材 料 力 学
?第十二章 压杆稳定
? Stability of Compressive Bars
第十二章 压杆稳定
Stability of Compressive Bars
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula§ 12–3 临界应力总图
Critical Stress versus Slenderness ratio Curve of Columns · Overall Shape
§ 12-4 压杆的稳定计算
Calculation of Column Stability
构件的承载能力：
① 强度
②刚度
③稳定性
工程中有些构
件具有足够的强度、
刚度，却不一定能
安全可靠地工作。
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
P
一、稳定平衡与不稳定平衡,
1,不稳定平衡,
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
2,稳定平衡,
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
3,随遇平衡
V
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
4,稳定平衡和不稳定平衡的比较
二、压杆失稳与临界压力,
1.理想压杆,材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡,
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
稳
定
平
衡
不
稳
定
平
衡
3.压杆失稳, 4.压杆的临界压力
稳
定
平
衡
不
稳
定
平
衡
临界状态
临界压力, Pcr
过 度
对应的
压力
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
一、两端铰支压杆的临界力,
PyyxM ?),(
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。
yEIPEIMy ??????
① 弯矩,
② 挠曲线近似微分方程,
02 ???? yky
EI
Pk ?2
P P
x
P
x
y
PM
§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula
0???? yEIPy
引入,
可得,
§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula
③ 微分方程的解,
④ 确定积分常数,
kxBkxAy c o ss i n ??
0)()0( ?? Lyy
??
?
??
???
0c o ss i n
00:
kLBkLA
BA即
0c o s s i n 1 0 ?? kLkL
0s in ?? kL
EI
P
L
nk ??? ?
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力,故，只能取 n=1 ；且
杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2
m i n
2
LEIP cr ???
02 ???? yky
P P
x
二、此公式的应用条件：
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
?—长度系数 (或约束系数 )。
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
压杆临界力欧拉公式的一般形式
2
2
L
EIP
cr
m i n??
2
2
)(
m i n
L
EIP
cr ?
??
§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula
l
Pcr
§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula表 10–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定另端铰支 两端固定 一端固定另端自由 两端固定但可沿横向相对移动
失
稳
时
挠
曲
线
形
状
Pcr
A
B
l
临界力 Pcr
欧拉公式
长度系数 μ
2
2
l
EIP
cr
??
2
2
)7.0( l
EIP
cr
??
2
2
)5.0( l
EIP
cr
??
2
2
)2( l
EIP
cr
??
2
2
l
EIP
cr
??
?=1 ??0.7 ?=0.5 ?=2 ?=1
A
B
Pcr
l0.7
l
C
D
0.5
l
C—挠曲
线拐点
C,D—挠
曲线拐点
Pcr
l
2l
0.5
l
C—挠曲线拐点
l
Pcr
C
A
B
§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula
P
Mkyky 022 ????
0)( MPyxMyEI ???????
EI
Pk ?2:令
P
Mkxdkxcy 0s i nc o s ???
0:;0:0
????
????
yyLx
yyx
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
边界条件为,
例 1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。
P
L
P
M0
x
M
P
kxdkkxcky c o ss i n' ???
00||)( MPyMyPxM ?????
x
P
M0
P
M0
y
?
?
?
nklnm
mklklklk
P
M
y
nklklkl
P
M
ylx
kddky
P
M
c
P
M
cyx
2)2(
0s i n0s i n0'
21c o s0)c o s1(0:
)0(000'
00:0
0
0
00
??
???????
?????????
??????
????????
因此：
?
§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula
?? mkLnkLdPMc ????? 2,0,0 并解得：
2
2
2
2
)2/(
4
L
EI
L
EIP
cr
?? ??
?2?kL
为求最小临界力,, k” 应取除零以外的最小值, 即取,
所以，临界力为,
2 ?nkL ??
? = 0.5
§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula
③ 压杆的临界力
例 2 求下列细长压杆的临界力。
,12
3 hb
I y ??=1.0，
解, ① 绕 y 轴，两端铰支,
2
2
2
L
EI
P yc ry
?
?
,12
3bh
I z?
