材 料 力 学
第三章 扭 转
Torsion
§ 3-1 概念与实例 Concepts and Examples
圆轴 shaft,传
动轴，动力轴，通
常为圆截面直杆。
受力及变形的基本
情况如图,
受一对作用在垂直于杆轴的两个平面内的力
偶（其矩相等，转向相反）作用 。
受力情况,
任意两横截面绕杆轴线作相对转动，因而有
相对角位移, 称为 扭转角 Twisting angle。
同时，杆的纵向直线变为螺旋线（小变形时可
近似为倾斜线）。
变形情况,
用材力的方法只能解
决等直圆杆（实心 OR圆筒）
的扭转问题和闭口薄壁直杆
的自由扭转问题。
§ 3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads
?扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure
? 3.2.1 Calculation of Torsional Loads — Torsional moment
? 一, 手摇绞车之类, mc=Q× R or mc=P× b
外力作用点到轴心的距离
W
D
§ 3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads
?扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure
)(
)(55.930
mpr
kW
nPnPm e ???
????
?
)(
)(02.7
36.1 55.9 mpr
PS
nPnPm e ???
????
二、机器传动轴,
已知轴的 转速 为 n(r·p·m); 传递的 功率 P(kW=kN·m/s)则,
单位时间所做的功为, W=P=me·( 2?n/60)
所以 me=(30/π ) ·(N/n)=9.549 N(kw)/n(r·p·m) ---(3-4)
注, 主动轮上 的 外力偶矩 （ me） 与轴的转向 一致 ； 被动轮
上 的 外力偶矩 （ me）与 轴的转向 相反 。
注意到,
1kW=1.36PS
(马力 ),故有,
§ 3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads
? 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure
T(MT )可根据作用于圆轴上的外力偶矩 mi由截面法求出 ;
T(MT )的量纲, [力 ]·[长度 ]
常用单位, N·m； kN·m
T(MT )的正负规定, 如图，按右手螺旋法则确定
?? ?? 合成?? ?? 产生
3.2.2 扭矩 Torque---扭矩轴的内力 Internal forces of Torsion shaft
· 扭矩图 Torque Figure
一,扭矩 Torque,外力偶矩作用于圆轴后，产生,
扭转变形 横截面的分布内力 (剪应力 ) 内力偶矩 T
(or MT,扭矩 )
§ 3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads
? 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure
5454 0:0 mmTmmTm x ?????????
54123 mmmmmT ??????
3.2.2 Torque---Internal forces of Torsion shaft · Torque Figure
二,扭矩图 Torque Figure
按扭矩沿轴线的变化所作的内力图 —— 扭矩图
求 Torque的基本方法, 截面法 —— (注意用设正法 )
如图,n— n截
面上 (Ⅱ )部分 (右
侧 )的扭矩大小和
方向可由下面两
种方法确定,
(Ⅰ )
① 右侧部分自身平衡 (外力偶矩 m4,m5与 T(MT)平衡 ),求出的 T(MT)大小
和方向作用于右侧部分的 n— n截面。
(Ⅱ )
② 左侧部分外力偶矩 (m1,m2,m3)的代数和,求出的 T(MT)大小和方向作
用于右侧部分的 n— n截面。
如果研究其右半段杆的平衡，则在同一横截面上所求得的扭矩
在数值上与上面得到的相等但转向却相反 (图 c)。
为使从两段杆所求得的同一横截面上的扭矩在正负号上一致,对
扭矩的正负号应按杆的变形情况来规定。习惯上 规定 杆因扭转而使
其 纵向线在某一段内有变成右手螺旋线的趋势时,则 该段杆横截面
上的扭矩为正,反之为负。
设一等直圆杆如图 a所示，作
用在杆上的外力偶矩分别为,
m1=6m,m2=m,m3=2m,m4=3m。先
求杆中间 BC段中任一横截面 I——I
上的扭矩。用截面法将杆沿横截
面 I——I处假想地截分为二，并研
究其左半段杆 (图 b)的平衡。由平
衡方程得,
§ 3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads
? 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure
mmmmmT 56211 ?????
