材 料 力 学
第四章 弯曲内力
Internal Forces in Bending
? Ⅰ,弯曲的概念
? 在工程中常遇到这样一类等直杆, 它们所承受的外力
是 作用线垂直于杆轴线的平衡力系 （ 有时还包括力
偶 ） 。 在这些外力作用下, 杆的轴线在变形后成为曲
线, 这种变形称为 弯曲 Bending。 凡是 以弯曲为主要变
形的杆件, 通常 称为 梁 Beam。 梁是一类常用的构件,
几乎在各类工程中都占有重要地位 。
§ 4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
几何特点 横截面有一对称轴,与梁轴线构成纵
向对称平面 。
受力特点 横向外力作用在与杆件的纵向对称
面 （ 形心主惯性平面 ） 重合或平行的平面内 。
变形特点 杆件的轴线在纵向对称面内弯曲成一
条平面曲线 。
工程中最常见的梁，例如图 4－ la,b,c中的 AB梁，其 横截面都具
有对称轴,同时,梁上所有的外力（或外力的合力）均作用在包含
此种对称轴的同一纵向平面 （通常称为 纵对称面 ）内。
§ 4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅰ,弯曲的概念
由于梁的 几何, 物性 和 外力 均 对称于 梁的 纵
对称面,因此,梁变形后的轴线 必定 是一条在该纵
对称面内的平面曲线 （图 4－ 2），即 梁变形后的
轴线所在平面与外力所在平面相重合 。这种弯曲
称为 平面弯曲 Plane bending，或更确切地称为 对称
弯曲 。若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵
对称面但外力并不作用在纵对称面内，这种弯曲
则统称为 非对称弯曲 。 对称弯曲是弯曲问题中最简单
和最常见的情况，在下面几章中，将以对称弯曲为主，讨
论梁的应力和变形计算。至于非对称弯曲问题，则将在第
七章中介绍。本章则为弯曲问题的计算提供基础。
§ 4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ,梁的计算简图
由于这里所研究的主要是等截面的直梁，而且外力为作用在梁
纵对称面内的平面力系。因此,在梁的计算简图中就 用梁的
轴线代表梁 。 梁计算简图中对支座简化的关键，在于分析支座对
梁在 荷载平面内的约束情况 。
梁的支座, 按其对梁的约束情况, 可以简化为以下三种基本形式,
1,固定端 fixed end,built-in 固定端支座 使梁的端
截面既不能移动,也不能转动 。 故 它对梁的端截面有三个
约束,对应有 三个支反力,即 水平支反力 H,铅垂支反力 R和矩
为 MR的 支反力偶 。
2,固定铰支座 fixed hinged support 固定铰支座 限
制 梁在 支座处的截面沿水平方向和铅垂方向移动,但
并 不 限制梁绕铰中心转动 。故其对梁在支座处的截面 有两
个约束,相应 有两个支反力,即 水平支反力 H和 铅垂支反力 R。
3,可动铰支座 movable hinged support 可动铰支座 只限
制 梁在支座处的截面 沿垂直于支承面方向移动 。故它对梁在
支座处的截面 仅有一个约束,相应地也 只有一个支反力,即 垂直
于支承面的支反力 R。
梁的实际支座通常可简化为上述三种基本形式。
§ 4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ,梁的计算简图
应当注意,梁 实际支座的简化,主要是 根据每个支座对梁的约
束情况来确定 的。但是,支座的简化往往与对计算的精度要求,或
与所有支座对整个梁的约束情况有关 。例如,图 4－ 4a所示的插入
砖墙内的过梁,由于插入端较短,因而梁端在墙内有微小转动的可
能；此外,当梁有可能发生水平移动时,其一端与砖墙接触后,砖墙
就限制了梁的水平移动。因此这两个支座中的一个应简化为固定
铰支座,而另一个则简化为可动铰支座 (图 4－ 4b)。图 4－ 1b中的车
辆轴的支座也具有类似的情况。
§ 4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ,梁的计算简图
从以上的分析可知，如果梁具有一个固定端，或在梁的两个
截面处分别有一个固定铰支座和一个可动铰支座，则其三个支反
力可由平面力系的三个平衡方程求出。这种梁称为 静定梁 statically
determinate beam。图 4-5a,b,c所示是工程上常用到的三种基本形
式的静定梁，分别称为 悬臂梁 Cantilever beam, 简支梁 Simple
beam和 外伸梁 Simple beam with overhang。
有时为了工程上的需要，对一个梁
设置较多的支座，因而梁的支反力数目
多于平衡方程的数目，此时若只用平衡
方程就无法确定其所有的支反力。这种
梁称为 超静定梁 statically indeterminate
beam。
梁在两支座间的部分称为 跨 span，
其长度则称为梁的 跨长 (跨度 span)。
常见的静定梁大多是单跨的。
根据梁的计算简图就可以按平衡
方程求得静定梁的支反力。作用在梁
上的荷载一般是作用线垂直于梁轴线
的平面平行力系，在此情况下，水平
支反力 H应等于零。于是，静定梁的
支反力将仅有两个，可以通过平面平
行力系的两个平衡方程来确定。
§ 4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ,梁的计算简图
Plqlm
PqlR
A
A
??
??
8
3
2
2
042)2()83( 2 ?????? lqllPqlPlql
A BC
q
l/2 l/2
P
ql/2
l
3l/4
x
y
A BC
P
mA
解,在竖直荷载作用下，梁固定端的支反力有两个，即矩为 mA的支反力偶和铅垂
支反力 RA。设 mA和 RA的转向和指向如图 b所示。
解得, 所得结果为
正，表示原假设
的支反力和支反
力偶的指向和转
向正确。
为了校核计算结果，可将所
得的 RA 和 mA与梁上的荷载一起对
B点取矩得到,
这一平衡方程能得到满足, 因而计算结果是正确的 。
例题 4－ 1计算图 a所示悬臂梁的支反力。
代替，合力的作用线通过均布荷载图形面积的形心，即到固定端的距离为 3l/4。
由平衡方程,
将梁上的均布荷载以其合力 ql/2
0432,002,0 ????????? ?? PllqlmmPqlRY AAiAi 和
即 0?? Bim
RA
§ 4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ,梁的计算简图
? 例题 4－ 2 求图 a所示多跨静定梁的支反力 。
? 解：若把梁的 AC段移去, 则 CB段就会坍下来 。 因此, AC段是该
组合梁的 基本梁 或称为 主梁 ； CB段则称为 副梁 。
求支反力时，先将中间铰 c拆开（图 b），并通过平衡方程求出
副梁 CB的支反力。然后，再将副梁 CB的两个支反力 XC,YC反向
。并分别加在主梁 AC的 C点处，求出主梁 AC的支反力。
（ 1）研究 CB梁，由平衡方程 kNRY
kNYYmXXX
Bi
cCBBCi
29313200
31055.23205:0|0
??????
?????????????
?
??
（ 2）研究 AC梁，由平衡方程
mkNmm
kNRYXXX
AAi
AiCAi
????????
????????
?
??
5.961505.1310
8131500|0
上面所分析的左段梁在
横截面 m — m上的剪力和弯
矩，实际上是右段梁对左段
梁的作用。根据作用与反作
用原理可知，右段梁在同一
横截面 m— m上的剪力和弯
矩，在数值上应该分别与以
上两式所表达的剪力和弯矩
相等，但右段梁上剪力的指
向和弯矩的转向则与图 b中
所示相反 (图 c)。
§ 4-2 梁的剪力和弯矩
Shear Force and Bending Moment in Beam?
