材 料 力 学
第五章 弯曲应力
Stresses in Bending
? 1 ?
2
§ 5-4(1) 梁横截面上的剪应力
Shear Stress of Beam
T
a b
dA
y
我们知道横截面上的 ?? Q;但用材料力学的方法不易直接推出 ?
的分布规律。我们注意到 dM/dx=Q;当 (5-2)式推广应用于横力弯曲时,
我们有可能由梁段的部分微元 x方向的平衡求出 ?’;再由剪应力互等
定理换成 ?。 (如下图 ):
∵ M1-1<M2-2 ∴ ?1<?2 故微元 (mnab)上 ab面必须有剪力 T 使微
元平衡,由 mnab微元的 ∑x=0 得,
*
)(
)(
)(;
*** 12
21* 1* 2
S
I
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y d A
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§ 5-4(1) 梁横截面上的剪应力
Shear Stress of Beam)*(* *??? A y d ASSIdMT
T为长为 dx,宽为 b的微元底面 ab上的纵向剪应力 ?’的合力。若假
设 ?’在 bdx 面内均匀分布,且方向平行于 x轴 (等价于,
① 矩形横截面上的剪应力 ?与对应的 Q平行且同向。
②沿梁的宽度 (即离中性轴等距离的各点 ),?的值不变。 )
则, 由剪应力互等定理 ?’=?得,
横截面上的剪应力
式中,
τ:横截面上距中性轴为 y的宽度上任何一点的剪应力。
Q:此横截面上的剪力。
S*:所需求 ?的纤维以上部分面
积对中性轴 z的的静矩。
I,此横截面整个面积对中性
轴 z的轴惯矩。
b:所需求 ?处的横截面宽度。
T
??? 5.146| 0m a x ??? ? bhQy
)
4
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h
bS
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§ 5-4(1) 梁横截面上的剪应力
Shear Stress of Beam讨论
一 矩形截面,
1,上下边沿处
τ =0（ ∵ S*=0）
2,离中性轴为 y处的 ?
(高为 h,宽为 b):
3,中性轴上的 ?最大, 为平均剪应力
?m的 1.5倍
4,综合 (5-2)式,有,矩形截面上的上、下边沿处 ?max,τ=0
中性轴处 ? =0,?max
)(
*
m a x
xx SId
Q
Ib
QS
?
??
§ 5-4(1) 梁横截面上的剪应力
Shear Stress of Beam二 工字型截面
1,冀缘 (flange)上 ?y分量很小,?z分量成线性变化。
2,冀缘与腹板（ web）交界处 τ分布很复杂，材力方法无法求解。
3,腹板上,与矩形截面一样成抛物线分布 (?=QS*/Ib),?max≈?min
且有,Qw ≈Q,?web ≈Q/Aweb
4,对轧制工字钢
截面,Iz/S*=Ix/Sx
可查型钢表。
此时,有,
三,圆形及圆环形截面的 ?max:
圆形及圆环形截面的 ?不再平行于 Q。 但是
?y分量可以认为满足 (5-8)式所用的两个假设。 IbQSy *??
24
33
*
)( 3
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c o sc o s
64
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2
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中性轴
§ 5-4(1) 梁横截面上的剪应力
Shear Stress of Beam
而 ?可由假设离中性轴等距处 (m-n线 )各点的剪
应力汇交于竖向对称轴上一点 A(A=A(y))来求得
由图易见 m-n线上 m点 (或 n点 )的剪应力最大,为,
故全截面上的最大剪应力在中性轴上 (θ =0),其值为,
对薄壁环形截面 (壁厚 δ <<d(平均直径 )),
最大剪应力仍在中性轴上,其值为 ??? 2222 *m a x ???? AQdt QItQS
(式中,A为薄壁环行截面的面积。即 ?max为平均值的 2倍 )。
§ 5-4(1) 梁横截面上的剪应力
Shear Stress of Beam
四,T形截面
例题 5-6
(P233)
§ 5-4(1) 梁横截面上的剪应力
Shear Stress of Beam
例题 5-7
(P234)
一般梁的强度由 б max≤[ б ]控制 ;但有时需校核剪应力强度条件。
需要校核 (5--15)式的情形一般有,
1.梁很短载荷很大 or很大的载荷作用于支座附近。
2.由型钢铆接或焊接的组合截面梁 (如 P244图,P266题 5-37图 ),
当腹板 (web,t=b)很小时。
3.木梁的 [?]顺纹 较小，需较核 ?max≤ [?]顺纹
§ 5-4(2) 梁的剪应力强度条件
shear stress strength condition of beam
PP239~245
例题 5-8~例题 5-11
全梁上的 ?max一般产生在 Qmax截面上的 (S*/b)最大处 (一般为中性轴 )。
)155.,,,,, (][*
m a x
m a x
m a x ????
