材 料 力 学
第二章 轴向拉伸和压缩
Ch2,Axial Tension and Compression
作业,2-21,2-23,2-28,2-33,2-38,2-41
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Statically Indeterminate Problem of Axial Forced Bars
Ⅰ,超静定问题及其解法
Ⅱ,装配应力 (assembly stress) · 温度应力
Ⅲ,综合问题
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Statically Indeterminate Problem of Axial Forced Bars
Ⅰ 超静定问题及其解法
? 基本概念 Conception:
? 静定问题 SDP,结构 (杆件或杆系 )的内力和支反力
仅用 静力学平衡条件 就能 唯一确定 的问题 。 相应的结构
叫 静定结构 (SDS)
? 与之对应,
? 超静定问题 SIP:结构 (杆件或杆系 )的内力和支反力
仅用 静力学平衡条件 不能 唯一确定 的问题 。 相应的结构叫
超 静定结构 (SIS)
? 实例,如图
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法 基本概念
? 由上可见,SIP的未知力个数 (内力 +未知反力 )超过了独立的
平衡方程的个数 。 其差值叫 超静定次数 （ 阶数, the order
of statical indeterminacy） 。 解 SIP需补充一些方程才能唯一确
定未知力 。 这些 补充方程一般是根据变形后,约束条件不被
破坏来建立的 。 由于约束条件的限制,各杆件 (or 杆件的各部
分 )之间的变形必存在一些联系 —— 变形协调条件 (con-
dition of displaced compatibility—— 构件体系的变形协调原则,杆
件不破坏,彼此不相分离,结构的一部分对另一部分不发生未预见的、影
响结构形状的相对位移 。 ),由此可建立相应的 变形几何方程
(geometrical equation of deformation)
? 在线弹性范围内，我们可由胡克定律 将变形与杆件的内力
联系起来,得到 以内力为未知量的变形几何方程 —— 补充
方程,然后 与静力学平衡方程一起求解,即可求出结构的所
有未知力。
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法
? 思路：
?静力 +变形几何 +物理关系
? 物理关系 即 本构关系 (Constitutive Relation)
? 理论 （弹性力学中方程的封闭性和解的唯一性定理）
和 实践 证明,无论超静定次数为多少, 总能
找到相应数量的补充方程来求解 。
? （比较,流体基本方程的非封闭性 ）。
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法例 图 (a)所示为两端固定的
钢杆,已知 l1=1.0m,l2=0.5m,
A=20cm2,P=300kN,E=200GPa。
试求钢杆各段应力和变形。
解 1,列静力平衡方程
以整根杆为研究对象,画出受
力图如图 (b),静力平衡方程为
RA+RB=P (a)
2,建立补充方程
(杆受力后,C截面下移至 C1截面,结果 AC段伸长 Dl1,而 CB段缩短 Dl2,杆两端
固定总长不变,即 Dl＝ 0 。因此,有, Dl1＝ |Dl2|
这就是本例的 几何方程 。
变形和内力有关。用截面法求得两段内力分别为,
N1=RA,N2=RB(压 ) 。
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法
)(1111 伸长EA lREA lNl A??D )(2222 缩短EA lREA lNl B??D
)(1 0 0321 2 ????? kNPPll lR A )(2 0 032
21
1 ????? kNPPll lR B
)(5010020 10100 311 拉M P aARAN A ??????? )(10010020 10200 322 压M P aARAN B ???????
)(25.01020102 0 0 100.1101 0 0 23 331111 伸长mmEA lREA lNl A ???? ??????D
)(25.0102102 50010200 35 32222 缩短mmEA lREA lNl B ???? ?????D
由虎克定律式 (3.18)求得各段变形为,
以上两式称为 物理方程 。将此
代入式 Dl1＝ |Dl2| 即得 补充方程,
RA+RB=P (a)
(b)联解 (a),(b)两式,得,EAlREAlR BA 21 ?
