材 料 力 学
第六章 弯曲变形
Deformations in Bending
研究梁的变形有二个 主要目的,
① 对梁进行刚度计算和校核 ;
② 用于求解超静定梁。
q
A BC
y
x
P
C’ f
B
fC
q
x
§ 6-1 概述 Introduction
一,基本概念 (Basic Concepts):
在本章,我们只限于研究平面弯曲梁的变形和位移。
在平面弯曲条件下,梁的直轴线受载变形后,成为载荷作用平面
内的一条平面曲线 -----挠度曲线 (挠曲线 Deflection Curve),它又
叫 弹性曲线 (Elastic Curve)。
由图可见,弯曲使梁上任一横截面 (如 C截面 )产生 移动 和绕中性
轴的 转动 。梁横截面形心的垂直位移 (如 CC’=fC)称为 挠度 (Deflection),
用 y表示 (因变形前梁轴在 x轴上 )。规定,挠度 y向下为正,向上为负。
转角 q顺时针为正,逆时针为负。梁横截面相对于原来的位置转动的角度 (如 C→
C’点的 q)称为 转角 (Angle
of Rotation),常用 q表示。
由图易见, )(5 以弧度计qqqq dxdytgo ???? ??
注,梁横截面形心的水平
位移为二阶微量 (dx<<y);
通常忽略不计。
§ 6-2(1) 梁的挠曲线近似微分方程
Differential Equation of Beam Deflection Curve
??
??
??
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)(
1)15....(1
推广到
xM
x
M
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横力弯曲
由 (5-1)式知,
2
3
2
2
2
1
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时如
时如
注意到,
2
21
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易得,
EI
xM
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2
2
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因此,
注意,1,小变形时,挠曲线一般为平坦的曲线。
2,剪力 Q(x)对梁变形的影响在 (L>10h)时,相
对于弯矩 M(x)对梁变形的影响为高阶微量。故可
忽略不计剪力 Q(x)引起的位移 yQ 。
规定,x轴向右
为正,挠度 y向下为
正,则 y’’应与 M异号。
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)26(
)(
2
2
bxME I yor
a
EI
xM
dx
yd
???
???
故得,
(6-2)式即 梁的挠曲线近似微分方程。
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
)()36()( 以弧度计qq aCdxxMdxdyEIEI ????? ?
一般 M的正负与坐标轴的方向选取无关。而 y’’的正负与坐标
轴 y的方向选取有关。故易得, y轴 (↑)选取时 y’’=M/(EI);
y轴 (↓)选取时 y’’=－ M/(EI)。
本讲义的 y轴为向下 (↓)选取 !
当梁的弯矩函数确定后,即可积分 (6-2)式,求得任意 x坐标处横
截面的转角,
? ? )36()( bDCxdxdxxME I y ????? ? ?
