EA---杆的 轴向刚度 Axial Rigidity of Bar
? σ p---比例极限 Proportional Limit
? 纵横向 应变 关系, e’=-me (σ ≤ σ p)
? 其中, m---横向变形系数 (or,泊松比 Poisson’s Ratio)
§ ２－４ 拉（压）杆的变形 (Deformation of
Axial Forced Bar)·胡克定律 (Hooke’s Law)
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例题 2-5 求例题 2-4中所示薄壁圆环在内压力
p=2MPa作用下的径向应变和圆环直径的改变量。
已知材料的弹性模量 E=210GPa。
解,在例题 2-4中已经求出圆环在任一横截面
上的正应力 ?=40MPa,若正应力不超过材料的比
例极限，则可按公式 (2-6)算出沿正应力 ?方向
(即沿圆周方向 )的线应变 e为
圆环的周向应变 e等于其径向应变 ed,因为
根据上式即可算出圆环在内压力 p作用下的直径 (d=222mm)增大量为
§ ２－４ 拉（压）杆的变形 (Deformation of
Axial Forced Bar)·胡克定律 (Hooke’s Law)
M P aAN ABAB 60500 1030 3
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例,图示阶梯形钢杆,AB段
和 CD段的横截面面积相等 A1＝
500mm2,BC段横截面 积 A2＝
300mm2。 已知材料的弹性模量
E=200GPa。
试求,1,各杆段的应力。
2,Ｄ端的位移。
解,1,绘轴力图如图 (b)所示。
2,求各段应力,
3,计算Ｄ端位移,
(Ｄ端位移 DＤ 即为杆的总变形，应为各段变形的代数和 )。即,
计算结果为负，说明 Ｄ端发生向左的位移 。
§ ２－４ 拉（压）杆的变形 (Deformation of Axial
Forced Bar)·胡克定律 (Hooke’s Law)
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例,某矿井升降机如图 (a)所示，因
吊索很长，其自重引起的应力和变形应
予以考虑。设钢索长为 l,横截面面积为
Ａ,材料容重为 ?,弹性模量为 E。试求,
钢索在自重和起吊载荷 P作用下产生的
应力和变形 (设起吊是匀速的 )。
的内力为 Nx=R0-?Ax=?A(l-x)+P 故,Ｎ max＝ ?Al+P)。 索为等截面的,其
x截面上的应力为 ?x=Nx/A=?(l-x)+P/A。 最大应力发生在索的最上
端横截面上,其值为 ?max=Nmax/A=?l+P/A
解,1,计算应力,(索上端支反力
R0=P+?A l 。 用截面法求得 x截面
2,计算变形,
式中Ｗ =?Ａ l为杆的总重量。
上式表明, 杆的 重量引起的伸长部分, 相当于 不考虑自重，而
在 杆的 下端作用一半重量 的集中荷载引起的伸长 。
§ ２－４ 拉（压）杆的变形 (Deformation of
Axial Forced Bar)·胡克定律 (Hooke’s Law)
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桁架节点位移,
例, 图 (a)所示托架,杆 1和杆 2均为
钢杆,弹性模量 E=200GPa,横截面面积
分别为 A1=200mm2,A2=250mm2,荷
载 P=10kN,l1=2m。 试求节点Ａ的位移。
解,1,求各杆轴力,(取节点 A
为研究对象,画受力图如图 (b),由平衡条
件求得两杆轴力分别为 )
kNPPN 20230s i n1 ??? ? （拉） kNPNN 32.17732.130co s12 ??? ?（压）
2,求各杆的变形,
作业,2-12,
2-13,2-15