??
?
?? ??
b
S
I
Q故
(S*/b)max不在中性轴处的实例,
曰形梁。
注：梁上荷载为活载时，应按荷载移动产生 Mmax的位置校核
?max≤ [?],而按荷载移动后产生 Qmax的位置来校核 ?max≤ [?]。 如,
P
PA B A B BA
P
?
MM m a xc ?对应
QQ m a xA ?对应
§ 5-5 梁的合理设计
由, 知,降低最大弯矩 Mmax、提高抗
弯截面系数 W,或局部加强弯矩
较大的梁段,都能降低梁的最大正应力 ?max,从而提高梁的承载能力,
使梁的设计更为合理。工程中常采用以下措施来提高梁的承载能力,
][m a xm a xm a xm a x ?? ???? WMyM
一,合理配置梁的荷载和支座,(由此可减小梁上的最大弯矩 Mmax)
二,合理选取截面形状,
当弯矩已定时,横截面上的最大
正应力与抗弯截面系数成反比 。 因
此,所采用的横截面的形状,应该是使
其抗弯截面系数 W与其面积 A之比尽
可能地大 。 由于在一般截面中,W与
其高度的平方成正比。所以,应尽可能地使横截面面积分布在距中性轴较
远的地方,以满足上述要求 。 在梁横截面上距中性轴最远的各点处,分别有
最大拉应力和最大压应力 。 为了充分发挥材料的潜力,应该使它们同时达
到材料的许用应力 。 对塑材梁,所选横截面形状应以中性轴为其对称 轴 ;对
脆材梁,宜用 T形等中性轴为非对称 轴 的截面,并将其翼缘部分置于受拉侧 。
§ 5-5 梁的合理设计
z z
z z
① 木材,由于天然原木的横截面形状近似于圆形,故常用圆形 or矩形
截面的木梁。当采用矩形时,应当在 的条件下由,
取极大值来求 b与 h的值 ;
dhb 222 ??
6
2hbW ?
矩立
③ 钢材,因,宜于用有
双对称轴的截面。
][][ al ?? ?
④ 铸铁,因,宜采用Ｔ或
者 ?形截面,并使中性轴靠近受拉
区的外边沿。
][][ al ?? ?
( ? ( ? WWWWWW 形矩立正放方矩平圆方 ?? ?????
A相同时,
可见梁的横截面形状应使面积放在离中性轴较远的地方。在抗
剪能力和侧向稳定性能保证的条件下,愈远则愈好。需要注意的是,
② 有些截面形状,“截角, 有利于增加强度。如右下图,
因为, 截角, 后 I减小程度较 ymax减小程度要小 ;
见P12 7-P 128
见P12 6-P 127
一
二）
等强度梁在理论上为线弹性状态梁中用料最少的梁。当截面形状确
定时,由 可确定静定梁任意位置 x处的截面尺寸。
( ? ( ?[ ]? xMxW ?
§ 5-5 梁的合理设计
三,合理设计梁的外形,(等强度梁 Beam of Uniform Strength)
( ?
( ? [ ]?? ?? xW
xMx )(
m a x
满足, 的变截面梁叫等强度梁。
叠板梁 （ laminated-plate beam）
变截面梁在满足强度时比受
同样荷载的等截面梁变形大。故
对受静载为主,刚度要求高 (梁的
最大变形要求小 )的梁,不宜采用
变截面梁 (特别是等强度梁 ),但
在要求梁有较高柔性的动载 (特
别是冲击荷载 )场合,最好用等强
度梁 (理论上等强度梁是承载能
力相同的梁中变形最大者 )。
§ 5-5 梁的合理设计
及( ?