3,求各段应力和变形 (反力求出以后,就按静定问题求各段内力、应力和变形 ):
2,建立补充方程 (原结构下端铰接于 A点,受到 P力作用变形之后仍应铰接于 A’
点。作出 A节点变位图 (d)。由于结构的对称性,有,Dl1=Dl2,A’点应在杆 3的轴
线上。根据变位图,几何方程 为, Dl1=Dl3cosa (b)
物理方程 为,
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法
例,图 (a)所示三杆铰接组成的结构,
1,2两杆横截面刚度为 E1A1,3杆为 E3A3。
求在 P力作用下三杆的内力。
解,1,列静力平衡方程 (取节点 A为研
究对象 (图 (c)),其静力 平衡方程 为,
N1=N2 2N1cosa+N3=P (a)
未知力有三个,而平衡条件只有
两个,故为一次超静定结构,需建立一
个补充方程。
)c o s(c o s2
c o s2
)c o s(
2
1133
3331
2
11
111
21
aa
a
a
AEAE
P
lAElAE
lAEPNN
?
?
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1)c o s2(c o s2
)(
333113331211
3333
???
??
AEAE
P
lAElAE
lAEPN
aa
由前述超静定问题的解法及例题
可见，在综合应用变形的几何方面、
变形与力之间的物理方面以及静力学
方面来解超静定问题时，根据问题的
变形相容条件写出变形几何方程（几
何方面），并通过胡克定律（物理方
面）而得到补充方程，这是整个解题
步骤中的主要环节。抓住了这一环，
超静定问题就迎刃而解了。
(c) 将式 (c)代入式 (b),得 补充方程,
33
333
11
111 AE lNlAE lNl ?? DD ac o s
33
33
11
11 AE lNAE lN ?
联立求解式 (a)和 (d),并注意到 l1cosa =l3得,
结果均为正,说明原假定三杆轴力均为拉力是正确的。由解可见,在超静定杆系问题中,各杆轴力与该杆本
身刚度和其它杆的刚度之比有关。刚度越大的杆,其轴力也越大。 这是超静定结构的一个特性。
(d)
§ 2－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法
? ????? ?a c o sc o s)(0 231 PNNNX
? ???? ?a s i ns i n)(0 31 PNNY
332211,,DDlDDlDDl ?D?D?D
aa tg llFGDFDG 21s in DD ???? aa s in 32 ltg lEDGEDG DD ????
例,桁 架如图所示,由三根抗拉压刚度均为 EA的
杆 AD,BD和 CD在 D点铰接而成。试求,1,在Ｐ
力作用下各杆的内力。
解,1,计算 P力作用下三杆的内力
(1)
(2)
(1)作节点Ｄ的 受力图 用截面将 AD,BD及 CD杆截
开,取节点部分为考察对象,并设三杆轴力为 N1、
N2及 N3且均为拉力,如 受力图 所示。则平衡条件为,
可见仅有二个独立的平衡方程,但包含三
个未知量,故为一次静不定问题。
(2)作变形 位移图 因为各杆轴力均设为拉力,故均产生伸长变形,
过 D1,D2及 D3各点作各杆垂直线,相交于 D’点 (如 位移图 所示 )。在 位移图
中过 D点作铅垂线,延长 D1D’及 D’D3与此铅垂线交于 F,E点,由几何关系可得,
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法
若 ?=90o,则有,
)1(c o sc o s)(0 231? ????? ?a PNNNX )2(s i ns i n)(0 31? ???? ?a PNNY
aa tg llFGDFDG 21s in DD ???? aa s in 32 ltg lEDGEDG DD ????
ac o s2 231 lll DDD ??
aa c o sc o s 333 333222 222111 111 EA lNAE lNlEA lNAE lNlEA lNAE lNl ?????? DDD
a2231 c o s2 NNN ??
)6(s i ns i nc o s21 c o sc o s22c o s21 c o ss i ns i nc o s21 c o sc o s22 3 23323 21 ???????? ????????????? ??? a?a a?a?a?a a? PNPNPN
PNPNN aaa 323231 c o s21 1c o s21 c o s ?????
