材 料 力 学
第五章 弯曲应力
Stresses in Bending
，故正应力的合力不可能产生 Q向
分量。 (即 σ不能在面内合成 Q)。同理,因为 τ在 截
面内恒通过截面形心 (面内水平轴 )。故不能产生
绕此面内水平轴的合力矩 M。
§ 5-1 引言 Introduction
QndAFd ??? ??? ?
由上一章我们知弯曲变形的内力为 Q和 M。因内
力是截面上分布内力的合力。而截面上一般存在两
种分布内力的集度 —— 剪应力 τ(面内应力 )和正应
力 σ(法向应力 )。由理力知识我们知,
QdAMdA ?? ?? ;因此,。
若梁在某段内各横截面上的剪力为零,弯矩为
常量,则该段梁的弯曲就称为 纯弯曲 (Pure Bending)。
平面纯弯曲 是弯曲理论中最基本的情况。
和 ch2轴向拉压与 ch4圆轴扭转一样，分析了杆弯曲变形的内力 —
Q,M后，还需进一步分析梁的应力分布和计算，才能解决工程中
的强度计算等实际问题。
和前面一样，由内力 → 应力需通过对梁的变形几何，物理关系，
静力平衡三方面综合研究。 由于,,MdA ??
§ 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Normal Stress of Beam
m
A B
+
D
P P
P a
M故我们先研究以 M为主的简单梁 — 纯弯曲梁 (Pure Bending Beam):Q≡0的梁 (或梁段 )。例如,
另对应有,横力弯曲 (shear bending,
transverse bending):
梁内 (或梁段内 )Ｑ ≠0
平面纯弯曲 == 平面弯曲 + 纯弯曲
纯弯曲的 M作用在梁的纵向对称
平面内 (Oxy平面 )，对应,
平面横力弯曲 == 平面弯曲 +横力弯曲
现以平面纯弯曲梁（梁的平面假设成立的前提）为条件推导梁
的正应力公式,
§ 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Normal Stress of Beam
③ 梁宽方向的变形说明纤维产生了与泊桑
比有关的 (横向 )拉伸与压缩的现象 。
A B
1 2
1 2
a b
dc
dx
m e
m e
中性轴
1 2
a b
dxc d
1 2
5-2-1,平面纯弯曲的实验研究
变形特点,
① １－１与２－２变
形后仍为直线,仍与变形
后的轴线垂直。只是相对
原来位置转动了一个角度。
②纵向直线 (ab)和 (cd)
弯成圆弧线 (曲线 )。故凹
面纤维 (如弧 ab)缩短而凸
面纤维 (如弧 cd)伸长。
因变形连续,故中间必存在一层纤维变形前后长度相等,称此层纤维
为 中性层 (neutral surface)。中性层 ⊥ 纵向对称面 (外力的作用面 ),故纤维
的变形和它在梁的宽度上的位置无关。中性层与横截面的交线称为 中性
轴 (neutral axis)
§ 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Normal Stress of Beam
y
x
z ( 中性轴）
m
m
5-2-1,平面纯弯曲的实验研究
由以上的特点可抽象如下的假设,
① 平面假设 (Plane section assumption):
在纯弯曲时，变形前为平面的横截面。变形后仍为平面。
②纵向纤维的变形与它在横截面宽度上的位置无关。
0???z?(即, ;?依横截面的高度 y改变）
③ 各纵向纤维间
没有挤压。
梁弯曲的 平面假设,
梁在受力弯曲后,
其原来的横截面仍为
平面,它绕其上的 中性
轴 旋转了一个角度,且
仍垂直于梁变形后的
轴线 。
dxcd ?
§ 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Normal Stress of Beam
O 1 O 2
1
1 2
2
d d
O'
M M=m e
y
z
dA
y
在纯弯曲时由对称性和圣维南原理,一般对各向同性均匀
连续材料梁均成立。此即 梁的变形几何关系 。
?? y?
物理,将 关系代入 (a)式,即得平面弯曲梁的正应力随 y的变
化关系。如,
)(??? ?
)(,)( 受压边受拉边
nn
n yAyAA
??
? ??
?
?
???
????
???
?
???
?????
??????
?? ddxoo ??21
?? dydc )( ??
)(,)( ayyd dydddx dxdycd cdcd ??????? ???????? ???????????
5-2-2,弯曲 正应力 的公式推导几何,
如图取变形后的 dx微段
梁来研究，中性层上的弧长
cd段的纤维变形前长
变形后长 (M为正时 ):
因此距中性层为 y的一
层纤维 cd的线应变为,
式中 ?为中性层变形后的曲率半径 (Radius of curvature),1/ ?为曲率 (curvature)
§ 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Normal Stress of Beam 5-2-2,弯曲正应力的公式推导
).,,,, (; cypct ????? ????????? ②①
??? ??? AA yA z dAzMdAyMdAN ;;; ???
