材 料 力 学
第八章 剪切 与连接件的实用计算
Shearing
P
P
P
P
P
Q
b c
a d b
c’
a
d’
① 铆接 (Riveted Joints);② 螺栓连接 (Bolted Joints);
③ 销钉连接 (Pin Connection);
④ 键连接 (Key Connection);
⑤ 榫连接 (Tenon Connection or Grooves Joints);
⑥ 焊接 (Welded Connection)。
如图,a---b:受剪面 。其上的内力合力 Q与截
面相切,叫 剪力 (Shearing Force)。与之相应的应
力 (内力的集度 )记为 t,叫 剪应力 (Shearing Stress)。
工程中以剪切为主要变形的构件一般均为
杆件结构的 连接件 (Connecting Parts)。如,
§ 8-1 概述 (Introduction)
搭接
(lap joint)
受剪面
上钢板
这些连接件除主要发生剪切变形以外,在其受力侧面常伴有局部
受压现象 (如上图 )。构件在较小的局部区域受压力作用,称为 挤压
(bearing)。相应的压力叫 挤压力 (bearing force),记为 Pjy(or Pbs)。相应
的应力叫,挤压应力 (bearing stress),记为 sjy(or sbs)。
因连接件的受力和变形很复杂,不能用材力的常用方法进行分析。
故连接件的强度计算一般采用工程实用计算法。
受剪面 p— n,
剪力 Q=H,
挤压面 m— n,
挤压力 PJY=H.
? ?ttt ?
?
?
k
b
因此,若 假设剪应力在受剪面 (shearing section)上均
匀分布,则 连接件的 剪切强度条
件 (Strength Condition of Shearing)为,
§ 8-1(一 ) 剪切的实用计算
Practical calculation of Shearing
计算极限应力
)28(][ ??? tt AQ
实用计算方法的关键在,假定应力在截面上的分布规律,用直接
试验方法 (如,Shearing Test)确定极限荷载 Qb(or Pjyb)。其计算应
力 (名义应力 )和极限应力均按此假定的分布规律计算。即得,
其中,t— 名义剪应力 (nominal shearing stress)
Q— 受剪面上的 剪力 (shearing force in sheared section,由截面法确定 )
A— 受剪面上的 受剪面积 (sheared area,平行于外力作用线 )
[t]— 名义许用剪应力 (nominal allowable shearing stress,可查有关规范 )
剪切仍有三类工程问题,
① 校核强度 ; ② 确定容许荷载 ; ③ 确定受剪面必要尺寸。
§ 8-1(二 ) 挤压的实用计算
Practical calculation of Bearing
(如, )故有, 直径平面半圆柱面
正投影 ?? ??
)48(][ ??? bs
bs
bs
bs A
P ss
对挤压面为 平面 的情况,假设 sbs在
挤压 平 面 (bearing plate)上均匀分布 。
当挤压面为 曲面 (如,铆接 riveted
joints,螺栓连接 bolted joints等,其 挤压面
bearing surface即为半圆柱面,如图 )时,假
设 sbs在其正投影面上均匀分布 。
其中,Pbs— 挤压力 (Bearing Force);
Abs— 挤压 投影面面积 (Bearing Projected Area,它垂直于挤压力的作用线 )
sbs— 名义挤压应力 (Nominal Bearing Stress);
[sbs]— 名义许用挤压应力 (Nominal Allowable Bearing Stress,查规范 )
([sbs]一般为 (2～ 2,5)[σ ])
注,如果相互挤压的物体由不同材料制成,则应校核软弱材料
([sbs]较小者 )的挤压强度。
§ 8-1(三 ) 简单连接件的计算实例
][9.50
1514.3
10182
2
4
2
3
2
t
?
t
??
???
?
??
M P a
d
P
A
Q
Q
][1 5 0
158
1018 3
bs
bs
bs
bs
M P a
dt
P
A
P
s
s
??
???
?
?