及其挠度,
其中的 积分常数 (Integral Constant)C1和 C2可由梁对变形的约束
来确定 (其相应的条件叫 边界条件 (Boundary Conditions)。此法通常
叫 二次积分法 (Double Integration Method)。
式 (6-3a)通常叫 转角方程 (Rotative Angle Equation)
式 (6-3b)通常叫 挠度方程 (Deflectional Equation)
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
常见的边界条件, A B A B
yA=0 yB=0 qA=0,yA=0
当 M(x)为分段表示的函数时,此法需分段积分。若分 n段则
有 2n个积分常数。但仍可由边界条件和相邻段分界处的 连续条
件 (Continuity Condition)来确定。
连续条件,弹性曲线应为 连续 (曲线上任一点 y左 = y右,不断开,为
连续曲线 ),光滑 (曲线上任一点 q左 = q右,无尖角,即 dy/dx为连续函数 )
的曲线 。
Pl P
A B A B
l l
(a) (b)
在 y轴 (↓),x 轴 (→)时, y＞ 0 则 y↓ ; y＜ 0 则 y↑ ;
q＞ 0 则 q ; q＜ 0 则 q
显而易见,梁的位移不但与外载引起的梁的变形有关,而且与梁
的支座情况有关。如 图 (a),(b)的 Q,M图相同,但变形由于支座的不同
而不同。
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
例题 6－ 1图示一抗弯刚度为 EI的悬臂梁,在
自由端受一集中力 P作用。试求梁的挠曲线
方程和转角方程,并确定其最大挠度 fmax和
最大转角 qmax。
解,为了应用公式 (6－ 2b)求解,首先写出此
梁的弯矩方程。为此,可取 x处横截面右侧
梁段,由荷载 P直接写出,M(x)= -P(l-x) (l)
将式 (1)中的 M(x)代入公式 (6－ 2b),即得挠曲线近似微分方程,
EIy”=-M(x)=Pl-Px (2)
然后通过两次积分，即得, EIy'=Plx-Px2/2+C (3)
EIy = Plx2/2－ Px3/6+Cx+D (4)
在悬臂梁中,边界条件是固定端处的挠度和转角都等于零。
即在 x=0处,y’=0 ;在 x=0处,y=0 根据这两个边界条件,可得, C=0 及 D=0
将已确定的这两个积分常数代入 (3),(4)两式,即得梁的转角方程和挠曲线
方程分别为,q=y’=Plx/(EI)-Px2/(2EI) (5) 和 y = Plx2/(2EI)－ Px3/(6EI) (6)
在以上结果中,挠度为正值,说明梁变形时 B点问下移
动 ;转角为正值,说明梁变形时横截面 B沿顺时针转向转动。
根据梁的受力情况及边界条件,画出梁的挠曲线的示意图 (见图 )后可知,此梁
的最大转角 qmax和最大挠度 fmax都发生在 x=l 的自由端截面处。由 (5),(6)两式可
分别求得 qmax 及 fmax 值为, EIPlyfEIPl lxlx 3|2|
3
m a x
2
m a x ???? ?? 和qq
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
)3(2412)2(64' 4332 DCxxqxqlE I yCxqxqlE I y ?????????
例题 6－ 2 图示一抗弯刚度为 EI的简支梁,在
全梁上受集度为 q的均布荷载作用。试求此
梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大
挠度 fmax和最大转角 qmax 。
解,首先,由对称关系可知梁的两个支反力
(见图 )为, RA=RB=ql/2
然后,写出此梁的弯矩方程 )1(212)( 2qxxqlxM ??
将式 (1)中的 M(x)代入公式 (6－ 2b),再通过两次积分,可得,
在简支梁中,边界条件是左、右两
铰支座处的挠度都等于零,即,
在 x=0处,y=0 ; 在 x=l处,y=0 。 0
24120
44 ??????
? Cl
qlqlEIyD
lx及
根据这两个边界条件,由式 (3)可得,
24
3qlC ?
从而解出,于是,得梁的转角方程和挠曲线方程分别为,
)5()2(24)4()46(24' 323323 xlxlEIqxyxlxlEIqy ??????? 和q
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve )5()2(24)4()46(24' 323323 xlxlEIqxyxlxlEIqy ??????? 和q
EI
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y
y
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0
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IyED
EIE I yC x
?
?? ? q
由于梁上外力及边界条件对于梁跨中点
都是对称的,因此,梁的挠曲线也应是对称的。
由图可见,两支座处的转角绝对值相等,而且
都是最大值。分别以 x=0及 x=l代入式 (4)可得
最大转角值为,
又因挠曲线必为一光滑曲线,故在对称的挠曲线中,最大挠度必在梁跨中点
x=l/2处。所以其最大挠度值为,
从以上两例题知,
(6-3a)和 (6-3b)两式中
的积分常数 C,D的几
何意义为,
式中,q0和 y0分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
)1(& lPaRlPbR BA ??
??
?
