材 料 力 学
第二章 轴向拉伸和压缩
Ch2,Axial Tension and Compression
§ ２－ 7强度条件 Strength Condition·
· 安全系数 Factor of safety ·
· 许用应力 Allowable stress
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件 Strength Condition of Axial Forced Bar
由公式 (s=Nmax/A)求得拉 (压 )杆的最大工作应力后,
并不能判断杆件是否会因强度不足而发生破坏 。 只有把杆
件的最大工作应力与材料的强度指标联系起来,才有可能
对此作出结论 。
材料的两个主要强度指标为 屈服极限 (Yielding limit)
ss和 强度极限 (Ultimate strength) sb,将其统称为 极限应
力 (Ultimate stress),用 su表示 。 为确保拉 (压 )杆不致因强度
不足而破坏,应使其 最大工作应力 (Maximum working stress)
smax不超过材料的某一个限值 。
显然,该限值应小于材料的极限应力 su,可规定为极
限应力 su的若干分之一,并称之为材料在拉伸 (压缩 )时的
许用应力 (Allowablestress)。
以 [s]表示, 即,
n
uss =][ 式中,ｎ是 一个大于 1
的系数,称为 安全系数 (Factor of safety),其数值通常由设计规范规定。
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件 Strength Condition of Axial Forced Bar
分别表示杆件 最大工作拉应力 和 最大工作压应力 ;
][
m a x
m a x ss ???
??
?
?=
A
N
][m a x s?AN
][m a xm a x ?
??
?= ss AN ][m a xm a x ?
??
?= ss AN
?maxs ?maxs
?maxN ?maxN
][ ?s ][ ?s
为确保拉 (压 )杆不致因强度
不足而破坏的 强度条件 为,
强度判据 strength criterion
对于等截面直杆,拉伸 (压缩 )时的强度条件为,
对于受压杆件,式 (3.9)中的 Nmax应为 |N|max。
对于受拉、受压许用应力不同的材料,应分别建立受拉、
受压强度条件,即,
式中,
和
和
和
分别表示 最大轴向拉力 和 最大轴向压力 ;
分别表示材料的 许用拉应力 和 许用压应力 。
应用强度条件,可以解决以下三类强度计算问题,
(1)校核强度 Check of Strength 已知构件作用的荷载 (→N nax)、横截
面面积 (A)和材料的许用应力 ([s]),检察强度条件是否被满足。若满足,
则构件安全；否则就不安全。
(2)截面设计 Design of Sectional Area 已知构件作用的荷载 (→N nax)和
材料的许用应力 ([s]),根据强度条件可确定杆件的横截面面积 A,例如 对
抗拉和抗压能力相同的等直杆,由
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件 Strength Condition of Axial Forced Bar
再由平衡条件建立荷载与杆件轴力的关系,进而确定许可荷载 [P]。
下面举例说明强度条件的应用 。
][m a x s?AN ][m axsNA?
][m a x s?AN
AN ][][ s?
得,尺寸的比例关系可得截面尺寸,
或由型钢表选择合适的型号。
再由横截面
(3)确定许可荷载 Determination of Allowable Load 已知构件横截面面
积 (A)和材料的许用应力 ([s]),根据强度条件可求得构件的许可轴力 [N],
例如 对抗拉和抗压能力相同的等直杆,由 得,
解,1,作轴力图如图 3.8(b)
2,校核强度 (由轴力图可知,AB段轴力最大,BC段轴力最小,
但 A2＜ A1,两段应力何者为大,需计算比较后才能确定 。 )
M P aAN ABAB 150300 1045
3
1
=?==s M P aAN BCBC 1 4 31 4 01020
3
2
=?==s
)1 6 0(][1 5 0m a x M P aM P aAB =?== sss所以，
可见,钢杆强度符合要求。
例 图 (a)所示钢杆,已知
许用应力 [s]=160MPa;杆
横截面面积为 A1=300mm2,
A2=140mm2。试核核此杆
的强度。
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件 Strength Condition of Axial Forced Bar
解,1,计算拉杆 BC轴力 N,
取刚性杆 AB作为脱离体
(图 (b)),由平衡方程
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件
查 P421附录型钢表中表１, 热轧等边角钢,,应选择 40× 40× 5
号
等边角钢, 其横截面面积 A=3.791cm2=379.1mm2。
012245s i n =??? qN o
)(6.564022 拉kNqN =?==
23 75.3 5 3
1 6 0
106.56
][ mm
NA =?=?
s
例 图 (a)所示结构,在
刚性杆 AB上作用有均布荷载
q=40kN/m,拉杆 BC用等边角
钢制成,其 [s]=160MPa。试
选择等边角钢型号。
得,
0=? Am
求得,
2,选择等边角钢型号
由强度条件得,
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件
可见,此结构的
强度由铝杆控制 。
kNNAN SSS 8.44 8 0 0301 6 0][][ ==?=? s
kNNAN AAA 0.5500050100][][ ==?=? s
0c o sc o s:0 =?=? ?? SA NNX
0s i ns i n:0 =??=? PNNY SA ??