侧截面为
点时在
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DJy
J
yM
MM
D
D
DPD
1m a x
!
m a x
m a x
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,|
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§ 5-6 两种及以上材料的 组合梁
Composite Beam
工程中经常遇到两种以上材料紧密结合组成的构件。
当材料间连接紧密,不发生相对错动时,可认为构件中不同
材料变形是协调一致的。这样的构件叫组合构件。一般
可用 等效截面法 (method of equivalent section)来分析计算。
(PP249-253,自学 )
§ 5-5 梁的合理设计
注意,阶梯状截面梁的强度校核,除 Mmax处外,还应注意校核截
面减少处的强度,特别是在 P为移动荷载时。如,
形心
形心
b 1
b 2
h 1
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E 1
E 2
b e q u1
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第五章 弯曲应力
Stresses in Bending
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§ 5-4(1) 梁横截面上的剪应力
Shear Stress of Beam
T
a b
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我们知道横截面上的 ?? Q;但用材料力学的方法不易直接推出 ?
的分布规律。我们注意到 dM/dx=Q;当 (5-2)式推广应用于横力弯曲时,
我们有可能由梁段的部分微元 x方向的平衡求出 ?’;再由剪应力互等
定理换成 ?。 (如下图 ):
∵ M1-1<M2-2 ∴ ?1<?2 故微元 (mnab)上 ab面必须有剪力 T 使微
元平衡,由 mnab微元的 ∑x=0 得,
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§ 5-4(1) 梁横截面上的剪应力
Shear Stress of Beam)*(* *??? A y d ASSIdMT
T为长为 dx,宽为 b的微元底面 ab上的纵向剪应力 ?’的合力。若假
设 ?’在 bdx 面内均匀分布,且方向平行于 x轴 (等价于,
① 矩形横截面上的剪应力 ?与对应的 Q平行且同向。
②沿梁的宽度 (即离中性轴等距离的各点 ),?的值不变。 )
则, 由剪应力互等定理 ?’=?得,
横截面上的剪应力
式中,
τ:横截面上距中性轴为 y的宽度上任何一点的剪应力。
Q:此横截面上的剪力。
S*:所需求 ?的纤维以上部分面
积对中性轴 z的的静矩。
I,此横截面整个面积对中性
轴 z的轴惯矩。
b:所需求 ?处的横截面宽度。
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§ 5-4(1) 梁横截面上的剪应力
Shear Stress of Beam讨论
一 矩形截面,
1,上下边沿处
τ =0（ ∵ S*=0）
2,离中性轴为 y处的 ?
(高为 h,宽为 b):
3,中性轴上的 ?最大, 为平均剪应力
?m的 1.5倍
4,综合 (5-2)式,有,矩形截面上的上、下边沿处 ?max,τ=0
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§ 5-4(1) 梁横截面上的剪应力
Shear Stress of Beam二 工字型截面
1,冀缘 (flange)上 ?y分量很小,?z分量成线性变化。
2,冀缘与腹板（ web）交界处 τ分布很复杂，材力方法无法求解。
3,腹板上,与矩形截面一样成抛物线分布 (?=QS*/Ib),?max≈?min
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4,对轧制工字钢
截面,Iz/S*=Ix/Sx
可查型钢表。
此时,有,
三,圆形及圆环形截面的 ?max:
圆形及圆环形截面的 ?不再平行于 Q。 但是
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§ 5-4(1) 梁横截面上的剪应力
Shear Stress of Beam
而 ?可由假设离中性轴等距处 (m-n线 )各点的剪
应力汇交于竖向对称轴上一点 A(A=A(y))来求得
由图易见 m-n线上 m点 (或 n点 )的剪应力最大,为,
故全截面上的最大剪应力在中性轴上 (θ =0),其值为,
对薄壁环形截面 (壁厚 δ <<d(平均直径 )),