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)(0
)(1)()()()(
ax
axaxuaxuaxPxRxM
A 式中单位阶跃函数
例题 6－ 3 图示一抗弯刚度为 EI的简支
梁,在 D点处受一集中荷载 P作用。试求
此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定
其最大挠度和最大转角。
解,此梁的两个支反力 (见图 )为,
利用单位阶跃函数,全梁的弯矩方程可表示为,
积分 得 梁的转角方程和挠曲线方程为,
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33
0
22
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6
)(
6
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l
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§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
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作业,6-2,
6-8,6-13
)(6 220 bllPbEI ??q因为简支梁的 y0=0,yl=0 。易得,
xbl
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Pb
axu
ax
P
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故,
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
)43(
48
)(
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2
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0 6 2 5.0
1648
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0 6 4 1 5.0
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)(
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limlim
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EI
Plff
lbc 48|
3
2m a x
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现结合此例,讨论简支梁 fmax的近似计算的问题,
表明在极端的情
形 fmax的位置仍然靠
近跨中。
这表明,在此极端情形,两者相差也不超过梁跨中点挠度的 3%。
因此,在简支梁中,不论它受什
么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,
其最大挠度值都可用梁跨中点处的
挠度值来代替,其精确度是能满足工
程计算要求的。当集中荷载 P作用在
简支梁的中点处,即 a=b=l/2时,则,
EI
Pl
lbBA 16|
2
20m a x
????? ?qqqq
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
在以上两个关于简支梁的例题中,
都曾引用了 x=l,y=0这一边界条件。其
含意是,在梁的 x= l 的右支座处,支承条
件为挠度等于零 。 如 § 6-1中所述,计算
中略去了截面沿 x轴方向的线位移 。 事
实上,在梁受力而轴线变弯以后,右支座
到坐标原点 (即左支座处 )的距离已不是
l 。 下面来讨论这一问题 。
由 § 5-2得知,梁受力后中性层是既不伸长也不缩短的,因而梁的轴线 AB在变成挠
曲线 AB’后其长度不变。由此可知,梁的 B端必产生一水平位移 l=BB’(如图 ),而 l
值即等于梁的原长 l 与挠曲线的弦长 AB’之差。为了求得这一差值,可先求出挠曲
线上任一长度元素 ds与它在 x轴上的投影长度 dx之差,然后将其沿整个梁长积分。
)
2
1
111(
2
1
11
222
22
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dx
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dx
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dx
dy
dx
dx
dy
dxdydxdxds
?
长度 ds与其水
平投影 dx之差为,
故 得梁端
的水平位移,
)46(21 0
2
???????? ? l dxdxdyl
通常这个位移是非常小的。故在一般情况下计算梁的弯矩和剪力以及挠度和
转角时,都不考虑梁跨长 l值的改变 。 但在有些计算中可能要计及这一微小位移,如
压杆稳定性问题 。 这将在第十三章中介绍 。
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
由以上例题易得,
当梁受到指向相同的横向荷载 (分布荷载或集中荷载 )作用时,悬