为了计算梁的应力和位移, 首先应该确定梁在外力作用下任一
横截面上的内力 。 当作用在梁上的全部外力 （ 包括荷载和支反力 ）
均为已知时, 用截面法即可根据这些已知的外力求出内力 。 xRMmRQY
AmmCAmmi i ?????? ?? 0|0:对左段梁
同样应联系变形来定义剪力 Q和弯矩 M的正负 。如图,规定,
M
Q
Q
x
M x
y m
m
C B
RBP
A C
RA
m
m
(受拉 )
(受拉 )
m
m
MM
(c)
m
m
M M
(d)
(b)
Q Q
m
m x
(a)
Q
Q
m
m
x
正剪力使微梁段产生左上右下的相对错动时（ Q≥0） 。
正弯矩使微梁段产生上凹下凸的变形（ M ≥0） 。
§ 4-2 梁的剪力和弯矩
Shear Force and Bending Moment in Beam例题 4-3:图 a为图 4-1a所示梁的计算简图。已知 P
1,P2，且
P2＞ P1，尺寸 a,b,l,c和 d亦
均为已知。试求梁在 E,F点处
横截面上的剪力和弯矩。
解,1,求支反力 RA和 RB。
l
blPalP
R
blPalPlRm
l
bPaP
R
bPaPlRm
A
ABi
B
BAi
)()(
0)()(:0
0:0
21
21
21
21
???
??
??????
?
??
????
?
?
ME
c
QE
MF d
QF
F B
RB (d)
A E
RA
(b)
ME
QE
l - c
RB
a - c
C
b - c
D(c)
P1 P2
E B
Ec
l
ab P
1 P2
C D
x
y
(a)
BA
2,用截面法计算各指定横截
面上的剪力和弯矩。 (当计算 E点处
横截面上的剪力 QE和弯矩 ME时，
将梁沿此横截面假想地截开，并
可研究左段梁 (图 b)。 ) cl
blPalPcRMcRMm
l
blPalPRQQRY
AEAEEc
AEEAi
)()(0:0
)()(0:0
21
21
?????????
?????????
?
?
RBRA
d
F
d
l
bPaPdRMdRMm
l
bPaPRQRQY
BFBFFc
BFBFi
21
21
0:0
0:0
???????
?????????
?
?
§ 4-2 梁的剪力和弯矩
Shear Force and Bending Moment in Beam
l
aqq
l
q
a
q
cc 00 ???
例题 4-4图 a所示的简支梁受线性变化的分布荷载作用，最大荷
载集度为 q0。试计算梁在 C点处横截面上的剪力和弯矩。
解,首先应求出支
反力 RA和 RB(图 a)
6
0
32
:0
3
0
3
2
2
:0
0
0
0
0
lq
R
llq
lRm
lq
R
llq
lRm
A
ABi
B
BAi
??
????
??
????
?
?
显然,所得到的 RA和
RB与梁上荷载的合力一
起能满足 SY=0 这一平
衡方程，故计算结果是
正确的。
用截面法求 C点
处横截面上的剪力 QC
和弯矩 MC时，取截面
左边一段梁来计算较
为简单。
l
alaq
l
aqaRMa
l
aqaRMm
l
alq
l
aqRQQ
l
aqaRY
ACACCc
ACCAi
6
)(
6
0
32
:0
6
)3(
2
0
2
:0
22
0
3
0
2
0
22
0
2
00
??????????
??????????
?
?
§ 4-2 梁的剪力和弯矩
Shear Force and Bending Moment in Beam
例 4-5 如图 a所示，
一根在整个长度上受线
性分布荷载作用的悬臂
梁。巳知最大荷载集度
q0=20kN/m,梁长 l=2m,
a=1m。试求 C,B两点处
横截面上的剪力和弯矩。
解,对于悬臂梁,
当求横截面上的内力
时,如取截面一边包
括自由端在内的梁段
来计算,则不必求出
支反力。
先计算 C点处横截面
上的剪力 QC和弯矩 MC。
l
aqq
l
q
a
q
cc 00 ???
mkN
l
aqMa
l
aqMm
kN
l
aqQQ
l
aqaY
CCCc
CCi
???
?
??????????
??
?
???????????
?
?
66.1
26
120
6
0
32
:0
5
22
120
2
0
2
:0
33
0
2
0
22
00
?
mkNlqMllqMm
kNlqQQlqYB
CBBc
CCi
?????????????
????????????
?
?
33.13
6
220
6
0
32
:0
20
2
220
2
0
2
1:0:,
22
00
0
0
?
同理截面对
§ 4-2 梁的剪力和弯矩
Shear Force and Bending Moment in Beam
和 MD=RA(c-a)-P1c=-Pa==-60× 0.23=13.8kNm
例 4-6 前面图 4-1b中车辆轴的计
算简图如图所示。 巳知,P1=P2=P=60kN,
a=230mm,b=100mm和 c=1000mm。试求 C、
D点处横截面上的剪力和弯矩。
解,利用荷载及铅垂方向约束的对
称性,可求得梁的支反力 RA,RB(见图 )
为, RA=RB=60kN
先计算 C点处横截面上的剪力 QC和弯矩 MC。由于 P1力在此截面左侧而且向下
作用,故从上述方法可知, QC=-P1=-60kN
和 MC=-P1b=-60× 0.1=-
6.0kNm再计算 D点处横截面上的剪力 QD和弯矩 MD。由于在此截面左侧的两外力 P1,RA
分别是向下和向上的，故,Q
D=RA-P1=60-60=0
（ 2）从对弯矩的运算可知,横截面上的弯矩在数值上等于此
截面的左侧或右侧梁段上的外力对该截面形心的力矩之代数和 。按
对弯矩正负号的规定可知，不论在截面的左侧或右侧 向上的外力均
将引起正值弯矩,而 向下的则引起负值弯矩 。 对 于在截面 左侧梁段
上的 外力偶,应该 是顺时针转向的引起正值弯矩, 逆时针转向的引
起负值弯矩 ;至于在截面 右侧梁段上的外力偶则与其相反 。
作业, 4-1(c),(f),(i)
§ 4-2 梁的剪力和弯矩
Shear Force and Bending Moment in Beam
iiiiiF xYYmmmM i ???
?? ?????
右侧右侧
顺时针逆时针
右侧
对右段梁 )()(:
在上面几个例题中，计算某一横截面上的剪力和弯矩应用了截
面法。通过计算可以看出，一般并不必将梁假想地截开，而可直接
从横截面的任意一侧梁上的外力来求得该截面上的剪力和弯矩,
?? ?? ???
左侧左侧
对左段梁 )(,iii YYYQ
（ 1）从上面对剪力的运算可知,横截面上的剪力在数值上等
于此截面的左侧或右侧梁段上外力的代数和 。根据对剪力正负号的
规定得知,在左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引
起正值剪力，反之，则引起负值剪力 。 iiiiiF xYYmmmM i ??? ?? ????? 左侧左侧 逆时针顺时针左侧对左段梁 )()(:
?? ?? ???
