材 料 力 学
第九章 应力与应变分析
Analysis of Stress & Strain
导言 Introduction
l
a a
k
前面我们介绍了在拉 (压 )、剪切、扭转、弯曲四种基本
变形下的强度计算和刚度计算,以及其相应的应力、变形
计算公式。对图示梁上 C－ 截面上的 k点 (翼缘与腹板交点下
侧 ),既有 M(=Pa)引起的 ?又 有 Q(=P)引起的 ?,其强度条件应
是什么形式?组合变形 (拉弯, 扭弯, … )的截面如何确定
最危险点及建立相应的强度条件？为解决这些问题,需要
研究构件
上一点的
应力随截
面方位的
变化而改
变的规律。
即一点的
应力状态。
我们可以用三对相互垂直的平面,绕此点 (M)取出一个微小的正六面体 (如图,
通常叫,微 单元体 Element)。用此微元体三个相互垂直的平面上的应力来表征此
点 (M)的应力状态 。 并可将其用一个二阶 张量 (Tensor)来描述 。
§ 9-1 应力状态的概念
I,Stress state at a point
M
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzyzx
yzyyx
xzxyx
M
???
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11111
11111
11111
zyzxz
zyyxy
zxyxx
M
???
???
???
?
因为两者表示同一点 M的应力状态,其各分
量间必然有一定的相互转换规律 。 这些规律的数
学形式是什么？
弹性理论已经证明,物体内任一点的应力存
在三个 主平面 (Principal planes,其上 τ ≡ 0),其上
的应力 (б 1≥ б 2≥ б 3)叫该点的 主应力 (Principal
stresses)。 且这三个主平面相互垂直,围成一个叫
主单元体 (Element of Principal Stresses)的微元体 。
在 § 1-7我们讲了某点的应力随所选截面方向改变而改变。 过一点各方向
截面上应力矢量的集合 称为 该点的应力状态 。 但怎样描述一点的应力情
况 —— 一点的应力状态?
当 M点的微元体坐标 Oxyz改变为 Ox1y1z1时,有,
§ 9-1 应力状态的概念
II,Principal Stress and Classification of Stresses State
根据一点的主应力大小,我们通常将一点的应力状态
分为三类,1.单向应力状态 Uniaxial Stress State
б 1≠0,б 2=б 3=0(拉 ) or б 1=б 2=0,б 3≠0( 压 )
如轴向拉压杆上任一点。梁的上下边沿各点
2.双向应力状态 Biaxial Stress State(or 平面应力状态
Plane Stress State):б 1,б 2,б 3中有,且只有一个为 0。
如前面梁上 AC段内上下边沿以外的各点。
3,三向应力状态 Triaxial Stress State(or 空间应力状态
Spacial Stress State):б 1>б 2>б 3均不为 0。
如,火车车轮与钢轨的接触应力。
其中 1又叫 简单应力状态 Simple Stress State
2,3又叫 复杂应力状态 Complex Stress State
§ 9-2 平面 应力状态分析 (I基本公式 )
Stress Analysis of Plane Stress State
如右图,我们由微三棱柱 bef来求
截面法线 n与 x轴夹 a角的任意斜截面
上的应力 ?a,?a与 ?x,?y,?x(=-?y),
a的关系 (其中 a以由 x轴正向到斜截面
外法线为逆时针转为正,反之为负。
?a以受拉为正,反之为负。 ?a(与 ?x,
?y一样 )以绕微元体内任一点为顺时
针转为正,反之为负。
设 ef面的面积为 dA;则,eb面 — dAcos a
fb面 — dAsin a
在杆件中,我们经常遇到的一点之应力状态为单向应力状态或
平面应力状态。一般的空间应力状态在杆件中很少出现,通常在弹性
力学中讨论。我们现在来研究平面应力状态下与零主应力平面垂直
的任意斜截面上的应力。
0?? nF
由 得,
§ 9-2 平面 应力状态分析 (I基本公式 )
Stress Analysis of Plane Stress State
0s i n)s i n(c o s)s i n|(|c o s)c o s(s i n)c o s( ????? aa?aa?aa?aa?? a dAdAdAdAdA yyxx
由 得,
0?? tF 0c o s)s i n(s i n)s i n|(|s i n)c o s(c o s)c o s( ????? aa?aa?aa?aa?? a dAdAdAdAdA yyxx
a?a
??
?
a?a
????
?
a
a
2c o s2s i n
2
2s i n2c o s
22
x
yx
x
yxyx
?
?
?
?
?
?
?
?
由剪应力互等定理知 (|?y|=|?x|),注意到图中 ?x方向为正,故 |?y|=?x,
aaa
aaaa
2s i nc o ss i n2
2
2c o s1s i n
2
2c o s1c o s 22
?
????利用
化简上两式,得,
a?a ?? 2'如以 代入上两式,易得
与 a斜面垂直的另一斜面上的正应
力和剪应力。且有, ayx ?????? ?
a?aa ????? ?? 22
§ 9-2 平面 应力状态分析 (II应力圆 )
Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)
下面介绍应力圆的作法,
a?a
??
?
a?a
????
?
a
a
2c o s2s i n
2
2s i n2c o s
22
x
yx
x
yxyx
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
2
22 x
yxyx ???????
aa ????
?
???
? ???
???
?
???
? ??
2
yx ?? ?
2
2
2 x
yxr ??? ???
?
?
???
? ??
由基本公式易得,
将此两式分别平方,
然后对应相加,可得,
此式表示一圆的方程,如图所示。
此圆叫相应单元体的应力圆
(or摩尔圆 Mohr’s Circle)。在 O??
坐标系中,其圆心在 ?轴上。圆心
与 坐标原点 O的 距离为,
其半径为,
§ 9-2 平面 应力状态分析 (II应力圆 )
Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)
对图 a所示平面应力状态微元体
(已知,?x,?y,?x时 ),作应力圆如下,
?
O ?