0,??????? ?? yzyzAAy Iyz y d AdAzM 为对称轴，故因???
)15.,,, (12 ????????????? ? MdAyM zA ???? 简记为
物理, 对工程中常用的材料，我们可以假设,
由 (c)式知道,?在横截面上成
线性分布 (对线弹性材料而言 )
因 (c)式中的 ?还不知道,中性轴位置 (y值 )也不知道,需由静力学关系求解。
静力学,(对平行力系有,)
注意到横截面上, 0,,0 ???
yz MMMN
,0??????? ?? zAA Sy d AdA ???故
对指定截面
为常数,可提到
面积分之外。
0;0 ???? zS?? 表示 中心轴应通过横截面的形心 。
(5-1)式为 研究弯
曲问题的一个基
本公式 。
)25.,,, ( ??? My?
代入
(c)得, 式中 M是需求应力之横截面上的弯矩 ;I是此横截面对中性轴的轴惯矩 ; y是需求应力处到中性轴的垂直坐标。
§ 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Normal Stress of Beam 5-2-2,弯曲正应力的公式推导
)25.,,, ( ??? My?
(凸边受拉,凹边受压 )
② 式 表明,曲率 1/?(表示梁变形的程度 )∝M ;
1/?∝1/EI 。)15.,,, (1 ???? M?
故 轴线越弯曲 ; 轴线变形越小 (越平缓 ) 。??M ??EI
I的物理意义,梁按其截面的形状和尺寸具有的抵抗弯曲 (变形 )
的能力。
中性轴 (z)通过横截面形心,垂直于外力作用平面 (oxy)。故 oxyz
构成一直角坐标系 。 如果我们不计 M的正负和 y的正负,得求 б 大小
的公式 由此式求出 б 的大小后,根据 M 的正负很
容易确定 б 的正 (拉应力 )负 (压应力 )应为,
(M >0时,上压下拉 ; M <0时,上拉下压 )
讨论,
① 式 (5— 2)表明 б ∝ y;б 在中性轴为 0;在上,下边沿 б 最大。
假如中性轴 z为对称轴； ??
m a xm a x ct ?? ； б ∝M ； б ∝1/I 。
因此,EI叫梁的 抗弯刚度 (Flexural Rigidity)
§ 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Normal Stress of Beam 5-2-2,弯曲正应力的公式推导
dx
d θ
d θ
M M
dxEIMdxMMddTdU
2
2
1
2
1
2
1 ????
??
∵M 从 (0→M) d θ 从 (0→d θ )且与 M成正比
故全梁的 弯曲变形能,
?
?? ?? ll dxEIMdUU 0 22)25.,,, ( ??? My?
)15.,,, (1 ???? M?
③ 如右图,微段 dx内的弯曲变形能,
④ 式 (5-1)和式 (5-2)的适用范围, a,线弹性材料,б max≤ б p
b.纯弯曲梁的弹性力学解表明平面假设在纯弯曲梁中成立。
c.对纯弯曲梁，使用 (5-2)式时 y轴 (& z轴 )必须为形心主轴。
d.对平面横力弯曲,if l/h>5时 Q引起的 б (由平面不均匀翘曲所致 )
很小。同时外载引起的压应力 (б y)可忽略 (微挤压；微均匀翘曲 )。
此时可用式 (5-2)计算平面横力弯曲的应力 б =M(x)y/I(其精度一般
满足工程的需要 ),用 (5-1)式计算梁的曲率 K=1/ρ =M(x)/EI
e.当梁为无对称轴的实体梁 时,情况比较复杂。 需在研究了 ?的分
布规律时才能讨论横力弯曲问题 。
§ 5-3 梁的正应力强度条件
Strength Condition of Normal Stress)'25.,,, ()()( ??? yxMx?
)55],,,, ([][,m a xm a xm a xm a xm a xm a x ayMyM ?????? ? ?????
)55.,,, (][m a x b
W
M ?? ?
由前节讨论 ④ d.知 式 (5-2)可推广应用于平面横力弯曲的正应力
计算,当梁的跨长远大于梁高时 ( l>>h ),其精度一般满足工程的需要。
此时,因 M=M(x),故 正应力 [???(x)]也将为横截面位置坐标 x的函数 。
由此得,平面横力弯曲梁的最大正应力将发生在弯矩数值最大的
横截面 (叫,危险截面 )上离中性轴最远处 (叫,危险点 )。因而,其强度
条件可表达为,
m axy
IW ?
若定义, 叫 抗弯截面模量 (section modulus in
bending,为 一个 与 横截面的大小和形状有关
的几何量,其量纲为 [L3],常用单位为 mm3或 m3)。
则 平面弯曲梁的
强度条件可表达为,
z
y2
y1
§ 5-3 梁的正应力强度条件
Strength Condition of Normal Stress )55.,,, (][m a x bWM ?? ? )55],,,, ([m a xm a x ayM ??? ?