右侧右侧
对右段梁 )(,iii YYYQ
§ 4-3(1)剪力方程和弯矩方程
Shear Function and Bending Moment Function
一般来说，梁上的 Q,M随横截面的位置变
化。若我们 用梁轴线为横坐标,适当选取梁的一
端为坐标原点 (建议始终以左端为原点 )。 则梁上
任一横截面可用其形心位置 x表示 。故梁上的 Q，
M 随横截面位置 x的变化规律 可表示为,
Q=Q(x)
剪力函数 Shear Function(工程上习惯叫 剪力方程 Shear Equation)
M=M(x)
弯矩函数 Bending Moment Function(工程上习惯叫 弯矩方程
Bending Moment Equation)
§ 4-3(2)剪力图和弯矩图
Shear (Force)Diagram and Bending Moment Diagram
若以纵坐标表示 Q( 为正 )，则由剪力函数所作图形叫
剪力图 Shear Diagram
同样,若以纵坐标表示 M( 为正 )，则由弯矩函数所作
图形叫 弯矩图 Bending Moment Diagram
为了表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化情况，可仿照轴力
图或扭矩图的作法，绘出剪力图和弯矩图，即按选定的比例尺，以横截面
上的剪力或弯矩为纵坐标，以截面沿梁轴线的位置为横坐标绘出表示 Q(x)
或 M(x)的图线。 绘图时将正值的剪力画在 x轴的上侧 ;至 于
正值的弯矩 则画在梁的受拉侧，也就是 画在 x轴的下侧 。
绘制剪力图和弯矩图的最基本方法是,
首先分别写出梁的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们来作图。这也
就是数学中作函数 y=(x)的图形所用的方法。
应用剪力图和弯矩图可以确定 梁的剪力和弯矩的最大值,以 及其所
在的 截面 位置 。此外,在计算梁的位移时，也要利用弯矩方程或弯矩图
。所以它们是梁的强度计算和刚度计算的重要依据。
§ 4-3剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
Q(x)= － P (0<x<l)
由图可见，在固定端
处左侧横截面上的弯矩值
最大,Mmax=Pl(负值 )。
应当 注意 的是,弯
矩的正负表示弯曲变形
的方向 (向下凸还是向上
凸 )，剪力的正负表示剪
切的方向 。
M(x)=－ P x (0≤x<l)
§ 4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
Qmax= ql 和 Mmax= ql2/2（负值）。
Q(x)=qx (0≤x<l)
M(x)=－ qx·x/2
=－ qx2/2
(0≤x<l)
由式可知,剪力图为一倾
斜直线。只需确定其上两点即
可作出 Q图。
弯矩图为二次抛物线,
至少需确定其上的三个点
才即可作出 M图。
由图可见,在固定端
处右侧横截面上的剪力和
弯矩值均系最大。分别
为,
§ 4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
解, ∵ 对称
∴ RA=RB=ql/2
故 Q(x)= RA－ qx
＝ ql/2－ qx
(0＜ x＜ l)
M(x)= RAx－ qx·x/2
= q(lx－ x2)/2
(0≤x ≤l)
由图可见,
此梁在梁跨中
点横截面上的
弯矩值为最
大,Mmax=ql2/8,
且此截面上
Q=0。
而两支座内侧横截面上的剪力值为最大,Qmax=ql/2(正值,负值 )。
§ 4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
解,由 SmB=0 得, RA=Pb/l
又由 SmA=0 得, RB=Pa/l
对 AC段,有,
Q(x)= RA＝ Pb/l (0＜ x＜ a)
M(x)= RAx = Pbx/l
(0≤x ≤a)
对 CB段,有,
Q(x)= RA-P＝ Pb/l -P
＝ -P(l-b)/l＝ -Pa/l
(a＜ x＜ l)
M(x)= RAx -P(x-a)
= Pbx/l -P(x-a)
= Pa(l-x)/l (a＜ x ≤l)
由图可见,在 b＞ a的
情况下,在 AC段梁的任一
横截面上剪力值为最大
。
可见 在集中荷载
作用处的横截面上弯矩
值为最大 ;在集中荷载
作用处左, 右两侧截面
上的剪力值有突变 。
)
2
(
4
)
2
(
2
)(
m a x
m a x
m a x
m a x
l
ba
Pl
M
l
ba
P
Q
l
P a b
M
ab
l
Pb
Q
???
???
?
??
§ 4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
Mmax=mb/l(负值 );在集中力偶作用处左、右两侧
截面上的弯矩值有突变。
解,由 SmB=0 得, RA=m/l
又由 SmA=0 得, RB=-m/l
故, Q(x)= RA＝ m/l (0＜ x＜ l)
对 AC段,有,
M(x)= RAx = mx/l (0≤x ＜ a)
对 CB段,有,
M(x)= RAx -m＝ mx/l -m
= -m(l-x)/l (a＜ x ≤l)
由图可见,此简支梁的剪力
沿梁长不变,为 Q=m/l 。
在 b＞ a的情况下,集中力偶
m作用处的右侧横截面上弯矩
值最大。
与此相仿,由于集中力偶实际上也是一种简化的结果,
所以按其实际分布情况绘出的弯矩图,在集中力偶作用处长度为 Dx的一段梁上也
是连续变化的。
(3)全梁的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处 ;全梁的最大弯矩发生
在全梁或各梁段的边界截面，或 Q=0的截面处。
以后在作剪力图和弯矩图时，可以参考上述带有规律性的结论。
由以上各例题所求得的剪力图和弯矩图,可以归纳出以下几条规律,
(1)在梁上外力不连续处 (即在集中力、集中力偶作用处和分布荷载开始或结
束处 ),梁的弯矩方程和弯矩图应该分段。对于剪力方程和剪力图,除去集中力偶
作用处以外,也应分段列出或绘制。
(2)在梁上集中力作用处,左、右两侧横截面上的剪力数值有骤然的变化,两
者的代数差即等于此集中力的值。因此,在剪力图上相应于集中力作用处有一个
突变,而在弯矩图上的相应位置则形成一个尖角。与此相仿,梁上受集中力偶作用
处左、右两侧横截面上的弯矩数值也有骤然的变化,两者的代数差即等于此集中
力偶矩的值。于是,在弯矩图上相应于力偶作用处也有一个突变,但在剪力图上的
相应位置并无变化。至于在剪力图和弯矩图上的这种突变,从表面上看，在集中
力和力偶作用处的横截面上,剪力和弯矩似无定值。但事实并非如此。集中力实
际上是作用在很短的一段梁 (其长为 Dx)上的分布力的简化,若将此分布力看作是
在长为 Dx的范围内均匀分布的 (图 4-8a),则在此段梁上实际的剪力图将是按直线
规律连续变化的 (图 4-8b)。
§ 4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
分段原则,(1)集中力 (包括支反力 )作用点；
(2)分布荷载的起讫点；
(3)集中力偶作用点；
(4)梁的端点 。
P
1
q P
2
m
A ① B ② ③ D ④ E ⑤ ⑥ G ⑦ H
C D
§ 4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
发生在移动荷载作用于此简支梁的中点时 !
工程中有时还会遇到需求梁在移动荷载作用下荷载的最不利位
置,即确定梁内最大弯矩达到极大值时荷载的位置等问题。现举例说
明如下,
例题 一简支梁受移动荷载 P的
作用如图 a所示。试求梁上的最大弯
矩和最大剪力。
解,(1)最大剪力,
P
l
xlPQ
lx
l
xlPQ
xxa b o u t
????
???
?
)(lim
)
2
()(
1
0)(m a x
1
1
m a x
1
1
?
发生在移动荷载作用于支座附近时 !
(2)最大弯矩,
4
)(
2
0
)2(
)0(
)(
2
11
)(m a x
1
1
1
m a x
1
11
m a x
1
1
Pl
l
xlPx
M
l
x
l
xlP
dx
dM
lx
l
xlPx
M
l
x
xa b o u t
?
?
??
???
?
?
??
?
?
?
?
思考题,试分析本题与例题 4-10的异同。
§ 4-4载荷、剪力、弯矩之间的重要关系
Improtant Relationships of Load,Shear and Bending Moment
)( xQdxdM ?