106c o s10868 8s i n1312c o s135125 5s i n 2222 ==?===?= ????
PNNPN SAS 212013202113 ===
SS NPN ][2113 ?=
kNNP SS 75.78.41321][1321][ =?==
例 图 (a)所示结构,BC杆为
铝杆,横截面面积 AA=50mm2,
许用应力 [s]A=100MPa； AB
杆为钢杆,AS=30mm2,许用应
力 [s]S=160MPa。试求此结
构的许可荷载 [P]。
解,1,由强度条件确定许可轴力,
2,确定许可荷载 (由节点Ｂ的平衡条
件确定轴力与荷载的关系 (图 (b)):
其中,
联立求解以上两式,得,
假设铝杆先坏，则有,
可求得,
可求得,
假设钢杆先坏,则有,
显然,结构的许可荷载 [P]必须是 [P]S
和 [P]A两者中的较小者,即,
[P]=min{[P]S,[P]A}=5.25kN
AA NPN ][2120 ?=
kNNP AA 25.552021][2021][ =?==
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件
0)(,0 =??=? AxPxNX ? AxPxN ??=)(
][m a xm a x s?s ??== lAPAN
l
PA
?s ?? ][
例题 2-14 图 a是一根等直杆在自重及集中力Ｐ作用下的示意图。杆
的长度为 l,横截面面积为 A,其材料的容重为 ?,弹性模量为 E,许用应力为
[s]。试分析杆的自重对强度的影响,并求杆的伸长。
解,要研究自重对杆的强度的影响,应探讨自重与杆内最大正应力的
关系,为此可先计算杆的任一横截面 m-m上的轴力,从而求出杆的最大轴力。
将杆从该截面处假想地截开,并研究下边部分 (图 b)的平衡,由平衡方程
可得,
由此作出轴力图如图ｄ所示,从图
可见,危险截面在杆的顶端,该截面上
的轴力为, AlPN ??=m a x
将此Ｎ max代入此杆的强度条件,得,
或
由此式可见,若杆的 ?l与其
材料的 [s]相比很小,则杆的自
重影响很小而可略去不计 。
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件
dxxAPEEA dxxNdx ?????? ?== ?1)()(?
? ?=?=?????? ?=? l EA lWPElEAPldxxAPEl 0 2 )2(21 ??
求杆的伸长时,由于在考虑自
重影响的情况下杆内各横截面上
的轴力不相等,故不能直接应用公
式 ?l=Nl/(EA),而必须从长度为 dx
的微段 (图 e)出发。略去无穷小量
dN(x)后,应用公式 ?l=Nl/(EA),求得
dx段的伸长为,
积分后即可求出杆的伸长为,
式中,W=?Al为杆的自重。由此可见,等直杆
因自重而引起的伸长等于将杆重的一半作
用在杆端所引起的伸长 。
构件在外力作用下产生的应力称为 工作应力 Working stress。
整个杆件 (或结构 )工作应力的最大值称为 最大 工作应力 。
材料在破坏时的应力称为 极限应力,以 su表示。
材料的极限应力是通过标准试件的拉伸 (或压缩 )试验来确定的 (参见 § ２－ 6)。
当杆件的最大工作应力达到材料的极限应力时称为杆件
的 破坏条件,即
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅱ,许用应力和安全系数 Allowable stress and Factor of safety
uss =m ax
为了保证构件安全可靠地工作，需要引入 许用应力
Allowable stress [s]的概念。许用应力定义为,
nu
ss =][
式中 n 称为 规定 安全系数 Factor of safety,n > 1 。它除了含
有安全储备的意义外,也考虑了一些不确定因素的影响。
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅱ,许用应力和安全系数 Allowable stress and Factor of safety
? 材料在破坏时的 极限应力 su的选取,
? 对塑材 → slip failure → su=ss(or s0.2)
? 对脆材 → failure by fracture → su=sb
? 别的失效情况,elastic failure ( fe 过大,如玻璃钢 )
? creep failure
? fatigue failure ( 交变载荷时 )
? 塑材的 安全系数, n＝ ns 脆材的 安全系数, n＝ nb
? 故,对塑材有, [s]＝ ss/ns or [s]＝ s0.2/ns
而且, [s]t＝ [s]c
? 对脆材有, [s]t＝ sbt/nb or [s]c＝ sbc/nb
并且, [s]t? [s]c （ [s]t? [s]c ）
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅱ,许用应力和安全系数 Allowable stress and Factor of safety
? 确定安全系数需要考虑的主要因素,
（ A，主、客观认识差异； B，强度储备）
? 1,荷载性质（静～动）；
? 2,荷载数值的准确程度 （指设计荷载与实际荷载的符合程度）；