例题 8-3 一销钉连接如图,已知,P=18kN,t=8mm,t1=5mm,销钉直径 d=15mm,
其 ?t??60MPa,[sbs]=200MPa。 试校核其强度。
解,销钉受力如图 (b),因其有两个
受剪面 。故一个 受剪面 其上的剪
力为, Q=P/2
而其一个 受剪面面积为,
AQ=?d2/4
因而其剪切强度条件为,
因销钉中部挤压面厚度 t小于两
侧边挤压面厚度和 2t1,故其挤压强度
条件为,
§ 8-1(三 ) 简单连接件的计算实例
68.21 3 016 101 4 02][2:][22 4 2 3222 ??? ???????? ?t?t??t d Pndn Pdn PAQ
Q
故
例题 8-4 某钢桁架的一结点如图 a所
示。斜杆 A由两个 63× 6的等边角钢组
成,受 P=140kN的力作用。该斜杆用螺
栓连接在厚度为 t=10mm的结点板上。
螺栓直径为 d=16mm。己知角钢、结点
板和螺栓的材料均为 Q235钢,许用应
力为 [s]=170MPa,[t?=130MPa,[sbs]=
300MPa。试选择螺栓个数,并校核斜
杆 A的拉伸强度。
解,选择螺栓个数的问题在性质上与截面选择的问题相同,可先 从剪切强度条件公
式 (8－ 2)选择螺栓个数,然后用挤压强度条件公式 (8－ 4)来校核 。
首先要分析每个螺栓所受到的力。 当各螺栓直径相同,且外力作用线通过该
组螺栓之截面形心时,可以假定每个螺栓受到相等的力 。所以,在具有 n个螺栓的
接头上作用的外力为 P时,每个螺栓所受到的力即等于 P/n。显然,这里的螺栓也有
两个受剪面 (参看图 b),故每个受剪面上的剪力为,Q=(P/n)/2=P/(2n)
将此剪力和有关的已知数据代入剪切强度条件公式 (8－ 2),即得,
最后 校核角钢的拉伸强度 。取两根角钢一起作为分离体,其受力图及轴力图
如图 c所示,由于角钢在 m——m截面上轴力最大,该横截面又因螺栓孔而削弱,因此
是危险截面。 该截面上的轴力为,Nmax=P=140kN。由型钢规格 (见本书附录 III)查
得每个 63× 6角钢的横截面面积为 7.29cm2,故危险截面 m——m的面积为,
A=2(729－ 6× 16)=1266mm2
§ 8-1(三 ) 简单连接件的计算实例
][1 1 0, 5 8 M P a
1266
10140 3m a x
ss ??
?
???
jA
P
A
N
故角钢的拉伸强度为
故应取 3个 螺栓,此时斜杆 A满足其拉伸强度。
取整,得,n = 3。
现 校核挤压强度 。 由于
结点板的厚度小于两角钢厚
度之和,所以应校核螺栓与结
点板之间的挤压强度 。前已
指出,每个螺栓所受到的力为
P/n,这也就是螺栓和结点板
相互的挤压力 (即 Pbs=P/n),将
n=3及其它有关的已知数据代
入公式 (8－ 4)可得,
][67.2 9 1
16103
101 4 0 3
bs
bs
bs
bs
M P a
dtn
P
A
P
s
s
??
??
????
可见,采用 3个螺栓是能满足挤压强度条件的要求的。
§ 8-1(三 ) 简单连接件的计算实例
以上削弱截面的强度计算方法在静载条件下是适用的。因孔边
的局部应力集中在塑性材料中由于应力重分布会钝化,引起小范围
的塑形变形。
但在交变载荷时,在这些局部应力区,对低疲劳极限的材料,有
可能出现局部形成裂纹的危险。
铆钉在平面上的布置,不仅要考虑保证联接的强度和牢固性,同
时还要考虑施工条件的要求。
如图示,R-R使铆钉偏心受拉,因
铆钉一般为塑性材料制成,故 R-R的影
响最多使板间摩擦力减小为零。其上
的正应力 (R-R所引起 )部分达到屈服
极限 ss也不会影响连接点的正常传力。
关于焊接的计算及工艺简介,参见 H.M.别辽耶夫
,材力, P101§ 44(书号 TB301 B315)。
铆钉连接在建筑结构中被
广泛采用。铆接的方式主要有
搭接 (图 a),单盖板对接 (图 b)
和 双盖板对接 (图 c)三种。搭
接和单盖板对接中的铆钉具有
一个受剪面 (称为 单剪 ),双盖
板对接中的铆钉具有两个受剪
面 (称为 双剪 )。下面分别按铆
钉组的受载方式讨论铆钉连接
的强度计算。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
I.铆钉组承受横向荷载
2.若 外力的作用线通过铆钉组横截面的形心,且同一
组内各铆钉的直径相同,则 每个铆钉的受力也都相等 。
I．铆钉组承受横向荷载
在搭接 (图 a)和单盖板对接 (图 b)中,由铆钉的受
力可见,铆钉 (或钢板 )显然将发生弯曲。在铆钉组连
接 (图 8-7)中,由于铆钉和钢板的弹性变形,可以想象
两端铆钉的受力与中间铆钉的受力并不完全相同。
为了简化计算,并考虑到连接在破坏前总会发生塑性
变形,在铆钉组的计算中假设,
1.不论铆接的方式如何,均不考虑铆钉弯曲的影响。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
I.铆钉组承受横向荷载
按照上述假设,就可得到每
个铆钉的受力 Pl为, Pl＝ P/n
式中,n为铆钉组中的铆钉个数。
在求得每个铆钉的受力 P1后,
即可按公式 (8－ 2)和 (8－ 4)分 别
核算其剪切强度和挤压强度。
被连接件由于铆钉孔的削弱,其拉伸强度应以最弱截面 (轴力
较大而截面积较小 )为依据,但不考虑应力集中的影响。
对于销订或螺栓连接,其分析计算方法与铆钉连接相同。