因为 dx→ 0所
以可以认为
q(x)在 dx微段
内均布 。
(1)分布荷载 q(x),剪力 Q(x)和弯矩 M(x)之间的微分关系
Differential Relationships between
Distributed load q(x), Shear Force Q(x)
and Bending Moment M(x)
如图，微元平衡条件为,
Sy =0,Q+qdx--(Q+dQ)=0
02 ????? dxq d xQ d xMdMMSmC=0:
])([)( 以向上为正xqxqdxdQ ?即,
略去高阶微量，得,
§ 4-4Improtant Relationships
of Load,Shear and Bending Moment
F ( 向上为正 )
Q
-
M
+
M
-
Q
+
? ?
)0(0:0
0:0
????????
???????
??????
????
?
?
??? MMQQMMM
FQQQFQY
k
i
因此,(向上的 )集中力 F引起剪力的突变,增值 (从
左到右 )为集中力的大小。集中力作用处弯矩连续。
但由于 Q的突变,由 知 M图将有尖角产生 (在
集中力的作用处 )。 )( xQdxdM ?
)0(0
0
?????
???
??
??
?
?
?mMMM
QQY
k
i
m
M- M+
0
Q- Q+
? ?
(2)集中力 F的影响 Concentrated Force Effect
由微元平衡易得,
(3)集中力偶 M的影响
Concentrated Couple Effect:
与 (2)类似,有,
§ 4-4Improtant Relationships
of Load,Shear and Bending Moment
(4)载荷 F、剪力 Q、弯矩 M之间的平衡关系
Equilibrium Relationships
between Load,Shear and Bending Moment
由截面法易得,
iiiiiF
iii
xYYmmmM
YYYQ
i ???
??
??
??
?????
???
左侧左侧
逆时针顺时针
左侧
左侧左侧
对左段梁
)()(
)(:
iiiiiF
iii
xYYmmmM
YYYQ
i ???
??
??
??
?????
???
右侧右侧
顺时针逆时针
右侧
右侧右侧
对右段梁
)()(
)(:
§ 4-4Improtant Relationships
of Load,Shear and Bending Moment
(5)载荷 q(x),剪力 Q(x), 弯矩 M(x)之间的积分关系
Integral Relationships of Load,Shear and Bending Moment
b
a
Qab
b
a
qab
b
a
b
a
MMQQ
dxxQaMbMxQ
dx
dM
dxxqaQbQxq
dx
dQ
??????
????
????
?
?
:
)()()()(
)()()()(
即
?
?
其中的面积可正,可负,可为 0。
§ 4-4Improtant Relationships
of Load,Shear and Bending Moment
(6)Q图,M图的
直接作图法 ---简易法
kNRkNY Bc 2931 ??
mkNmkNR AA ??? 5.9681
mA
YC
Y’C
YA
81
31
29
55
Q(kN)
M(kNm)
96.5
15.5
31 34
5
1.45m
A
E
C
D K
B
P=50kN
q=20kN/m
m=5kNm
1m1m 1m 3m0.5m
RB
)(45.160 2932931 329 mxx ??????
作业, 4-2(d),(e),(g)
4-3(f),(m),4-4(c),4-12
)(315.155.465.155.131 kN mm D ??????
)(0 2 5.5534245.129m a x k N mm ????
§ 4-4Improtant Relationships
of Load,Shear and Bending Moment
2m 8m 2m
Q图,M图的直接作图法
-----简易法,
)!(0201020:
)(72)22031020160(
10
1
0
)(148)160710201220(
10
1
0
OKRYY
kNY
m
kNR
m
BAi
A
Bi
B
Ai
??????
????????
??
????????
??
?
?
?
校核
kNPQ E 20??
k N mMM
kNQQ
D
B
1 4 4
88
m a x
m a x
??
???
?
?
解,(1)求支反力,
(2)作内力图,(显然,全梁需分三段 )
AD段,
DB段,
BE段,
q=20kN/m
P=20kNm=160kN
YA RB
A E
D B
72 60
20Q:
(kN)
5.6m
88
80
16
M:
(kNm)
144 113.6
kNRQQ BBB 6014888 ?????? ??
kNYQ AB 88820 ??????
kNYQ AA 72??
k N mMM xC 6.1136.3272166.5 ?????? ?
mxxqYQ AC 6.50)2( ???????
kN mmMM DD 16160144 ?????? ??
kN mMM DA 1442720 ???? ?
0801220220 ????????? EB MkN mM
C
§ 4-5 按叠加原理作弯矩图
Superposition Method of Moment Diagrams
当梁在荷载作用下的变形为微小变形时，其跨长的改变可略去不计，因而在
求梁的支反力、剪力和弯矩时，均可按其原始尺寸进行计算，而所得到的结果均
与梁上荷载成线性关系。在这种情况下，当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷
载所引起的梁的支反力、剪力和弯矩将不受其他荷载的影响。这样，当梁上受几
项荷载共同作用时，某一横截面上的弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横
截面上弯矩的代数和。 这实际上是一个带有普遍性的原理，即 叠加原理,
由几个外力共同作用时所引起的某一参数 (内力、应力或位移 ),等于每个外力
单独作用时所引起的该参数值的代数和。
由于弯矩可以叠加,故表达弯矩沿梁长度变化情况的弯矩图也可以叠加 。 即先
分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图,然后 将其相应的纵坐标叠加,即得梁在
所有荷载共同作用下的弯矩图 。
??? ??? QQQQ miqiPi
??? ??? MMMM miqiPi
由前面的例题我们知：小变形梁的 Q,M均为外力的线性函数。
故外力之间对 Q,M不产生偶合效应 。可用 叠加法 作 Q,M图,
§ 4-5 按叠加原理作弯矩图
Superposition Method of Moment Diagrams
§ 4-6 平面刚架和曲杆的内力图
平面刚架 是由在同一平面内、不同取向的杆件,通过杆端相互
刚性连接 而组成的结构。平面刚架各杆的内力,除了剪力和弯矩外,
还有轴力。作内力图的步骤与前述相同,但因刚架是由不同取向的
杆件组成,为了能表示内力沿各杆轴线的变化规律,习惯上按下列约
定, 弯矩图 画在 各杆的 受拉一侧,不注明正、负号。
剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧 (通常
正值画在刚架的外侧 ),但须 注明正、负号 。
曲杆 横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法,与刚架的
相类似。 杆系的几个术语,
刚结点 (Stiff joint,Rigid joint)
铰结点 (Panel joint）
刚架 (Stiff joint frame = Frame)
曲杆 (Curved bar)
§ 4-6 平面刚架和曲杆的内力图
作业,4-8(i),4-14,4-19
小 结
当杆件的外力已知时,利用截面法,可以确定杆件任一指定横截面
上的各内力分量。列出杆的内力方程和作内力图是对杆进行强度和刚
度计算的前提。因此,学习时,要着重理解基本概念,正确地建立内力方
程和杆段平衡微分方程,并熟练掌握绘制和检查内力图的各种方法。
l.杆横截面上的内力及正、负规定
轴力 N:拉为正,压为负。
剪力 Qy(Q):对所取研究对象内任一点的矩顺时针方向者为正,反