臂梁的最大转角和最大挠度总是发生在自由端的截面处 。而 简支梁
的最大转角总是发生在左支座或右支座截面处 。至于 简支梁的最大
挠度,根据求函数极值的原理,将发生在 y’=0的截面处。但由于梁变
形的连续性,在指向相同的横向荷载作用下,其最大挠度 可用梁跨中
点处的挠度值来代替 。
其实,只要 梁上弯矩不变号 (因为 EIy”=－ M(x),故此时 挠曲线上
无拐点 ),则以上结论就成立。
弯 矩 需分段表示时 EIy”=M之积分的 积分常数等同法则,
(此法则由 Clebsch.A.首先提出 )
(1) 全部梁段的坐标原点都定在同一点 (左端点或右端点 。 本书统一定在左端点 。
x轴 →为正 )。 同时在列弯 矩 表达式时,让被表达的区段包含坐标原点 (如本书
统一规定弯 矩 以左边脱离体写出 )。
(2) 分段点以右梁段 (原点在左端时 )的积分,对新增弯 矩项 (如 q(x-a)2/2;P(x-
b);M(x-c)),变量 (x-a)or(x-b)or(x-c)积分时不展开,直接积分。这样能保证
右段的积分为左段积分各项 +新增外载项积分。
(本方法适用的前提,小变形 )
由 d2M/dx2=q,d2y/dx2=－ M/EI 及 dM/dx=Q,dy/dx=q ;
和 dQ/dx=q,dq/dx=－ M/EI 易知,
Q,M 为外载的齐次线形函数；
同时, q,y 仍为外载的齐次线形函数。
故我们可由简单荷载的 θ,y值叠加组合求复杂荷载的 θ,y值,
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
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111
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qqqqqq
qqqq
作业,6-19,
6-21
根据附录 Ⅳ(PP436 -441),可按 叠加法来计算梁上的 最大挠度
和最大转角。
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
第六章 弯曲变形
Deformations in Bending
研究梁的变形有二个 主要目的,
① 对梁进行刚度计算和校核 ;
② 用于求解超静定梁。
q
A BC
y
x
P
C’ f
B
fC
q
x
§ 6-1 概述 Introduction
一,基本概念 (Basic Concepts):
在本章,我们只限于研究平面弯曲梁的变形和位移。
在平面弯曲条件下,梁的直轴线受载变形后,成为载荷作用平面
内的一条平面曲线 -----挠度曲线 (挠曲线 Deflection Curve),它又
叫 弹性曲线 (Elastic Curve)。
由图可见,弯曲使梁上任一横截面 (如 C截面 )产生 移动 和绕中性
轴的 转动 。梁横截面形心的垂直位移 (如 CC’=fC)称为 挠度 (Deflection),
用 y表示 (因变形前梁轴在 x轴上 )。规定,挠度 y向下为正,向上为负。
转角 q顺时针为正,逆时针为负。梁横截面相对于原来的位置转动的角度 (如 C→
C’点的 q)称为 转角 (Angle
of Rotation),常用 q表示。
由图易见, )(5 以弧度计qqqq dxdytgo ???? ??
注,梁横截面形心的水平
位移为二阶微量 (dx<<y);
通常忽略不计。
§ 6-2(1) 梁的挠曲线近似微分方程
Differential Equation of Beam Deflection Curve
??
??
??
? ? )(
)(
1)15....(1
推广到
xM
x
M
??
横力弯曲
由 (5-1)式知,
2
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1
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注意到,
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21
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易得,
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因此,
注意,1,小变形时,挠曲线一般为平坦的曲线。
2,剪力 Q(x)对梁变形的影响在 (L>10h)时,相
对于弯矩 M(x)对梁变形的影响为高阶微量。故可
忽略不计剪力 Q(x)引起的位移 yQ 。
规定,x轴向右
为正,挠度 y向下为
正,则 y’’应与 M异号。
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)(
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故得,
(6-2)式即 梁的挠曲线近似微分方程。
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
)()36()( 以弧度计qq aCdxxMdxdyEIEI ????? ?
一般 M的正负与坐标轴的方向选取无关。而 y’’的正负与坐标
轴 y的方向选取有关。故易得, y轴 (↑)选取时 y’’=M/(EI);
y轴 (↓)选取时 y’’=－ M/(EI)。
本讲义的 y轴为向下 (↓)选取 !
当梁的弯矩函数确定后,即可积分 (6-2)式,求得任意 x坐标处横
截面的转角,
? ? )36()( bDCxdxdxxME I y ????? ? ?