此外，还可以将扭矩按右手螺旋法则用力偶矢来表示，并 规定
当 力偶矢的指向离开截面时扭矩为正,反之为负。这两种对扭矩正
负号的规定是一致的。 按此规定，在图 b或 c中所示横截面 I— I上的扭矩 TI应
为正号。
mmTmmT 36,41 ???? ?????同理
0,0 211 ????? mmTm x
扭矩 Tl的转向如图 b所示。
这样，就可以使得按左段杆和右段杆的平衡条
件所得到的同一截面上的扭矩在正负号上相一致。
为了表明沿杆轴线各横截面上的扭矩的变化情况, 从而确定最
大扭矩及其所在横截面的位置, 可仿照轴力图的作法 (参见 § 2-2)
绘制 扭矩图 。 绘出图 a所示的杆的扭矩图如图 d。可见，最大扭矩
Tmax在杆的左端一段内任一横截面上，其值为 6m。
作扭矩图如图 d。 可见,最大扭矩 Tmax在 CA段内,其值为 9.56 kN·m。
§ 3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads
? 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure
例题 3-2:一传动轴如图 a所
示，其转速 n=300r/min，主动
轮输入的功率 P1=500kW。若不
计轴承摩擦所耗的功率，三个
从动轮输出的功率分别为,
P2=150kW,P3=150kW及 P4=200kW。
试作轴的扭矩图。
解,首先按公式 (3－ 4a)计算外
力偶矩 (图 a)
kN mmTBC 78.4,2 ?????段内在同理
然后,由轴的计算简图 (图 b),用截面法计算各段轴内的扭矩,扭矩的正负号按前
述的规定 。 先计算 CA段内任一横截面 II— II(图 b)上的扭矩 。 沿横截面 II— II将轴截
开,并研究左边一段轴的平衡,假设 TII为正值 扭矩,由平衡方程
k N mmmTTmmm x 56.90,0 3232 ????????? ????? 得结果为负号,说明 TII应是负
值扭矩 (图 c)。 kN mmTAD 37.64 ?????段内在
k N m
n
P
m
k N m
n
P
mm
k N m
n
P
m
37.6
3 0 0
2 0 055.9
55.9
78.4
3 0 0
1 5 055.9
55.9
9.15
3 0 0
5 0 055.9
55.9
4
4
2
32
1
1
?
?
??
?
?
???
?
?
??
实质, 圆轴无轴向 (伸缩 )变形 。
圆轴受扭后，轴线无伸缩。即 两横截面间的距离保持不变 。
§ 3-4 等直圆杆的扭转 Torsion of Prismatic Shaft
3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.
因为 MT为绕轴线 x的力偶矩，故 只 可 能由 横截面内的应力 — 剪应力 ?合成 。
由实验观察得圆轴扭转变形如图,
其纵向直线 (与杆轴 x平行 )变成相互
平行的斜线。而圆周线的形状和尺寸
均未变,圆周线之间的距离也未改变。
故对圆轴扭转可作如下假设,
⑴ (刚 )平面假设
Hypothesis of Rigid Cross Section:
圆轴受扭变形后,所有横截 (平 )面仍保持为平
面,但绕杆轴线不同程度地转动了一个角度 。 (两相
邻 (dx)的横截面 1— 1,2— 2产生相对转动角 dφ )。
实质, 横截面无翘曲变形 。
⑵ 刚轴线 假设
Rigid Axis Hypothesis:
以上两假设相当于把圆轴杆看成穿在刚性轴线上的无数圆薄片组成，两相邻
圆薄片之间存在抗扭（转角）刚度。在受到扭矩作用时，每一圆薄片相对原来位
置转动了一个角度。两相邻圆薄片之间存在相对扭转角 dφ 。
一,推导应力公式,
? ?? A pT IM GdAG ?? ? 2
§ 3-4 等直圆杆的扭转 Torsion of Prismatic Shaft
3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.
dx
Rdtg
BA
BB ??? ???
**
'*
dxdtg ???? ?? ??
M TdA
A
?? ? ??
⑴ 变形的几何方面,
从受扭圆轴中取 dx
微段来研究,如图,
dxd???
定义 叫,单位长度扭转角 Unit length’s angle of twist (in radians)
?????则 （ a）随 ρ 线性变化，圆心处为 0，圆周处为最大值。
)(?? f?⑵ 物理方面, 将本构关系 代入 (a)式，即可。
?? p? ? ????? ???? pGG ??? m a x当杆内应力 时，有, …… (b)
dA??⑶ 静力学方面, 横截面上的切向内力元素 对圆心的力矩合成扭矩 MT
????(注意到为与半径垂直的周切线方向的剪应变，故 ):
将 (b)代入,得,
(Gθ 在积分的横截面内为常数，可提出来 )
故,
I
M
p
T
Gdx
d ?? ??
§ 3-4 等直圆杆的扭转 Torsion of Prismatic Shaft
3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.