螺栓连接中的 紧连接,通过拧紧螺栓而使螺栓产生预拉应力,
同时在贴紧的两层钢板上产生足够的摩擦,以传递荷载。对这种连
接 (通常称为 高强度螺栓连接 )的强度计算,可参阅有关钢结构教材
(例如,宗听聪编,,钢结构,,中国建筑工业出版社,1991年 )在此
不再详述。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
I.铆钉组承受横向荷载
例题 8-5 用两根钢轨铆接成组合梁,其连接情况如图 a,b所示。每根钢轨的横截
面面积 A=8000mm2,形心距离底边的高度 c=80mm,每一钢轨横截面对其自身形心轴
的惯性矩 Iz=16O0× 1O4mm4;铆钉间距 s=15Omm,直径 d=2Omm,许用剪应力 [t]=95MPa。
若梁内剪力 Q=50kN,试校核铆钉的剪切强度。 (上、下两钢轨间的摩擦不予考虑 )
解,上、下两钢轨作为整体弯曲时,上面钢轨的横截面上全是压应力,而下面
钢轨的横截面上则全是拉应力。在横力弯曲的情况下,由于相邻横截面上弯矩不
同,相应点处的正应力不相等。故上、下两钢轨有沿其接触面发生纵向错动的趋
势,使作为连接件的铆钉承受剪力 (图 c)。每排铆钉 (图 c中为两个 )承受的剪力为
一根钢轨在距离等于铆钉纵向间距 s(图 b)的两个横截面上压力 (或拉力 )之差 (图
d),T’=T1一 To为了便于计算 T’,可先假想两钢轨在接触面上处处传递剪应力 t’,而
后将其与接触面宽度 b（轨底宽度）及间距 s相乘，以得出 T’。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
I.铆钉组承受横向荷载即, T’=t’bs
这里的 t’可由公式 (5－ 5)计算, t’=QS*z/(bIz)
于是,在此梁中每一铆钉承担的剪力 Q’为, Q’=T’/2=t’bs/2=sQS*z/(2Iz) (3)
为了计算 Q’,先计算梁在铆钉受剪面以上的那部分横截面 (即一根钢轨的横截
面 )面积对中性轴的静矩 S*zmax和整个截面对中性轴的惯性矩 Iz:
S*zmax=A·c=800O× 8O=64× 104mm3=640× 10－ 6m3
Iz=2(Iz1＋ A·c2)=2(1600× 104＋ 8000× 8O2)=l.344× 108mm4=1.344× 10－ 4m3
将 s,Q,S*z和 Iz的值代入式 (3),得,
Q’=sQS*z/(2Iz)=150× 50× 64× 104/(2× l.344× 108)=17.86kN
由己知的 d=20mm=20× 10-3m和求得的 Q‘,得出铆钉内的剪应力为,
t=4Q’/?d2=4× 17.86× 103/(?× 202)==56.9MPa<[t]
由此可见,铆钉内的剪应力是满足强度条件的要求的 。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
I.铆钉组承受横向荷载例 铆钉连接钢板的接头如图 (a)与 (b)
所示。已知 P=150kN,铆钉的直径 d=16mm,
钢板的厚度 t=13mm,宽度 b=152mm,盖板
的厚度 t’=8mm。钢板和盖板材料相同,
许用拉应力 [s]1=100MPa,许用挤压应力
[sc]1=200MPa;铆钉的许用剪应力
[t]2=140MPa,许用挤压应力
[sc]2=320MPa。试校核此接头的强度。
解,1.铆钉的抗剪强度
假定每块钢板传给 5个铆钉的力相等,即每个铆钉所受剪力等于 Q=P/5,但此时
每个铆钉都是双面剪切,因此,
22
3
2 ][6.47165
101 5 02
5
2
2 t??t ???
????? M P a
d
P
A
Q
故铆钉抗剪强度足够。 (因 [sc]2>[sc]1即铆钉的抗挤压强度大于钢板和盖板的抗
挤压强度。故只需校核钢板和盖板的挤压强度,
2.钢板和盖板的挤压强度
每一个铆钉的实际挤压面包括一个与主板相接触的半圆柱面和两个与盖板
相接触的半圆柱面。由于二倍盖板厚度大于主板厚度,即 2t’＞ t,故计算挤压面
积 Ac=td,而挤压力 Pc=P/5,因此,
故盖板的抗拉强度足够 。 综观以上结果,该连接头的强度是足够的 。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
I.铆钉组承受横向荷载 13 ][23.14416135 101505 bsbsbsbs M P atdPAP ss ???? ????
故钢板和盖板的挤压强度亦足够 。
3.钢板的抗拉强度
可绘出其轴力图如图
(c)所示。由图可知,在第
一排铆钉孔截面有两个钉
孔,而轴力 N1=P,此截面上的
正应力, 1
3
1
1 ][96
13)1621 5 2(
101 5 0
)2(' ss ?????
??
??? M P atdb
P
A
N
而第二排铆钉孔截面
处有三个铆钉孔,轴力
N2=0.6P,此截面上的正应力,
所以,主板抗拉强度足够。
4.盖板的抗拉强度
绘出盖板的轴力图如图
(d)。虽然 2t’＞ t,但盖板在
第二排铆钉孔截面处有三个
铆钉孔,而其轴力为 P,因此有
必要校校此截面的抗拉强度。
此时
1
3
][908)163152(2 10150')3(2 ss ?????? ????? M P atdb PAN盖板
1
3
2
2 ][6.66
13)163152(
101506.0
)3(
6.0" ss ??
???
???