及其挠度,
其中的 积分常数 (Integral Constant)C1和 C2可由梁对变形的约束
来确定 (其相应的条件叫 边界条件 (Boundary Conditions)。此法通常
叫 二次积分法 (Double Integration Method)。
式 (6-3a)通常叫 转角方程 (Rotative Angle Equation)
式 (6-3b)通常叫 挠度方程 (Deflectional Equation)
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
常见的边界条件, A B A B
yA=0 yB=0 qA=0,yA=0
当 M(x)为分段表示的函数时,此法需分段积分。若分 n段则
有 2n个积分常数。但仍可由边界条件和相邻段分界处的 连续条
件 (Continuity Condition)来确定。
连续条件,弹性曲线应为 连续 (曲线上任一点 y左 = y右,不断开,为
连续曲线 ),光滑 (曲线上任一点 q左 = q右,无尖角,即 dy/dx为连续函数 )
的曲线 。
Pl P
A B A B
l l
(a) (b)
在 y轴 (↓),x 轴 (→)时, y＞ 0 则 y↓ ; y＜ 0 则 y↑ ;
q＞ 0 则 q ; q＜ 0 则 q
显而易见,梁的位移不但与外载引起的梁的变形有关,而且与梁
的支座情况有关。如 图 (a),(b)的 Q,M图相同,但变形由于支座的不同
而不同。
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
例题 6－ 1图示一抗弯刚度为 EI的悬臂梁,在
自由端受一集中力 P作用。试求梁的挠曲线
方程和转角方程,并确定其最大挠度 fmax和
最大转角 qmax。
解,为了应用公式 (6－ 2b)求解,首先写出此
梁的弯矩方程。为此,可取 x处横截面右侧
梁段,由荷载 P直接写出,M(x)= -P(l-x) (l)
将式 (1)中的 M(x)代入公式 (6－ 2b),即得挠曲线近似微分方程,
EIy”=-M(x)=Pl-Px (2)
然后通过两次积分，即得, EIy'=Plx-Px2/2+C (3)
EIy = Plx2/2－ Px3/6+Cx+D (4)
在悬臂梁中,边界条件是固定端处的挠度和转角都等于零。
即在 x=0处,y’=0 ;在 x=0处,y=0 根据这两个边界条件,可得, C=0 及 D=0
将已确定的这两个积分常数代入 (3),(4)两式,即得梁的转角方程和挠曲线
方程分别为,q=y’=Plx/(EI)-Px2/(2EI) (5) 和 y = Plx2/(2EI)－ Px3/(6EI) (6)
在以上结果中,挠度为正值,说明梁变形时 B点问下移
动 ;转角为正值,说明梁变形时横截面 B沿顺时针转向转动。
根据梁的受力情况及边界条件,画出梁的挠曲线的示意图 (见图 )后可知,此梁
的最大转角 qmax和最大挠度 fmax都发生在 x=l 的自由端截面处。由 (5),(6)两式可
分别求得 qmax 及 fmax 值为, EIPlyfEIPl lxlx 3|2|
3
m a x
2
m a x ???? ?? 和qq
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
)3(2412)2(64' 4332 DCxxqxqlE I yCxqxqlE I y ?????????
例题 6－ 2 图示一抗弯刚度为 EI的简支梁,在
全梁上受集度为 q的均布荷载作用。试求此
梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大
挠度 fmax和最大转角 qmax 。
解,首先,由对称关系可知梁的两个支反力
(见图 )为, RA=RB=ql/2
然后,写出此梁的弯矩方程 )1(212)( 2qxxqlxM ??
将式 (1)中的 M(x)代入公式 (6－ 2b),再通过两次积分,可得,
在简支梁中,边界条件是左、右两
铰支座处的挠度都等于零,即,
在 x=0处,y=0 ; 在 x=l处,y=0 。 0
24120
44 ??????
? Cl
qlqlEIyD
lx及
根据这两个边界条件,由式 (3)可得,
24
3qlC ?
从而解出,于是,得梁的转角方程和挠曲线方程分别为,
)5()2(24)4()46(24' 323323 xlxlEIqxyxlxlEIqy ??????? 和q
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve )5()2(24)4()46(24' 323323 xlxlEIqxyxlxlEIqy ??????? 和q
EI
ql
y
y
lx
x
B
A
24'
' 30
m a x ????
?