***
MPa
?x
?y
C
D1
D2
?I
?II
A1
A2 ?x
?y
§ 9-2 平面 应力状态分析 (II应力园 )
Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)
作 好 应力圆后,可用极点法在图上求解出此微元
体上与 x轴夹角为 a的任意斜截面上的 ?a,?a如下,
?
O ?
***
MPa
?x
?y
C
D1
D2
?x
?y
If x//??? 作 D1P//dc,P为与 D1P应力圆的
交点。叫 极点 。
P(极点 pole)
E(?a,?a)
a
2a
应力圆上
E点的坐标,即
为 ?a,?a
§ 9-2 平面 应力状态分析 (II应力园 )
Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)
下面证明前述图解法的正确性,
如图,应有,
a?a?a
????
aaaa
aa
??
?
?
?
?
???
?????
2s in2c o s
22
2s in2s in2c o s2c o s
)22c o s (
00
0
x
yxyx
CECEOC
CEOCCFOCOF
a?a
??
a?
aaaa
aa
?
?
??
??
??
2s in
2
2c o s
2s in2c o s2c o s2s in
)22s in (
00
0
yx
x
CECE
CEEF
§ 9-2 平面 应力状态分析 (II应力园 )
Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)
从以上作图及证明可以看出,应力圆上的点与单元体上的
面之间存在一一对应关系,单元体某一面上的应力,必对应于应
力圆上其一点的坐标 ;单元体上任意 A,B两个面的外法线之间
的夹角若为 b,则在应力圆上代表该两个面上应力的两点之间
的圆弧段所对的圆心角必为 2b,且两者的转向一致 (如图 )。
实质上,这种对应关系是应力圆的参数表达式 (9－ l)和 (9－ 2)以两倍
方位角为参变量的必然结果。根据这种对应关系,只要由单元体的 x平面和
y平面上已知的应力 ?x,?x和 ?y,?y(=-?x)作出应为圆,就可很容易地从应
力圆确定任一 a截面上的应力 ?a,?a。
应力圆直观地反映了一
点处应力状态的特征,在实际
应用中,并不一定把应力圆看
作为纯粹的图解法,可以利用
应力圆来理解有关一点处应
力状态的一些特征,或从图上
的几何关系来分析一点处的
应力状态 。
§ 9-2 平面 应力状态分析
(III主应力与主平面 Principal Stress and Principal Plane)
㈠ 图解法 (Graphical Method)
因为主平面上 ?=0,故应力圆与 ?轴的两个交点 A1,A2即为相应
单元体上的主应力 ;对应方向即主方向 。
?
O ?
***
MPa
?x
?y
C
D1
D2
?I
?II
A1
A2 ?x
?y
P(极点 pole)
?I
?II
由应力圆易得,① 主应力是单元体上之
最大和最小正应力 ;② 两主平面互相垂直 。
(例题 9-1,例题 9-2:自学 )
§ 9-2 平面 应力状态分析
(III主应力与主平面 Principal Stress and Principal Plane)
?I
?II
02c o s2s in2 ???? oxoyxO a?a??? a
???
?
???
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?
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yx
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?a 22 1
0
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2
1
2 xyx
yxI ?????
?
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??
?
??
?
Ⅱ
321 ??? ??
作业,9-2,9-9(c),9-10(g)
㈠ 解析法 (Analytic Method)
因为主平面上 ?=0,若已知微元体在 x
轴和 y轴上的应力 ?x,?x和 ?y,?y(=-?x),
则 x轴和主方向的夹角 ao应满足,
与用转轴公式推导惯性主轴和主矩
类似,易得,
结合 z轴为主应力为零的
一个已知主方向,且三个相互
垂直的主应力必须满足
可进一步确定 ?1,?2,?3
的数值和方向。
§ 9-3 梁的主应力 ·主应力迹线的概念
Principal Stress in Beam ·Principal Stress Trajectories
z
x
yxM
??
)(?
bI
QS
z
z
x
*
??
xyy ??? ??? 0
022 22
2
3
1 ????
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
zx
xx ?????
?
?
对横力弯曲梁,其任一横截面
上的应力为,
且在纵
截面上,
故其沿梁高的应力变化情况如
图所示。其上一般点的主应力为,
可见,梁上任一点一般有一
主拉应力和一主压应力。
梁的 主应力迹线 是 指这样 一
簇曲线,其上的 每一点之 切线方
向 均 与该点的主应力方向重合 。
§ 9-3 梁的主应力 ·主应力迹线的概念
Principal Stress in Beam ·Principal Stress Trajectories
作业,9-13
因此,梁上存在两组相互正交的主应力迹线簇 —— 主拉应力迹
线和主压应力迹线 。
显然,主应力迹线的形状与梁上荷载情况及其支承条件有关。
在设计钢筋混凝土构件时,其上的主拉应力迹线可指导构件的配
筋。 在光弹实验中常用到主应力迹线的概念。
§ 9-4 空间应力状态的研究
Introduction to Analysis of Triaxial Stress State
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzyzx
yzyyx
xzxyx
M
???
???
???
?
如图所示,一般
的空间应力状态是一
个二阶张量。它可用
一 3× 3的矩阵来表示。
通常,在剪应力 ?ij
的两个下标中,第一
个下标 i表示剪应力
所在的平面,第二个
下标 j表示剪应力的
方向。
例题 9-4:
自学 。
§ 9-4 空间应力状态的研究
Introduction to Analysis of Triaxial Stress State
I,三向应力圆 (Three---Dimensional Stress Circle)
?
45
:
2
1
31
m a x
3m i n
1m a x
?
?
?
?
?
a
??
?
??
??