2,圆环截面,
163222
3432
0
2 DWDddAIddA tD
Ap
????????? ?????? ?? 故
IM pTGdx
d ?? ??
dA
Ap
I ?? ? 2… (3— 5) 其中, 为由横截面形状和尺寸决定的几
何常数，叫,极惯性矩 Polar Moment of
Inertia 。 常用单位为,m4 or mm4? ????? ???? pGG ??? m a x代入 (b)式 得,
? ???? ?? p
p
TIM ??
m a x…… (3— 6)
由 (3— 6)式知,
① τ ρ 只与 MT,ρ, Ip有关，在
静定问题中与所用材料无关。
② τ ρ 正比于其横截面上的扭矩 MT；
③ τ ρ 反比于其横截面的极惯性矩 Ip；
④ τ ρ 正比于欲求此应力的点到圆心的距离 ρ ；
圆心处 τ = 0；圆周处 τ 最大；最大值为, ? ???? p
t
T
p
T
W
MR
IM ??? m a xm a x?
?的分布情况及方向如图所示,
DIRIW ppt 2??
式中, 叫 抗扭截面模量 (Section Modulus of Torsion)；
常用单位为, m3 or mm3。
几何量 Ip,Wt的计算,1,实心圆截面,
)()1(
16
)(
16
)1(
32
)(
32
2
4
3
44
4
4
4432
2
2
D
dDdD
D
W
DdDddAI
t
D
dAp
?????
?????? ??
????
???????
故
§ 3-4 等直圆杆的扭转 Torsion of Prismatic Shaft
3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.
二,扭转破坏现象分析
Phenomenon Analyses of Torsional Failure
如图，由剪应力互等定律，圆轴杆受扭时
纵向存在与圆周向剪应力 ?互等的剪应力 ??。
又由圆轴受扭时的变形假设，有,
0??x1,纵向线应变 (两圆周线变形后间距不变 )
0???? sx0??ls2,因横截面直径不变,故 (ls圆周向 )故
又纯剪切单元体 45?和 135?两斜面上有 ?min or ?max,且
由于各类材料的性质不同,抵抗剪切,抵抗拉伸变形的能力
各异,故受扭破坏的常见现象有,
a,沿橫截面抗剪切能力相对其它抗力较弱时，沿横截面被剪断（如软钢）
b,?b顺纹 ??b横纹的木材，竹子等材料，受扭时沿径向纵截面剪开而破坏。
c,铸铁等脆性材料的抗线伸长变形能力（ ?lb）相对小于抗剪切能力（ ?b）故
受扭破坏时沿与杆轴线 X成 45° 角的螺旋形曲面拉断。
§ 3-4 等直圆杆的扭转 Torsion of Prismatic Shaft
3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.
0c o s)s i n(s i n).c o s(,???? aadAaadAdA ??? ?
0s i n)s i n(c o s)c o s( ???? aadAaadAdA ??? ?
平面纯剪单元体任意斜截面上的应力
Stress in the oblique section · pure shear element
研究图示纯剪状态下与零应力面垂直的任意
斜截面上的应力,设,e---f面面积 dA，则,
b---f面面积为 dAsin? e---b面面积为 dAcos?
a2sin?? ? ??即
a2co s??? ?即
0?? tF?由,得：
?由 x轴转向斜截面外法线方向 n 为逆时针转
时为正，反之为负。
???? ???为 y向剪应力的大小,由,得：0?? nF?
y???? ??? ???? ? 2m i n |讨论,1,)(|
0m a x x???? ?? ??? ?
??? ???? m i nm a x2,434 ??? or?(对应,,此时 )0???
§ 3-4 等直圆杆的扭转 Torsion of Prismatic Shaft
3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.
扭转角 ? 的单位为弧度 (rad)。 GIp叫等直 圆杆 的 抗扭刚度
I
M
p
T
Gdx
d ?? ?? ?? ?? l
p
T
l
dxGIMd
0
??
pp
T
GI
ml
GI
lM ???
三, 受扭圆轴的变形 Deformation of Shaft in Torsion
由,,得,
对 MT为常数的等直杆,有,
§ 3-4 等直圆杆的扭转 Torsion of Prismatic Shaft
3.4.2受扭圆轴的强度条件和刚度条件
][m a xm a xm a x ?? ???
t
T
p
T
W
MR
IM
][m a x ?? ?
][180m a x
m a x
m a x ??
?? ????
I
M
p
T
Gdx
d
pp GI
bT
GI
aT ??? ?
mTTmmm BA ????? ???
lmamTlmbmT BIIAI ?????