0s i n2 231 ???? NPNN a
比较上面二式，得 变形协调条件 为,
(3)物理关系 为,
将此式代入 变形协调条件,得 补充方程,
(3)
联解平衡方程式 (1),(2)及补充方程式 (3),得,
讨论,若 ?=0,则有,
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法
也可以选取结构的节点位移作为基本未
知量首先求出,再求内力和应力 。 这种 以位移
作为基本未知量的方法 称为 位移法 。 位移法
在现代结构分析中有广泛的应用,具有方法规
范,便于编制结构通用计算机程序的特点 。
在结构分析中,以内
力作为基本未知量的方法
称为 力法 。即先求出内力,
进而求应力和变形。
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅱ,装配应力 (assembly stress) · 温度应力
? 一, 装配应力 (Assembly Stress):
? 预应力 Prestress —— 预应变效应 Prestrain Effect
? SDS因杆件尺寸误差,会使结构空间形状与原
设计相比发生偏差 。 但 不会产生内力 (不会引起各
杆的变形 )。
? SIS因杆件尺寸误差,不仅 会使空间结构, 形
状与原设计相比发生偏差 。 而且 会产生内力 (引起
各杆的变形,相应的应力叫 装配应力 )。
? 即, SDS的杆件尺寸误差 —— 各杆的 刚体位移
? 引起
? SIS的杆件尺寸误差 —— 各杆的 刚体位移 +变形位移
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅱ,装配应力 · 温度应力解,由于中间杆短了 D,为装配在一起,显然,2杆要拉长一些,而 1、
3杆则要缩短一些,图中实线为装配前的情况,虚线为装配在一起
时的情况。
设 1,3杆缩短 Dl1及 Dl3, 2杆伸长 Dl2,此时 1,3杆的轴力 N1
及 N3为压力,2杆轴力 N2为拉力，
例,桁 架如图所示,由三根抗拉压刚度均为 EA的杆 AD,BD和 CD在 D点
铰接而成。试求, 2,由于中间杆 BD短了 D而引起的各杆内力。
DDDDD ??? ac o s| 1231 llll
EA lNAE lNlEA lNAE lNll 222 222111 1131 c o s ????? DDD a
DlEANN ?? a212 c o s
)10(c o s21 c o s2|c o s21 c o s 3323231 ??????????????????? lEANlEANN DD aaaa
1
D l
1
2
D l
3
3
D l
2
D
由 受力图 可得平衡条件为,
由 变形图 得
变形协调关系为,
物理关系为,
得补充方程,
解得的结果都为正值,说明与所设方
向相符,即杆 1,杆 3 受压,而杆２受拉,
联解平衡方程和补充方程得,
23131 c o s)( NNNNN ??? a
杆件的伸长（ △ T＞ 0） OR缩短（ △ T＜ 0)变形。
在 SDS中，与 (§ 2－ 8Ⅱ,一,)类似,只引起结构的变温位移。
但在 SIS中,与 (§ 2－ 8Ⅱ,一,)类似,会引起结构的变温位移和
内力 ---变形位移 。
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅱ,装配应力 · 温度应力
TNT ??? ??
一,装配应力 (Assembly Stress):
由于装配应力是在 SIS受载之前就已存在构件内的,因此
可称为 预应力 (Prestress)。它对某些构件会产生不利影响 (减
低承载力 ),而对某些构件又可能产生有利效应 (提高承载力 )。
二,温度应力 Thermal Stress(变 温应力 ):
T在杆内均匀变化
ε ===＞ б t 热应力 OR变温应力
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅱ,装配应力 · 温度应力 二,变温应力
附注：由轴向受力杆的内力 N求应力 б
的过程实质上也是解超静定问题的过程 。
( >0时为压)
t
.
N t..
l
N t
?
EA
A
N
t
E
t
t
l t
l
t
l t
N l
EA
A,E,
例:
A
B
ll t
初应力
б 0 = б ? + б t
P,△ T,?共同存在的 SIP:
解法 1,直接求解 ;
解法 2,叠加法,
б =б P +б △ T +б ?