式中 〔 б 〕 为弯曲许用正应力。可查有关规范。 (5— 5)式同样能
解决三类常用工程强度问题,① 强度校核 ②计算容许荷载
③选择横截面尺寸。 常见横截面的 I和 W:
6,12
23 hbWhbI
zz ??6,12
23 hbWbhI
zz ??
矩形,立放,平放
6,12
34 aWaI
zz ??
正方形, (W为对过形心的与边平行的轴之量 )
32,64
34 dWdI
zz ??
?? ??圆形, 型钢,可直接查表
对脆性材料制成的梁,当其横截面的中性轴不是对称轴,且梁上同
时承受有正负弯矩时,其强度条件应为,(如右上图所示 )
][}{
2
m i nm a xm i n
1
m a xm a xm a x
m a x cc
W
M
I
yM
W
M
I
yM
?? ?
?
?
?
下
上
][}{
1
m i nm a xm i n
2
m a xm a xm a x
m a x tt
W
M
I
yM
W
M
I
yM
?? ?
?
?
?
上
下
)(102 4 6 71 5 2103 7 5][][ 33
6
ma x mmMW
z ??
???
?
§ 5-3 梁的正应力强度条件
Strength Condition of Normal Stress
例题 5-3 图 a所示的楼板主梁由工字钢制
成。钢的许用弯曲正应力 [?]=152MPa,试
选择工字钢的号码。
解,由于此梁两端稍有转动及伸缩的可能,
故计算简图可取为简支梁 (图 b)。根据题
意,本例题应按弯曲正应力强度条件公式
(5-5)作截面选择。为此,先作出此梁的弯
矩图 (图 b)。由图可见,梁的最大弯矩值为
Mmax=375kNm
根据 Mmax和 [?]值,由公式 (5-5)可求出此
梁所必需的抗弯截面系数 Wz为
此值虽小于所必需的 Wz=2467cm3。但相差还不到 1%。因此,采用此工
字钢时最大正应力未 超过许用弯曲正应力 [?]的 5%,故可选用 56b号工字钢。
由型钢规格表 (P433)查得 56b
号工字钢的 Wz为, Wz=2447cm3
1 5 9, 6 M P a]5 %) [(11 5 3, 2 5 M P a102 4 4 7 103 7 5 3
6
m a x
m a x ?????
??? ??
W
M
例题 5-4 跨长 l=2m的铸铁梁受力如图 a所示 。 已知材料的拉, 压许用应
力分别为 [?t]=30MPa和 [?c]=90MPa。 试根据截面最为合理的要求,确定 T
字形截面梁横截面的一个尺寸 d(图 b),并核核此梁的强度 。
)1(.,,,,,319030][ ][
2
121
m a x
m a x ?????
c
t
zzc
t
y
y
I
My
I
My
?
?
?
?
§ 5-3 梁的正应力强度条件
Strength Condition of Normal Stress
式 (1)就是确定中性轴即形心轴位置 yC(图 b)的条件。
再考虑到 y1＋ y2=280mm(图 b)这一关系,即得 yC=y2=210mm,.(2)
显然,yC值与横截面尺寸有关,因此,式 (2)就成为确定 d的依据。
解,因全梁弯矩同号,
要使这一截面最合理,
必须使梁的同一横截
面上的最大拉应力与
最大压应力 (图 c)之比
?tmax/?cmax与相应的许用应力之比 [?t]/[?c]相等。因为这样就可使材料的
拉、压强度得到同等程度的利用。 故有,
式中的 y1,y2见图 b。
根据形心坐标公
式 [参见附录 I中的
公式 (I－ 2a)]及图 b
中所示尺寸,并利用
式 (2)列出如下等式,
mmyy C 2 1 02 ??
mm
y C
2 1 0
2 2 0602 2 0
)302 8 0(2 2 0601 1 0)602 8 0(
?
??
??????
d
d
)(109 9, 1 7 6102 1, 1 2 )3, 9 65 2, 82 1, 2 9 6(
)3070(602 2 0
12
602 2 0)1 1 02 1 0(2 2 024
12
2 2 024
466
2
3
2
3
mm
I z
???????
????????????
由此求得, d =24mm
确定 d后便可进行强度
校核。
yC
k N mPlM 404 2804m a x ????
][7.8410176.99 2101040 6
6
2m a x
m a x ?? ???
???
?? MP a
yM
c
为此,先利用平行移轴公式 (I－ 10)计算截面对中性轴的惯性矩 Iz:
再计算此梁的最大弯矩, 于是,从公式 (5-2)即可求得此梁的最
大压应力,并据此核
核强度,可见,此梁
满足强度条件。
对于此梁的最大拉应力是否还需要核核?