一,受扭圆轴的强度条件,
同样可解三类问题。
二,受扭圆轴的刚度条件,
仍然可解三类问题。
因为 [?]常用单位为, ° / m，故有,
三, 受扭圆轴的超静定问题,
扭转变形能
??? mGImlm mdGI lmm dmT c
p
c
c
p
cc
cc
2
1
2
2
0
)(
0 ????? ??
?m cU 21?
mm eT ??
)213(
2
)213(
2
)213(
2
1
2
2
c
l
GI
b
GI
lM
amU
p
p
T
c
??
??
???
??
??
??
?
?
mM eT ?? GImGIM
p
c
p
T l???如图,故
me
me
mc??可见 当 mc从 0 Mc时，此圆柱外力作功为,
弹性阶段 变形能 U=T，故,
结论适用条件,
① R>>d (可忽略曲率影响,式中 d为,弹簧直径 )；
② 小间距 （ 密圈 ） 使,
③ 忽略剪力 (Q=P)
对弹簧变形的影响；
④ 线弹性范围,
ex,密圈螺旋弹簧 (close— coiled helical spring )
τddMτ pT PR ??? 33m a x 1616 ??结论,
C
PP
dG
dnP
dG
Rn ?
?
??? 4
3
4
3 864
? 故,弹簧刚度
R
d
n
GC
3
4
64?
§ 4— 5非圆截面杆纯扭转的概念
the comcepts of Noncircular members in Pure Torsion
注,① 我们只讨论纯扭转问题； ② 实体截面杆由于约束扭转所引起的
附加正应力一般很小, 可忽略不计；但薄壁杆件约束扭转时会产生不能
忽略的附加正应力 。
非圆截面杆扭转的一大特点 -----有 翘曲 (warp)
产生。故圆轴杆扭转的结论不能应用于它。
解决非圆截面杆扭转问题一般需用弹性理论方法 or实
验方法 (如, 薄膜比拟 Membrane Analogy)。
非圆截面杆扭转常分为 自由扭转 （ Pure Torsion,Free
Torsion）和 约束扭转 （ Constrained Torsion,Restrained
Torsion）两种。
Pure Torsion,任一截面的翘曲不受端部约束，能自由
翘曲，且两相邻横截面的翘曲程度完全相同 （此时任一横
截面上只有 τ 而无 ?）。
Restrained Torsion,截面的翘曲受端部约束限制，不
能自由翘曲 or扭矩 MT随轴线 x变化，使两相邻横截面的翘曲
程度不同 （此时任一横截面上一般不但有 τ,还有 ?产生）。
矩形截面杆 Rectangular section bar
τ 在横截面上的分布，见图，由弹性力学分析可得截面最大
剪应力,
W
M
k
T??
m a x …… （ 4— 11）发生在长边中点
GI
lM
k
T??相距 L的两截面的相对扭转角, …… （ 4— 12）
其中,MT— 杆横截面上的扭矩；
bI kk bW 43 ?? ??系数 ；
b
hm?可由 查表确定。
各角点上 τ =0（由剪应力互等
定理可证明之）
（且当 m>10时，有,α =β =m/3）
其分布见图
tI hk 331? tIW kk ?
狭长矩形截面杆 Thin Rectangular Section(长边 h,短边 t)
10?? thm由表可知当 时，有,
I
tM
k
T??
m a x GI
lM
k
T??且
由 刚周边假设, 杆扭转后，横截面周线虽然在杆表面上变成
曲线，但在其变形前的平面上的投影形状仍保持不变 (即就横截
面的投影来说，它在杆扭转时将作刚性转动 )。可得,
开口薄壁截面 Thin-Walled Open Sections
???? ???? n?21
m a xm a x tIM kT??
参见图，开口
薄壁截面可视为由
若干狭长矩形组合
而成。故剪应力仍
沿周边形成剪应力
流。而 τ 的方向由
(τ dA)组成的力偶
转向与 MT一致来确
定。
GIMGI iM i kTkT ?GI lM kT??
由 可得, – (i=1,……,n)
?? ?? ?? ni iini kik thII 1 31 31MM Tni Ti ???1 MIIM Tni kikT ???1又因为, 故得, 因此,
ikTikiTii tIMtIM ??? m a x
注意到,
故整个截面的最大剪应力, 发生在厚度最大的
狭长子矩形的长边上
相距 l 的两截面之间的扭转角,
GI
lM
k
T??