? 3,计算方法的准确程度；
? 4,材料的均匀程度；
? 5,材料的力学性质与试验方法的可靠程度；
? 6,结构物的工作环境、重要性与使用年限；
? 7,施工方法（能否满足设计要求）；
? 8,地震影响、国防要求等等。
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅱ,许用应力和安全系数 Allowable stress and Factor of safety
? 安全系数 n 除了含有安全储备的意义外,也考虑了一些不确定因素的影
响,诸如,
? * 荷载状况 对荷载大小, 作用位置, 荷载性质估计的准确程度 。
? *计算模型和方法 建立的计算模型和选用的计算方法反映实际的准
确程度 。
? *材料性能 材质的不均匀性,含缺陷的情况,性能测定的分散程度等 。
? *结构的工作条件 磨耗, 腐蚀,温度, 湿度的影响等 。
? *结构的重要性 例如是, 永久, 性结构还是临时结构,是破坏引起严
重后果的结构还是一般性结构等 。
? 安全系数反映了人们对结构实际情况认识的深化程度,随着材料质量的
提高,结构制造工艺和设计方法的不断进步,安全系数的取值也日趋合理,
安全系数和许用应力的具体数据,可参考有关部门相应的设计规范 。 在
静荷载下,安全系数对于塑性材料一般为 1.5～ 2.5,对于脆性
材料一般为 2.0～ 3.5。
许用应力 (MP a)
材料
拉伸 [ s +] 压缩 [ s -]
Q215 140
Q235 160
Q345 240
铜 30 ～ 120
铝 30 ～ 80
灰口铸铁 31 ～ 37 120 ～ 150
松木 ( 顺纹 ) 6.9 ～ 9.8 9.8 ～ 11.7
混凝土 C20 0.44 7.0
混凝土 C30 0.6 10.3
第二章 轴向拉伸和压缩
Ch2,Axial Tension and Compression
§ ２－ 7强度条件 Strength Condition·
· 安全系数 Factor of safety ·
· 许用应力 Allowable stress
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件 Strength Condition of Axial Forced Bar
由公式 (s=Nmax/A)求得拉 (压 )杆的最大工作应力后,
并不能判断杆件是否会因强度不足而发生破坏 。 只有把杆
件的最大工作应力与材料的强度指标联系起来,才有可能
对此作出结论 。
材料的两个主要强度指标为 屈服极限 (Yielding limit)
ss和 强度极限 (Ultimate strength) sb,将其统称为 极限应
力 (Ultimate stress),用 su表示 。 为确保拉 (压 )杆不致因强度
不足而破坏,应使其 最大工作应力 (Maximum working stress)
smax不超过材料的某一个限值 。
显然,该限值应小于材料的极限应力 su,可规定为极
限应力 su的若干分之一,并称之为材料在拉伸 (压缩 )时的
许用应力 (Allowablestress)。
以 [s]表示, 即,
n
uss =][ 式中,ｎ是 一个大于 1
的系数,称为 安全系数 (Factor of safety),其数值通常由设计规范规定。
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件 Strength Condition of Axial Forced Bar
分别表示杆件 最大工作拉应力 和 最大工作压应力 ;
][
m a x
m a x ss ???
??
?
?=
A
N
][m a x s?AN
][m a xm a x ?
??
?= ss AN ][m a xm a x ?
??
?= ss AN
?maxs ?maxs
?maxN ?maxN
][ ?s ][ ?s
为确保拉 (压 )杆不致因强度
不足而破坏的 强度条件 为,
强度判据 strength criterion
对于等截面直杆,拉伸 (压缩 )时的强度条件为,
对于受压杆件,式 (3.9)中的 Nmax应为 |N|max。
对于受拉、受压许用应力不同的材料,应分别建立受拉、
受压强度条件,即,
式中,
和
和
和
分别表示 最大轴向拉力 和 最大轴向压力 ;
分别表示材料的 许用拉应力 和 许用压应力 。
应用强度条件,可以解决以下三类强度计算问题,
(1)校核强度 Check of Strength 已知构件作用的荷载 (→N nax)、横截
面面积 (A)和材料的许用应力 ([s]),检察强度条件是否被满足。若满足,
则构件安全；否则就不安全。
(2)截面设计 Design of Sectional Area 已知构件作用的荷载 (→N nax)和
材料的许用应力 ([s]),根据强度条件可确定杆件的横截面面积 A,例如 对
抗拉和抗压能力相同的等直杆,由
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件 Strength Condition of Axial Forced Bar
再由平衡条件建立荷载与杆件轴力的关系,进而确定许可荷载 [P]。
下面举例说明强度条件的应用 。
][m a x s?AN ][m axsNA?