.)(
3
][
][5 5 8.1
86
1 3 4
m a x
2
1
不控制此梁的强度即全梁的最大压应力截面的 c
t
c
B
y
y
?
?
?
?
?????
§ 5-3 梁的正应力强度条件
Strength Condition of Normal Stress
例题 5-5 一槽形截面铸
铁梁如图 a所示。已知
b=2m,Iz=5493× 104mm4,
铸铁的许用拉应力
[?t]=30MPa,许用压应
力 [?c]=90MPa。试求此
梁的许可荷载 [P]。
解,设 P的单位为 kN。作出弯矩图 (图 c),由图可见,最大负弯矩在 B截面上,
最大正弯矩在 C截面上,其值分别为,MB=-Pb/2,MC=Pb/4。 由横截面
的尺寸可见,中性轴到上、下边缘的距离分别为,y2=86mm,y1=134mm
本题经分析可知,不管是对 C截面还是对 B
截面而言,该梁的强度均由最大拉应力控制 。
因此,只需分别算出 C截面和 B截面上的最大拉应力,然后与材料相应的
许用应力相比较,从而求出荷载 P值,并选其中较小者作为该梁的许可荷载
[P]。 具体计算过程如下,
§ 5-3梁的正
应力强度条件
kNN
by
I
P
I
P b yyM
t
t
C
t
6.24102 4, 6 0
1 3 4102
30105 4 9 34][4
][
][
4
3
3
4
1
11
m a x
???
??
???
??
??
?
?
? ?
???
kNN
by
I
P
I
P b yyM
t
t
B
t
2.1910,1 719
86102
301054932][2
][
][
2
3
3
4
2
22
m a x
???
??
???
??
??
?
?
? ?
???
C截面,
B截面,
取其中较小者,
即得该梁的许可荷载
为, [P]=19.2kN 。
(mm)
y1
y2 z
YA
P1 P2
4.5
3
M:
(kNm)
§ 5-3 梁的正应力强度条件
Strength Condition of Normal Stress
例,图示一铸铁 ⊥ 形截面外伸梁。已知,P1=40kN,P2=15kN,l=0.6m。材料的
[?]l=36MPa,[?]a=175MPa。横截面尺寸如图示。试校核此梁的强度。
解,(一 )求反力,作 M图, kNlPlP
lY A 156.0 2.0153.040)32(1 21 ?????????
作 M图如下,有,
k N mMMk N mMM Bc 3;5.4 m i nm a x ????(二 )确定形心位置
(中性轴 z的位置 )及 Iz:
)(107 3 0 8.5
328030
12
8030
2330110
12
30110
)(7238110
)(38
803030110
7080301530110
46
2
3
2
3
1
'
2
mm
I
mmy
mm
A
y
z
zs
??
???
?
?
????
?
?
???
?
???
?????
??
?
(三 )梁的强度校核,因中性轴 z不是截面对称轴,而且 M有正有负。故一般需校核 Mmax
所在截面的 ?lmax和 ?amax及 Mmin所在截面的 ?lmax。为简单起见,可再校核 Mmin截面上
的 ?amax。
故,C截面 (Mmax):
)(54.5610
107 3 0 8.5
1072105.4
)(84.2910
107 3 0 8.5
1038105.4
6
6
33
1m a x
m a x
6
6
33
2m a x
m a x
M P a
I
yM
M P a
I
yM
a
l
??
?
??????
??
?
??????
?
?
?
?
?
?
?
?
截面）C
I
yM
M P a
I
yM
aa
l
(||
)(69.3710
107 3 0 8.5
1072103||
m a x
2m i n
m a x
6
6
33
1m i n
m a x
??
?
???
??
?
?????? ?
?
?B截面 (M
min):
)(8.37
][05.169.37;][54.56
m a x
m a x
M P a
M P a
M P a
ll
aa
?
??
??
??
??
故全梁,
故此梁基本满足强度要求。
)(1069.14)(106 7 8.8
)(106 3 7.7
)(52)(88
34
2
34
1
46
21
mmWmmW
mmI
mmymmy
zz
z
????
??
??
)(1069.14
)(10678.8
)(10637.7
)(52)(88
34
2
34
1
46
21
mmW
mmW
mmI
mmymmy
z
z
z
??
??
??
??
)(1069.14
)(106 7 8.8
)(4
)(5.2
34
2
34
1
mmW
mmW
k N mM
k N mM
z
z
C
B
??
??
?