§ 3-7 等直非圆杆
在自由扭转时的应力和变形
§ 3-7 等直非圆杆
在自由扭转时的应力和变形
作业,
3-1,3-3,3-18,3-25、
3-31,3-33,3-35
第三章 扭 转
Torsion
§ 3-1 概念与实例 Concepts and Examples
圆轴 shaft,传
动轴，动力轴，通
常为圆截面直杆。
受力及变形的基本
情况如图,
受一对作用在垂直于杆轴的两个平面内的力
偶（其矩相等，转向相反）作用 。
受力情况,
任意两横截面绕杆轴线作相对转动，因而有
相对角位移, 称为 扭转角 Twisting angle。
同时，杆的纵向直线变为螺旋线（小变形时可
近似为倾斜线）。
变形情况,
用材力的方法只能解
决等直圆杆（实心 OR圆筒）
的扭转问题和闭口薄壁直杆
的自由扭转问题。
§ 3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads
?扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure
? 3.2.1 Calculation of Torsional Loads — Torsional moment
? 一, 手摇绞车之类, mc=Q× R or mc=P× b
外力作用点到轴心的距离
W
D
§ 3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads
?扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure
)(
)(55.930
mpr
kW
nPnPm e ???
????
?
)(
)(02.7
36.1 55.9 mpr
PS
nPnPm e ???
????
二、机器传动轴,
已知轴的 转速 为 n(r·p·m); 传递的 功率 P(kW=kN·m/s)则,
单位时间所做的功为, W=P=me·( 2?n/60)
所以 me=(30/π ) ·(N/n)=9.549 N(kw)/n(r·p·m) ---(3-4)
注, 主动轮上 的 外力偶矩 （ me） 与轴的转向 一致 ； 被动轮
上 的 外力偶矩 （ me）与 轴的转向 相反 。
注意到,
1kW=1.36PS
(马力 ),故有,
§ 3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads
? 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure
T(MT )可根据作用于圆轴上的外力偶矩 mi由截面法求出 ;
T(MT )的量纲, [力 ]·[长度 ]
常用单位, N·m； kN·m
T(MT )的正负规定, 如图，按右手螺旋法则确定
?? ?? 合成?? ?? 产生
3.2.2 扭矩 Torque---扭矩轴的内力 Internal forces of Torsion shaft
· 扭矩图 Torque Figure
一,扭矩 Torque,外力偶矩作用于圆轴后，产生,
扭转变形 横截面的分布内力 (剪应力 ) 内力偶矩 T
(or MT,扭矩 )
§ 3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads
? 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure
5454 0:0 mmTmmTm x ?????????
54123 mmmmmT ??????
3.2.2 Torque---Internal forces of Torsion shaft · Torque Figure
二,扭矩图 Torque Figure
按扭矩沿轴线的变化所作的内力图 —— 扭矩图
求 Torque的基本方法, 截面法 —— (注意用设正法 )
如图,n— n截
面上 (Ⅱ )部分 (右
侧 )的扭矩大小和
方向可由下面两
种方法确定,
(Ⅰ )
① 右侧部分自身平衡 (外力偶矩 m4,m5与 T(MT)平衡 ),求出的 T(MT)大小
和方向作用于右侧部分的 n— n截面。
(Ⅱ )
② 左侧部分外力偶矩 (m1,m2,m3)的代数和,求出的 T(MT)大小和方向作
用于右侧部分的 n— n截面。
如果研究其右半段杆的平衡，则在同一横截面上所求得的扭矩
在数值上与上面得到的相等但转向却相反 (图 c)。
为使从两段杆所求得的同一横截面上的扭矩在正负号上一致,对
扭矩的正负号应按杆的变形情况来规定。习惯上 规定 杆因扭转而使
其 纵向线在某一段内有变成右手螺旋线的趋势时,则 该段杆横截面
上的扭矩为正,反之为负。
设一等直圆杆如图 a所示，作
用在杆上的外力偶矩分别为,
m1=6m,m2=m,m3=2m,m4=3m。先
求杆中间 BC段中任一横截面 I——I
上的扭矩。用截面法将杆沿横截
面 I——I处假想地截分为二，并研
究其左半段杆 (图 b)的平衡。由平
衡方程得,
§ 3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads
? 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure
mmmmmT 56211 ?????