?=0.7，
② 绕 z 轴，左端固定，右端铰支,
2
1
2
)7.0( L
EIP z
c r z
??
),m i n ( c r zc r ycr PPP ?
L1
L2
y
z h
b
y
z
x
§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula
4912
3
m i n m1017.41012
1050 ?? ?????I
2
1
m i n
2
)( l
EIP
cr ?
??
48m i n m1089.3 ???? zII
2
2
m i n
2
)( l
EIP
cr ?
??
例 3 求下列细长压杆的临界力。已知,L=0.5m。
解,图 (a)
图 (b)
kN14.67)5.07.0( 20017.4 2
2
?? ??? ?
kN8.76)5.02( 200389.0 2
2
?? ??? ?
30
10
图 (a)
P
L
图 (b)
P
L
(45?45?6)
等边角钢
yz
A
Pcr
cr ??
一,基本概念
1.临界应力,
Critical Stress
3.柔度,
2
2
2
2
2
2
)/()( ?
?
?
?
?
?? E
iL
E
AL
EI
A
P cr
cr ????
2.细长压杆的 临界应力,
Slender Column
—惯性半径。— AIi ? 2
2
?
?? E
cr ?即：
）—杆的柔度（或长细比— i L?? ? Slenderness ratio
§ 12–3 临界应力总图
Critical Stress versus Slenderness ratio Curve of Columns · Overall Shape
压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
4.大 柔度杆的分界,
Pcr
E ?
?
?? ??
2
2
欧拉公式求。细长柱），其临界力用的杆称为大柔度杆（或满足 P?? ?
P
P
E ?
?
?? ?? 2
求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆，其 P?? ?
二、中小柔度杆的临界应力计算
1.直线型经验公式
① ?P<?cr<?S 时：
scr ba ??? ???? ss
b
a ??? ????
界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆，其临 Ps ??? ??
?? bacr ??
Long Column
中长柱 Intermediate-Range Column
§ 12–3 临界应力总图
Critical Stress versus Slenderness ratio Curve of Columns · Overall Shape
i
L???
cr?
界应力为屈服极限。的杆为小柔度杆，其临 S?? ?
2
2
?
?
?
E
cr
?
③ 临界应力总图
② ?<?S时,
scr ?? ?
?? bacr ??
P?
S?
b
as
s
???
?
P
P
E
?
?
?
2
?
粗短柱 Short Column
§ 12–3 临界应力总图
Critical Stress versus Slenderness ratio Curve of Columns · Overall Shape
2.抛物线型经验公式
211 ?? bacr ??
1 2 3
56.0
43.0:16
2
53 ???
S
c
EAA
?
???,锰钢钢和钢、对于
。时，由此式求临界应力 c?? ?
我国建筑业常用,
① ?cr >?P时,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2
1
c
scr ?
?
???
§ 12–3 临界应力总图
Critical Stress versus Slenderness ratio Curve of Columns · Overall Shape
例 4 一压杆长 L=1.5m，由两根 56?56?8 等边角钢组成，两端球
铰支，压力 P=150kN，角钢为 A3钢，试用 欧拉公式或抛物线公
式求 临界压力和安全系数。
4121 cm63.23,cm3 6 7.8 ?? yIA
zy II ?
cm68.13 6 7.82 26.47m i n ???? AIi 1233.8968.1150 ????? ci l ???
解,对 一个角钢,
两根角钢图示组合之后
41m i n cm26.4763.2322 ????? yy III
所以，应由抛物线公式求 临界压力。
y
z
cm68.122 01 ??? iAIi ya l l
§ 12–3 临界应力总图
Critical Stress versus Slenderness ratio Curve of Columns · Overall Shape
M P a7.18])1 2 33.89(43.01[2 3 5])(43.01[ 22 ?????
c
scr ?
???
kN304107.18110367.82 64 ??????? ?crcr AP ?
02.21 5 03 0 4 ??? PPn cr
安全系数
§ 12–3 临界应力总图
Critical Stress versus Slenderness ratio Curve of Columns · Overall Shape
一、压杆的稳定容许应力,
1.安全系数法确定容许应力, ? ?
W
cr
W n
?? ?
2.折减系数法确定容许应力, ? ? ? ???? ?