§ ２－４ 拉（压）杆的变形 (Deformation of
Axial Forced Bar)·胡克定律 (Hooke’s Law)
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3,求节点Ａ的位移,
由于两杆的变形,节点 A位移至 A’
点,A’点是以 B为圆心,(l1＋ Dl1)为
半径作圆弧与以 C为圆心,(l2＋ Dl2)
为半径作圆弧的交点。由于变形相
对于杆的原长很微小,这种作图方法
和计算 A’点位移很不方便,但正因为
变形微小,可将上述两圆弧用过 A1和
A2两点并分别垂直于杆１和杆２的
两垂线代替 (图 (c))。 此图称为节点
A的位移图。由节点 A的位移图可知,节点 A的水平位移 ?AH和垂直位移 ?AV分别为
节点Ａ的总位移为,
§ 2－ 5拉 (压 )杆内的应变能
Strain Energy of Axial Forced Bar
? 弹性体在受力后要发生变形,同时弹性体内将积蓄能量 。 例如钟表
的发条 (弹性体 )被拧紧 (发生变形 )以后,在它放松的过程中将带动齿轮系
使指针转动,这样,发条就作了功 。 这说明拧紧了的发条具有作功的本领,
这是因为发条在拧紧状态下积蓄有能量 。 为了获得计算这种能量的依据,
下面研究弹性体在受外力作用而变形的过程中,外力所作的功与弹性体内
所积蓄的能量在数量上的关系 。
? 现以受重力作用且仅发生弹性变形的拉杆为例,利用能量守恒原理来
找出上述关系 。 设杆 (图 2-11)的上端固定,在其下端的小盘上逐渐增加重
量 。 每加一点重量,杆将相应地有一点伸长,已在盘上的重物也相应地下沉,
因而重物的位能将减少 。 由于重量是逐渐增加的,故在加载过程中,可认为
杆没有动能改变 。 按能量守恒原理,略去其它微小的能量损耗不计,重物失
去的位能将全部转变为积蓄在杆内的能量 。 因为杆的变形是弹性变形,故
在卸除荷载以后,这种能量又随变形的消失而全部转换为其它形式的能量 。
通常将这种 伴随着弹性变形的增减而改变的能量 称为 弹性 应变能 。
在所讨论的情况下,应变能就等于重物所失去的位能。
External Work in Elastic Range:
§ 2－ 5拉 (压 )杆内的应变能
Strain Energy of Axial Forced Bar
韧性模量 (Modulus of Toughness),
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轴向变形下的外力功 Work of External Forced in Axial Deformation:
∵dW ＝ dT＝ PdDl ∴ ?
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弹能模量,
(Modulus of Resilience)
§ 2－ 5拉 (压 )杆内的应变能
Strain Energy of Axial Forced Bar
( 是使试件断裂所需要的比功，故 tf越
大 → 此材料抵抗冲击和突加荷载的可靠性也越大 )。
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变形能 Strain Energy and比能 Energy Density
(Strain Energy per Unit Volume):
外力作功 (T)→ 引起构件变形 → 产生内力 →( ? ～ e)将外力功 (T)转化
为内能 (U)----因是构件变形引起，故称为 变形能 。
当 (?≤ ?e)时称为 弹性变形能,它为可完全恢复的内能,故,
比能 (杆件单位体积内储存的变形能 ),(? ≤ ?e时 )
u的量纲 ([力 ][长度 ]/[长度 ]3),常用单位,J/m3 。
材料进入塑性阶段后，有,
(其中, ) 111 pepe eeeeee ????