解,3,计算由温度升高 DＴ而引起的温度应力
(若温度升高 DＴ,D节点位移至 D’点 (如右图 ),
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅱ,装配应力 · 温度应力
联立式 (13)、
(7)解得 各杆横截面
上的轴力, 正应力为,
)7(c o s)(| 23131 NNNNN ??? a
)14()(c o s21 c o ss i n2|)(c o s21 s i n 3223 231 拉压 a aaaa aa ????? T E ANT E ANN DD
例,桁 架如图所示,由三根抗拉压刚度均为 EA的杆 AD,BD和 CD在 D
点铰接而成。试求, 3,由于温度升高 DT而引起的温度应力。
设 N1,N3为压力,N2为拉力,则平衡条件仍为,
由右图 f得变形协调关系为, )11(c o s231 alll DDD ??
物理关系,杆件变形包括荷载引起的弹性变形
和温度引起的热变形。即,
式中 a为线膨胀系数；等式右边第二项之符号
按轴力为拉、压而定。
将式 (12)代入式 (11)得补充方程,
)12(|| 333322221111 EA lNTllEA lNTllEA lNTll ?????? DDDDDD aaa
)13()c o s1(c o s 2221 aaa ??? T E ANN D
可见,变温应力一般与
杆件的横截面面积无关 !
)(c o s21 c o ss i n2|)(c o s21 s i n 32223 2131 拉压 a aaa?aaa?? ??????? TEANTEAN DD
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅲ,综合问题
? 4,讨论 试求在 P,D?,DT三种因素共同作用下,图示三杆的内力 。
? 因为在弹性小变形情况下,可应用叠加原理,所以杆件的内力是三种
因素分别引起的内力的代数和 (拉力为正,压力为负 )。 叠加式 (6),(10)、
(14)得,
)6(s i ns i nc o s21 c o sc o s22c o s21 c o ss i ns i nc o s21 c o sc o s22 3 23323 21 ???????? ????????????? ??? a?a a?a?a?a a? PNPNPN
)10()(c o s21 c o s2|)(c o s21 c o s 3323231 拉压 ??????????????????? lEANlEANN DD aaaa
)14()(c o s21 c o ss i n2|)(c o s21 s i n 3223 231 拉压 a aaaa aa ????? T E ANT E ANN DD
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c o s21
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c o s21
c o s
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c o s21
c o sc o s2
2
第二章 轴向拉伸和压缩 Ch2,Axial Tension and Compression
小 结
? 本章介绍了材料力学许多重要概念,展示了材料力学许
多重要方法,不仅给出了工程中拉 (压 )构件分析的基本理论
和方法,而且是掌握材料力学后继内容的基础,应予以足够
重视 。
? 主要内容,
? 1,轴向受力特点,荷载和支反力的合力沿杆轴作用,横截面上内
力仅为轴力 N。
? 2,应力分布,应力在横截面上均匀分布 (只在外力作用点附近或杆
的截面突变处附近,应力才成非均匀分布 )。
? 3,拉 (压 )虎克定律,这个定律建立了杆件受力在线弹性范围内,
内力 (或应力 )与变形 (或应变 )的关系 。 两种表达式,
AN?? ??? ? ?? 22s i n 2)2c o s1( a?? a?? aa
?? EEANll ?? &D
注意变形和位
移的区别和联系 !横截面应力 斜截面应力
应用虎克定律可计算杆件的位移和变形,
也用于解超静定问题时列补充方程。
第二章 轴向拉伸和压缩 Ch2,Axial Tension and Compression
小 结
? 4,强度条件,拉 (压 )杆强度条件
? 由它可对杆件进行强度校核、设计截面和确定许可荷载等问题。
? 5,超静定问题,超静定问题和静定问题的区别在于前者具有多余
约束。超静定问题求解的关键是建立补充方程。补充方程应综合几何
条件和物理条件得到。超静定问题也可用位移法求解。
? 6,区分以下概念,
? 内力和应力、位移和变形、静定和超静定、杆件刚度和
截面刚度、圣维南原理和应力集中,工作应力、极限应力
和许用应力,力法和位移法。
? 7,掌握以下方法,
? 作衍架节点位移图的方法；
? 力法解超静定的方法；
][
m a x
m a x ?? ???
??
?
??