??? M P atdb
P
A
N
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
II.铆钉组承受扭转荷载
承受扭转荷载的铆钉组 (图 a),由于被连接件 (钢板 )的
转动趋势,每一铆钉的受力将不再相同。令铆钉组横截面
的形心为 O点 (图 b),假设钢板上任一直线 (如 OA或 OB)在
转动后仍保持为直线,因而,
每一铆钉的平均剪应变与该铆钉截面中心 (如 A或 B点 )至 O点的距
离成正比 。 若铆钉组中每个铆钉的直径相同,且剪应力与剪应变成
正比,则每个铆钉所受的力与中心 (如 A或 B点 )至铆钉组的截面形心 O
点的距离成正比,其方向垂直于该点与 O点的连线 。
而每一铆钉上的力对 O点
力矩的代 数和就等于钢板所受
的转矩 m(图 b)。即,
m=Pe=SPiai (b)
式中,Pi为每个铆钉所受的力 ;ai
为该铆钉截面中心至铆钉组截
面形心的距离 。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
II.铆钉组承受扭转荷载
)28(][ ??? tt AQ )48(][ ??? bsbs
bs
bs A
P ss
对于承受偏心横向荷载的铆钉组 (图 a),
可 将偏心荷载 P向铆钉组截面形心 O点 简化,
得到一 个通过 O点的 荷载 P和 一 个
绕 O点旋转的 转矩 m=Pe(图 b)。 若
同一铆钉组中每一铆钉的直径相
同,则可分别按式 (P’i＝ P/n)和
(m=Pe=SP”iai)计算由横向力 P引
起的力 P’i和由转矩 m引起的力
P”i,每一铆钉的受力应是力 P’i
和 P”i的矢量和,如图 b所示。
在求得每个铆钉的受力 Pi后,
即可按公式 (8－ 2)和 (8－ 4)分别核
算受力最大的铆钉的剪切强度和
挤压强度，以保证连接的安全。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
II.铆钉组承受扭转荷载
例题 8－ 6 一铆钉连接的托架受集中力 P作用,如
图 a所示。巳知外力 P=12kN,铆钉直径 d=2Omm,每
个铆钉都受单剪。试求受力最大的铆钉横截面上
的剪应力。
解,该托架的铆钉组与 x轴对称,转动中心在铆钉 2
与铆钉 5的连线与 x轴的交点 O处。与 x轴对称的铆
钉受力相同,故可取 x轴的上边或下边作为研究对
象。现研究其上边。
(1)将外力 P向转动中心 O点简化,得力 P
和力偶矩, k N mm 44.1 12.012? ??
(2)在通过铆钉组截面形心的力 P作用
下,因每个铆钉的直径和材料均相同,
每个铆钉上所受的力相等,即, )1(26126
''' 621
kNP
PPP
???
??? ?
(3)在力偶矩 m作用下,也是因为每个铆
钉的直径和材料均相同,它们所承受的
力 P’’i与其到转动中心的距离 ri成正比,
?
?
?
??
?
?
?
?
3
1
3
1
2
1
2
1
"
"
"
"
r
r
P
P
r
r
P
P
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
II.铆钉组承受扭转荷载
?
?
?
??
?
?
?
?
3
1
3
1
2
1
2
1
"
"
"
"
r
r
P
P
r
r
P
P
mmyxr 60600 222222 ?????
mmyxr 4.8980)40( 2223233 ??????
mmyxr 7.564040 2221211 ?????其中,
mrP ii ?? "
根据平衡条件
mrPrPrP ??? 332211 "2"2"2有,
可得, mrrPrrPrP ??? )"""(2
1
2
3
1
1
2
2
111
2, 7 5 6 k N
)4.89607.56(2
7.561044.1
)(2
"
222
3
2
3
2
2
2
1
1
1
?
??
??
?
??
?
rrr
mr
P由此解出,
4, 3 4 5 k N
7.56
4.89
756.2""P
2, 9 1 6 k N
7.56
60
756.2""
1
3
13
1
2
12
????
????
r
r
P
r
r
PP
同理可得,
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
II.铆钉组承受扭转荷载
3, 8 8 8 k N0 5 6.08 8 8.3P
0, 0 5 6 k N
4.89
403 4 5.42"'P3, 8 8 8 k N
4.89
803 4 5.4"
222
3
2
//33
3
3
333
3
3
3//3
??????
??????????
?
?
PP
r
xPP
r
yPP
4, 3 4 5 k N"P2, 9 1 6 k N"7 5 6.2"
2'''
321
321
???
???
PkNP
kNPPP
kN536.3
2916.2
'"P
22
2
2
2
2
2
2
2
//22
?
??
???? ? PPPP
作业,8-6,8-8
1 4 M P a1 3, 9 9 6 M P a
20
10397.444
2
3
2
11
m a x
??
?
??
???
??
t
d
P
A
Q
可得, kN3 9 7.4
9 4 4.39 4 4.1P
,9 4 4 k N39 4 4.12"'P
kN9 4 4.1
7.56
40
7 5 6.2"
222
1
2
//11
1
1
111
1
1
1//1
?
?????
?????
????
?
?