且
可见,
解,该单元体有一个已知的主
应力 ?z=20MPa。 因此,与该
主平面正交的各截面上的
应力与主应力 ?z无关,于是,
可依据 x截面和 y截面上的
应力画出应力圆 (图 b)。 从
图上可量得 两个主应力值
为 46MPa和 -26MPa。 将该单
元体的三个主应力按其代
数值的大小顺序排列为,
?1=46MPa, ?2=20MPa,
?3=-26MPa
§ 9-4 空间应力状态的研究
Introduction to Analysis of Triaxial Stress State
例题 9－ 3 单元体各面上的应力如图 a所
示。作应力圆,并求出主应力和最大剪应力
值及其作用面方位。
§ 9-4 空间应力状态的研究
Introduction to Analysis of Triaxial Stress State
根据上述三个主应力值,便可作出三个应力圆如图 b所示。在三
个应力圆中的最大应力圆上,B点的纵坐标 (该圆的半径 )即为该单元
体的最大剪应力，按比例尺量出为 ?max=BC=36MPa
从图 b的应力图上量得 2ao=34o,
据此便
可确定 ?1所
在的主平面
方位和主单
元体各面间
的相互位置 。
其中最大剪
应力所在截
面与 ?2平行,
与 ?1和 ?3所
在的主平面
各成 45o 夹
角,如图 c所
示 。
§ 9-4 空间应力状态的研究
Introduction to Analysis of Triaxial Stress State
"42'50163221)20(40 )20(221221 1110 ???????????
?
?
???
?
??
????
???
?
???
?
?
?? ??? tgtgtg
yx
x
??
?a
作业,9-17(a)
例题 9－ 3 单元体各面上的应力如图 a所示。求主应力和最大剪
应力值及其作用面方位。
解,该单元体有一个已知的主应力 ?z=20MPa。
因此,与该主平面正交的各截面上的应力
与主应力 ?z无关,于是,可依据 x截面和 y截
面上的应力求出另 两个主应力值为,
)(
26
46
3610
)20(
2
2040
2
2040
4)(
2
1
2
2
2
22
M P a
xyx
yxI
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
? ?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
Ⅱ
将该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为,
?1=46MPa,?2=20MPa,?3=-26MPa
?1所在的主平面方位,
§ 9-5 平面应力状态下的应变研究
Two - Dimensional Strain Analysis
y
x
x’y’
a
a
?
a
???
a
?
a
????
?
a
a
2c o s
2
2s in
22
2s in
2
2c o s
22
xyyx
xyyxyx
?
?
??
?
?
?
?
?
一点的应力状态是由该点领域的变形情况决定的。此点的
应变状态即为该点邻域的变形 (应变 )情况的描述。弹性理论已
证明,任一点的应变状态也存在三个相互垂直的主方向,在此方
向上的剪应变 ?≡0; 且对各向同性材料,应变主方向与应力主平
面的法线方向重合 。
我们现在来研究已知 z轴为一主方向时
(?xz=?yz≡0),并已知 ?x,?y,?xy时求任意与 x方
向夹角为 a的 x’方向 (及 y’方向 x’轴 )的 ?a,?a:
可以证明,
可见,若将 ?x,?y,
-?xy/2,?a,-?a?/2代换 ?x,?y,?x,(?y),?a,?a。则前面关于 平面 应力状
态的结论 均可相对应地应用于平面变形状态的应变研究中。
§ 9-6 应力与应变间的关系
Generalized Hooke′s Law of Isotropical
Materials ·Volumetric Strain
EEE 3213121111 )()()(
???????????? ??????
)]([
1
)]([
1
)]([
1
2133
1322
3211
?????
?????
?????
???
???
???
E
E
E
)(
][
1
)][
1
213
122
211
??
?
?
????
????
???
??
??
E
E
E
)1(2 ???
EG
I,各向同性材料的广义胡克定律,
一点的主应变为沿剪应变 ≡0的方向上之线应变。应用弹性理论
可以证明,对各向同性材料,主应变方向与主应力方向重合。故 ?1方
向的主应变 ε1为,
同理,得,
对平面应力状态,不妨设 ?3=0,则有,
可见,在 ?3=0的平面应力状态下,?3≠0。
各向同性材料的三个弹性常数,存在以下关系,
§ 9-6 应力与应变间的关系
Generalized Hooke′s Law of Isotropical
Materials ·Volumetric Strain
GE
GE
GE
zx
zxyxzz
yz
yzxzyy
xy
xyzyxx
?
??????
?
??????
?
??????
????
????
????
)]([
1
)]([
1
)]([
1
GE
EE
xy
xyxyy
yxzyxx
?
?????
??
?
?????
???
?????
][
1
)(][
1
I,各向同性材料的广义胡克定律,
对非主单元体,在线弹性,小变形,各向同性的条件下,弹性理论
已证明,沿坐标轴方向,正应力 只引起 线应变,而 剪应力 只引起同一平
面内 的剪应变 。故有,
对 ?z=0,
?xz=?yz=0的
平面应力
状态,有,
§ 9-6 应力与应变间的关系
Generalized Hooke′s Law of Isotropical
Materials ·Volumetric Strain
对构件上 ?z=0,?xz=?yz=0的点,叫 平面应变状态 点,其上的广义胡
克定律为, II
,各向异性材料
的 广义胡克定律,
(P31-33,自学 )
III,各向同性材料的 体积应变 (Volumetric Strain):
微元体单位体积的体积变化,叫 体积应变 。设微元三边长 dx,
dy,dz,对应之正应力为 ?x,?y,?z 。 因小变形时对各向同性材料
?xy,?yz,?zx,所引起之线应变 ?x??),?y??),?z??)与正应力引起之 ?x,?y,?z
相比为高阶微量,可忽略不计 。 故, V0 = dx·dy·dz
V1= dx’·dy’·dz’ = ?1??x)dx ??1??y)dy ??1??z)dz≈V0?1??x??y??z?o??))
故,体积应变, ? = ?V1?V0)?V0 = ?x??y??z
)(]
1
[
1
]
1
[
1
2
2
yxzxyy
xy
xyyxx
E
GE
?????
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
§ 9-6 应力与应变间的关系
(III,各向同性材料的 体积应变 ·Volumetric Strain)
)(21 zyxE ????? ????