此外，还可以将扭矩按右手螺旋法则用力偶矢来表示，并 规定
当 力偶矢的指向离开截面时扭矩为正,反之为负。这两种对扭矩正
负号的规定是一致的。 按此规定，在图 b或 c中所示横截面 I— I上的扭矩 TI应
为正号。
mmTmmT 36,41 ???? ?????同理
0,0 211 ????? mmTm x
扭矩 Tl的转向如图 b所示。
这样，就可以使得按左段杆和右段杆的平衡条
件所得到的同一截面上的扭矩在正负号上相一致。
为了表明沿杆轴线各横截面上的扭矩的变化情况, 从而确定最
大扭矩及其所在横截面的位置, 可仿照轴力图的作法 (参见 § 2-2)
绘制 扭矩图 。 绘出图 a所示的杆的扭矩图如图 d。可见，最大扭矩
Tmax在杆的左端一段内任一横截面上，其值为 6m。
作扭矩图如图 d。 可见,最大扭矩 Tmax在 CA段内,其值为 9.56 kN·m。
§ 3-3 外力偶矩的计算 Calculation of Torsional Loads
? 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure
例题 3-2:一传动轴如图 a所
示，其转速 n=300r/min，主动
轮输入的功率 P1=500kW。若不
计轴承摩擦所耗的功率，三个
从动轮输出的功率分别为,
P2=150kW,P3=150kW及 P4=200kW。
试作轴的扭矩图。
解,首先按公式 (3－ 4a)计算外
力偶矩 (图 a)
kN mmTBC 78.4,2 ?????段内在同理
然后,由轴的计算简图 (图 b),用截面法计算各段轴内的扭矩,扭矩的正负号按前
述的规定 。 先计算 CA段内任一横截面 II— II(图 b)上的扭矩 。 沿横截面 II— II将轴截
开,并研究左边一段轴的平衡,假设 TII为正值 扭矩,由平衡方程
k N mmmTTmmm x 56.90,0 3232 ????????? ????? 得结果为负号,说明 TII应是负
值扭矩 (图 c)。 kN mmTAD 37.64 ?????段内在
k N m
n
P
m
k N m
n
P
mm
k N m
n
P
m
37.6
3 0 0
2 0 055.9
55.9
78.4
3 0 0
1 5 055.9
55.9
9.15
3 0 0
5 0 055.9
55.9
4
4
2
32
1
1
?
?
??
?
?
???
?
?
??
实质, 圆轴无轴向 (伸缩 )变形 。
圆轴受扭后，轴线无伸缩。即 两横截面间的距离保持不变 。
§ 3-4 等直圆杆的扭转 Torsion of Prismatic Shaft
3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.
因为 MT为绕轴线 x的力偶矩，故 只 可 能由 横截面内的应力 — 剪应力 ?合成 。
由实验观察得圆轴扭转变形如图,
其纵向直线 (与杆轴 x平行 )变成相互
平行的斜线。而圆周线的形状和尺寸
均未变,圆周线之间的距离也未改变。
故对圆轴扭转可作如下假设,
⑴ (刚 )平面假设
Hypothesis of Rigid Cross Section:
圆轴受扭变形后,所有横截 (平 )面仍保持为平
面,但绕杆轴线不同程度地转动了一个角度 。 (两相
邻 (dx)的横截面 1— 1,2— 2产生相对转动角 dφ )。
实质, 横截面无翘曲变形 。
⑵ 刚轴线 假设
Rigid Axis Hypothesis:
以上两假设相当于把圆轴杆看成穿在刚性轴线上的无数圆薄片组成，两相邻
圆薄片之间存在抗扭（转角）刚度。在受到扭矩作用时，每一圆薄片相对原来位
置转动了一个角度。两相邻圆薄片之间存在相对扭转角 dφ 。
一,推导应力公式,
? ?? A pT IM GdAG ?? ? 2
§ 3-4 等直圆杆的扭转 Torsion of Prismatic Shaft
3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.
dx
Rdtg
BA
BB ??? ???
**
'*
dxdtg ???? ?? ??
M TdA
A
?? ? ??
⑴ 变形的几何方面,
从受扭圆轴中取 dx
微段来研究,如图,
dxd???
定义 叫,单位长度扭转角 Unit length’s angle of twist (in radians)
?????则 （ a）随 ρ 线性变化，圆心处为 0，圆周处为最大值。
)(?? f?⑵ 物理方面, 将本构关系 代入 (a)式，即可。
?? p? ? ????? ???? pGG ??? m a x当杆内应力 时，有, …… (b)
dA??⑶ 静力学方面, 横截面上的切向内力元素 对圆心的力矩合成扭矩 MT
????(注意到为与半径垂直的周切线方向的剪应变，故 ):
将 (b)代入,得,
(Gθ 在积分的横截面内为常数，可提出来 )
故,
I
M
p
T
Gdx
d ?? ??
§ 3-4 等直圆杆的扭转 Torsion of Prismatic Shaft
3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.