之为负。
剪力 Qz:按俯视,符号规定同 Qy。
扭矩 T:扭矩矢量与截面的外法线方向一致者为正,反之为负。
弯矩 Mz(M):截面左侧部分 Mz逆时针方向或截面右侧部分 Mz顺时
针方向为正,反之为负。
弯矩 My:按俯视,符号规定同 Mz。
2.作内力图的方法
有两种主要方法,(1)根据内力方程作内力图 ;(2)利用杆段平衡微
分方程作内力图 。 第一种方法为基本方法,在掌握了这种方法的基础
之上应用后一种方法可以快速作内力图 。
第四章 弯曲内力
Internal Forces in Bending
? Ⅰ,弯曲的概念
? 在工程中常遇到这样一类等直杆, 它们所承受的外力
是 作用线垂直于杆轴线的平衡力系 （ 有时还包括力
偶 ） 。 在这些外力作用下, 杆的轴线在变形后成为曲
线, 这种变形称为 弯曲 Bending。 凡是 以弯曲为主要变
形的杆件, 通常 称为 梁 Beam。 梁是一类常用的构件,
几乎在各类工程中都占有重要地位 。
§ 4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
几何特点 横截面有一对称轴,与梁轴线构成纵
向对称平面 。
受力特点 横向外力作用在与杆件的纵向对称
面 （ 形心主惯性平面 ） 重合或平行的平面内 。
变形特点 杆件的轴线在纵向对称面内弯曲成一
条平面曲线 。
工程中最常见的梁，例如图 4－ la,b,c中的 AB梁，其 横截面都具
有对称轴,同时,梁上所有的外力（或外力的合力）均作用在包含
此种对称轴的同一纵向平面 （通常称为 纵对称面 ）内。
§ 4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅰ,弯曲的概念
由于梁的 几何, 物性 和 外力 均 对称于 梁的 纵
对称面,因此,梁变形后的轴线 必定 是一条在该纵
对称面内的平面曲线 （图 4－ 2），即 梁变形后的
轴线所在平面与外力所在平面相重合 。这种弯曲
称为 平面弯曲 Plane bending，或更确切地称为 对称
弯曲 。若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵
对称面但外力并不作用在纵对称面内，这种弯曲
则统称为 非对称弯曲 。 对称弯曲是弯曲问题中最简单
和最常见的情况，在下面几章中，将以对称弯曲为主，讨
论梁的应力和变形计算。至于非对称弯曲问题，则将在第
七章中介绍。本章则为弯曲问题的计算提供基础。
§ 4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ,梁的计算简图
由于这里所研究的主要是等截面的直梁，而且外力为作用在梁
纵对称面内的平面力系。因此,在梁的计算简图中就 用梁的
轴线代表梁 。 梁计算简图中对支座简化的关键，在于分析支座对
梁在 荷载平面内的约束情况 。
梁的支座, 按其对梁的约束情况, 可以简化为以下三种基本形式,
1,固定端 fixed end,built-in 固定端支座 使梁的端
截面既不能移动,也不能转动 。 故 它对梁的端截面有三个
约束,对应有 三个支反力,即 水平支反力 H,铅垂支反力 R和矩
为 MR的 支反力偶 。
2,固定铰支座 fixed hinged support 固定铰支座 限
制 梁在 支座处的截面沿水平方向和铅垂方向移动,但
并 不 限制梁绕铰中心转动 。故其对梁在支座处的截面 有两
个约束,相应 有两个支反力,即 水平支反力 H和 铅垂支反力 R。
3,可动铰支座 movable hinged support 可动铰支座 只限
制 梁在支座处的截面 沿垂直于支承面方向移动 。故它对梁在
支座处的截面 仅有一个约束,相应地也 只有一个支反力,即 垂直
于支承面的支反力 R。
梁的实际支座通常可简化为上述三种基本形式。
§ 4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ,梁的计算简图
应当注意,梁 实际支座的简化,主要是 根据每个支座对梁的约
束情况来确定 的。但是,支座的简化往往与对计算的精度要求,或
与所有支座对整个梁的约束情况有关 。例如,图 4－ 4a所示的插入
砖墙内的过梁,由于插入端较短,因而梁端在墙内有微小转动的可
能；此外,当梁有可能发生水平移动时,其一端与砖墙接触后,砖墙
就限制了梁的水平移动。因此这两个支座中的一个应简化为固定
铰支座,而另一个则简化为可动铰支座 (图 4－ 4b)。图 4－ 1b中的车
辆轴的支座也具有类似的情况。
§ 4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ,梁的计算简图
从以上的分析可知，如果梁具有一个固定端，或在梁的两个
截面处分别有一个固定铰支座和一个可动铰支座，则其三个支反
力可由平面力系的三个平衡方程求出。这种梁称为 静定梁 statically
determinate beam。图 4-5a,b,c所示是工程上常用到的三种基本形
式的静定梁，分别称为 悬臂梁 Cantilever beam, 简支梁 Simple
beam和 外伸梁 Simple beam with overhang。
有时为了工程上的需要，对一个梁
设置较多的支座，因而梁的支反力数目
多于平衡方程的数目，此时若只用平衡
方程就无法确定其所有的支反力。这种
梁称为 超静定梁 statically indeterminate
beam。
梁在两支座间的部分称为 跨 span，
其长度则称为梁的 跨长 (跨度 span)。
常见的静定梁大多是单跨的。
根据梁的计算简图就可以按平衡
方程求得静定梁的支反力。作用在梁
上的荷载一般是作用线垂直于梁轴线
的平面平行力系，在此情况下，水平
支反力 H应等于零。于是，静定梁的
支反力将仅有两个，可以通过平面平
行力系的两个平衡方程来确定。
§ 4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ,梁的计算简图
Plqlm
PqlR
A
A
??
??
8
3
2
2
042)2()83( 2 ?????? lqllPqlPlql
A BC
q
l/2 l/2
P
ql/2
l
3l/4
x
y
A BC
P
mA
解,在竖直荷载作用下，梁固定端的支反力有两个，即矩为 mA的支反力偶和铅垂
支反力 RA。设 mA和 RA的转向和指向如图 b所示。
解得, 所得结果为
正，表示原假设
的支反力和支反
力偶的指向和转
向正确。
为了校核计算结果，可将所
得的 RA 和 mA与梁上的荷载一起对
B点取矩得到,
这一平衡方程能得到满足, 因而计算结果是正确的 。
例题 4－ 1计算图 a所示悬臂梁的支反力。
代替，合力的作用线通过均布荷载图形面积的形心，即到固定端的距离为 3l/4。
由平衡方程,
将梁上的均布荷载以其合力 ql/2
0432,002,0 ????????? ?? PllqlmmPqlRY AAiAi 和
即 0?? Bim
RA
§ 4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ,梁的计算简图
? 例题 4－ 2 求图 a所示多跨静定梁的支反力 。
? 解：若把梁的 AC段移去, 则 CB段就会坍下来 。 因此, AC段是该
组合梁的 基本梁 或称为 主梁 ； CB段则称为 副梁 。
求支反力时，先将中间铰 c拆开（图 b），并通过平衡方程求出
副梁 CB的支反力。然后，再将副梁 CB的两个支反力 XC,YC反向
。并分别加在主梁 AC的 C点处，求出主梁 AC的支反力。
（ 1）研究 CB梁，由平衡方程 kNRY
kNYYmXXX
Bi
cCBBCi
29313200
31055.23205:0|0
??????
?????????????
?
??
（ 2）研究 AC梁，由平衡方程
mkNmm
kNRYXXX
AAi
AiCAi
????????
????????
?
??
5.961505.1310
8131500|0
上面所分析的左段梁在
横截面 m — m上的剪力和弯
矩，实际上是右段梁对左段
梁的作用。根据作用与反作
用原理可知，右段梁在同一
横截面 m— m上的剪力和弯
矩，在数值上应该分别与以
上两式所表达的剪力和弯矩
相等，但右段梁上剪力的指
向和弯矩的转向则与图 b中
所示相反 (图 c)。
§ 4-2 梁的剪力和弯矩
Shear Force and Bending Moment in Beam?