将广义胡克定律代入上式,得, 此式即线
弹性小变形条
件下的广义体
积胡克定律
(Volumetric
Hooke’s Law)
上式表明,任一点处的体积应变与该点处的三个
主应力之和成正比 。
对于平面纯剪切应力状态,?1=-?3=?xy,?2=0,由上
式可见,材料的体积应变等于零。 即 在小变形条件下,
剪应力不引起各向同性材料的体积改变 。
例题 9－ 7 边长 a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大、变形
可略去不计的钢凹槽中,如图 a所示。已知铜的弹性模量 E=100GPa,泊松
比 ?=0.34。当受到 P=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主应力、体
积应变以及最大剪应力。
分析, 铜块受到轴向压缩将产生膨胀,但是又受到刚性凹槽壁的阻
碍,使得铜块在 x,z方向的应变等于零。于是,在铜块与槽壁接触面间将
产生均匀的压应力 ?x和 ?z，如图 b所示。
解,(参见教材 PP34-35)
§ 9-6 应力与应变间的关系
(III,各向同性材料的 体积应变 ·Volumetric Strain)
0)]([
1
0)]([
1
????
????
yxzz
zyxx
E
E
?????
?????
4
3321 1095.1)305.155.15(101 0 0
34.021)(21 ???????
?
??????? ?????
E
MP aAPy 30100 10300 2 3 ????????
MP ayyzx 45.15)30(34.01 34.011 )1(:,2 ????????? ??? ????? ????得联解上式
M P a
M P aM P a
25.7
2
)30(5.15
2
30,5.15:
31
m a x
321
???????
?????
???
???故 作业,9-23,9-24,9-32
例题 9－ 8壁厚 t=10mm、外径 D=60mm的薄壁圆筒,在表面上 k点处与
其轴线成 45o和 135 o角 (即 x,y两方向 )分别贴上应变片,然后在圆筒两
端作用矩为 m的扭转力偶,如图 a所示。已知圆筒材料的弹性常数为
E=200GPa和 ?=0.3。若该圆筒的变形在弹性范围内,且 ?max=80MPa,试
求圆筒 k点处的线应变 ?x和 ?y以及变形后的筒壁厚度。
解,此薄壁圆筒上 k点处的微元体的应力状态为纯剪应力状态 (如图 b),
§ 9-7 应力与应变间的关系
(III,各向同性材料的 体积应变 ·Volumetric Strain)
)(102.5
)(102.5
102 0 0
80)3.01(
1
][
1
4
4
3
m a x
拉应变
压应变
?
?
????
???
?
??
??
?
????
xy
yxx
EE
??
?
?
????
)22(0)()( DtDEE yxz ??????????? ???????? ???
故筒壁厚度不变,
仍为 t=10mm
0,80,80 2m a x1m a x3 ?????????? ???????? zyx M PaM Pa故有,
在 比例加载 的情况下,对应于每一主应力,其比能等于该主应力乘
以与之相应的主应变之半,而与其它主应变无关。因此,在三个主应力
同时存在时,单元体的比能应为,
§ 9-7 空间应力状态下的比能
Strain Energy Intensity of Triaxial Stress State
22
222
1 ???? E
Eu ????
22
222
1 ???? G
Gu ????
)(2121 3322113
1
???????? ???????? ?
?i
iiu
)](2[2 1 1332212312221 ?????????? ????????? Eu
物体受外力作用而产生弹性变形时,在物体内部将积蓄有 应变能,
每单位体积物体内所积蓄的应变能 称为 比能 。在单轴应力状态下,物
体内所积蓄的比能为, 在纯剪应力状态下,
物体内所积蓄的比能为,
对于在线弹性范围内、小变形条件下受力的
物体,所积蓄的应变能只取决于外力的最后数值,
而与加力顺序无关 。
)]([
1
)]([
1
)]([
1
2133
1322
3211
?????
?????
?????
???
???
???
E
E
E
(因为 ?i与 ?i呈线性关系 )
将用主应力表达主应变的广义胡克定律式 (9－ 16a)代入上式,经
整理简化后得,
下面以另一加载方式来验证之,
§ 9-7 空间应力状态下的比能
Strain Energy Intensity of Triaxial Stress State
(?1从 0?? 1?)
?1?1
??2从 0?? 2?,
?1???1?不变 )
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?2
?2
??3从 0?? 3?,
?1???1? &??2 ???2?不变 )
?1?1
?2
?2
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?3E11 ?? ??
E22
?? ???
E21
??? ???? E
33 ?? ????E31 ??? ?????
E32
??? ?????
?? 1121 ??u ???? ?? 112221 ???? ????????? ??? 22113321 ??????
)](2[2 1 1332212312221 ?????????? ????????? E
)(21 zxzxyzyzxyxyzzyyxxu ???????????? ?????????
如下各图,设构件上某点在加载过程中,相应微元体应力变化过程为,
弹性体总比能的一般表达式为,
由此可知,弹性比能只
与点的应力 (?1,?2,?3)(or应变
?1,?2,?3)有关而与加载方式
(次序 )无关。
?m
?m
?m
?m
?m
?m
§ 9-7 空间应力状态下的比能
Strain Energy Intensity of Triaxial Stress State
DV uuu ??
?1?1
?2
?2
?3
?3
?’1?’1
?’2
?’2
?’3
?’3= +
3 321
???? ???
m
3,2,1
'
?
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i
mii ???
2
321
23
1
)(6 212 )21(32321 ?????????? ????????? ?