PP
r
x
PP
r
y
PP
第八章 剪切 与连接件的实用计算
Shearing
P
P
P
P
P
Q
b c
a d b
c’
a
d’
① 铆接 (Riveted Joints);② 螺栓连接 (Bolted Joints);
③ 销钉连接 (Pin Connection);
④ 键连接 (Key Connection);
⑤ 榫连接 (Tenon Connection or Grooves Joints);
⑥ 焊接 (Welded Connection)。
如图,a---b:受剪面 。其上的内力合力 Q与截
面相切,叫 剪力 (Shearing Force)。与之相应的应
力 (内力的集度 )记为 t,叫 剪应力 (Shearing Stress)。
工程中以剪切为主要变形的构件一般均为
杆件结构的 连接件 (Connecting Parts)。如,
§ 8-1 概述 (Introduction)
搭接
(lap joint)
受剪面
上钢板
这些连接件除主要发生剪切变形以外,在其受力侧面常伴有局部
受压现象 (如上图 )。构件在较小的局部区域受压力作用,称为 挤压
(bearing)。相应的压力叫 挤压力 (bearing force),记为 Pjy(or Pbs)。相应
的应力叫,挤压应力 (bearing stress),记为 sjy(or sbs)。
因连接件的受力和变形很复杂,不能用材力的常用方法进行分析。
故连接件的强度计算一般采用工程实用计算法。
受剪面 p— n,
剪力 Q=H,
挤压面 m— n,
挤压力 PJY=H.
? ?ttt ?
?
?
k
b
因此,若 假设剪应力在受剪面 (shearing section)上均
匀分布,则 连接件的 剪切强度条
件 (Strength Condition of Shearing)为,
§ 8-1(一 ) 剪切的实用计算
Practical calculation of Shearing
计算极限应力
)28(][ ??? tt AQ
实用计算方法的关键在,假定应力在截面上的分布规律,用直接
试验方法 (如,Shearing Test)确定极限荷载 Qb(or Pjyb)。其计算应
力 (名义应力 )和极限应力均按此假定的分布规律计算。即得,
其中,t— 名义剪应力 (nominal shearing stress)
Q— 受剪面上的 剪力 (shearing force in sheared section,由截面法确定 )
A— 受剪面上的 受剪面积 (sheared area,平行于外力作用线 )
[t]— 名义许用剪应力 (nominal allowable shearing stress,可查有关规范 )
剪切仍有三类工程问题,
① 校核强度 ; ② 确定容许荷载 ; ③ 确定受剪面必要尺寸。
§ 8-1(二 ) 挤压的实用计算
Practical calculation of Bearing
(如, )故有, 直径平面半圆柱面
正投影 ?? ??
)48(][ ??? bs
bs
bs
bs A
P ss
对挤压面为 平面 的情况,假设 sbs在
挤压 平 面 (bearing plate)上均匀分布 。
当挤压面为 曲面 (如,铆接 riveted
joints,螺栓连接 bolted joints等,其 挤压面
bearing surface即为半圆柱面,如图 )时,假
设 sbs在其正投影面上均匀分布 。
其中,Pbs— 挤压力 (Bearing Force);
Abs— 挤压 投影面面积 (Bearing Projected Area,它垂直于挤压力的作用线 )
sbs— 名义挤压应力 (Nominal Bearing Stress);
[sbs]— 名义许用挤压应力 (Nominal Allowable Bearing Stress,查规范 )
([sbs]一般为 (2～ 2,5)[σ ])
注,如果相互挤压的物体由不同材料制成,则应校核软弱材料
([sbs]较小者 )的挤压强度。
§ 8-1(三 ) 简单连接件的计算实例
][9.50
1514.3
10182
2
4
2
3
2
t
?
t
??
???
?
??
M P a
d
P
A
Q
Q
][1 5 0
158
1018 3
bs
bs
bs
bs
M P a
dt
P
A
P
s
s
??
???
?
?