][m a x s?AN
AN ][][ s?
得,尺寸的比例关系可得截面尺寸,
或由型钢表选择合适的型号。
再由横截面
(3)确定许可荷载 Determination of Allowable Load 已知构件横截面面
积 (A)和材料的许用应力 ([s]),根据强度条件可求得构件的许可轴力 [N],
例如 对抗拉和抗压能力相同的等直杆,由 得,
解,1,作轴力图如图 3.8(b)
2,校核强度 (由轴力图可知,AB段轴力最大,BC段轴力最小,
但 A2＜ A1,两段应力何者为大,需计算比较后才能确定 。 )
M P aAN ABAB 150300 1045
3
1
=?==s M P aAN BCBC 1 4 31 4 01020
3
2
=?==s
)1 6 0(][1 5 0m a x M P aM P aAB =?== sss所以，
可见,钢杆强度符合要求。
例 图 (a)所示钢杆,已知
许用应力 [s]=160MPa;杆
横截面面积为 A1=300mm2,
A2=140mm2。试核核此杆
的强度。
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件 Strength Condition of Axial Forced Bar
解,1,计算拉杆 BC轴力 N,
取刚性杆 AB作为脱离体
(图 (b)),由平衡方程
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件
查 P421附录型钢表中表１, 热轧等边角钢,,应选择 40× 40× 5
号
等边角钢, 其横截面面积 A=3.791cm2=379.1mm2。
012245s i n =??? qN o
)(6.564022 拉kNqN =?==
23 75.3 5 3
1 6 0
106.56
][ mm
NA =?=?
s
例 图 (a)所示结构,在
刚性杆 AB上作用有均布荷载
q=40kN/m,拉杆 BC用等边角
钢制成,其 [s]=160MPa。试
选择等边角钢型号。
得,
0=? Am
求得,
2,选择等边角钢型号
由强度条件得,
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件
可见,此结构的
强度由铝杆控制 。
kNNAN SSS 8.44 8 0 0301 6 0][][ ==?=? s
kNNAN AAA 0.5500050100][][ ==?=? s
0c o sc o s:0 =?=? ?? SA NNX
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SS NPN ][2113 ?=
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例 图 (a)所示结构,BC杆为
铝杆,横截面面积 AA=50mm2,
许用应力 [s]A=100MPa； AB
杆为钢杆,AS=30mm2,许用应
力 [s]S=160MPa。试求此结
构的许可荷载 [P]。
解,1,由强度条件确定许可轴力,
2,确定许可荷载 (由节点Ｂ的平衡条
件确定轴力与荷载的关系 (图 (b)):
其中,
联立求解以上两式,得,
假设铝杆先坏，则有,
可求得,
可求得,
假设钢杆先坏,则有,
显然,结构的许可荷载 [P]必须是 [P]S
和 [P]A两者中的较小者,即,
[P]=min{[P]S,[P]A}=5.25kN
AA NPN ][2120 ?=
kNNP AA 25.552021][2021][ =?==
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件
0)(,0 =??=? AxPxNX ? AxPxN ??=)(
][m a xm a x s?s ??== lAPAN
l
PA
?s ?? ][
例题 2-14 图 a是一根等直杆在自重及集中力Ｐ作用下的示意图。杆
的长度为 l,横截面面积为 A,其材料的容重为 ?,弹性模量为 E,许用应力为
[s]。试分析杆的自重对强度的影响,并求杆的伸长。
解,要研究自重对杆的强度的影响,应探讨自重与杆内最大正应力的
关系,为此可先计算杆的任一横截面 m-m上的轴力,从而求出杆的最大轴力。
将杆从该截面处假想地截开,并研究下边部分 (图 b)的平衡,由平衡方程
可得,
由此作出轴力图如图ｄ所示,从图
可见,危险截面在杆的顶端,该截面上
的轴力为, AlPN ??=m a x
将此Ｎ max代入此杆的强度条件,得,
或
由此式可见,若杆的 ?l与其
材料的 [s]相比很小,则杆的自
重影响很小而可略去不计 。
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅰ 拉 (压 )杆的强度条件
dxxAPEEA dxxNdx ?????? ?== ?1)()(?