为了计算梁的应力和位移, 首先应该确定梁在外力作用下任一
横截面上的内力 。 当作用在梁上的全部外力 （ 包括荷载和支反力 ）
均为已知时, 用截面法即可根据这些已知的外力求出内力 。 xRMmRQY
AmmCAmmi i ?????? ?? 0|0:对左段梁
同样应联系变形来定义剪力 Q和弯矩 M的正负 。如图,规定,
M
Q
Q
x
M x
y m
m
C B
RBP
A C
RA
m
m
(受拉 )
(受拉 )
m
m
MM
(c)
m
m
M M
(d)
(b)
Q Q
m
m x
(a)
Q
Q
m
m
x
正剪力使微梁段产生左上右下的相对错动时（ Q≥0） 。
正弯矩使微梁段产生上凹下凸的变形（ M ≥0） 。
§ 4-2 梁的剪力和弯矩
Shear Force and Bending Moment in Beam例题 4-3:图 a为图 4-1a所示梁的计算简图。已知 P
1,P2，且
P2＞ P1，尺寸 a,b,l,c和 d亦
均为已知。试求梁在 E,F点处
横截面上的剪力和弯矩。
解,1,求支反力 RA和 RB。
l
blPalP
R
blPalPlRm
l
bPaP
R
bPaPlRm
A
ABi
B
BAi
)()(
0)()(:0
0:0
21
21
21
21
???
??
??????
?
??
????
?
?
ME
c
QE
MF d
QF
F B
RB (d)
A E
RA
(b)
ME
QE
l - c
RB
a - c
C
b - c
D(c)
P1 P2
E B
Ec
l
ab P
1 P2
C D
x
y
(a)
BA
2,用截面法计算各指定横截
面上的剪力和弯矩。 (当计算 E点处
横截面上的剪力 QE和弯矩 ME时，
将梁沿此横截面假想地截开，并
可研究左段梁 (图 b)。 ) cl
blPalPcRMcRMm
l
blPalPRQQRY
AEAEEc
AEEAi
)()(0:0
)()(0:0
21
21
?????????
?????????
?
?
RBRA
d
F
d
l
bPaPdRMdRMm
l
bPaPRQRQY
BFBFFc
BFBFi
21
21
0:0
0:0
???????
?????????
?
?
§ 4-2 梁的剪力和弯矩
Shear Force and Bending Moment in Beam
l
aqq
l
q
a
q
cc 00 ???
例题 4-4图 a所示的简支梁受线性变化的分布荷载作用，最大荷
载集度为 q0。试计算梁在 C点处横截面上的剪力和弯矩。
解,首先应求出支
反力 RA和 RB(图 a)
6
0
32
:0
3
0
3
2
2
:0
0
0
0
0
lq
R
llq
lRm
lq
R
llq
lRm
A
ABi
B
BAi
??
????
??
????
?
?
显然,所得到的 RA和
RB与梁上荷载的合力一
起能满足 SY=0 这一平
衡方程，故计算结果是
正确的。
用截面法求 C点
处横截面上的剪力 QC
和弯矩 MC时，取截面
左边一段梁来计算较
为简单。
l
alaq
l
aqaRMa
l
aqaRMm
l
alq
l
aqRQQ
l
aqaRY
ACACCc
ACCAi
6
)(
6
0
32
:0
6
)3(
2
0
2
:0
22
0
3
0
2
0
22
0
2
00
??????????
??????????
?
?
§ 4-2 梁的剪力和弯矩
Shear Force and Bending Moment in Beam
例 4-5 如图 a所示，
一根在整个长度上受线
性分布荷载作用的悬臂
梁。巳知最大荷载集度
q0=20kN/m,梁长 l=2m,
a=1m。试求 C,B两点处
横截面上的剪力和弯矩。
解,对于悬臂梁,
当求横截面上的内力
时,如取截面一边包
括自由端在内的梁段
来计算,则不必求出
支反力。
先计算 C点处横截面
上的剪力 QC和弯矩 MC。
l
aqq
l
q
a
q
cc 00 ???
mkN
l
aqMa
l
aqMm
kN
l
aqQQ
l
aqaY
CCCc
CCi
???
?
??????????
??
?
???????????
?
?
66.1
26
120
6
0
32
:0
5
22
120
2
0
2
:0
33
0
2
0
22
00
?
mkNlqMllqMm
kNlqQQlqYB
CBBc
CCi
?????????????
????????????
?
?
33.13
6
220
6
0
32
:0
20
2
220
2
0
2
1:0:,
22
00
0
0
?
同理截面对
§ 4-2 梁的剪力和弯矩
Shear Force and Bending Moment in Beam
和 MD=RA(c-a)-P1c=-Pa==-60× 0.23=13.8kNm
例 4-6 前面图 4-1b中车辆轴的计
算简图如图所示。 巳知,P1=P2=P=60kN,
a=230mm,b=100mm和 c=1000mm。试求 C、
D点处横截面上的剪力和弯矩。
解,利用荷载及铅垂方向约束的对
称性,可求得梁的支反力 RA,RB(见图 )
为, RA=RB=60kN
先计算 C点处横截面上的剪力 QC和弯矩 MC。由于 P1力在此截面左侧而且向下
作用,故从上述方法可知, QC=-P1=-60kN
和 MC=-P1b=-60× 0.1=-
6.0kNm再计算 D点处横截面上的剪力 QD和弯矩 MD。由于在此截面左侧的两外力 P1,RA
分别是向下和向上的，故,Q
D=RA-P1=60-60=0
（ 2）从对弯矩的运算可知,横截面上的弯矩在数值上等于此
截面的左侧或右侧梁段上的外力对该截面形心的力矩之代数和 。按
对弯矩正负号的规定可知，不论在截面的左侧或右侧 向上的外力均
将引起正值弯矩,而 向下的则引起负值弯矩 。 对 于在截面 左侧梁段
上的 外力偶,应该 是顺时针转向的引起正值弯矩, 逆时针转向的引
起负值弯矩 ;至于在截面 右侧梁段上的外力偶则与其相反 。
作业, 4-1(c),(f),(i)
§ 4-2 梁的剪力和弯矩
Shear Force and Bending Moment in Beam
iiiiiF xYYmmmM i ???
?? ?????
右侧右侧
顺时针逆时针
右侧
对右段梁 )()(:
在上面几个例题中，计算某一横截面上的剪力和弯矩应用了截
面法。通过计算可以看出，一般并不必将梁假想地截开，而可直接
从横截面的任意一侧梁上的外力来求得该截面上的剪力和弯矩,
?? ?? ???
左侧左侧
对左段梁 )(,iii YYYQ
（ 1）从上面对剪力的运算可知,横截面上的剪力在数值上等
于此截面的左侧或右侧梁段上外力的代数和 。根据对剪力正负号的
规定得知,在左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引
起正值剪力，反之，则引起负值剪力 。 iiiiiF xYYmmmM i ??? ?? ????? 左侧左侧 逆时针顺时针左侧对左段梁 )()(:
?? ?? ???