W
的函数。它是
折减系数
?
?,?二、压杆的稳定条件,
? ?WAP ?? ??
§ 12-4 压杆的稳定计算
Calculation of Column Stability
W
crcr n
P
Pn ???
?
?
其中,n为稳定工作安全系数 ;
nW为稳定许用安全系数。
1.安全系数法,
2.折减系数法,
? ???? ?? AP即,
例 6 图示起重机,AB 杆为圆松木，长 L= 6m,[? ] =11MPa，直
径 d = 0.3m。 试 求此杆的容许压力。
803.0 461 ????? iLxy ??
解,折减系数法
① 最大柔度
Oxy面内, ?=1.0
Oxz面内, ?=2.0
1 6 03.0 462 ????? iLzy ??
T1
A
B
W
T2
§ 12-4 压杆的稳定计算
Calculation of Column Stability
表明该杆易在 Oxz平面 (绕 y轴 )失稳。
? ? ? ???? ?W
? ? ? ? kN91)(109110111 1 7.04 3.0 362 ????????? NAP WBCBC ??
② 求折减系数
③ 求容许压力
117.016030003000,80,22 ???? ??? 时木杆
§ 12-4 压杆的稳定计算
Calculation of Column Stability
T1
A
B
W
T2
（ AB杆 L= 6m,[? ] =11MPa,d = 0.3m,?max=160。）
§ 12-4 压杆的稳定计算
Calculation of Column Stability
四、压杆的合理截面,
iL???
2
m i n
2
)( L
EIP
cr ?
??
m i nAIi?
ma xmi n II ? 合理
保国寺大殿的拼柱形式
故：当压杆各方向
约束相同时，有,
当压杆各方向的约束不
相同时，怎样才合理呢？ 1056年建，“双筒体”结构，塔身平面
为八角形。经历了 1305年的八级地震。
4
1
4
1
0
2
1
cm6.25,cm3.198
,cm52.1,cm74.12
??
??
yz II
zA
41 cm6.3 9 63.1 9 822 ???? zz II
???? ])2/([2 2011 azAII yy
])2/52.1(74.126.25[2 2a????
时合理即 2)2/52.1(74.126.253.1 8 9, a???
例 7 图示立柱,L=6m，由两根 10号槽钢组成，下端固定，上端为
球铰支座。 试问 a =？时，立柱的 临界压力最大，值为多少？
解, 对于单个 10号槽钢, 形心在 C1点 。
两根槽钢图示组合之后，
cm32.4?a
P
L
y
z
a
§ 12-4 压杆的稳定计算
Calculation of Column Stability
z0
y1
C1
z1
5.106
1074.122
106.396
67.0
2
67.0
4
8
1
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
A
Ii
L
z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ???? 3.99102 0 0 102 0 0 6
922 ?
?
??
P
p
E
kN8.44310)67.0( 106.39610200)( 32
892
2
2
??? ?????? ?
??
?
?
l
EIP
cr
求临界力,
属于大柔度杆，由欧拉公式求临界力。
1 0 0:2 3 5 ?pQ ?号钢对
p?? ?
注,本例题已假设两槽钢在 L长度内只能整体弯曲 。
§ 12-4 压杆的稳定计算
Calculation of Column Stability,70m,6,cm6.3 9 6,cm74.1222 42
1 ?????? ?LIAA z
12-21图示一简单托架,其撑杆 AB
为圆截面木杆,强度等级为 TC15。
若架上受集度为 q=45kN/m的均布
荷载作用,AB两端为柱形铰,材料
的强度许用应力 [?]=11MPa,试求
撑杆所需的直径 d。
)(0.1 9 2452 6 7.4
)30s i n4.2(6.12.3
kN
qP AB
???
???
则有：，设,6.00 ??
)(5.1 9 26.082.2 2 2 2 3
)116.0(101 9 24])[(4 300
mm
Pd
??
????? ????
6.575.1 9 242 7 7 130c o s42 4 0 0 00 ??????? dil??
66.0))806.57(1())80(1(,75 1212010 ??????? ??????
)(1 8 863.082.2 2 2 2 3)][(4 11 mmPd ??? ???