注,U 和 u 恒为正。
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§ 2－ 5拉 (压 )杆内的应变能
Strain Energy of Axial Forced Bar
例, 图 (a)所示架，杆 1和杆 2均为钢杆，弹性模量 E=200GPa,横截面面积分别
为 A1=200mm2,A2=250mm2,荷载 P=10kN,l1=2m。 试求节点Ａ的垂直位移。
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例, 求图示三根圆截面杆的应变能，并比较其大小，设三杆用
同一种线弹性材料制成，弹性模量为 E。
解,
(a)杆, (b)杆,
(c)杆,
因此,
第二章 轴向拉伸和压缩
(Ch2,Axial Tension and Compression)
§ ２－４ 拉 (压 )杆的变形 (Deformation of Axial
Forced Bar)·胡克定律 (Hooke’s Law)
? 变形 Deformation:
? Dl = l1- l
? 横向 Lateral变形,
? Dd = d1- d
? 线应变 Linear Strain:1,轴向应变 Axial Strain:ε =Dl/l=const
? 2,横向 应变 Lateral Strain,e’=Dd / d 显然, e ·e’ <0
? 受力变形关系, Dl = Nl / EA (or:σ =Ee; σ ≤ σ p)
? 其中, E----弹性模量 Elastic Modulus;
? EA---杆的 轴向刚度 Axial Rigidity of Bar
? σ p---比例极限 Proportional Limit
? 纵横向 应变 关系, e’=-me (σ ≤ σ p)
? 其中, m---横向变形系数 (or,泊松比 Poisson’s Ratio)
§ ２－４ 拉（压）杆的变形 (Deformation of
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例题 2-5 求例题 2-4中所示薄壁圆环在内压力
p=2MPa作用下的径向应变和圆环直径的改变量。
已知材料的弹性模量 E=210GPa。
解,在例题 2-4中已经求出圆环在任一横截面
上的正应力 ?=40MPa,若正应力不超过材料的比
例极限，则可按公式 (2-6)算出沿正应力 ?方向
(即沿圆周方向 )的线应变 e为
圆环的周向应变 e等于其径向应变 ed,因为
根据上式即可算出圆环在内压力 p作用下的直径 (d=222mm)增大量为
§ ２－４ 拉（压）杆的变形 (Deformation of
Axial Forced Bar)·胡克定律 (Hooke’s Law)
M P aAN ABAB 60500 1030 3
1
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例,图示阶梯形钢杆,AB段
和 CD段的横截面面积相等 A1＝
500mm2,BC段横截面 积 A2＝
300mm2。 已知材料的弹性模量
E=200GPa。
试求,1,各杆段的应力。
2,Ｄ端的位移。
解,1,绘轴力图如图 (b)所示。
2,求各段应力,
3,计算Ｄ端位移,
(Ｄ端位移 DＤ 即为杆的总变形，应为各段变形的代数和 )。即,
计算结果为负，说明 Ｄ端发生向左的位移 。
§ ２－４ 拉（压）杆的变形 (Deformation of Axial
Forced Bar)·胡克定律 (Hooke’s Law)
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例,某矿井升降机如图 (a)所示，因
吊索很长，其自重引起的应力和变形应
予以考虑。设钢索长为 l,横截面面积为
Ａ,材料容重为 ?,弹性模量为 E。试求,
钢索在自重和起吊载荷 P作用下产生的
应力和变形 (设起吊是匀速的 )。
的内力为 Nx=R0-?Ax=?A(l-x)+P 故,Ｎ max＝ ?Al+P)。 索为等截面的,其
x截面上的应力为 ?x=Nx/A=?(l-x)+P/A。 最大应力发生在索的最上
端横截面上,其值为 ?max=Nmax/A=?l+P/A
解,1,计算应力,(索上端支反力
R0=P+?A l 。 用截面法求得 x截面
2,计算变形,
式中Ｗ =?Ａ l为杆的总重量。
上式表明, 杆的 重量引起的伸长部分, 相当于 不考虑自重，而
在 杆的 下端作用一半重量 的集中荷载引起的伸长 。
§ ２－４ 拉（压）杆的变形 (Deformation of
Axial Forced Bar)·胡克定律 (Hooke’s Law)
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桁架节点位移,
例, 图 (a)所示托架,杆 1和杆 2均为
钢杆,弹性模量 E=200GPa,横截面面积
分别为 A1=200mm2,A2=250mm2,荷
载 P=10kN,l1=2m。 试求节点Ａ的位移。
解,1,求各杆轴力,(取节点 A
为研究对象,画受力图如图 (b),由平衡条
件求得两杆轴力分别为 )
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2,求各杆的变形,
作业,2-12,
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§ ２－４ 拉（压）杆的变形 (Deformation of
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)(6.022 ???? mmlAAAH D?