? 作业,5-2,5-9,5-23,5-26,5-29,5-34,
5-39,5-40 (选作,5-14,5-4,5-1,
5-3,5-5,5-6,5-7,5-8,5-10,5-11,5-12,
5-13,5-15,5-19~5-31)
第五章 弯曲应力
Stresses in Bending
，故正应力的合力不可能产生 Q向
分量。 (即 σ不能在面内合成 Q)。同理,因为 τ在 截
面内恒通过截面形心 (面内水平轴 )。故不能产生
绕此面内水平轴的合力矩 M。
§ 5-1 引言 Introduction
QndAFd ??? ??? ?
由上一章我们知弯曲变形的内力为 Q和 M。因内
力是截面上分布内力的合力。而截面上一般存在两
种分布内力的集度 —— 剪应力 τ(面内应力 )和正应
力 σ(法向应力 )。由理力知识我们知,
QdAMdA ?? ?? ;因此,。
若梁在某段内各横截面上的剪力为零,弯矩为
常量,则该段梁的弯曲就称为 纯弯曲 (Pure Bending)。
平面纯弯曲 是弯曲理论中最基本的情况。
和 ch2轴向拉压与 ch4圆轴扭转一样，分析了杆弯曲变形的内力 —
Q,M后，还需进一步分析梁的应力分布和计算，才能解决工程中
的强度计算等实际问题。
和前面一样，由内力 → 应力需通过对梁的变形几何，物理关系，
静力平衡三方面综合研究。 由于,,MdA ??
§ 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Normal Stress of Beam
m
A B
+
D
P P
P a
M故我们先研究以 M为主的简单梁 — 纯弯曲梁 (Pure Bending Beam):Q≡0的梁 (或梁段 )。例如,
另对应有,横力弯曲 (shear bending,
transverse bending):
梁内 (或梁段内 )Ｑ ≠0
平面纯弯曲 == 平面弯曲 + 纯弯曲
纯弯曲的 M作用在梁的纵向对称
平面内 (Oxy平面 )，对应,
平面横力弯曲 == 平面弯曲 +横力弯曲
现以平面纯弯曲梁（梁的平面假设成立的前提）为条件推导梁
的正应力公式,
§ 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Normal Stress of Beam
③ 梁宽方向的变形说明纤维产生了与泊桑
比有关的 (横向 )拉伸与压缩的现象 。
A B
1 2
1 2
a b
dc
dx
m e
m e
中性轴
1 2
a b
dxc d
1 2
5-2-1,平面纯弯曲的实验研究
变形特点,
① １－１与２－２变
形后仍为直线,仍与变形
后的轴线垂直。只是相对
原来位置转动了一个角度。
②纵向直线 (ab)和 (cd)
弯成圆弧线 (曲线 )。故凹
面纤维 (如弧 ab)缩短而凸
面纤维 (如弧 cd)伸长。
因变形连续,故中间必存在一层纤维变形前后长度相等,称此层纤维
为 中性层 (neutral surface)。中性层 ⊥ 纵向对称面 (外力的作用面 ),故纤维
的变形和它在梁的宽度上的位置无关。中性层与横截面的交线称为 中性
轴 (neutral axis)
§ 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Normal Stress of Beam
y
x
z ( 中性轴）
m
m
5-2-1,平面纯弯曲的实验研究
由以上的特点可抽象如下的假设,
① 平面假设 (Plane section assumption):
在纯弯曲时，变形前为平面的横截面。变形后仍为平面。
②纵向纤维的变形与它在横截面宽度上的位置无关。
0???z?(即, ;?依横截面的高度 y改变）
③ 各纵向纤维间
没有挤压。
梁弯曲的 平面假设,
梁在受力弯曲后,
其原来的横截面仍为
平面,它绕其上的 中性
轴 旋转了一个角度,且
仍垂直于梁变形后的
轴线 。
dxcd ?
§ 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Normal Stress of Beam
O 1 O 2
1
1 2
2
d d
O'
M M=m e
y
z
dA
y
在纯弯曲时由对称性和圣维南原理,一般对各向同性均匀
连续材料梁均成立。此即 梁的变形几何关系 。
?? y?
物理,将 关系代入 (a)式,即得平面弯曲梁的正应力随 y的变
化关系。如,
)(??? ?
)(,)( 受压边受拉边
nn
n yAyAA
??
? ??
?
?
???
????
???
?
???
?????
??????
?? ddxoo ??21
?? dydc )( ??
)(,)( ayyd dydddx dxdycd cdcd ??????? ???????? ???????????
5-2-2,弯曲 正应力 的公式推导几何,
如图取变形后的 dx微段
梁来研究，中性层上的弧长
cd段的纤维变形前长
变形后长 (M为正时 ):
因此距中性层为 y的一
层纤维 cd的线应变为,
式中 ?为中性层变形后的曲率半径 (Radius of curvature),1/ ?为曲率 (curvature)
§ 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Normal Stress of Beam 5-2-2,弯曲正应力的公式推导
).,,,, (; cypct ????? ????????? ②①
??? ??? AA yA z dAzMdAyMdAN ;;; ???