A
N
第二章 轴向拉伸和压缩
Ch2,Axial Tension and Compression
作业,2-21,2-23,2-28,2-33,2-38,2-41
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Statically Indeterminate Problem of Axial Forced Bars
Ⅰ,超静定问题及其解法
Ⅱ,装配应力 (assembly stress) · 温度应力
Ⅲ,综合问题
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Statically Indeterminate Problem of Axial Forced Bars
Ⅰ 超静定问题及其解法
? 基本概念 Conception:
? 静定问题 SDP,结构 (杆件或杆系 )的内力和支反力
仅用 静力学平衡条件 就能 唯一确定 的问题 。 相应的结构
叫 静定结构 (SDS)
? 与之对应,
? 超静定问题 SIP:结构 (杆件或杆系 )的内力和支反力
仅用 静力学平衡条件 不能 唯一确定 的问题 。 相应的结构叫
超 静定结构 (SIS)
? 实例,如图
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法 基本概念
? 由上可见,SIP的未知力个数 (内力 +未知反力 )超过了独立的
平衡方程的个数 。 其差值叫 超静定次数 （ 阶数, the order
of statical indeterminacy） 。 解 SIP需补充一些方程才能唯一确
定未知力 。 这些 补充方程一般是根据变形后,约束条件不被
破坏来建立的 。 由于约束条件的限制,各杆件 (or 杆件的各部
分 )之间的变形必存在一些联系 —— 变形协调条件 (con-
dition of displaced compatibility—— 构件体系的变形协调原则,杆
件不破坏,彼此不相分离,结构的一部分对另一部分不发生未预见的、影
响结构形状的相对位移 。 ),由此可建立相应的 变形几何方程
(geometrical equation of deformation)
? 在线弹性范围内，我们可由胡克定律 将变形与杆件的内力
联系起来,得到 以内力为未知量的变形几何方程 —— 补充
方程,然后 与静力学平衡方程一起求解,即可求出结构的所
有未知力。
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法
? 思路：
?静力 +变形几何 +物理关系
? 物理关系 即 本构关系 (Constitutive Relation)
? 理论 （弹性力学中方程的封闭性和解的唯一性定理）
和 实践 证明,无论超静定次数为多少, 总能
找到相应数量的补充方程来求解 。
? （比较,流体基本方程的非封闭性 ）。
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法例 图 (a)所示为两端固定的
钢杆,已知 l1=1.0m,l2=0.5m,
A=20cm2,P=300kN,E=200GPa。
试求钢杆各段应力和变形。
解 1,列静力平衡方程
以整根杆为研究对象,画出受
力图如图 (b),静力平衡方程为
RA+RB=P (a)
2,建立补充方程
(杆受力后,C截面下移至 C1截面,结果 AC段伸长 Dl1,而 CB段缩短 Dl2,杆两端
固定总长不变,即 Dl＝ 0 。因此,有, Dl1＝ |Dl2|
这就是本例的 几何方程 。
变形和内力有关。用截面法求得两段内力分别为,
N1=RA,N2=RB(压 ) 。
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法
)(1111 伸长EA lREA lNl A??D )(2222 缩短EA lREA lNl B??D
)(1 0 0321 2 ????? kNPPll lR A )(2 0 032
21
1 ????? kNPPll lR B
)(5010020 10100 311 拉M P aARAN A ??????? )(10010020 10200 322 压M P aARAN B ???????
)(25.01020102 0 0 100.1101 0 0 23 331111 伸长mmEA lREA lNl A ???? ??????D
)(25.0102102 50010200 35 32222 缩短mmEA lREA lNl B ???? ?????D
由虎克定律式 (3.18)求得各段变形为,
以上两式称为 物理方程 。将此
代入式 Dl1＝ |Dl2| 即得 补充方程,
RA+RB=P (a)
(b)联解 (a),(b)两式,得,EAlREAlR BA 21 ?
