材 料 力 学
第六章 弯曲变形
Deformations in Bending
研究梁的变形有二个 主要目的,
① 对梁进行刚度计算和校核 ;
② 用于求解超静定梁。
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
例题 6-4 一抗弯刚度为 EI的简支梁受荷载如图 a所示。试按叠加原
理求梁跨中点的挠度 fC和支座处横截面的转角 qA,qB 。
解,此梁上的荷载可以
分为两项简单的荷载，
如图 b,c 所示,
EI
ml
EI
ql
EI
ml
EI
ql
EI
ml
EI
ql
fff
m
B
q
BB
m
A
q
AA
m
C
q
CC
624
324
16384
5
3
3
24
???
??
??
??
??
??
qqq
qqq
在反对称荷载作用下,梁的挠曲线对于跨中截面应是反对称的,因而跨中截
面的挠度 fC2 应等于零。由于 C截面的挠度为零,但转角不等于零,且该截面上的
弯矩又等于零。故可将 AC段和 CB段分别视为受均布荷载作用且长度为 l/2的简支
梁,因此,由附录 IV表中查得,
例题 6-5试利用叠加法,求图 a 所示抗弯刚度为 EI的简支梁的跨中截面挠度
fC和两端截面的转角 qA, qB 。
解,为了利用附录 IV表中的结果,可将图 a所示荷载视为正对称荷载与反对称荷载
两种情况的叠加 (图 b)。
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
EI
ql
EI
lqf
BAC 3 8424
)2)(2(,0 33
222
???? qq
EI
ql
EI
lq
EI
ql
EI
lqf
BAC 4824
)2(,
7 68
5
3 84
)2(5 33
11
44
1
?????? qq
将相应的
位移值进行叠
加，即得,
在正对称荷载作用下,梁跨中截面的挠度以及两端截面的转角,由附录 IV表
中查得分别为,
)(
384
7
38448
)(
128
3
38448
)(
768
5
333
21
333
21
4
21
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
fff
BBB
AAA
CCC
???????
?????
????
qqq
qqq
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
例题 6－ 6 一抗弯刚度
为 EI的外伸粱受荷载如图 a
所示,试按叠加原理并利用
附录 IV的表,求截面 B的转
角 qB以及 A端和 BC段中点
D的挠度 fA 和 fD 。
EI
qa
EI
aqa
EI
lM
f
EI
qa
EI
aq
EI
ql
f
EI
qa
EI
aqa
EI
lM
EI
qa
EI
aq
EI
ql
B
B
DM
Dq
B
B
BM
Bq
416
)2(
16
24
5
384
)2(5
384
5
3
2
3
)2(
3
324
)2(
24
4222
444
32
333
??????
???
??????
???
q
q
EI
qa
EI
qa
EI
qafff
EI
qa
EI
qa
EI
qa
BDMDqD
BBMBqB
24424
5
33
2
3
444
333
??????
?????? qqq
EI
qa
EI
qaa
EI
qa
EI
aqafff
BA 12
7
438
)2( 4434
21 ?????????? q
§ 6-4(1)梁的刚度校核 Rigidity Condition of Beam
? ?
? ?qq ?
?
m a x
m a x ff
工程上一般要求,
? ?
? ?
m a xm a x
m a xm a x
qq ?
? yf
式中,
土建工程中通常只限制 且
maxf
? ? lnf ?? 1
? ?qq ?
??
?
?
??
??