?
q
EI
qlllll
EI
lq
yf lx 3 8 45)842(24 2
432
3
2
m a x ????? ?
)()36()( 以弧度计qq aCdxxMdxdyEIEI ????? ?
? ? )36()( bDCxdxdxxME I y ????? ? ?
0
00'
IyED
EIE I yC x
?
?? ? q
由于梁上外力及边界条件对于梁跨中点
都是对称的,因此,梁的挠曲线也应是对称的。
由图可见,两支座处的转角绝对值相等,而且
都是最大值。分别以 x=0及 x=l代入式 (4)可得
最大转角值为,
又因挠曲线必为一光滑曲线,故在对称的挠曲线中,最大挠度必在梁跨中点
x=l/2处。所以其最大挠度值为,
从以上两例题知,
(6-3a)和 (6-3b)两式中
的积分常数 C,D的几
何意义为,
式中,q0和 y0分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
)1(& lPaRlPbR BA ??
??
?
?
????????
)(0
)(1)()()()(
ax
axaxuaxuaxPxRxM
A 式中单位阶跃函数
例题 6－ 3 图示一抗弯刚度为 EI的简支
梁,在 D点处受一集中荷载 P作用。试求
此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定
其最大挠度和最大转角。
解,此梁的两个支反力 (见图 )为,
利用单位阶跃函数,全梁的弯矩方程可表示为,
积分 得 梁的转角方程和挠曲线方程为,
00
33
0
22
)(
6
)(
6
)(
2
)(
2
'
)()()()()("
E I yxEIaxu
ax
P
x
l
Pb
E I y
EIaxu
ax
P
x
l
Pb
E I yEI
axuaxPx
l
Pb
axuaxPxRxME I y
A
????
?
???
???
?
????
??????????????
?
q
?
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
)(
6
)(
6
)(
)(
6
m a x
22
0
时当 ba
l E I
alP a b
l E I
blP a b
bl
l E I
Pb
lxB
A
??
?
???
?
????
?
qqq
)43(
48
)(
39
22
2
322
0'm a x
bl
EI
Pb
f
bl
l E I
Pb
yf
lx
y
??
????
?
?
3
)2(
3
0'
)(0)2(
3
|'
0)(
6
|'
22
1
22
0
baabl
xy
baal
P a b
E I y
bl
l
Pb
E I y
ax
x
?
?
?
????
????
???
?
?
时当
作业,6-2,
6-8,6-13
)(6 220 bllPbEI ??q因为简支梁的 y0=0,yl=0 。易得,
xbl
l
Pb
axu
ax
P
x
l
Pb
E I y
bl
l
Pb
axu
ax
P
x
l
Pb
E I yEI
)(
6
)(
6
)(
6
)(
6
)(
2
)(
2
'
22
33
22
22
????
?
???
????
?
????q
故,
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
)43(
48
)(
39
22
2
322
0'm a x
bl
EI
Pb
f
bl
l E I
Pb
yf
lx
y
??
????
?
?
EI
P b l
EI
P b l
EI
Pbl
bl
EI
Pb
f
EI
P b l
lE I
P b l
bl
lE I
Pb
f
b
lx
b
bb
222
22
2
23
322
m a x
0 6 2 5.0
1648
3
)43(
48
limlim
0 6 4 1 5.0
39
)(
39
limlim
?????
?????
?
?
?
??
dd
dd
llblxblx
bb
0, 5 7 733limlim3
22
010
22
1 ??
?????
??
?
EI
Plff
lbc 48|
3
2m a x
?? ?