3,求各段应力和变形 (反力求出以后,就按静定问题求各段内力、应力和变形 ):
2,建立补充方程 (原结构下端铰接于 A点,受到 P力作用变形之后仍应铰接于 A’
点。作出 A节点变位图 (d)。由于结构的对称性,有,Dl1=Dl2,A’点应在杆 3的轴
线上。根据变位图,几何方程 为, Dl1=Dl3cosa (b)
物理方程 为,
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法
例,图 (a)所示三杆铰接组成的结构,
1,2两杆横截面刚度为 E1A1,3杆为 E3A3。
求在 P力作用下三杆的内力。
解,1,列静力平衡方程 (取节点 A为研
究对象 (图 (c)),其静力 平衡方程 为,
N1=N2 2N1cosa+N3=P (a)
未知力有三个,而平衡条件只有
两个,故为一次超静定结构,需建立一
个补充方程。
)c o s(c o s2
c o s2
)c o s(
2
1133
3331
2
11
111
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333113331211
3333
???
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由前述超静定问题的解法及例题
可见，在综合应用变形的几何方面、
变形与力之间的物理方面以及静力学
方面来解超静定问题时，根据问题的
变形相容条件写出变形几何方程（几
何方面），并通过胡克定律（物理方
面）而得到补充方程，这是整个解题
步骤中的主要环节。抓住了这一环，
超静定问题就迎刃而解了。
(c) 将式 (c)代入式 (b),得 补充方程,
33
333
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33
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11
11 AE lNAE lN ?
联立求解式 (a)和 (d),并注意到 l1cosa =l3得,
结果均为正,说明原假定三杆轴力均为拉力是正确的。由解可见,在超静定杆系问题中,各杆轴力与该杆本
身刚度和其它杆的刚度之比有关。刚度越大的杆,其轴力也越大。 这是超静定结构的一个特性。
(d)
§ 2－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法
? ????? ?a c o sc o s)(0 231 PNNNX
? ???? ?a s i ns i n)(0 31 PNNY
332211,,DDlDDlDDl ?D?D?D
aa tg llFGDFDG 21s in DD ???? aa s in 32 ltg lEDGEDG DD ????
例,桁 架如图所示,由三根抗拉压刚度均为 EA的
杆 AD,BD和 CD在 D点铰接而成。试求,1,在Ｐ
力作用下各杆的内力。
解,1,计算 P力作用下三杆的内力
(1)
(2)
(1)作节点Ｄ的 受力图 用截面将 AD,BD及 CD杆截
开,取节点部分为考察对象,并设三杆轴力为 N1、
N2及 N3且均为拉力,如 受力图 所示。则平衡条件为,
可见仅有二个独立的平衡方程,但包含三
个未知量,故为一次静不定问题。
(2)作变形 位移图 因为各杆轴力均设为拉力,故均产生伸长变形,
过 D1,D2及 D3各点作各杆垂直线,相交于 D’点 (如 位移图 所示 )。在 位移图
中过 D点作铅垂线,延长 D1D’及 D’D3与此铅垂线交于 F,E点,由几何关系可得,
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法
若 ?=90o,则有,
)1(c o sc o s)(0 231? ????? ?a PNNNX )2(s i ns i n)(0 31? ???? ?a PNNY
aa tg llFGDFDG 21s in DD ???? aa s in 32 ltg lEDGEDG DD ????
ac o s2 231 lll DDD ??
aa c o sc o s 333 333222 222111 111 EA lNAE lNlEA lNAE lNlEA lNAE lNl ?????? DDD
a2231 c o s2 NNN ??
)6(s i ns i nc o s21 c o sc o s22c o s21 c o ss i ns i nc o s21 c o sc o s22 3 23323 21 ???????? ????????????? ??? a?a a?a?a?a a? PNPNPN
PNPNN aaa 323231 c o s21 1c o s21 c o s ?????