2,圆环截面,
163222
3432
0
2 DWDddAIddA tD
Ap
????????? ?????? ?? 故
IM pTGdx
d ?? ??
dA
Ap
I ?? ? 2… (3— 5) 其中, 为由横截面形状和尺寸决定的几
何常数，叫,极惯性矩 Polar Moment of
Inertia 。 常用单位为,m4 or mm4? ????? ???? pGG ??? m a x代入 (b)式 得,
? ???? ?? p
p
TIM ??
m a x…… (3— 6)
由 (3— 6)式知,
① τ ρ 只与 MT,ρ, Ip有关，在
静定问题中与所用材料无关。
② τ ρ 正比于其横截面上的扭矩 MT；
③ τ ρ 反比于其横截面的极惯性矩 Ip；
④ τ ρ 正比于欲求此应力的点到圆心的距离 ρ ；
圆心处 τ = 0；圆周处 τ 最大；最大值为, ? ???? p
t
T
p
T
W
MR
IM ??? m a xm a x?
?的分布情况及方向如图所示,
DIRIW ppt 2??
式中, 叫 抗扭截面模量 (Section Modulus of Torsion)；
常用单位为, m3 or mm3。
几何量 Ip,Wt的计算,1,实心圆截面,
)()1(
16
)(
16
)1(
32
)(
32
2
4
3
44
4
4
4432
2
2
D
dDdD
D
W
DdDddAI
t
D
dAp
?????
?????? ??
????
???????
故
§ 3-4 等直圆杆的扭转 Torsion of Prismatic Shaft
3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.
二,扭转破坏现象分析
Phenomenon Analyses of Torsional Failure
如图，由剪应力互等定律，圆轴杆受扭时
纵向存在与圆周向剪应力 ?互等的剪应力 ??。
又由圆轴受扭时的变形假设，有,
0??x1,纵向线应变 (两圆周线变形后间距不变 )
0???? sx0??ls2,因横截面直径不变,故 (ls圆周向 )故
又纯剪切单元体 45?和 135?两斜面上有 ?min or ?max,且
由于各类材料的性质不同,抵抗剪切,抵抗拉伸变形的能力
各异,故受扭破坏的常见现象有,
a,沿橫截面抗剪切能力相对其它抗力较弱时，沿横截面被剪断（如软钢）
b,?b顺纹 ??b横纹的木材，竹子等材料，受扭时沿径向纵截面剪开而破坏。
c,铸铁等脆性材料的抗线伸长变形能力（ ?lb）相对小于抗剪切能力（ ?b）故
受扭破坏时沿与杆轴线 X成 45° 角的螺旋形曲面拉断。
§ 3-4 等直圆杆的扭转 Torsion of Prismatic Shaft
3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.
0c o s)s i n(s i n).c o s(,???? aadAaadAdA ??? ?
0s i n)s i n(c o s)c o s( ???? aadAaadAdA ??? ?
平面纯剪单元体任意斜截面上的应力
Stress in the oblique section · pure shear element
研究图示纯剪状态下与零应力面垂直的任意
斜截面上的应力,设,e---f面面积 dA，则,
b---f面面积为 dAsin? e---b面面积为 dAcos?
a2sin?? ? ??即
a2co s??? ?即
0?? tF?由,得：
?由 x轴转向斜截面外法线方向 n 为逆时针转
时为正，反之为负。
???? ???为 y向剪应力的大小,由,得：0?? nF?
y???? ??? ???? ? 2m i n |讨论,1,)(|
0m a x x???? ?? ??? ?
??? ???? m i nm a x2,434 ??? or?(对应,,此时 )0???
§ 3-4 等直圆杆的扭转 Torsion of Prismatic Shaft
3.4.1 受扭圆轴的应力和变形 Stress & Deformation of Shaft in Torsion.
扭转角 ? 的单位为弧度 (rad)。 GIp叫等直 圆杆 的 抗扭刚度
I
M
p
T
Gdx
d ?? ?? ?? ?? l
p
T
l
dxGIMd
0
??
pp
T
GI
ml
GI
lM ???
三, 受扭圆轴的变形 Deformation of Shaft in Torsion
由,,得,
对 MT为常数的等直杆,有,
§ 3-4 等直圆杆的扭转 Torsion of Prismatic Shaft
3.4.2受扭圆轴的强度条件和刚度条件
][m a xm a xm a x ?? ???
t
T
p
T
W
MR
IM
][m a x ?? ?
][180m a x
m a x
m a x ??
?? ????
I
M
p
T
Gdx
d
pp GI
bT
GI
aT ??? ?
mTTmmm BA ????? ???
lmamTlmbmT BIIAI ?????