? ?=?=?????? ?=? l EA lWPElEAPldxxAPEl 0 2 )2(21 ??
求杆的伸长时,由于在考虑自
重影响的情况下杆内各横截面上
的轴力不相等,故不能直接应用公
式 ?l=Nl/(EA),而必须从长度为 dx
的微段 (图 e)出发。略去无穷小量
dN(x)后,应用公式 ?l=Nl/(EA),求得
dx段的伸长为,
积分后即可求出杆的伸长为,
式中,W=?Al为杆的自重。由此可见,等直杆
因自重而引起的伸长等于将杆重的一半作
用在杆端所引起的伸长 。
构件在外力作用下产生的应力称为 工作应力 Working stress。
整个杆件 (或结构 )工作应力的最大值称为 最大 工作应力 。
材料在破坏时的应力称为 极限应力,以 su表示。
材料的极限应力是通过标准试件的拉伸 (或压缩 )试验来确定的 (参见 § ２－ 6)。
当杆件的最大工作应力达到材料的极限应力时称为杆件
的 破坏条件,即
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅱ,许用应力和安全系数 Allowable stress and Factor of safety
uss =m ax
为了保证构件安全可靠地工作，需要引入 许用应力
Allowable stress [s]的概念。许用应力定义为,
nu
ss =][
式中 n 称为 规定 安全系数 Factor of safety,n > 1 。它除了含
有安全储备的意义外,也考虑了一些不确定因素的影响。
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅱ,许用应力和安全系数 Allowable stress and Factor of safety
? 材料在破坏时的 极限应力 su的选取,
? 对塑材 → slip failure → su=ss(or s0.2)
? 对脆材 → failure by fracture → su=sb
? 别的失效情况,elastic failure ( fe 过大,如玻璃钢 )
? creep failure
? fatigue failure ( 交变载荷时 )
? 塑材的 安全系数, n＝ ns 脆材的 安全系数, n＝ nb
? 故,对塑材有, [s]＝ ss/ns or [s]＝ s0.2/ns
而且, [s]t＝ [s]c
? 对脆材有, [s]t＝ sbt/nb or [s]c＝ sbc/nb
并且, [s]t? [s]c （ [s]t? [s]c ）
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅱ,许用应力和安全系数 Allowable stress and Factor of safety
? 确定安全系数需要考虑的主要因素,
（ A，主、客观认识差异； B，强度储备）
? 1,荷载性质（静～动）；
? 2,荷载数值的准确程度 （指设计荷载与实际荷载的符合程度）；
? 3,计算方法的准确程度；
? 4,材料的均匀程度；
? 5,材料的力学性质与试验方法的可靠程度；
? 6,结构物的工作环境、重要性与使用年限；
? 7,施工方法（能否满足设计要求）；
? 8,地震影响、国防要求等等。
§ ２－ 7强度条件 ·安全系数 ·许用应力
Ⅱ,许用应力和安全系数 Allowable stress and Factor of safety
? 安全系数 n 除了含有安全储备的意义外,也考虑了一些不确定因素的影
响,诸如,
? * 荷载状况 对荷载大小, 作用位置, 荷载性质估计的准确程度 。
? *计算模型和方法 建立的计算模型和选用的计算方法反映实际的准
确程度 。
? *材料性能 材质的不均匀性,含缺陷的情况,性能测定的分散程度等 。
? *结构的工作条件 磨耗, 腐蚀,温度, 湿度的影响等 。
? *结构的重要性 例如是, 永久, 性结构还是临时结构,是破坏引起严
重后果的结构还是一般性结构等 。
? 安全系数反映了人们对结构实际情况认识的深化程度,随着材料质量的
提高,结构制造工艺和设计方法的不断进步,安全系数的取值也日趋合理,
安全系数和许用应力的具体数据,可参考有关部门相应的设计规范 。 在
静荷载下,安全系数对于塑性材料一般为 1.5～ 2.5,对于脆性
材料一般为 2.0～ 3.5。
许用应力 (MP a)
材料
拉伸 [ s +] 压缩 [ s -]
Q215 140
Q235 160
Q345 240
铜 30 ～ 120
铝 30 ～ 80
灰口铸铁 31 ～ 37 120 ～ 150
松木 ( 顺纹 ) 6.9 ～ 9.8 9.8 ～ 11.7
混凝土 C20 0.44 7.0
混凝土 C30 0.6 10.3