例题 8-3 一销钉连接如图,已知,P=18kN,t=8mm,t1=5mm,销钉直径 d=15mm,
其 ?t??60MPa,[sbs]=200MPa。 试校核其强度。
解,销钉受力如图 (b),因其有两个
受剪面 。故一个 受剪面 其上的剪
力为, Q=P/2
而其一个 受剪面面积为,
AQ=?d2/4
因而其剪切强度条件为,
因销钉中部挤压面厚度 t小于两
侧边挤压面厚度和 2t1,故其挤压强度
条件为,
§ 8-1(三 ) 简单连接件的计算实例
68.21 3 016 101 4 02][2:][22 4 2 3222 ??? ???????? ?t?t??t d Pndn Pdn PAQ
Q
故
例题 8-4 某钢桁架的一结点如图 a所
示。斜杆 A由两个 63× 6的等边角钢组
成,受 P=140kN的力作用。该斜杆用螺
栓连接在厚度为 t=10mm的结点板上。
螺栓直径为 d=16mm。己知角钢、结点
板和螺栓的材料均为 Q235钢,许用应
力为 [s]=170MPa,[t?=130MPa,[sbs]=
300MPa。试选择螺栓个数,并校核斜
杆 A的拉伸强度。
解,选择螺栓个数的问题在性质上与截面选择的问题相同,可先 从剪切强度条件公
式 (8－ 2)选择螺栓个数,然后用挤压强度条件公式 (8－ 4)来校核 。
首先要分析每个螺栓所受到的力。 当各螺栓直径相同,且外力作用线通过该
组螺栓之截面形心时,可以假定每个螺栓受到相等的力 。所以,在具有 n个螺栓的
接头上作用的外力为 P时,每个螺栓所受到的力即等于 P/n。显然,这里的螺栓也有
两个受剪面 (参看图 b),故每个受剪面上的剪力为,Q=(P/n)/2=P/(2n)
将此剪力和有关的已知数据代入剪切强度条件公式 (8－ 2),即得,
最后 校核角钢的拉伸强度 。取两根角钢一起作为分离体,其受力图及轴力图
如图 c所示,由于角钢在 m——m截面上轴力最大,该横截面又因螺栓孔而削弱,因此
是危险截面。 该截面上的轴力为,Nmax=P=140kN。由型钢规格 (见本书附录 III)查
得每个 63× 6角钢的横截面面积为 7.29cm2,故危险截面 m——m的面积为,
A=2(729－ 6× 16)=1266mm2
§ 8-1(三 ) 简单连接件的计算实例
][1 1 0, 5 8 M P a
1266
10140 3m a x
ss ??
?
???
jA
P
A
N
故角钢的拉伸强度为
故应取 3个 螺栓,此时斜杆 A满足其拉伸强度。
取整,得,n = 3。
现 校核挤压强度 。 由于
结点板的厚度小于两角钢厚
度之和,所以应校核螺栓与结
点板之间的挤压强度 。前已
指出,每个螺栓所受到的力为
P/n,这也就是螺栓和结点板
相互的挤压力 (即 Pbs=P/n),将
n=3及其它有关的已知数据代
入公式 (8－ 4)可得,
][67.2 9 1
16103
101 4 0 3
bs
bs
bs
bs
M P a
dtn
P
A
P
s
s
??
??
????
可见,采用 3个螺栓是能满足挤压强度条件的要求的。
§ 8-1(三 ) 简单连接件的计算实例
以上削弱截面的强度计算方法在静载条件下是适用的。因孔边
的局部应力集中在塑性材料中由于应力重分布会钝化,引起小范围
的塑形变形。
但在交变载荷时,在这些局部应力区,对低疲劳极限的材料,有
可能出现局部形成裂纹的危险。
铆钉在平面上的布置,不仅要考虑保证联接的强度和牢固性,同
时还要考虑施工条件的要求。
如图示,R-R使铆钉偏心受拉,因
铆钉一般为塑性材料制成,故 R-R的影
响最多使板间摩擦力减小为零。其上
的正应力 (R-R所引起 )部分达到屈服
极限 ss也不会影响连接点的正常传力。
关于焊接的计算及工艺简介,参见 H.M.别辽耶夫
,材力, P101§ 44(书号 TB301 B315)。
铆钉连接在建筑结构中被
广泛采用。铆接的方式主要有
搭接 (图 a),单盖板对接 (图 b)
和 双盖板对接 (图 c)三种。搭
接和单盖板对接中的铆钉具有
一个受剪面 (称为 单剪 ),双盖
板对接中的铆钉具有两个受剪
面 (称为 双剪 )。下面分别按铆
钉组的受载方式讨论铆钉连接
的强度计算。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
I.铆钉组承受横向荷载
2.若 外力的作用线通过铆钉组横截面的形心,且同一
组内各铆钉的直径相同,则 每个铆钉的受力也都相等 。
I．铆钉组承受横向荷载
在搭接 (图 a)和单盖板对接 (图 b)中,由铆钉的受
力可见,铆钉 (或钢板 )显然将发生弯曲。在铆钉组连
接 (图 8-7)中,由于铆钉和钢板的弹性变形,可以想象
两端铆钉的受力与中间铆钉的受力并不完全相同。
为了简化计算,并考虑到连接在破坏前总会发生塑性
变形,在铆钉组的计算中假设,
1.不论铆接的方式如何,均不考虑铆钉弯曲的影响。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
I.铆钉组承受横向荷载
按照上述假设,就可得到每
个铆钉的受力 Pl为, Pl＝ P/n
式中,n为铆钉组中的铆钉个数。
在求得每个铆钉的受力 P1后,
即可按公式 (8－ 2)和 (8－ 4)分 别
核算其剪切强度和挤压强度。
被连接件由于铆钉孔的削弱,其拉伸强度应以最弱截面 (轴力
较大而截面积较小 )为依据,但不考虑应力集中的影响。
对于销订或螺栓连接,其分析计算方法与铆钉连接相同。