一,受扭圆轴的强度条件,
同样可解三类问题。
二,受扭圆轴的刚度条件,
仍然可解三类问题。
因为 [?]常用单位为, ° / m，故有,
三, 受扭圆轴的超静定问题,
扭转变形能
??? mGImlm mdGI lmm dmT c
p
c
c
p
cc
cc
2
1
2
2
0
)(
0 ????? ??
?m cU 21?
mm eT ??
)213(
2
)213(
2
)213(
2
1
2
2
c
l
GI
b
GI
lM
amU
p
p
T
c
??
??
???
??
??
??
?
?
mM eT ?? GImGIM
p
c
p
T l???如图,故
me
me
mc??可见 当 mc从 0 Mc时，此圆柱外力作功为,
弹性阶段 变形能 U=T，故,
结论适用条件,
① R>>d (可忽略曲率影响,式中 d为,弹簧直径 )；
② 小间距 （ 密圈 ） 使,
③ 忽略剪力 (Q=P)
对弹簧变形的影响；
④ 线弹性范围,
ex,密圈螺旋弹簧 (close— coiled helical spring )
τddMτ pT PR ??? 33m a x 1616 ??结论,
C
PP
dG
dnP
dG
Rn ?
?
??? 4
3
4
3 864
? 故,弹簧刚度
R
d
n
GC
3
4
64?
§ 4— 5非圆截面杆纯扭转的概念
the comcepts of Noncircular members in Pure Torsion
注,① 我们只讨论纯扭转问题； ② 实体截面杆由于约束扭转所引起的
附加正应力一般很小, 可忽略不计；但薄壁杆件约束扭转时会产生不能
忽略的附加正应力 。
非圆截面杆扭转的一大特点 -----有 翘曲 (warp)
产生。故圆轴杆扭转的结论不能应用于它。
解决非圆截面杆扭转问题一般需用弹性理论方法 or实
验方法 (如, 薄膜比拟 Membrane Analogy)。
非圆截面杆扭转常分为 自由扭转 （ Pure Torsion,Free
Torsion）和 约束扭转 （ Constrained Torsion,Restrained
Torsion）两种。
Pure Torsion,任一截面的翘曲不受端部约束，能自由
翘曲，且两相邻横截面的翘曲程度完全相同 （此时任一横
截面上只有 τ 而无 ?）。
Restrained Torsion,截面的翘曲受端部约束限制，不
能自由翘曲 or扭矩 MT随轴线 x变化，使两相邻横截面的翘曲
程度不同 （此时任一横截面上一般不但有 τ,还有 ?产生）。
矩形截面杆 Rectangular section bar
τ 在横截面上的分布，见图，由弹性力学分析可得截面最大
剪应力,
W
M
k
T??
m a x …… （ 4— 11）发生在长边中点
GI
lM
k
T??相距 L的两截面的相对扭转角, …… （ 4— 12）
其中,MT— 杆横截面上的扭矩；
bI kk bW 43 ?? ??系数 ；
b
hm?可由 查表确定。
各角点上 τ =0（由剪应力互等
定理可证明之）
（且当 m>10时，有,α =β =m/3）
其分布见图
tI hk 331? tIW kk ?
狭长矩形截面杆 Thin Rectangular Section(长边 h,短边 t)
10?? thm由表可知当 时，有,
I
tM
k
T??
m a x GI
lM
k
T??且
由 刚周边假设, 杆扭转后，横截面周线虽然在杆表面上变成
曲线，但在其变形前的平面上的投影形状仍保持不变 (即就横截
面的投影来说，它在杆扭转时将作刚性转动 )。可得,
开口薄壁截面 Thin-Walled Open Sections
???? ???? n?21
m a xm a x tIM kT??
参见图，开口
薄壁截面可视为由
若干狭长矩形组合
而成。故剪应力仍
沿周边形成剪应力
流。而 τ 的方向由
(τ dA)组成的力偶
转向与 MT一致来确
定。
GIMGI iM i kTkT ?GI lM kT??
由 可得, – (i=1,……,n)
?? ?? ?? ni iini kik thII 1 31 31MM Tni Ti ???1 MIIM Tni kikT ???1又因为, 故得, 因此,
ikTikiTii tIMtIM ??? m a x
注意到,
故整个截面的最大剪应力, 发生在厚度最大的
狭长子矩形的长边上
相距 l 的两截面之间的扭转角,
GI
lM
k
T??
§ 3-7 等直非圆杆
在自由扭转时的应力和变形
§ 3-7 等直非圆杆
在自由扭转时的应力和变形
作业,
3-1,3-3,3-18,3-25、
3-31,3-33,3-35