? EE
u mmm
i
iiV
])()()[(61 213232221 ??????? ????????? Euuu VD 作业,9-33
下面研究微元体总比能的分解,
一点之单元体的总比能可分解为两部分之和,一部分是由于微元
体体积改变产生 (or储备 )的比能 uV(叫,体积改变比能 Volumetric Strain
Energy Intensity),另 一部分是由于微元体形状改变产生 (or储备 )的比
能 uD(叫,形状改变比能 Distortional Strain Energy Intensity)。故有,
其中,
第九章 应力与应变分析
Analysis of Stress & Strain
导言 Introduction
l
a a
k
前面我们介绍了在拉 (压 )、剪切、扭转、弯曲四种基本
变形下的强度计算和刚度计算,以及其相应的应力、变形
计算公式。对图示梁上 C－ 截面上的 k点 (翼缘与腹板交点下
侧 ),既有 M(=Pa)引起的 ?又 有 Q(=P)引起的 ?,其强度条件应
是什么形式?组合变形 (拉弯, 扭弯, … )的截面如何确定
最危险点及建立相应的强度条件？为解决这些问题,需要
研究构件
上一点的
应力随截
面方位的
变化而改
变的规律。
即一点的
应力状态。
我们可以用三对相互垂直的平面,绕此点 (M)取出一个微小的正六面体 (如图,
通常叫,微 单元体 Element)。用此微元体三个相互垂直的平面上的应力来表征此
点 (M)的应力状态 。 并可将其用一个二阶 张量 (Tensor)来描述 。
§ 9-1 应力状态的概念
I,Stress state at a point
M
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzyzx
yzyyx
xzxyx
M
???
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11111
11111
11111
zyzxz
zyyxy
zxyxx
M
???
???
???
?
因为两者表示同一点 M的应力状态,其各分
量间必然有一定的相互转换规律 。 这些规律的数
学形式是什么？
弹性理论已经证明,物体内任一点的应力存
在三个 主平面 (Principal planes,其上 τ ≡ 0),其上
的应力 (б 1≥ б 2≥ б 3)叫该点的 主应力 (Principal
stresses)。 且这三个主平面相互垂直,围成一个叫
主单元体 (Element of Principal Stresses)的微元体 。
在 § 1-7我们讲了某点的应力随所选截面方向改变而改变。 过一点各方向
截面上应力矢量的集合 称为 该点的应力状态 。 但怎样描述一点的应力情
况 —— 一点的应力状态?
当 M点的微元体坐标 Oxyz改变为 Ox1y1z1时,有,
§ 9-1 应力状态的概念
II,Principal Stress and Classification of Stresses State
根据一点的主应力大小,我们通常将一点的应力状态
分为三类,1.单向应力状态 Uniaxial Stress State
б 1≠0,б 2=б 3=0(拉 ) or б 1=б 2=0,б 3≠0( 压 )
如轴向拉压杆上任一点。梁的上下边沿各点
2.双向应力状态 Biaxial Stress State(or 平面应力状态
Plane Stress State):б 1,б 2,б 3中有,且只有一个为 0。
如前面梁上 AC段内上下边沿以外的各点。
3,三向应力状态 Triaxial Stress State(or 空间应力状态
Spacial Stress State):б 1>б 2>б 3均不为 0。
如,火车车轮与钢轨的接触应力。
其中 1又叫 简单应力状态 Simple Stress State
2,3又叫 复杂应力状态 Complex Stress State
§ 9-2 平面 应力状态分析 (I基本公式 )
Stress Analysis of Plane Stress State
如右图,我们由微三棱柱 bef来求
截面法线 n与 x轴夹 a角的任意斜截面
上的应力 ?a,?a与 ?x,?y,?x(=-?y),
a的关系 (其中 a以由 x轴正向到斜截面
外法线为逆时针转为正,反之为负。
?a以受拉为正,反之为负。 ?a(与 ?x,
?y一样 )以绕微元体内任一点为顺时
针转为正,反之为负。
设 ef面的面积为 dA;则,eb面 — dAcos a
fb面 — dAsin a
在杆件中,我们经常遇到的一点之应力状态为单向应力状态或
平面应力状态。一般的空间应力状态在杆件中很少出现,通常在弹性
力学中讨论。我们现在来研究平面应力状态下与零主应力平面垂直
的任意斜截面上的应力。
0?? nF
由 得,
§ 9-2 平面 应力状态分析 (I基本公式 )
Stress Analysis of Plane Stress State
0s i n)s i n(c o s)s i n|(|c o s)c o s(s i n)c o s( ????? aa?aa?aa?aa?? a dAdAdAdAdA yyxx
由 得,
0?? tF 0c o s)s i n(s i n)s i n|(|s i n)c o s(c o s)c o s( ????? aa?aa?aa?aa?? a dAdAdAdAdA yyxx
a?a
??
?
a?a
????
?
a
a
2c o s2s i n
2
2s i n2c o s
22
x
yx
x
yxyx
?
?
?
?
?
?
?
?
由剪应力互等定理知 (|?y|=|?x|),注意到图中 ?x方向为正,故 |?y|=?x,
aaa
aaaa
2s i nc o ss i n2
2
2c o s1s i n
2
2c o s1c o s 22
?
????利用
化简上两式,得,
a?a ?? 2'如以 代入上两式,易得
与 a斜面垂直的另一斜面上的正应
力和剪应力。且有, ayx ?????? ?
a?aa ????? ?? 22
§ 9-2 平面 应力状态分析 (II应力圆 )
Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)
下面介绍应力圆的作法,
a?a
??
?
a?a
????
?
a
a
2c o s2s i n
2
2s i n2c o s
22
x
yx
x
yxyx
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
2
22 x
yxyx ???????
aa ????
?
???
? ???
???
?
???
? ??
2
yx ?? ?
2
2
2 x
yxr ??? ???
?
?
???
? ??
由基本公式易得,
将此两式分别平方,
然后对应相加,可得,
此式表示一圆的方程,如图所示。
此圆叫相应单元体的应力圆
(or摩尔圆 Mohr’s Circle)。在 O??
坐标系中,其圆心在 ?轴上。圆心
与 坐标原点 O的 距离为,
其半径为,
§ 9-2 平面 应力状态分析 (II应力圆 )
Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)
对图 a所示平面应力状态微元体
(已知,?x,?y,?x时 ),作应力圆如下,
?
O ?