0s i n2 231 ???? NPNN a
比较上面二式，得 变形协调条件 为,
(3)物理关系 为,
将此式代入 变形协调条件,得 补充方程,
(3)
联解平衡方程式 (1),(2)及补充方程式 (3),得,
讨论,若 ?=0,则有,
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅰ 超静定问题及其解法
也可以选取结构的节点位移作为基本未
知量首先求出,再求内力和应力 。 这种 以位移
作为基本未知量的方法 称为 位移法 。 位移法
在现代结构分析中有广泛的应用,具有方法规
范,便于编制结构通用计算机程序的特点 。
在结构分析中,以内
力作为基本未知量的方法
称为 力法 。即先求出内力,
进而求应力和变形。
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅱ,装配应力 (assembly stress) · 温度应力
? 一, 装配应力 (Assembly Stress):
? 预应力 Prestress —— 预应变效应 Prestrain Effect
? SDS因杆件尺寸误差,会使结构空间形状与原
设计相比发生偏差 。 但 不会产生内力 (不会引起各
杆的变形 )。
? SIS因杆件尺寸误差,不仅 会使空间结构, 形
状与原设计相比发生偏差 。 而且 会产生内力 (引起
各杆的变形,相应的应力叫 装配应力 )。
? 即, SDS的杆件尺寸误差 —— 各杆的 刚体位移
? 引起
? SIS的杆件尺寸误差 —— 各杆的 刚体位移 +变形位移
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅱ,装配应力 · 温度应力解,由于中间杆短了 D,为装配在一起,显然,2杆要拉长一些,而 1、
3杆则要缩短一些,图中实线为装配前的情况,虚线为装配在一起
时的情况。
设 1,3杆缩短 Dl1及 Dl3, 2杆伸长 Dl2,此时 1,3杆的轴力 N1
及 N3为压力,2杆轴力 N2为拉力，
例,桁 架如图所示,由三根抗拉压刚度均为 EA的杆 AD,BD和 CD在 D点
铰接而成。试求, 2,由于中间杆 BD短了 D而引起的各杆内力。
DDDDD ??? ac o s| 1231 llll
EA lNAE lNlEA lNAE lNll 222 222111 1131 c o s ????? DDD a
DlEANN ?? a212 c o s
)10(c o s21 c o s2|c o s21 c o s 3323231 ??????????????????? lEANlEANN DD aaaa
1
D l
1
2
D l
3
3
D l
2
D
由 受力图 可得平衡条件为,
由 变形图 得
变形协调关系为,
物理关系为,
得补充方程,
解得的结果都为正值,说明与所设方
向相符,即杆 1,杆 3 受压,而杆２受拉,
联解平衡方程和补充方程得,
23131 c o s)( NNNNN ??? a
杆件的伸长（ △ T＞ 0） OR缩短（ △ T＜ 0)变形。
在 SDS中，与 (§ 2－ 8Ⅱ,一,)类似,只引起结构的变温位移。
但在 SIS中,与 (§ 2－ 8Ⅱ,一,)类似,会引起结构的变温位移和
内力 ---变形位移 。
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅱ,装配应力 · 温度应力
TNT ??? ??
一,装配应力 (Assembly Stress):
由于装配应力是在 SIS受载之前就已存在构件内的,因此
可称为 预应力 (Prestress)。它对某些构件会产生不利影响 (减
低承载力 ),而对某些构件又可能产生有利效应 (提高承载力 )。
二,温度应力 Thermal Stress(变 温应力 ):
T在杆内均匀变化
ε ===＞ б t 热应力 OR变温应力
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅱ,装配应力 · 温度应力 二,变温应力
附注：由轴向受力杆的内力 N求应力 б
的过程实质上也是解超静定问题的过程 。
( >0时为压)
t
.
N t..
l
N t
?
EA
A
N
t
E
t
t
l t
l
t
l t
N l
EA
A,E,
例:
A
B
ll t
初应力
б 0 = б ? + б t
P,△ T,?共同存在的 SIP:
解法 1,直接求解 ;
解法 2,叠加法,
б =б P +б △ T +б ?
解,3,计算由温度升高 DＴ而引起的温度应力
(若温度升高 DＴ,D节点位移至 D’点 (如右图 ),
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅱ,装配应力 · 温度应力
联立式 (13)、
(7)解得 各杆横截面
上的轴力, 正应力为,
)7(c o s)(| 23131 NNNNN ??? a
)14()(c o s21 c o ss i n2|)(c o s21 s i n 3223 231 拉压 a aaaa aa ????? T E ANT E ANN DD
例,桁 架如图所示,由三根抗拉压刚度均为 EA的杆 AD,BD和 CD在 D
点铰接而成。试求, 3,由于温度升高 DT而引起的温度应力。
设 N1,N3为压力,N2为拉力,则平衡条件仍为,
由右图 f得变形协调关系为, )11(c o s231 alll DDD ??