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3,求节点Ａ的位移,
由于两杆的变形,节点 A位移至 A’
点,A’点是以 B为圆心,(l1＋ Dl1)为
半径作圆弧与以 C为圆心,(l2＋ Dl2)
为半径作圆弧的交点。由于变形相
对于杆的原长很微小,这种作图方法
和计算 A’点位移很不方便,但正因为
变形微小,可将上述两圆弧用过 A1和
A2两点并分别垂直于杆１和杆２的
两垂线代替 (图 (c))。 此图称为节点
A的位移图。由节点 A的位移图可知,节点 A的水平位移 ?AH和垂直位移 ?AV分别为
节点Ａ的总位移为,
§ 2－ 5拉 (压 )杆内的应变能
Strain Energy of Axial Forced Bar
? 弹性体在受力后要发生变形,同时弹性体内将积蓄能量 。 例如钟表
的发条 (弹性体 )被拧紧 (发生变形 )以后,在它放松的过程中将带动齿轮系
使指针转动,这样,发条就作了功 。 这说明拧紧了的发条具有作功的本领,
这是因为发条在拧紧状态下积蓄有能量 。 为了获得计算这种能量的依据,
下面研究弹性体在受外力作用而变形的过程中,外力所作的功与弹性体内
所积蓄的能量在数量上的关系 。
? 现以受重力作用且仅发生弹性变形的拉杆为例,利用能量守恒原理来
找出上述关系 。 设杆 (图 2-11)的上端固定,在其下端的小盘上逐渐增加重
量 。 每加一点重量,杆将相应地有一点伸长,已在盘上的重物也相应地下沉,
因而重物的位能将减少 。 由于重量是逐渐增加的,故在加载过程中,可认为
杆没有动能改变 。 按能量守恒原理,略去其它微小的能量损耗不计,重物失
去的位能将全部转变为积蓄在杆内的能量 。 因为杆的变形是弹性变形,故
在卸除荷载以后,这种能量又随变形的消失而全部转换为其它形式的能量 。
通常将这种 伴随着弹性变形的增减而改变的能量 称为 弹性 应变能 。
在所讨论的情况下,应变能就等于重物所失去的位能。
External Work in Elastic Range:
§ 2－ 5拉 (压 )杆内的应变能
Strain Energy of Axial Forced Bar
韧性模量 (Modulus of Toughness),
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轴向变形下的外力功 Work of External Forced in Axial Deformation:
∵dW ＝ dT＝ PdDl ∴ ?
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弹能模量,
(Modulus of Resilience)
§ 2－ 5拉 (压 )杆内的应变能
Strain Energy of Axial Forced Bar
( 是使试件断裂所需要的比功，故 tf越
大 → 此材料抵抗冲击和突加荷载的可靠性也越大 )。
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变形能 Strain Energy and比能 Energy Density
(Strain Energy per Unit Volume):
外力作功 (T)→ 引起构件变形 → 产生内力 →( ? ～ e)将外力功 (T)转化
为内能 (U)----因是构件变形引起，故称为 变形能 。
当 (?≤ ?e)时称为 弹性变形能,它为可完全恢复的内能,故,
比能 (杆件单位体积内储存的变形能 ),(? ≤ ?e时 )
u的量纲 ([力 ][长度 ]/[长度 ]3),常用单位,J/m3 。
材料进入塑性阶段后，有,
(其中, ) 111 pepe eeeeee ????
注,U 和 u 恒为正。
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§ 2－ 5拉 (压 )杆内的应变能
Strain Energy of Axial Forced Bar
例, 图 (a)所示架，杆 1和杆 2均为钢杆，弹性模量 E=200GPa,横截面面积分别
为 A1=200mm2,A2=250mm2,荷载 P=10kN,l1=2m。 试求节点Ａ的垂直位移。
解,
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例, 求图示三根圆截面杆的应变能，并比较其大小，设三杆用
同一种线弹性材料制成，弹性模量为 E。
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(a)杆, (b)杆,
(c)杆,
因此,