96.581 8 842 7 7 130co s42 4 0 0 11 ??????? dil??
65.0))8096.58(1())80(1(,75 1212121 ??????? ??????
解,如右图,
此时,
则有：，设,63.01 ??
作业,12-3,12-9,12-12、
12-18,12-21,12-25
则有：，设,64.02 ??
65.0))8096.58(1())80(1(,75 1212121 ??????? ??????63.01 ??
)(18664.082.22223)][(4 22 mmPd ??? ???
64.0))8059.59(1())80(1(,75 1212232 ??????? ??????
59.591864277130co s42400 22 ??????? dil??
)(1 8 6 mmd ?故撑杆所需的直径,
][)(1118614.364.0 1019244 232 ???? ???? ???? M P adPAP此时,
?第十二章 压杆稳定
? Stability of Compressive Bars
第十二章 压杆稳定
Stability of Compressive Bars
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula§ 12–3 临界应力总图
Critical Stress versus Slenderness ratio Curve of Columns · Overall Shape
§ 12-4 压杆的稳定计算
Calculation of Column Stability
构件的承载能力：
① 强度
②刚度
③稳定性
工程中有些构
件具有足够的强度、
刚度，却不一定能
安全可靠地工作。
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
P
一、稳定平衡与不稳定平衡,
1,不稳定平衡,
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
2,稳定平衡,
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
3,随遇平衡
V
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
4,稳定平衡和不稳定平衡的比较
二、压杆失稳与临界压力,
1.理想压杆,材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡,
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
稳
定
平
衡
不
稳
定
平
衡
3.压杆失稳, 4.压杆的临界压力
稳
定
平
衡
不
稳
定
平
衡
临界状态
临界压力, Pcr
过 度
对应的
压力
§ 12–1 压杆稳定性的概念
Introduction and Basic Concepts
一、两端铰支压杆的临界力,
PyyxM ?),(
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。
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① 弯矩,
② 挠曲线近似微分方程,
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P P
x
P
x
y
PM
§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula
0???? yEIPy
引入,
可得,
§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula
③ 微分方程的解,
④ 确定积分常数,
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临界力 Pcr 是微弯下的最小压力,故，只能取 n=1 ；且
杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2
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P P
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二、此公式的应用条件：
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
?—长度系数 (或约束系数 )。
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
压杆临界力欧拉公式的一般形式
2
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§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula
l
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§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula表 10–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定另端铰支 两端固定 一端固定另端自由 两端固定但可沿横向相对移动
失
稳
时
挠
曲
线
形
状
Pcr
A
B
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临界力 Pcr
欧拉公式
长度系数 μ
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A
B
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线拐点
C,D—挠
曲线拐点
Pcr
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§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula
P
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解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
边界条件为,
例 1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。
P
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因此：
?
§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula
?? mkLnkLdPMc ????? 2,0,0 并解得：
2
2
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为求最小临界力,, k” 应取除零以外的最小值, 即取,
所以，临界力为,
2 ?nkL ??
? = 0.5
§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula
③ 压杆的临界力
例 2 求下列细长压杆的临界力。
,12
3 hb
I y ??=1.0，
解, ① 绕 y 轴，两端铰支,
2
2
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?=0.7，
② 绕 z 轴，左端固定，右端铰支,
2
1
2
)7.0( L
EIP z
c r z
??
),m i n ( c r zc r ycr PPP ?
L1
L2
y
z h
b
y
z
x
§ 12–2 细长压杆临界力的欧拉公式
Critical Force of Slender Column · Euler’s Formula
4912
3
m i n m1017.41012
1050 ?? ?????I
2
1
m i n
2
)( l
EIP
cr ?
??
48m i n m1089.3 ???? zII
2
2
m i n
2
)( l
EIP
cr ?
??
例 3 求下列细长压杆的临界力。已知,L=0.5m。
解,图 (a)
图 (b)
kN14.67)5.07.0( 20017.4 2
2
?? ??? ?
kN8.76)5.02( 200389.0 2
2
?? ??? ?
30
10
图 (a)
P
L
图 (b)
P
L
(45?45?6)
等边角钢
yz
A
Pcr
cr ??