0,??????? ?? yzyzAAy Iyz y d AdAzM 为对称轴，故因???
)15.,,, (12 ????????????? ? MdAyM zA ???? 简记为
物理, 对工程中常用的材料，我们可以假设,
由 (c)式知道,?在横截面上成
线性分布 (对线弹性材料而言 )
因 (c)式中的 ?还不知道,中性轴位置 (y值 )也不知道,需由静力学关系求解。
静力学,(对平行力系有,)
注意到横截面上, 0,,0 ???
yz MMMN
,0??????? ?? zAA Sy d AdA ???故
对指定截面
为常数,可提到
面积分之外。
0;0 ???? zS?? 表示 中心轴应通过横截面的形心 。
(5-1)式为 研究弯
曲问题的一个基
本公式 。
)25.,,, ( ??? My?
代入
(c)得, 式中 M是需求应力之横截面上的弯矩 ;I是此横截面对中性轴的轴惯矩 ; y是需求应力处到中性轴的垂直坐标。
§ 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Normal Stress of Beam 5-2-2,弯曲正应力的公式推导
)25.,,, ( ??? My?
(凸边受拉,凹边受压 )
② 式 表明,曲率 1/?(表示梁变形的程度 )∝M ;
1/?∝1/EI 。)15.,,, (1 ???? M?
故 轴线越弯曲 ; 轴线变形越小 (越平缓 ) 。??M ??EI
I的物理意义,梁按其截面的形状和尺寸具有的抵抗弯曲 (变形 )
的能力。
中性轴 (z)通过横截面形心,垂直于外力作用平面 (oxy)。故 oxyz
构成一直角坐标系 。 如果我们不计 M的正负和 y的正负,得求 б 大小
的公式 由此式求出 б 的大小后,根据 M 的正负很
容易确定 б 的正 (拉应力 )负 (压应力 )应为,
(M >0时,上压下拉 ; M <0时,上拉下压 )
讨论,
① 式 (5— 2)表明 б ∝ y;б 在中性轴为 0;在上,下边沿 б 最大。
假如中性轴 z为对称轴； ??
m a xm a x ct ?? ； б ∝M ； б ∝1/I 。
因此,EI叫梁的 抗弯刚度 (Flexural Rigidity)
§ 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Normal Stress of Beam 5-2-2,弯曲正应力的公式推导
dx
d θ
d θ
M M
dxEIMdxMMddTdU
2
2
1
2
1
2
1 ????
??
∵M 从 (0→M) d θ 从 (0→d θ )且与 M成正比
故全梁的 弯曲变形能,
?
?? ?? ll dxEIMdUU 0 22)25.,,, ( ??? My?
)15.,,, (1 ???? M?
③ 如右图,微段 dx内的弯曲变形能,
④ 式 (5-1)和式 (5-2)的适用范围, a,线弹性材料,б max≤ б p
b.纯弯曲梁的弹性力学解表明平面假设在纯弯曲梁中成立。
c.对纯弯曲梁，使用 (5-2)式时 y轴 (& z轴 )必须为形心主轴。
d.对平面横力弯曲,if l/h>5时 Q引起的 б (由平面不均匀翘曲所致 )
很小。同时外载引起的压应力 (б y)可忽略 (微挤压；微均匀翘曲 )。
此时可用式 (5-2)计算平面横力弯曲的应力 б =M(x)y/I(其精度一般
满足工程的需要 ),用 (5-1)式计算梁的曲率 K=1/ρ =M(x)/EI
e.当梁为无对称轴的实体梁 时,情况比较复杂。 需在研究了 ?的分
布规律时才能讨论横力弯曲问题 。
§ 5-3 梁的正应力强度条件
Strength Condition of Normal Stress)'25.,,, ()()( ??? yxMx?
)55],,,, ([][,m a xm a xm a xm a xm a xm a x ayMyM ?????? ? ?????
)55.,,, (][m a x b
W
M ?? ?
由前节讨论 ④ d.知 式 (5-2)可推广应用于平面横力弯曲的正应力
计算,当梁的跨长远大于梁高时 ( l>>h ),其精度一般满足工程的需要。
此时,因 M=M(x),故 正应力 [???(x)]也将为横截面位置坐标 x的函数 。
由此得,平面横力弯曲梁的最大正应力将发生在弯矩数值最大的
横截面 (叫,危险截面 )上离中性轴最远处 (叫,危险点 )。因而,其强度
条件可表达为,
m axy
IW ?
若定义, 叫 抗弯截面模量 (section modulus in
bending,为 一个 与 横截面的大小和形状有关
的几何量,其量纲为 [L3],常用单位为 mm3或 m3)。
则 平面弯曲梁的
强度条件可表达为,
z
y2
y1
§ 5-3 梁的正应力强度条件
Strength Condition of Normal Stress )55.,,, (][m a x bWM ?? ? )55],,,, ([m a xm a x ayM ??? ?