现结合此例,讨论简支梁 fmax的近似计算的问题,
表明在极端的情
形 fmax的位置仍然靠
近跨中。
这表明,在此极端情形,两者相差也不超过梁跨中点挠度的 3%。
因此,在简支梁中,不论它受什
么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,
其最大挠度值都可用梁跨中点处的
挠度值来代替,其精确度是能满足工
程计算要求的。当集中荷载 P作用在
简支梁的中点处,即 a=b=l/2时,则,
EI
Pl
lbBA 16|
2
20m a x
????? ?qqqq
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
在以上两个关于简支梁的例题中,
都曾引用了 x=l,y=0这一边界条件。其
含意是,在梁的 x= l 的右支座处,支承条
件为挠度等于零 。 如 § 6-1中所述,计算
中略去了截面沿 x轴方向的线位移 。 事
实上,在梁受力而轴线变弯以后,右支座
到坐标原点 (即左支座处 )的距离已不是
l 。 下面来讨论这一问题 。
由 § 5-2得知,梁受力后中性层是既不伸长也不缩短的,因而梁的轴线 AB在变成挠
曲线 AB’后其长度不变。由此可知,梁的 B端必产生一水平位移 l=BB’(如图 ),而 l
值即等于梁的原长 l 与挠曲线的弦长 AB’之差。为了求得这一差值,可先求出挠曲
线上任一长度元素 ds与它在 x轴上的投影长度 dx之差,然后将其沿整个梁长积分。
)
2
1
111(
2
1
11
222
22
22
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
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?
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??
?
?
?
?
?
??????
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dx
dy
dx
dx
dy
dxdydxdxds
?
长度 ds与其水
平投影 dx之差为,
故 得梁端
的水平位移,
)46(21 0
2
???????? ? l dxdxdyl
通常这个位移是非常小的。故在一般情况下计算梁的弯矩和剪力以及挠度和
转角时,都不考虑梁跨长 l值的改变 。 但在有些计算中可能要计及这一微小位移,如
压杆稳定性问题 。 这将在第十三章中介绍 。
§ 6-2(2) 梁挠曲线近似微分方程的积分
Integration Method of Elastic Curve
由以上例题易得,
当梁受到指向相同的横向荷载 (分布荷载或集中荷载 )作用时,悬
臂梁的最大转角和最大挠度总是发生在自由端的截面处 。而 简支梁
的最大转角总是发生在左支座或右支座截面处 。至于 简支梁的最大
挠度,根据求函数极值的原理,将发生在 y’=0的截面处。但由于梁变
形的连续性,在指向相同的横向荷载作用下,其最大挠度 可用梁跨中
点处的挠度值来代替 。
其实,只要 梁上弯矩不变号 (因为 EIy”=－ M(x),故此时 挠曲线上
无拐点 ),则以上结论就成立。
弯 矩 需分段表示时 EIy”=M之积分的 积分常数等同法则,
(此法则由 Clebsch.A.首先提出 )
(1) 全部梁段的坐标原点都定在同一点 (左端点或右端点 。 本书统一定在左端点 。
x轴 →为正 )。 同时在列弯 矩 表达式时,让被表达的区段包含坐标原点 (如本书
统一规定弯 矩 以左边脱离体写出 )。
(2) 分段点以右梁段 (原点在左端时 )的积分,对新增弯 矩项 (如 q(x-a)2/2;P(x-
b);M(x-c)),变量 (x-a)or(x-b)or(x-c)积分时不展开,直接积分。这样能保证
右段的积分为左段积分各项 +新增外载项积分。
(本方法适用的前提,小变形 )
由 d2M/dx2=q,d2y/dx2=－ M/EI 及 dM/dx=Q,dy/dx=q ;
和 dQ/dx=q,dq/dx=－ M/EI 易知,
Q,M 为外载的齐次线形函数；
同时, q,y 仍为外载的齐次线形函数。
故我们可由简单荷载的 θ,y值叠加组合求复杂荷载的 θ,y值,
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
)(
111
??????
??????
???
n
i
ei
m
e
m
n
i i
PP
n
i i
e
mPq
e
mPq
yyyy
qqqqqq
qqqq
作业,6-19,
6-21
根据附录 Ⅳ(PP436 -441),可按 叠加法来计算梁上的 最大挠度
和最大转角。
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
§ 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Method of Superposition