***
MPa
?x
?y
C
D1
D2
?I
?II
A1
A2 ?x
?y
§ 9-2 平面 应力状态分析 (II应力园 )
Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)
作 好 应力圆后,可用极点法在图上求解出此微元
体上与 x轴夹角为 a的任意斜截面上的 ?a,?a如下,
?
O ?
***
MPa
?x
?y
C
D1
D2
?x
?y
If x//??? 作 D1P//dc,P为与 D1P应力圆的
交点。叫 极点 。
P(极点 pole)
E(?a,?a)
a
2a
应力圆上
E点的坐标,即
为 ?a,?a
§ 9-2 平面 应力状态分析 (II应力园 )
Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)
下面证明前述图解法的正确性,
如图,应有,
a?a?a
????
aaaa
aa
??
?
?
?
?
???
?????
2s in2c o s
22
2s in2s in2c o s2c o s
)22c o s (
00
0
x
yxyx
CECEOC
CEOCCFOCOF
a?a
??
a?
aaaa
aa
?
?
??
??
??
2s in
2
2c o s
2s in2c o s2c o s2s in
)22s in (
00
0
yx
x
CECE
CEEF
§ 9-2 平面 应力状态分析 (II应力园 )
Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)
从以上作图及证明可以看出,应力圆上的点与单元体上的
面之间存在一一对应关系,单元体某一面上的应力,必对应于应
力圆上其一点的坐标 ;单元体上任意 A,B两个面的外法线之间
的夹角若为 b,则在应力圆上代表该两个面上应力的两点之间
的圆弧段所对的圆心角必为 2b,且两者的转向一致 (如图 )。
实质上,这种对应关系是应力圆的参数表达式 (9－ l)和 (9－ 2)以两倍
方位角为参变量的必然结果。根据这种对应关系,只要由单元体的 x平面和
y平面上已知的应力 ?x,?x和 ?y,?y(=-?x)作出应为圆,就可很容易地从应
力圆确定任一 a截面上的应力 ?a,?a。
应力圆直观地反映了一
点处应力状态的特征,在实际
应用中,并不一定把应力圆看
作为纯粹的图解法,可以利用
应力圆来理解有关一点处应
力状态的一些特征,或从图上
的几何关系来分析一点处的
应力状态 。
§ 9-2 平面 应力状态分析
(III主应力与主平面 Principal Stress and Principal Plane)
㈠ 图解法 (Graphical Method)
因为主平面上 ?=0,故应力圆与 ?轴的两个交点 A1,A2即为相应
单元体上的主应力 ;对应方向即主方向 。
?
O ?
***
MPa
?x
?y
C
D1
D2
?I
?II
A1
A2 ?x
?y
P(极点 pole)
?I
?II
由应力圆易得,① 主应力是单元体上之
最大和最小正应力 ;② 两主平面互相垂直 。
(例题 9-1,例题 9-2:自学 )
§ 9-2 平面 应力状态分析
(III主应力与主平面 Principal Stress and Principal Plane)
?I
?II
02c o s2s in2 ???? oxoyxO a?a??? a
???
?
???
?
?
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yx
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??
?a 22 1
0
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2
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2 xyx
yxI ?????
?
? ?????
??
?
??
?
Ⅱ
321 ??? ??
作业,9-2,9-9(c),9-10(g)
㈠ 解析法 (Analytic Method)
因为主平面上 ?=0,若已知微元体在 x
轴和 y轴上的应力 ?x,?x和 ?y,?y(=-?x),
则 x轴和主方向的夹角 ao应满足,
与用转轴公式推导惯性主轴和主矩
类似,易得,
结合 z轴为主应力为零的
一个已知主方向,且三个相互
垂直的主应力必须满足
可进一步确定 ?1,?2,?3
的数值和方向。
§ 9-3 梁的主应力 ·主应力迹线的概念
Principal Stress in Beam ·Principal Stress Trajectories
z
x
yxM
??
)(?
bI
QS
z
z
x
*
??
xyy ??? ??? 0
022 22
2
3
1 ????
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
zx
xx ?????
?
?
对横力弯曲梁,其任一横截面
上的应力为,
且在纵
截面上,
故其沿梁高的应力变化情况如
图所示。其上一般点的主应力为,
可见,梁上任一点一般有一
主拉应力和一主压应力。
梁的 主应力迹线 是 指这样 一
簇曲线,其上的 每一点之 切线方
向 均 与该点的主应力方向重合 。
§ 9-3 梁的主应力 ·主应力迹线的概念
Principal Stress in Beam ·Principal Stress Trajectories
作业,9-13
因此,梁上存在两组相互正交的主应力迹线簇 —— 主拉应力迹
线和主压应力迹线 。
显然,主应力迹线的形状与梁上荷载情况及其支承条件有关。
在设计钢筋混凝土构件时,其上的主拉应力迹线可指导构件的配
筋。 在光弹实验中常用到主应力迹线的概念。
§ 9-4 空间应力状态的研究
Introduction to Analysis of Triaxial Stress State
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzyzx
yzyyx
xzxyx
M
???
???
???
?
如图所示,一般
的空间应力状态是一
个二阶张量。它可用
一 3× 3的矩阵来表示。
通常,在剪应力 ?ij
的两个下标中,第一
个下标 i表示剪应力
所在的平面,第二个
下标 j表示剪应力的
方向。
例题 9-4:
自学 。
§ 9-4 空间应力状态的研究
Introduction to Analysis of Triaxial Stress State
I,三向应力圆 (Three---Dimensional Stress Circle)
?
45
:
2
1
31
m a x
3m i n
1m a x
?
?
?
?
?
a
??
?
??
??