m a x
m a x )56(
l
f
l
f
故梁的刚度条件又可表达为,
在土建工程方面,[f/l]
的值常限制在,1/250～
1/1000范围内 ;
在机械制造
工程方面,对主
要的轴,[f/l]的值
则限制在
1/5000～ 1/10000
范围内 ;
对传动轴在
支座处的许可转
角 [q]一般限制在
0.005～ 0.001rad
范围内 。
对于一般 土建工程中的构件,强度要求如能
满足,刚度条件一般也能满足。因此,在设计工
作中,刚度要求比起强度要求来,常处于从属地
位 。但是,当正常工作条件对构件的位移限制很
严,或按强度条件所选用的构件截面过于单薄
时,刚度条件有时也可能起控制作用 。
例题 6-7 简支梁如图,已知按强度条件所选择的梁为两根 20a号槽钢,
每根槽钢的惯性矩 I=1780cm4,钢的弹性模量为 E=210GPa。此梁许可
的挠度与梁跨长的比值为 [f/l]=1/400。试核核此梁的刚度。
解,由于简支梁上的横向力指向相同,其挠曲线上将无拐点。因此,可
将梁跨中点 C处的挠度 fC作为梁的最大挠度 fmax。根据附录 IV的第 11
种情况,按叠加原理可求得最大挠度的数值为,
§ 6-4(1) 梁的刚度校核
Rigidity Condition of Beam
)](4)(3[48 1]43[48
4
1
3
4
1
2
4
1
22
m a x ???
???
?????
i
ii
i
ii
i
i
ii
C bPbPlEIblEI
bPff
注意到,∵ a≥ｂ,a＋ b＝ l
∴ b＜ l／ 2
故将,E=210GPa,I=1780cm4;
P1=120kN,b1=0.4m;P2=30kN,
b2=0.8m;P3=40kN,b3=0.9m;
P4=12kN,b4=0.6m代入上式,
得, 。此梁刚度条件满足要求因此
故
,
400
1
][
400
0, 8 2
2400
94.4
:94.4
m a x
m a x
????
?
l
f
l
f
mmf
§ 6-4(2) 提高梁的刚度的措施
EI
lPkorf n?)( q
式中 为广义荷载 q,P,M等 ;P
1.增大梁的抗弯刚度 E I
可增大
同类材料 (如软钢与高强度钢 )变化不大。
由当前的结果知梁的 挠度 f和 转角 q与 梁的 支承情况, 荷载情况,
材料选取, 截面形状 与 尺寸, 跨长 等因素 有关 。一般可表为,
k为由支承和荷载决定的系数。
故当梁的支承和荷载确定后,可采取下
列措施来提高梁的刚度,
2.调整跨长 ( l,a )和改变结构
§ 6-5 梁内的 弯曲应变能
).,,, (aMll ???? ?q
l
EI
EI
lMMU
222
1 22 qq ???
例题自学
对纯弯曲梁,如图,梁轴
线弯曲后成为曲率 k=1/??
M/??的园弧,l弧长内的圆心
角为,
故其弯曲
应变能为,
在横力弯曲时,梁内应变能包括两部分,
① 与弯曲变形相应的弯曲应变能。
②与剪切变形相应的剪切应变能。
如左图,在小变形、线弹性的条件下,其弯
曲应变能为,
dxEI xMdxMMddU )(212121
2
??? ?q
?? ?? ll dxEI xMdUU 0 22 )(
当梁的 l>>h时,梁的剪
切应变能要比弯曲应变能
小得多,通常忽略不计。
§ 6-6 简单超静定梁的解法
Calculation of Simple Statically Indeterminate Beam我 们前面讨论的均为仅用平衡方程就能确定所有的支座反力和
内力的梁 —— 静定梁 (SDB)。
若对静定梁增加支座,则变为 未知反力数 > 独立的平衡方程数
的 超静定梁 (SIB)。
未知反力数 - 独立的平衡方程数 = n,超静定次 (阶 )数 (Degree of SI)
n 阶超静定梁有 n 个 多余约束 (Redundant Constraint)
对应有 n个 多余约束反力 (Redundant Reaction)
值得指出的是,超静定梁的多余约束仅是从平衡的观点来看是
,多余”的 。 但是从减少内力 (↑ 强度 )和变形 (↑ 刚度 )的观点来看,
在工程实际中,所谓, 多余, 的约束却是必不可少的。
从超静定梁上除去多余的约束 (以相应的未知反力代之 )后所得
静定梁通常叫原超静定梁的 基本静定系 (简称,静定基 )。一般而言,
静定梁的选择不是唯一的。如,
A B C D
RB RC
R’B R’D
R”C R”D
MB MC
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b),(c),(d),
(e)四种静定梁均
可被选为超静定梁
(a)的基本静定梁。
对中间支座很
多的这类超静定梁
(工程上叫 连续梁
Continuous Beam),
以 (e)形式的基本
梁来求解最方便。
§ 6-6 简单超静定梁的解法
Calculation of Simple Statically Indeterminate Beam
用 变形比较法 (Method of Deformation Contrast)解简单的超
静定梁的要点是,基本梁在未知外载和未知反力作用下,对应点的变
形应与超静定梁相同 。
例如,在求解图示一次超静定梁问
题时。可选取右中图所示的静定基,或
者右下图所示的静定基。下面按右中
图所示来求解此问题,
几何关系, 0???