螺栓连接中的 紧连接,通过拧紧螺栓而使螺栓产生预拉应力,
同时在贴紧的两层钢板上产生足够的摩擦,以传递荷载。对这种连
接 (通常称为 高强度螺栓连接 )的强度计算,可参阅有关钢结构教材
(例如,宗听聪编,,钢结构,,中国建筑工业出版社,1991年 )在此
不再详述。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
I.铆钉组承受横向荷载
例题 8-5 用两根钢轨铆接成组合梁,其连接情况如图 a,b所示。每根钢轨的横截
面面积 A=8000mm2,形心距离底边的高度 c=80mm,每一钢轨横截面对其自身形心轴
的惯性矩 Iz=16O0× 1O4mm4;铆钉间距 s=15Omm,直径 d=2Omm,许用剪应力 [t]=95MPa。
若梁内剪力 Q=50kN,试校核铆钉的剪切强度。 (上、下两钢轨间的摩擦不予考虑 )
解,上、下两钢轨作为整体弯曲时,上面钢轨的横截面上全是压应力,而下面
钢轨的横截面上则全是拉应力。在横力弯曲的情况下,由于相邻横截面上弯矩不
同,相应点处的正应力不相等。故上、下两钢轨有沿其接触面发生纵向错动的趋
势,使作为连接件的铆钉承受剪力 (图 c)。每排铆钉 (图 c中为两个 )承受的剪力为
一根钢轨在距离等于铆钉纵向间距 s(图 b)的两个横截面上压力 (或拉力 )之差 (图
d),T’=T1一 To为了便于计算 T’,可先假想两钢轨在接触面上处处传递剪应力 t’,而
后将其与接触面宽度 b（轨底宽度）及间距 s相乘，以得出 T’。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
I.铆钉组承受横向荷载即, T’=t’bs
这里的 t’可由公式 (5－ 5)计算, t’=QS*z/(bIz)
于是,在此梁中每一铆钉承担的剪力 Q’为, Q’=T’/2=t’bs/2=sQS*z/(2Iz) (3)
为了计算 Q’,先计算梁在铆钉受剪面以上的那部分横截面 (即一根钢轨的横截
面 )面积对中性轴的静矩 S*zmax和整个截面对中性轴的惯性矩 Iz:
S*zmax=A·c=800O× 8O=64× 104mm3=640× 10－ 6m3
Iz=2(Iz1＋ A·c2)=2(1600× 104＋ 8000× 8O2)=l.344× 108mm4=1.344× 10－ 4m3
将 s,Q,S*z和 Iz的值代入式 (3),得,
Q’=sQS*z/(2Iz)=150× 50× 64× 104/(2× l.344× 108)=17.86kN
由己知的 d=20mm=20× 10-3m和求得的 Q‘,得出铆钉内的剪应力为,
t=4Q’/?d2=4× 17.86× 103/(?× 202)==56.9MPa<[t]
由此可见,铆钉内的剪应力是满足强度条件的要求的 。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
I.铆钉组承受横向荷载例 铆钉连接钢板的接头如图 (a)与 (b)
所示。已知 P=150kN,铆钉的直径 d=16mm,
钢板的厚度 t=13mm,宽度 b=152mm,盖板
的厚度 t’=8mm。钢板和盖板材料相同,
许用拉应力 [s]1=100MPa,许用挤压应力
[sc]1=200MPa;铆钉的许用剪应力
[t]2=140MPa,许用挤压应力
[sc]2=320MPa。试校核此接头的强度。
解,1.铆钉的抗剪强度
假定每块钢板传给 5个铆钉的力相等,即每个铆钉所受剪力等于 Q=P/5,但此时
每个铆钉都是双面剪切,因此,
22
3
2 ][6.47165
101 5 02
5
2
2 t??t ???
????? M P a
d
P
A
Q
故铆钉抗剪强度足够。 (因 [sc]2>[sc]1即铆钉的抗挤压强度大于钢板和盖板的抗
挤压强度。故只需校核钢板和盖板的挤压强度,
2.钢板和盖板的挤压强度
每一个铆钉的实际挤压面包括一个与主板相接触的半圆柱面和两个与盖板
相接触的半圆柱面。由于二倍盖板厚度大于主板厚度,即 2t’＞ t,故计算挤压面
积 Ac=td,而挤压力 Pc=P/5,因此,
故盖板的抗拉强度足够 。 综观以上结果,该连接头的强度是足够的 。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
I.铆钉组承受横向荷载 13 ][23.14416135 101505 bsbsbsbs M P atdPAP ss ???? ????
故钢板和盖板的挤压强度亦足够 。
3.钢板的抗拉强度
可绘出其轴力图如图
(c)所示。由图可知,在第
一排铆钉孔截面有两个钉
孔,而轴力 N1=P,此截面上的
正应力, 1
3
1
1 ][96
13)1621 5 2(
101 5 0
)2(' ss ?????
??
??? M P atdb
P
A
N
而第二排铆钉孔截面
处有三个铆钉孔,轴力
N2=0.6P,此截面上的正应力,
所以,主板抗拉强度足够。
4.盖板的抗拉强度
绘出盖板的轴力图如图
(d)。虽然 2t’＞ t,但盖板在
第二排铆钉孔截面处有三个
铆钉孔,而其轴力为 P,因此有
必要校校此截面的抗拉强度。
此时
1
3
][908)163152(2 10150')3(2 ss ?????? ????? M P atdb PAN盖板
1
3
2
2 ][6.66
13)163152(
101506.0
)3(
6.0" ss ??
???
???