式中 〔 б 〕 为弯曲许用正应力。可查有关规范。 (5— 5)式同样能
解决三类常用工程强度问题,① 强度校核 ②计算容许荷载
③选择横截面尺寸。 常见横截面的 I和 W:
6,12
23 hbWhbI
zz ??6,12
23 hbWbhI
zz ??
矩形,立放,平放
6,12
34 aWaI
zz ??
正方形, (W为对过形心的与边平行的轴之量 )
32,64
34 dWdI
zz ??
?? ??圆形, 型钢,可直接查表
对脆性材料制成的梁,当其横截面的中性轴不是对称轴,且梁上同
时承受有正负弯矩时,其强度条件应为,(如右上图所示 )
][}{
2
m i nm a xm i n
1
m a xm a xm a x
m a x cc
W
M
I
yM
W
M
I
yM
?? ?
?
?
?
下
上
][}{
1
m i nm a xm i n
2
m a xm a xm a x
m a x tt
W
M
I
yM
W
M
I
yM
?? ?
?
?
?
上
下
)(102 4 6 71 5 2103 7 5][][ 33
6
ma x mmMW
z ??
???
?
§ 5-3 梁的正应力强度条件
Strength Condition of Normal Stress
例题 5-3 图 a所示的楼板主梁由工字钢制
成。钢的许用弯曲正应力 [?]=152MPa,试
选择工字钢的号码。
解,由于此梁两端稍有转动及伸缩的可能,
故计算简图可取为简支梁 (图 b)。根据题
意,本例题应按弯曲正应力强度条件公式
(5-5)作截面选择。为此,先作出此梁的弯
矩图 (图 b)。由图可见,梁的最大弯矩值为
Mmax=375kNm
根据 Mmax和 [?]值,由公式 (5-5)可求出此
梁所必需的抗弯截面系数 Wz为
此值虽小于所必需的 Wz=2467cm3。但相差还不到 1%。因此,采用此工
字钢时最大正应力未 超过许用弯曲正应力 [?]的 5%,故可选用 56b号工字钢。
由型钢规格表 (P433)查得 56b
号工字钢的 Wz为, Wz=2447cm3
1 5 9, 6 M P a]5 %) [(11 5 3, 2 5 M P a102 4 4 7 103 7 5 3
6
m a x
m a x ?????
??? ??
W
M
例题 5-4 跨长 l=2m的铸铁梁受力如图 a所示 。 已知材料的拉, 压许用应
力分别为 [?t]=30MPa和 [?c]=90MPa。 试根据截面最为合理的要求,确定 T
字形截面梁横截面的一个尺寸 d(图 b),并核核此梁的强度 。
)1(.,,,,,319030][ ][
2
121
m a x
m a x ?????
c
t
zzc
t
y
y
I
My
I
My
?
?
?
?
§ 5-3 梁的正应力强度条件
Strength Condition of Normal Stress
式 (1)就是确定中性轴即形心轴位置 yC(图 b)的条件。
再考虑到 y1＋ y2=280mm(图 b)这一关系,即得 yC=y2=210mm,.(2)
显然,yC值与横截面尺寸有关,因此,式 (2)就成为确定 d的依据。
解,因全梁弯矩同号,
要使这一截面最合理,
必须使梁的同一横截
面上的最大拉应力与
最大压应力 (图 c)之比
?tmax/?cmax与相应的许用应力之比 [?t]/[?c]相等。因为这样就可使材料的
拉、压强度得到同等程度的利用。 故有,
式中的 y1,y2见图 b。
根据形心坐标公
式 [参见附录 I中的
公式 (I－ 2a)]及图 b
中所示尺寸,并利用
式 (2)列出如下等式,
mmyy C 2 1 02 ??
mm
y C
2 1 0
2 2 0602 2 0
)302 8 0(2 2 0601 1 0)602 8 0(
?
??
??????
d
d
)(109 9, 1 7 6102 1, 1 2 )3, 9 65 2, 82 1, 2 9 6(
)3070(602 2 0
12
602 2 0)1 1 02 1 0(2 2 024
12
2 2 024
466
2
3
2
3
mm
I z
???????
????????????
由此求得, d =24mm
确定 d后便可进行强度
校核。
yC
k N mPlM 404 2804m a x ????
][7.8410176.99 2101040 6
6
2m a x
m a x ?? ???
???
?? MP a
yM
c
为此,先利用平行移轴公式 (I－ 10)计算截面对中性轴的惯性矩 Iz:
再计算此梁的最大弯矩, 于是,从公式 (5-2)即可求得此梁的最
大压应力,并据此核
核强度,可见,此梁
满足强度条件。
对于此梁的最大拉应力是否还需要核核?