且
可见,
解,该单元体有一个已知的主
应力 ?z=20MPa。 因此,与该
主平面正交的各截面上的
应力与主应力 ?z无关,于是,
可依据 x截面和 y截面上的
应力画出应力圆 (图 b)。 从
图上可量得 两个主应力值
为 46MPa和 -26MPa。 将该单
元体的三个主应力按其代
数值的大小顺序排列为,
?1=46MPa, ?2=20MPa,
?3=-26MPa
§ 9-4 空间应力状态的研究
Introduction to Analysis of Triaxial Stress State
例题 9－ 3 单元体各面上的应力如图 a所
示。作应力圆,并求出主应力和最大剪应力
值及其作用面方位。
§ 9-4 空间应力状态的研究
Introduction to Analysis of Triaxial Stress State
根据上述三个主应力值,便可作出三个应力圆如图 b所示。在三
个应力圆中的最大应力圆上,B点的纵坐标 (该圆的半径 )即为该单元
体的最大剪应力，按比例尺量出为 ?max=BC=36MPa
从图 b的应力图上量得 2ao=34o,
据此便
可确定 ?1所
在的主平面
方位和主单
元体各面间
的相互位置 。
其中最大剪
应力所在截
面与 ?2平行,
与 ?1和 ?3所
在的主平面
各成 45o 夹
角,如图 c所
示 。
§ 9-4 空间应力状态的研究
Introduction to Analysis of Triaxial Stress State
"42'50163221)20(40 )20(221221 1110 ???????????
?
?
???
?
??
????
???
?
???
?
?
?? ??? tgtgtg
yx
x
??
?a
作业,9-17(a)
例题 9－ 3 单元体各面上的应力如图 a所示。求主应力和最大剪
应力值及其作用面方位。
解,该单元体有一个已知的主应力 ?z=20MPa。
因此,与该主平面正交的各截面上的应力
与主应力 ?z无关,于是,可依据 x截面和 y截
面上的应力求出另 两个主应力值为,
)(
26
46
3610
)20(
2
2040
2
2040
4)(
2
1
2
2
2
22
M P a
xyx
yxI
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
? ?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
Ⅱ
将该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为,
?1=46MPa,?2=20MPa,?3=-26MPa
?1所在的主平面方位,
§ 9-5 平面应力状态下的应变研究
Two - Dimensional Strain Analysis
y
x
x’y’
a
a
?
a
???
a
?
a
????
?
a
a
2c o s
2
2s in
22
2s in
2
2c o s
22
xyyx
xyyxyx
?
?
??
?
?
?
?
?
一点的应力状态是由该点领域的变形情况决定的。此点的
应变状态即为该点邻域的变形 (应变 )情况的描述。弹性理论已
证明,任一点的应变状态也存在三个相互垂直的主方向,在此方
向上的剪应变 ?≡0; 且对各向同性材料,应变主方向与应力主平
面的法线方向重合 。
我们现在来研究已知 z轴为一主方向时
(?xz=?yz≡0),并已知 ?x,?y,?xy时求任意与 x方
向夹角为 a的 x’方向 (及 y’方向 x’轴 )的 ?a,?a:
可以证明,
可见,若将 ?x,?y,
-?xy/2,?a,-?a?/2代换 ?x,?y,?x,(?y),?a,?a。则前面关于 平面 应力状
态的结论 均可相对应地应用于平面变形状态的应变研究中。
§ 9-6 应力与应变间的关系
Generalized Hooke′s Law of Isotropical
Materials ·Volumetric Strain
EEE 3213121111 )()()(
???????????? ??????
)]([
1
)]([
1
)]([
1
2133
1322
3211
?????
?????
?????
???
???
???
E
E
E
)(
][
1
)][
1
213
122
211
??
?
?
????
????
???
??
??
E
E
E
)1(2 ???
EG
I,各向同性材料的广义胡克定律,
一点的主应变为沿剪应变 ≡0的方向上之线应变。应用弹性理论
可以证明,对各向同性材料,主应变方向与主应力方向重合。故 ?1方
向的主应变 ε1为,
同理,得,
对平面应力状态,不妨设 ?3=0,则有,
可见,在 ?3=0的平面应力状态下,?3≠0。
各向同性材料的三个弹性常数,存在以下关系,
§ 9-6 应力与应变间的关系
Generalized Hooke′s Law of Isotropical
Materials ·Volumetric Strain
GE
GE
GE
zx
zxyxzz
yz
yzxzyy
xy
xyzyxx
?
??????
?
??????
?
??????
????
????
????
)]([
1
)]([
1
)]([
1
GE
EE
xy
xyxyy
yxzyxx
?
?????
??
?
?????
???
?????
][
1
)(][
1
I,各向同性材料的广义胡克定律,
对非主单元体,在线弹性,小变形,各向同性的条件下,弹性理论
已证明,沿坐标轴方向,正应力 只引起 线应变,而 剪应力 只引起同一平
面内 的剪应变 。故有,
对 ?z=0,
?xz=?yz=0的
平面应力
状态,有,
§ 9-6 应力与应变间的关系
Generalized Hooke′s Law of Isotropical
Materials ·Volumetric Strain
对构件上 ?z=0,?xz=?yz=0的点,叫 平面应变状态 点,其上的广义胡
克定律为, II
,各向异性材料
的 广义胡克定律,
(P31-33,自学 )
III,各向同性材料的 体积应变 (Volumetric Strain):
微元体单位体积的体积变化,叫 体积应变 。设微元三边长 dx,
dy,dz,对应之正应力为 ?x,?y,?z 。 因小变形时对各向同性材料
?xy,?yz,?zx,所引起之线应变 ?x??),?y??),?z??)与正应力引起之 ?x,?y,?z
相比为高阶微量,可忽略不计 。 故, V0 = dx·dy·dz
V1= dx’·dy’·dz’ = ?1??x)dx ??1??y)dy ??1??z)dz≈V0?1??x??y??z?o??))
故,体积应变, ? = ?V1?V0)?V0 = ?x??y??z
)(]
1
[
1
]
1
[
1
2
2
yxzxyy
xy
xyyxx
E
GE
?????
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
§ 9-6 应力与应变间的关系
(III,各向同性材料的 体积应变 ·Volumetric Strain)
)(21 zyxE ????? ????