物理关系,杆件变形包括荷载引起的弹性变形
和温度引起的热变形。即,
式中 a为线膨胀系数；等式右边第二项之符号
按轴力为拉、压而定。
将式 (12)代入式 (11)得补充方程,
)12(|| 333322221111 EA lNTllEA lNTllEA lNTll ?????? DDDDDD aaa
)13()c o s1(c o s 2221 aaa ??? T E ANN D
可见,变温应力一般与
杆件的横截面面积无关 !
)(c o s21 c o ss i n2|)(c o s21 s i n 32223 2131 拉压 a aaa?aaa?? ??????? TEANTEAN DD
§ ２－ 8 拉、压超静定问题
Ⅲ,综合问题
? 4,讨论 试求在 P,D?,DT三种因素共同作用下,图示三杆的内力 。
? 因为在弹性小变形情况下,可应用叠加原理,所以杆件的内力是三种
因素分别引起的内力的代数和 (拉力为正,压力为负 )。 叠加式 (6),(10)、
(14)得,
)6(s i ns i nc o s21 c o sc o s22c o s21 c o ss i ns i nc o s21 c o sc o s22 3 23323 21 ???????? ????????????? ??? a?a a?a?a?a a? PNPNPN
)10()(c o s21 c o s2|)(c o s21 c o s 3323231 拉压 ??????????????????? lEANlEANN DD aaaa
)14()(c o s21 c o ss i n2|)(c o s21 s i n 3223 231 拉压 a aaaa aa ????? T E ANT E ANN DD
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2
3
2
3
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3
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2
3
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32
3
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3
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s i n
c o s21
c o s
s i n
s i n
c o s21
c o sc o s2
2
c o s21
c o ss i n2
c o s21
c o s2
c o s21
c o s
c o s21
s i n
c o s21
c o s
s i n
s i n
c o s21
c o sc o s2
2
第二章 轴向拉伸和压缩 Ch2,Axial Tension and Compression
小 结
? 本章介绍了材料力学许多重要概念,展示了材料力学许
多重要方法,不仅给出了工程中拉 (压 )构件分析的基本理论
和方法,而且是掌握材料力学后继内容的基础,应予以足够
重视 。
? 主要内容,
? 1,轴向受力特点,荷载和支反力的合力沿杆轴作用,横截面上内
力仅为轴力 N。
? 2,应力分布,应力在横截面上均匀分布 (只在外力作用点附近或杆
的截面突变处附近,应力才成非均匀分布 )。
? 3,拉 (压 )虎克定律,这个定律建立了杆件受力在线弹性范围内,
内力 (或应力 )与变形 (或应变 )的关系 。 两种表达式,
AN?? ??? ? ?? 22s i n 2)2c o s1( a?? a?? aa
?? EEANll ?? &D
注意变形和位
移的区别和联系 !横截面应力 斜截面应力
应用虎克定律可计算杆件的位移和变形,
也用于解超静定问题时列补充方程。
第二章 轴向拉伸和压缩 Ch2,Axial Tension and Compression
小 结
? 4,强度条件,拉 (压 )杆强度条件
? 由它可对杆件进行强度校核、设计截面和确定许可荷载等问题。
? 5,超静定问题,超静定问题和静定问题的区别在于前者具有多余
约束。超静定问题求解的关键是建立补充方程。补充方程应综合几何
条件和物理条件得到。超静定问题也可用位移法求解。
? 6,区分以下概念,
? 内力和应力、位移和变形、静定和超静定、杆件刚度和
截面刚度、圣维南原理和应力集中,工作应力、极限应力
和许用应力,力法和位移法。
? 7,掌握以下方法,
? 作衍架节点位移图的方法；
? 力法解超静定的方法；
][
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