一,基本概念
1.临界应力,
Critical Stress
3.柔度,
2
2
2
2
2
2
)/()( ?
?
?
?
?
?? E
iL
E
AL
EI
A
P cr
cr ????
2.细长压杆的 临界应力,
Slender Column
—惯性半径。— AIi ? 2
2
?
?? E
cr ?即：
）—杆的柔度（或长细比— i L?? ? Slenderness ratio
§ 12–3 临界应力总图
Critical Stress versus Slenderness ratio Curve of Columns · Overall Shape
压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
4.大 柔度杆的分界,
Pcr
E ?
?
?? ??
2
2
欧拉公式求。细长柱），其临界力用的杆称为大柔度杆（或满足 P?? ?
P
P
E ?
?
?? ?? 2
求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆，其 P?? ?
二、中小柔度杆的临界应力计算
1.直线型经验公式
① ?P<?cr<?S 时：
scr ba ??? ???? ss
b
a ??? ????
界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆，其临 Ps ??? ??
?? bacr ??
Long Column
中长柱 Intermediate-Range Column
§ 12–3 临界应力总图
Critical Stress versus Slenderness ratio Curve of Columns · Overall Shape
i
L???
cr?
界应力为屈服极限。的杆为小柔度杆，其临 S?? ?
2
2
?
?
?
E
cr
?
③ 临界应力总图
② ?<?S时,
scr ?? ?
?? bacr ??
P?
S?
b
as
s
???
?
P
P
E
?
?
?
2
?
粗短柱 Short Column
§ 12–3 临界应力总图
Critical Stress versus Slenderness ratio Curve of Columns · Overall Shape
2.抛物线型经验公式
211 ?? bacr ??
1 2 3
56.0
43.0:16
2
53 ???
S
c
EAA
?
???,锰钢钢和钢、对于
。时，由此式求临界应力 c?? ?
我国建筑业常用,
① ?cr >?P时,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2
1
c
scr ?
?
???
§ 12–3 临界应力总图
Critical Stress versus Slenderness ratio Curve of Columns · Overall Shape
例 4 一压杆长 L=1.5m，由两根 56?56?8 等边角钢组成，两端球
铰支，压力 P=150kN，角钢为 A3钢，试用 欧拉公式或抛物线公
式求 临界压力和安全系数。
4121 cm63.23,cm3 6 7.8 ?? yIA
zy II ?
cm68.13 6 7.82 26.47m i n ???? AIi 1233.8968.1150 ????? ci l ???
解,对 一个角钢,
两根角钢图示组合之后
41m i n cm26.4763.2322 ????? yy III
所以，应由抛物线公式求 临界压力。
y
z
cm68.122 01 ??? iAIi ya l l
§ 12–3 临界应力总图
Critical Stress versus Slenderness ratio Curve of Columns · Overall Shape
M P a7.18])1 2 33.89(43.01[2 3 5])(43.01[ 22 ?????
c
scr ?
???
kN304107.18110367.82 64 ??????? ?crcr AP ?
02.21 5 03 0 4 ??? PPn cr
安全系数
§ 12–3 临界应力总图
Critical Stress versus Slenderness ratio Curve of Columns · Overall Shape
一、压杆的稳定容许应力,
1.安全系数法确定容许应力, ? ?
W
cr
W n
?? ?
2.折减系数法确定容许应力, ? ? ? ???? ?
W
的函数。它是
折减系数
?
?,?二、压杆的稳定条件,
? ?WAP ?? ??
§ 12-4 压杆的稳定计算
Calculation of Column Stability
W
crcr n
P
Pn ???
?
?
其中,n为稳定工作安全系数 ;
nW为稳定许用安全系数。
1.安全系数法,
2.折减系数法,
? ???? ?? AP即,
例 6 图示起重机,AB 杆为圆松木，长 L= 6m,[? ] =11MPa，直
径 d = 0.3m。 试 求此杆的容许压力。
803.0 461 ????? iLxy ??
解,折减系数法
① 最大柔度
Oxy面内, ?=1.0
Oxz面内, ?=2.0
1 6 03.0 462 ????? iLzy ??