将广义胡克定律代入上式,得, 此式即线
弹性小变形条
件下的广义体
积胡克定律
(Volumetric
Hooke’s Law)
上式表明,任一点处的体积应变与该点处的三个
主应力之和成正比 。
对于平面纯剪切应力状态,?1=-?3=?xy,?2=0,由上
式可见,材料的体积应变等于零。 即 在小变形条件下,
剪应力不引起各向同性材料的体积改变 。
例题 9－ 7 边长 a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大、变形
可略去不计的钢凹槽中,如图 a所示。已知铜的弹性模量 E=100GPa,泊松
比 ?=0.34。当受到 P=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主应力、体
积应变以及最大剪应力。
分析, 铜块受到轴向压缩将产生膨胀,但是又受到刚性凹槽壁的阻
碍,使得铜块在 x,z方向的应变等于零。于是,在铜块与槽壁接触面间将
产生均匀的压应力 ?x和 ?z，如图 b所示。
解,(参见教材 PP34-35)
§ 9-6 应力与应变间的关系
(III,各向同性材料的 体积应变 ·Volumetric Strain)
0)]([
1
0)]([
1
????
????
yxzz
zyxx
E
E
?????
?????
4
3321 1095.1)305.155.15(101 0 0
34.021)(21 ???????
?
??????? ?????
E
MP aAPy 30100 10300 2 3 ????????
MP ayyzx 45.15)30(34.01 34.011 )1(:,2 ????????? ??? ????? ????得联解上式
M P a
M P aM P a
25.7
2
)30(5.15
2
30,5.15:
31
m a x
321
???????
?????
???
???故 作业,9-23,9-24,9-32
例题 9－ 8壁厚 t=10mm、外径 D=60mm的薄壁圆筒,在表面上 k点处与
其轴线成 45o和 135 o角 (即 x,y两方向 )分别贴上应变片,然后在圆筒两
端作用矩为 m的扭转力偶,如图 a所示。已知圆筒材料的弹性常数为
E=200GPa和 ?=0.3。若该圆筒的变形在弹性范围内,且 ?max=80MPa,试
求圆筒 k点处的线应变 ?x和 ?y以及变形后的筒壁厚度。
解,此薄壁圆筒上 k点处的微元体的应力状态为纯剪应力状态 (如图 b),
§ 9-7 应力与应变间的关系
(III,各向同性材料的 体积应变 ·Volumetric Strain)
)(102.5
)(102.5
102 0 0
80)3.01(
1
][
1
4
4
3
m a x
拉应变
压应变
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????
???
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????
xy
yxx
EE
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????
)22(0)()( DtDEE yxz ??????????? ???????? ???
故筒壁厚度不变,
仍为 t=10mm
0,80,80 2m a x1m a x3 ?????????? ???????? zyx M PaM Pa故有,
在 比例加载 的情况下,对应于每一主应力,其比能等于该主应力乘
以与之相应的主应变之半,而与其它主应变无关。因此,在三个主应力
同时存在时,单元体的比能应为,
§ 9-7 空间应力状态下的比能
Strain Energy Intensity of Triaxial Stress State
22
222
1 ???? E
Eu ????
22
222
1 ???? G
Gu ????
)(2121 3322113
1
???????? ???????? ?
?i
iiu
)](2[2 1 1332212312221 ?????????? ????????? Eu
物体受外力作用而产生弹性变形时,在物体内部将积蓄有 应变能,
每单位体积物体内所积蓄的应变能 称为 比能 。在单轴应力状态下,物
体内所积蓄的比能为, 在纯剪应力状态下,
物体内所积蓄的比能为,
对于在线弹性范围内、小变形条件下受力的
物体,所积蓄的应变能只取决于外力的最后数值,
而与加力顺序无关 。
)]([
1
)]([
1
)]([
1
2133
1322
3211
?????
?????
?????
???
???
???
E
E
E
(因为 ?i与 ?i呈线性关系 )
将用主应力表达主应变的广义胡克定律式 (9－ 16a)代入上式,经
整理简化后得,
下面以另一加载方式来验证之,
§ 9-7 空间应力状态下的比能
Strain Energy Intensity of Triaxial Stress State
(?1从 0?? 1?)
?1?1
??2从 0?? 2?,
?1???1?不变 )
?1?1
?2
?2
??3从 0?? 3?,
?1???1? &??2 ???2?不变 )
?1?1
?2
?2
?3
?3E11 ?? ??
E22
?? ???
E21
??? ???? E
33 ?? ????E31 ??? ?????
E32
??? ?????
?? 1121 ??u ???? ?? 112221 ???? ????????? ??? 22113321 ??????
)](2[2 1 1332212312221 ?????????? ????????? E
)(21 zxzxyzyzxyxyzzyyxxu ???????????? ?????????
如下各图,设构件上某点在加载过程中,相应微元体应力变化过程为,
弹性体总比能的一般表达式为,
由此可知,弹性比能只
与点的应力 (?1,?2,?3)(or应变
?1,?2,?3)有关而与加载方式
(次序 )无关。
?m
?m
?m
?m
?m
?m
§ 9-7 空间应力状态下的比能
Strain Energy Intensity of Triaxial Stress State
DV uuu ??
?1?1
?2
?2
?3
?3
?’1?’1
?’2
?’2
?’3
?’3= +
3 321
???? ???
m
3,2,1
'
?
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i
mii ???
2
321
23
1
)(6 212 )21(32321 ?????????? ????????? ?
? EE
u mmm
i
iiV
])()()[(61 213232221 ??????? ????????? Euuu VD 作业,9-33
下面研究微元体总比能的分解,
一点之单元体的总比能可分解为两部分之和,一部分是由于微元
体体积改变产生 (or储备 )的比能 uV(叫,体积改变比能 Volumetric Strain
Energy Intensity),另 一部分是由于微元体形状改变产生 (or储备 )的比
能 uD(叫,形状改变比能 Distortional Strain Energy Intensity)。故有,
其中,