.)(
3
][
][5 5 8.1
86
1 3 4
m a x
2
1
不控制此梁的强度即全梁的最大压应力截面的 c
t
c
B
y
y
?
?
?
?
?????
§ 5-3 梁的正应力强度条件
Strength Condition of Normal Stress
例题 5-5 一槽形截面铸
铁梁如图 a所示。已知
b=2m,Iz=5493× 104mm4,
铸铁的许用拉应力
[?t]=30MPa,许用压应
力 [?c]=90MPa。试求此
梁的许可荷载 [P]。
解,设 P的单位为 kN。作出弯矩图 (图 c),由图可见,最大负弯矩在 B截面上,
最大正弯矩在 C截面上,其值分别为,MB=-Pb/2,MC=Pb/4。 由横截面
的尺寸可见,中性轴到上、下边缘的距离分别为,y2=86mm,y1=134mm
本题经分析可知,不管是对 C截面还是对 B
截面而言,该梁的强度均由最大拉应力控制 。
因此,只需分别算出 C截面和 B截面上的最大拉应力,然后与材料相应的
许用应力相比较,从而求出荷载 P值,并选其中较小者作为该梁的许可荷载
[P]。 具体计算过程如下,
§ 5-3梁的正
应力强度条件
kNN
by
I
P
I
P b yyM
t
t
C
t
6.24102 4, 6 0
1 3 4102
30105 4 9 34][4
][
][
4
3
3
4
1
11
m a x
???
??
???
??
??
?
?
? ?
???
kNN
by
I
P
I
P b yyM
t
t
B
t
2.1910,1 719
86102
301054932][2
][
][
2
3
3
4
2
22
m a x
???
??
???
??
??
?
?
? ?
???
C截面,
B截面,
取其中较小者,
即得该梁的许可荷载
为, [P]=19.2kN 。
(mm)
y1
y2 z
YA
P1 P2
4.5
3
M:
(kNm)
§ 5-3 梁的正应力强度条件
Strength Condition of Normal Stress
例,图示一铸铁 ⊥ 形截面外伸梁。已知,P1=40kN,P2=15kN,l=0.6m。材料的
[?]l=36MPa,[?]a=175MPa。横截面尺寸如图示。试校核此梁的强度。
解,(一 )求反力,作 M图, kNlPlP
lY A 156.0 2.0153.040)32(1 21 ?????????
作 M图如下,有,
k N mMMk N mMM Bc 3;5.4 m i nm a x ????(二 )确定形心位置
(中性轴 z的位置 )及 Iz:
)(107 3 0 8.5
328030
12
8030
2330110
12
30110
)(7238110
)(38
803030110
7080301530110
46
2
3
2
3
1
'
2
mm
I
mmy
mm
A
y
z
zs
??
???
?
?
????
?
?
???
?
???
?????
??
?
(三 )梁的强度校核,因中性轴 z不是截面对称轴,而且 M有正有负。故一般需校核 Mmax
所在截面的 ?lmax和 ?amax及 Mmin所在截面的 ?lmax。为简单起见,可再校核 Mmin截面上
的 ?amax。
故,C截面 (Mmax):
)(54.5610
107 3 0 8.5
1072105.4
)(84.2910
107 3 0 8.5
1038105.4
6
6
33
1m a x
m a x
6
6
33
2m a x
m a x
M P a
I
yM
M P a
I
yM
a
l
??
?
??????
??
?
??????
?
?
?
?
?
?
?
?
截面）C
I
yM
M P a
I
yM
aa
l
(||
)(69.3710
107 3 0 8.5
1072103||
m a x
2m i n
m a x
6
6
33
1m i n
m a x
??
?
???
??
?
?????? ?
?
?B截面 (M
min):
)(8.37
][05.169.37;][54.56
m a x
m a x
M P a
M P a
M P a
ll
aa
?
??
??
??
??
故全梁,
故此梁基本满足强度要求。
)(1069.14)(106 7 8.8
)(106 3 7.7
)(52)(88
34
2
34
1
46
21
mmWmmW
mmI
mmymmy
zz
z
????
??
??
)(1069.14
)(10678.8
)(10637.7
)(52)(88
34
2
34
1
46
21
mmW
mmW
mmI
mmymmy
z
z
z
??
??
??
??
)(1069.14
)(106 7 8.8
)(4
)(5.2
34
2
34
1
mmW
mmW
k N mM
k N mM
z
z
C
B
??
??
?
? 作业,5-2,5-9,5-23,5-26,5-29,5-34,
5-39,5-40 (选作,5-14,5-4,5-1,
5-3,5-5,5-6,5-7,5-8,5-10,5-11,5-12,
5-13,5-15,5-19~5-31)