T1
A
B
W
T2
§ 12-4 压杆的稳定计算
Calculation of Column Stability
表明该杆易在 Oxz平面 (绕 y轴 )失稳。
? ? ? ???? ?W
? ? ? ? kN91)(109110111 1 7.04 3.0 362 ????????? NAP WBCBC ??
② 求折减系数
③ 求容许压力
117.016030003000,80,22 ???? ??? 时木杆
§ 12-4 压杆的稳定计算
Calculation of Column Stability
T1
A
B
W
T2
（ AB杆 L= 6m,[? ] =11MPa,d = 0.3m,?max=160。）
§ 12-4 压杆的稳定计算
Calculation of Column Stability
四、压杆的合理截面,
iL???
2
m i n
2
)( L
EIP
cr ?
??
m i nAIi?
ma xmi n II ? 合理
保国寺大殿的拼柱形式
故：当压杆各方向
约束相同时，有,
当压杆各方向的约束不
相同时，怎样才合理呢？ 1056年建，“双筒体”结构，塔身平面
为八角形。经历了 1305年的八级地震。
4
1
4
1
0
2
1
cm6.25,cm3.198
,cm52.1,cm74.12
??
??
yz II
zA
41 cm6.3 9 63.1 9 822 ???? zz II
???? ])2/([2 2011 azAII yy
])2/52.1(74.126.25[2 2a????
时合理即 2)2/52.1(74.126.253.1 8 9, a???
例 7 图示立柱,L=6m，由两根 10号槽钢组成，下端固定，上端为
球铰支座。 试问 a =？时，立柱的 临界压力最大，值为多少？
解, 对于单个 10号槽钢, 形心在 C1点 。
两根槽钢图示组合之后，
cm32.4?a
P
L
y
z
a
§ 12-4 压杆的稳定计算
Calculation of Column Stability
z0
y1
C1
z1
5.106
1074.122
106.396
67.0
2
67.0
4
8
1
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
A
Ii
L
z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ???? 3.99102 0 0 102 0 0 6
922 ?
?
??
P
p
E
kN8.44310)67.0( 106.39610200)( 32
892
2
2
??? ?????? ?
??
?
?
l
EIP
cr
求临界力,
属于大柔度杆，由欧拉公式求临界力。
1 0 0:2 3 5 ?pQ ?号钢对
p?? ?
注,本例题已假设两槽钢在 L长度内只能整体弯曲 。
§ 12-4 压杆的稳定计算
Calculation of Column Stability,70m,6,cm6.3 9 6,cm74.1222 42
1 ?????? ?LIAA z
12-21图示一简单托架,其撑杆 AB
为圆截面木杆,强度等级为 TC15。
若架上受集度为 q=45kN/m的均布
荷载作用,AB两端为柱形铰,材料
的强度许用应力 [?]=11MPa,试求
撑杆所需的直径 d。
)(0.1 9 2452 6 7.4
)30s i n4.2(6.12.3
kN
qP AB
???
???
则有：，设,6.00 ??
)(5.1 9 26.082.2 2 2 2 3
)116.0(101 9 24])[(4 300
mm
Pd
??
????? ????
6.575.1 9 242 7 7 130c o s42 4 0 0 00 ??????? dil??
66.0))806.57(1())80(1(,75 1212010 ??????? ??????
)(1 8 863.082.2 2 2 2 3)][(4 11 mmPd ??? ???
96.581 8 842 7 7 130co s42 4 0 0 11 ??????? dil??
65.0))8096.58(1())80(1(,75 1212121 ??????? ??????
解,如右图,
此时,
则有：，设,63.01 ??
作业,12-3,12-9,12-12、
12-18,12-21,12-25
则有：，设,64.02 ??
65.0))8096.58(1())80(1(,75 1212121 ??????? ??????63.01 ??
)(18664.082.22223)][(4 22 mmPd ??? ???
64.0))8059.59(1())80(1(,75 1212232 ??????? ??????
59.591864277130co s42400 22 ??????? dil??
)(1 8 6 mmd ?故撑杆所需的直径,
][)(1118614.364.0 1019244 232 ???? ???? ???? M P adPAP此时,