AAmAqA qqq
本构关系,
EI
lm
EI
ql B
AmAq A 3,24
3
??? qq
故得
补充方程, 0
324
3
?? EIlmEIql B
)(8
2ql
m B ?
解此
方程,得, 在此多余反力作用下,静定基与原超静定梁等价 。 (指两者的反力、内力、变形、位移等等
均相同 )故此超静定梁的剪力和弯矩如上图示。
§ 6-6 简单超静定梁的解法
Calculation of Simple Statically Indeterminate Beam
)(12
7
:
12
7
:
)5666(
12
7
3
4
34
34
AaIl
Aqa
N
EA
Nl
EI
Na
EI
qa
EI
Na
EI
qa
fff
EA
Nl
llf
N
A
q
AA
ADADA
?
?
??
??
????
????
解得
故得
和习题参见例题例题 6-9(P296)
§ 6-6 简单超静定梁的解法
Calculation of Simple Statically Indeterminate Beam
例题 6-10(P298),q=20kN/m,l1=4m,
P=30kN,l2=5m,a=3m,b=2m。
EI
lM
E I l
blP a b
EI
lM
EI
ql
B
M
BBB
B
M
BqBB
BB
B
P
B
36
)(
"""
324
'''
"'
2
2
2
1
3
1
?
?
?
??
?????
?
qqq
qqq
qq
作弯剪图如左图示。
从静定基可求得
易解得
,35.6636.1895.47
64.11,05.32
:
80.31:
kNR
kNRkNR
k N mM
B
CA
B
???
??
??
§ 6-7(1) 支座沉陷对超静定梁的影响
?
?
?
?
?
? ???
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
????
???
?????
????
????
???
??
2
3
8
3
2
24
5
4
1
:
2624
5
48
)2(
384
)2(5
:,
,
2
3
3
34
34
11
CA
BCA
CA
BB
CA
B
B
B
BRBqB
BB
CA
l
EIql
RR
l
EI
qlR
EI
lR
EI
ql
EI
lR
EI
lq
fff
b
f
B
易解得
应有所示静定基对图
§ 6-7(2) 不均匀变温对超静定梁的影响
BB
BB
BmBRTBB
BmBRTBB ffff
b
qqqq ?
?
???
???
:,)( 应有所示静定基对图
如图示结构,当梁的上表面
温度由 T0上升到 T1,下表面温度
由 T0上升到 T2时 (不妨设 T2> T1)。
若温度沿梁高均匀变化,则在小
变形时,
2
)()(
2
020121 TTTTTTT ?????????
平均变温
将只引起此 超静定梁的变温轴力。
1212 TTTTT ???????
变温差
将 只引起此 超静定梁的变温剪力
和变温弯矩。故,
其中的 fB?T和 qB?T可按下图推导如下,
§ 6-7(2) 不均匀变温对超静定梁的影响
h
lTT
f
h
lTT
x
h
TT
yx
h
TT
y
dx
dy
h
TT
dx
yd
dx
dy
h
TT
dx
d
dx
h
TT
d
TBTB
x
x
2
)()(
:
2
)()(
:
0,0:
)(
,
)()(
2
1212
21212
0
0
12
2
2
1212
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
???
??
?
?
?
?
??
q
??
q
?
q
?q?
q
??
故
易得
因边条为??
作业,6-31,
6-32,6-34
求解
结果参见
(P305)