右侧右侧
对右段梁 )(,iii YYYQ
§ 4-3(1)剪力方程和弯矩方程
Shear Function and Bending Moment Function
一般来说，梁上的 Q,M随横截面的位置变
化。若我们 用梁轴线为横坐标,适当选取梁的一
端为坐标原点 (建议始终以左端为原点 )。 则梁上
任一横截面可用其形心位置 x表示 。故梁上的 Q，
M 随横截面位置 x的变化规律 可表示为,
Q=Q(x)
剪力函数 Shear Function(工程上习惯叫 剪力方程 Shear Equation)
M=M(x)
弯矩函数 Bending Moment Function(工程上习惯叫 弯矩方程
Bending Moment Equation)
§ 4-3(2)剪力图和弯矩图
Shear (Force)Diagram and Bending Moment Diagram
若以纵坐标表示 Q( 为正 )，则由剪力函数所作图形叫
剪力图 Shear Diagram
同样,若以纵坐标表示 M( 为正 )，则由弯矩函数所作
图形叫 弯矩图 Bending Moment Diagram
为了表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化情况，可仿照轴力
图或扭矩图的作法，绘出剪力图和弯矩图，即按选定的比例尺，以横截面
上的剪力或弯矩为纵坐标，以截面沿梁轴线的位置为横坐标绘出表示 Q(x)
或 M(x)的图线。 绘图时将正值的剪力画在 x轴的上侧 ;至 于
正值的弯矩 则画在梁的受拉侧，也就是 画在 x轴的下侧 。
绘制剪力图和弯矩图的最基本方法是,
首先分别写出梁的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们来作图。这也
就是数学中作函数 y=(x)的图形所用的方法。
应用剪力图和弯矩图可以确定 梁的剪力和弯矩的最大值,以 及其所
在的 截面 位置 。此外,在计算梁的位移时，也要利用弯矩方程或弯矩图
。所以它们是梁的强度计算和刚度计算的重要依据。
§ 4-3剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
Q(x)= － P (0<x<l)
由图可见，在固定端
处左侧横截面上的弯矩值
最大,Mmax=Pl(负值 )。
应当 注意 的是,弯
矩的正负表示弯曲变形
的方向 (向下凸还是向上
凸 )，剪力的正负表示剪
切的方向 。
M(x)=－ P x (0≤x<l)
§ 4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
Qmax= ql 和 Mmax= ql2/2（负值）。
Q(x)=qx (0≤x<l)
M(x)=－ qx·x/2
=－ qx2/2
(0≤x<l)
由式可知,剪力图为一倾
斜直线。只需确定其上两点即
可作出 Q图。
弯矩图为二次抛物线,
至少需确定其上的三个点
才即可作出 M图。
由图可见,在固定端
处右侧横截面上的剪力和
弯矩值均系最大。分别
为,
§ 4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
解, ∵ 对称
∴ RA=RB=ql/2
故 Q(x)= RA－ qx
＝ ql/2－ qx
(0＜ x＜ l)
M(x)= RAx－ qx·x/2
= q(lx－ x2)/2
(0≤x ≤l)
由图可见,
此梁在梁跨中
点横截面上的
弯矩值为最
大,Mmax=ql2/8,
且此截面上
Q=0。
而两支座内侧横截面上的剪力值为最大,Qmax=ql/2(正值,负值 )。
§ 4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
解,由 SmB=0 得, RA=Pb/l
又由 SmA=0 得, RB=Pa/l
对 AC段,有,
Q(x)= RA＝ Pb/l (0＜ x＜ a)
M(x)= RAx = Pbx/l
(0≤x ≤a)
对 CB段,有,
Q(x)= RA-P＝ Pb/l -P
＝ -P(l-b)/l＝ -Pa/l
(a＜ x＜ l)
M(x)= RAx -P(x-a)
= Pbx/l -P(x-a)
= Pa(l-x)/l (a＜ x ≤l)
由图可见,在 b＞ a的
情况下,在 AC段梁的任一
横截面上剪力值为最大
。
可见 在集中荷载
作用处的横截面上弯矩
值为最大 ;在集中荷载
作用处左, 右两侧截面
上的剪力值有突变 。
)
2
(
4
)
2
(
2
)(
m a x
m a x
m a x
m a x
l
ba
Pl
M
l
ba
P
Q
l
P a b
M
ab
l
Pb
Q
???
???
?
??
§ 4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
Mmax=mb/l(负值 );在集中力偶作用处左、右两侧
截面上的弯矩值有突变。
解,由 SmB=0 得, RA=m/l
又由 SmA=0 得, RB=-m/l
故, Q(x)= RA＝ m/l (0＜ x＜ l)
对 AC段,有,
M(x)= RAx = mx/l (0≤x ＜ a)
对 CB段,有,
M(x)= RAx -m＝ mx/l -m
= -m(l-x)/l (a＜ x ≤l)
由图可见,此简支梁的剪力
沿梁长不变,为 Q=m/l 。
在 b＞ a的情况下,集中力偶
m作用处的右侧横截面上弯矩
值最大。
与此相仿,由于集中力偶实际上也是一种简化的结果,
所以按其实际分布情况绘出的弯矩图,在集中力偶作用处长度为 Dx的一段梁上也
是连续变化的。
(3)全梁的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处 ;全梁的最大弯矩发生
在全梁或各梁段的边界截面，或 Q=0的截面处。
以后在作剪力图和弯矩图时，可以参考上述带有规律性的结论。
由以上各例题所求得的剪力图和弯矩图,可以归纳出以下几条规律,
(1)在梁上外力不连续处 (即在集中力、集中力偶作用处和分布荷载开始或结
束处 ),梁的弯矩方程和弯矩图应该分段。对于剪力方程和剪力图,除去集中力偶
作用处以外,也应分段列出或绘制。
(2)在梁上集中力作用处,左、右两侧横截面上的剪力数值有骤然的变化,两
者的代数差即等于此集中力的值。因此,在剪力图上相应于集中力作用处有一个
突变,而在弯矩图上的相应位置则形成一个尖角。与此相仿,梁上受集中力偶作用
处左、右两侧横截面上的弯矩数值也有骤然的变化,两者的代数差即等于此集中
力偶矩的值。于是,在弯矩图上相应于力偶作用处也有一个突变,但在剪力图上的
相应位置并无变化。至于在剪力图和弯矩图上的这种突变,从表面上看，在集中
力和力偶作用处的横截面上,剪力和弯矩似无定值。但事实并非如此。集中力实
际上是作用在很短的一段梁 (其长为 Dx)上的分布力的简化,若将此分布力看作是
在长为 Dx的范围内均匀分布的 (图 4-8a),则在此段梁上实际的剪力图将是按直线
规律连续变化的 (图 4-8b)。
§ 4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
分段原则,(1)集中力 (包括支反力 )作用点；
(2)分布荷载的起讫点；
(3)集中力偶作用点；
(4)梁的端点 。
P
1
q P
2
m
A ① B ② ③ D ④ E ⑤ ⑥ G ⑦ H
C D
§ 4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
发生在移动荷载作用于此简支梁的中点时 !
工程中有时还会遇到需求梁在移动荷载作用下荷载的最不利位
置,即确定梁内最大弯矩达到极大值时荷载的位置等问题。现举例说
明如下,
例题 一简支梁受移动荷载 P的
作用如图 a所示。试求梁上的最大弯
矩和最大剪力。
解,(1)最大剪力,
P
l
xlPQ
lx
l
xlPQ
xxa b o u t
????
???
?
)(lim
)
2
()(
1
0)(m a x
1
1
m a x
1
1
?
发生在移动荷载作用于支座附近时 !
(2)最大弯矩,
4
)(
2
0
)2(
)0(
)(
2
11
)(m a x
1
1
1
m a x
1
11
m a x
1
1
Pl
l
xlPx
M
l
x
l
xlP
dx
dM
lx
l
xlPx
M
l
x
xa b o u t
?
?
??
???
?
?
??
?
?
?
?
思考题,试分析本题与例题 4-10的异同。
§ 4-4载荷、剪力、弯矩之间的重要关系
Improtant Relationships of Load,Shear and Bending Moment
)( xQdxdM ?