??? M P atdb
P
A
N
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
II.铆钉组承受扭转荷载
承受扭转荷载的铆钉组 (图 a),由于被连接件 (钢板 )的
转动趋势,每一铆钉的受力将不再相同。令铆钉组横截面
的形心为 O点 (图 b),假设钢板上任一直线 (如 OA或 OB)在
转动后仍保持为直线,因而,
每一铆钉的平均剪应变与该铆钉截面中心 (如 A或 B点 )至 O点的距
离成正比 。 若铆钉组中每个铆钉的直径相同,且剪应力与剪应变成
正比,则每个铆钉所受的力与中心 (如 A或 B点 )至铆钉组的截面形心 O
点的距离成正比,其方向垂直于该点与 O点的连线 。
而每一铆钉上的力对 O点
力矩的代 数和就等于钢板所受
的转矩 m(图 b)。即,
m=Pe=SPiai (b)
式中,Pi为每个铆钉所受的力 ;ai
为该铆钉截面中心至铆钉组截
面形心的距离 。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
II.铆钉组承受扭转荷载
)28(][ ??? tt AQ )48(][ ??? bsbs
bs
bs A
P ss
对于承受偏心横向荷载的铆钉组 (图 a),
可 将偏心荷载 P向铆钉组截面形心 O点 简化,
得到一 个通过 O点的 荷载 P和 一 个
绕 O点旋转的 转矩 m=Pe(图 b)。 若
同一铆钉组中每一铆钉的直径相
同,则可分别按式 (P’i＝ P/n)和
(m=Pe=SP”iai)计算由横向力 P引
起的力 P’i和由转矩 m引起的力
P”i,每一铆钉的受力应是力 P’i
和 P”i的矢量和,如图 b所示。
在求得每个铆钉的受力 Pi后,
即可按公式 (8－ 2)和 (8－ 4)分别核
算受力最大的铆钉的剪切强度和
挤压强度，以保证连接的安全。
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
II.铆钉组承受扭转荷载
例题 8－ 6 一铆钉连接的托架受集中力 P作用,如
图 a所示。巳知外力 P=12kN,铆钉直径 d=2Omm,每
个铆钉都受单剪。试求受力最大的铆钉横截面上
的剪应力。
解,该托架的铆钉组与 x轴对称,转动中心在铆钉 2
与铆钉 5的连线与 x轴的交点 O处。与 x轴对称的铆
钉受力相同,故可取 x轴的上边或下边作为研究对
象。现研究其上边。
(1)将外力 P向转动中心 O点简化,得力 P
和力偶矩, k N mm 44.1 12.012? ??
(2)在通过铆钉组截面形心的力 P作用
下,因每个铆钉的直径和材料均相同,
每个铆钉上所受的力相等,即, )1(26126
''' 621
kNP
PPP
???
??? ?
(3)在力偶矩 m作用下,也是因为每个铆
钉的直径和材料均相同,它们所承受的
力 P’’i与其到转动中心的距离 ri成正比,
?
?
?
??
?
?
?
?
3
1
3
1
2
1
2
1
"
"
"
"
r
r
P
P
r
r
P
P
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
II.铆钉组承受扭转荷载
?
?
?
??
?
?
?
?
3
1
3
1
2
1
2
1
"
"
"
"
r
r
P
P
r
r
P
P
mmyxr 60600 222222 ?????
mmyxr 4.8980)40( 2223233 ??????
mmyxr 7.564040 2221211 ?????其中,
mrP ii ?? "
根据平衡条件
mrPrPrP ??? 332211 "2"2"2有,
可得, mrrPrrPrP ??? )"""(2
1
2
3
1
1
2
2
111
2, 7 5 6 k N
)4.89607.56(2
7.561044.1
)(2
"
222
3
2
3
2
2
2
1
1
1
?
??
??
?
??
?
rrr
mr
P由此解出,
4, 3 4 5 k N
7.56
4.89
756.2""P
2, 9 1 6 k N
7.56
60
756.2""
1
3
13
1
2
12
????
????
r
r
P
r
r
PP
同理可得,
§ 8-2 铆钉连接的计算实例
II.铆钉组承受扭转荷载
3, 8 8 8 k N0 5 6.08 8 8.3P
0, 0 5 6 k N
4.89
403 4 5.42"'P3, 8 8 8 k N
4.89
803 4 5.4"
222
3
2
//33
3
3
333
3
3
3//3
??????
??????????
?
?
PP
r
xPP
r
yPP
4, 3 4 5 k N"P2, 9 1 6 k N"7 5 6.2"
2'''
321
321
???
???
PkNP
kNPPP
kN536.3
2916.2
'"P
22
2
2
2
2
2
2
2
//22
?
??
???? ? PPPP
作业,8-6,8-8
1 4 M P a1 3, 9 9 6 M P a
20
10397.444
2
3
2
11
m a x
??
?
??
???
??
t
d
P
A
Q
可得, kN3 9 7.4
9 4 4.39 4 4.1P
,9 4 4 k N39 4 4.12"'P
kN9 4 4.1
7.56
40
7 5 6.2"
222
1
2
//11
1
1
111
1
1
1//1
?
?????
?????
????
?
?
PP
r
x
PP
r
y
PP