最大剪应力仍在中性轴上,其值为 ??? 2222 *m a x ???? AQdt QItQS
(式中,A为薄壁环行截面的面积。即 ?max为平均值的 2倍 )。
§ 5-4(1) 梁横截面上的剪应力
Shear Stress of Beam
四,T形截面
例题 5-6
(P233)
§ 5-4(1) 梁横截面上的剪应力
Shear Stress of Beam
例题 5-7
(P234)
一般梁的强度由 б max≤[ б ]控制 ;但有时需校核剪应力强度条件。
需要校核 (5--15)式的情形一般有,
1.梁很短载荷很大 or很大的载荷作用于支座附近。
2.由型钢铆接或焊接的组合截面梁 (如 P244图,P266题 5-37图 ),
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3.木梁的 [?]顺纹 较小，需较核 ?max≤ [?]顺纹
§ 5-4(2) 梁的剪应力强度条件
shear stress strength condition of beam
PP239~245
例题 5-8~例题 5-11
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§ 5-5 梁的合理设计
由, 知,降低最大弯矩 Mmax、提高抗
弯截面系数 W,或局部加强弯矩
较大的梁段,都能降低梁的最大正应力 ?max,从而提高梁的承载能力,
使梁的设计更为合理。工程中常采用以下措施来提高梁的承载能力,
][m a xm a xm a xm a x ?? ???? WMyM
一,合理配置梁的荷载和支座,(由此可减小梁上的最大弯矩 Mmax)
二,合理选取截面形状,
当弯矩已定时,横截面上的最大
正应力与抗弯截面系数成反比 。 因
此,所采用的横截面的形状,应该是使
其抗弯截面系数 W与其面积 A之比尽
可能地大 。 由于在一般截面中,W与
其高度的平方成正比。所以,应尽可能地使横截面面积分布在距中性轴较
远的地方,以满足上述要求 。 在梁横截面上距中性轴最远的各点处,分别有
最大拉应力和最大压应力 。 为了充分发挥材料的潜力,应该使它们同时达
到材料的许用应力 。 对塑材梁,所选横截面形状应以中性轴为其对称 轴 ;对
脆材梁,宜用 T形等中性轴为非对称 轴 的截面,并将其翼缘部分置于受拉侧 。
§ 5-5 梁的合理设计
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① 木材,由于天然原木的横截面形状近似于圆形,故常用圆形 or矩形
截面的木梁。当采用矩形时,应当在 的条件下由,
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③ 钢材,因,宜于用有
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可见梁的横截面形状应使面积放在离中性轴较远的地方。在抗
剪能力和侧向稳定性能保证的条件下,愈远则愈好。需要注意的是,
② 有些截面形状,“截角, 有利于增加强度。如右下图,
因为, 截角, 后 I减小程度较 ymax减小程度要小 ;
见P12 7-P 128
见P12 6-P 127
一
二）
等强度梁在理论上为线弹性状态梁中用料最少的梁。当截面形状确
定时,由 可确定静定梁任意位置 x处的截面尺寸。
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§ 5-5 梁的合理设计
三,合理设计梁的外形,(等强度梁 Beam of Uniform Strength)
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满足, 的变截面梁叫等强度梁。
叠板梁 （ laminated-plate beam）
变截面梁在满足强度时比受
同样荷载的等截面梁变形大。故
对受静载为主,刚度要求高 (梁的
最大变形要求小 )的梁,不宜采用
变截面梁 (特别是等强度梁 ),但
在要求梁有较高柔性的动载 (特
别是冲击荷载 )场合,最好用等强
度梁 (理论上等强度梁是承载能
力相同的梁中变形最大者 )。
§ 5-5 梁的合理设计
及( ?
侧截面为
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§ 5-6 两种及以上材料的 组合梁
Composite Beam
工程中经常遇到两种以上材料紧密结合组成的构件。
当材料间连接紧密,不发生相对错动时,可认为构件中不同
材料变形是协调一致的。这样的构件叫组合构件。一般
可用 等效截面法 (method of equivalent section)来分析计算。
(PP249-253,自学 )
§ 5-5 梁的合理设计
注意,阶梯状截面梁的强度校核,除 Mmax处外,还应注意校核截
面减少处的强度,特别是在 P为移动荷载时。如,
形心
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