因为 dx→ 0所
以可以认为
q(x)在 dx微段
内均布 。
(1)分布荷载 q(x),剪力 Q(x)和弯矩 M(x)之间的微分关系
Differential Relationships between
Distributed load q(x), Shear Force Q(x)
and Bending Moment M(x)
如图，微元平衡条件为,
Sy =0,Q+qdx--(Q+dQ)=0
02 ????? dxq d xQ d xMdMMSmC=0:
])([)( 以向上为正xqxqdxdQ ?即,
略去高阶微量，得,
§ 4-4Improtant Relationships
of Load,Shear and Bending Moment
F ( 向上为正 )
Q
-
M
+
M
-
Q
+
? ?
)0(0:0
0:0
????????
???????
??????
????
?
?
??? MMQQMMM
FQQQFQY
k
i
因此,(向上的 )集中力 F引起剪力的突变,增值 (从
左到右 )为集中力的大小。集中力作用处弯矩连续。
但由于 Q的突变,由 知 M图将有尖角产生 (在
集中力的作用处 )。 )( xQdxdM ?
)0(0
0
?????
???
??
??
?
?
?mMMM
QQY
k
i
m
M- M+
0
Q- Q+
? ?
(2)集中力 F的影响 Concentrated Force Effect
由微元平衡易得,
(3)集中力偶 M的影响
Concentrated Couple Effect:
与 (2)类似,有,
§ 4-4Improtant Relationships
of Load,Shear and Bending Moment
(4)载荷 F、剪力 Q、弯矩 M之间的平衡关系
Equilibrium Relationships
between Load,Shear and Bending Moment
由截面法易得,
iiiiiF
iii
xYYmmmM
YYYQ
i ???
??
??
??
?????
???
左侧左侧
逆时针顺时针
左侧
左侧左侧
对左段梁
)()(
)(:
iiiiiF
iii
xYYmmmM
YYYQ
i ???
??
??
??
?????
???
右侧右侧
顺时针逆时针
右侧
右侧右侧
对右段梁
)()(
)(:
§ 4-4Improtant Relationships
of Load,Shear and Bending Moment
(5)载荷 q(x),剪力 Q(x), 弯矩 M(x)之间的积分关系
Integral Relationships of Load,Shear and Bending Moment
b
a
Qab
b
a
qab
b
a
b
a
MMQQ
dxxQaMbMxQ
dx
dM
dxxqaQbQxq
dx
dQ
??????
????
????
?
?
:
)()()()(
)()()()(
即
?
?
其中的面积可正,可负,可为 0。
§ 4-4Improtant Relationships
of Load,Shear and Bending Moment
(6)Q图,M图的
直接作图法 ---简易法
kNRkNY Bc 2931 ??
mkNmkNR AA ??? 5.9681
mA
YC
Y’C
YA
81
31
29
55
Q(kN)
M(kNm)
96.5
15.5
31 34
5
1.45m
A
E
C
D K
B
P=50kN
q=20kN/m
m=5kNm
1m1m 1m 3m0.5m
RB
)(45.160 2932931 329 mxx ??????
作业, 4-2(d),(e),(g)
4-3(f),(m),4-4(c),4-12
)(315.155.465.155.131 kN mm D ??????
)(0 2 5.5534245.129m a x k N mm ????
§ 4-4Improtant Relationships
of Load,Shear and Bending Moment
2m 8m 2m
Q图,M图的直接作图法
-----简易法,
)!(0201020:
)(72)22031020160(
10
1
0
)(148)160710201220(
10
1
0
OKRYY
kNY
m
kNR
m
BAi
A
Bi
B
Ai
??????
????????
??
????????
??
?
?
?
校核
kNPQ E 20??
k N mMM
kNQQ
D
B
1 4 4
88
m a x
m a x
??
???
?
?
解,(1)求支反力,
(2)作内力图,(显然,全梁需分三段 )
AD段,
DB段,
BE段,
q=20kN/m
P=20kNm=160kN
YA RB
A E
D B
72 60
20Q:
(kN)
5.6m
88
80
16
M:
(kNm)
144 113.6
kNRQQ BBB 6014888 ?????? ??
kNYQ AB 88820 ??????
kNYQ AA 72??
k N mMM xC 6.1136.3272166.5 ?????? ?
mxxqYQ AC 6.50)2( ???????
kN mmMM DD 16160144 ?????? ??
kN mMM DA 1442720 ???? ?
0801220220 ????????? EB MkN mM
C
§ 4-5 按叠加原理作弯矩图
Superposition Method of Moment Diagrams
当梁在荷载作用下的变形为微小变形时，其跨长的改变可略去不计，因而在
求梁的支反力、剪力和弯矩时，均可按其原始尺寸进行计算，而所得到的结果均
与梁上荷载成线性关系。在这种情况下，当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷
载所引起的梁的支反力、剪力和弯矩将不受其他荷载的影响。这样，当梁上受几
项荷载共同作用时，某一横截面上的弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横
截面上弯矩的代数和。 这实际上是一个带有普遍性的原理，即 叠加原理,
由几个外力共同作用时所引起的某一参数 (内力、应力或位移 ),等于每个外力
单独作用时所引起的该参数值的代数和。
由于弯矩可以叠加,故表达弯矩沿梁长度变化情况的弯矩图也可以叠加 。 即先
分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图,然后 将其相应的纵坐标叠加,即得梁在
所有荷载共同作用下的弯矩图 。
??? ??? QQQQ miqiPi
??? ??? MMMM miqiPi
由前面的例题我们知：小变形梁的 Q,M均为外力的线性函数。
故外力之间对 Q,M不产生偶合效应 。可用 叠加法 作 Q,M图,
§ 4-5 按叠加原理作弯矩图
Superposition Method of Moment Diagrams
§ 4-6 平面刚架和曲杆的内力图
平面刚架 是由在同一平面内、不同取向的杆件,通过杆端相互
刚性连接 而组成的结构。平面刚架各杆的内力,除了剪力和弯矩外,
还有轴力。作内力图的步骤与前述相同,但因刚架是由不同取向的
杆件组成,为了能表示内力沿各杆轴线的变化规律,习惯上按下列约
定, 弯矩图 画在 各杆的 受拉一侧,不注明正、负号。
剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧 (通常
正值画在刚架的外侧 ),但须 注明正、负号 。
曲杆 横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法,与刚架的
相类似。 杆系的几个术语,
刚结点 (Stiff joint,Rigid joint)
铰结点 (Panel joint）
刚架 (Stiff joint frame = Frame)
曲杆 (Curved bar)
§ 4-6 平面刚架和曲杆的内力图
作业,4-8(i),4-14,4-19
小 结
当杆件的外力已知时,利用截面法,可以确定杆件任一指定横截面
上的各内力分量。列出杆的内力方程和作内力图是对杆进行强度和刚
度计算的前提。因此,学习时,要着重理解基本概念,正确地建立内力方
程和杆段平衡微分方程,并熟练掌握绘制和检查内力图的各种方法。
l.杆横截面上的内力及正、负规定
轴力 N:拉为正,压为负。
剪力 Qy(Q):对所取研究对象内任一点的矩顺时针方向者为正,反
之为负。
剪力 Qz:按俯视,符号规定同 Qy。
扭矩 T:扭矩矢量与截面的外法线方向一致者为正,反之为负。
弯矩 Mz(M):截面左侧部分 Mz逆时针方向或截面右侧部分 Mz顺时
针方向为正,反之为负。
弯矩 My:按俯视,符号规定同 Mz。
2.作内力图的方法
有两种主要方法,(1)根据内力方程作内力图 ;(2)利用杆段平衡微
分方程作内力图 。 第一种方法为基本方法,在掌握了这种方法的基础
之上应用后一种方法可以快速作内力图 。
