第六章 谓词演算
教学重点与要点
? 性质命题内部结构的现代谓词分析
? 关系命题内部结构的现代谓词分析
? 一元谓词演算的自然演绎推证分析
? 二元谓词演算的自然演绎推证分析
现代谓词演算的认知角度
传统谓词逻辑 现代谓词逻辑
（局限性：单称归全称；关系作性质；对结构缺乏深层把握）
现代谓词逻辑 谓词演算方法
（自然演绎法、公理化方法）
（关注简单命题及其推理有效性）
一元谓词演算 二元谓词演算
第一节 简单命题的内部分析
一、传统谓词逻辑的局限性
【 实例分析 】
所有的马都是动物,
所以，所有的马头都是动物头。
命题逻辑的局限性
在研究命题逻辑中,原子命题是命题演算中最基本
的单位，不再对原子命题进行分解,这样会产生两大
缺点：
（ 1） 不能研究命题的结构，成分和内部逻辑的特征；
（ 2） 也不可能表达二个原子命题所具有的共同特征，
甚至在命题逻辑中无法处理一些简单又常见的推理过
程。
二、现代谓词逻辑对性质命题的内部结构的分析
（一）单称命题及其逻辑结构
1、单称命题的含义
单称命题是陈述某个特定个体对项具有或者不具有某种性质的简单命
题。例如：西安是历史名城。
2、单称命题的构成要素分析
单称命题由个体词和谓词组成。单称命题中的个体词只表示某个特
定的单一对象，称为个体常项，用英文小写字母 a,b,c,d,…… 来表示。
性质命题中的谓词称为一元谓词，用大写的英文字母 E,F,G,H,….,来
表示。
（个体词、谓词、个体常项、一元谓词）
3、单称命题逻辑结构的公式刻画
（二）泛称命题及其逻辑结构
1、泛称命题的含义
2、泛称命题的构成要素分析
（个体词、谓词、量词、个体变项）
3、全域下的泛称命题逻辑结构形式刻划
? (?x)(Sx?Px)
? (?x)(Sx??Px)
? (?x)(Sx?Px)
? (?x)(Sx??Px)
个体词、谓词
※ 谓词, 在谓词逻辑中, 简单命题分解成个体词和
谓词, 个体词 是可以独立存在的客体, 它可以是
具体事物或抽象的概念 。 谓词 是用来刻划个体词
的性质或事物之间关系的词 。
※ 个体词分个体常项 (用 a,b,c,… 表示 )和个体变项 (用
x,y,z,… 表示 )；谓词分谓词常项 (表示具体性质和
关系 )和谓词变项 (表示抽象的或泛指的谓词 ),用
E,F,G,H,… 表示 。
注意,单独的个体词和谓词不能构成命题, 将个体
词和谓词分开不是命题 。
谓词填式,一元谓词、多元谓词
（ 1） 谓词填式,谓词字母后填以客体所得的式子。
例,H(a,b)
（ 2） 若谓词字母联系着一个客体，则称作 一元谓词 ；若谓
词字母联系着二个客体，则称作 二元谓词 ；若谓词字
母联系着 n个客体，则称作 n元谓词 。
（ 3） 客体的次序必须是有规定的。
例：河南省 北接 河北省。
a L b
写成二元谓词为,L(a,b)，但不能写成 L(b,a) 。
谓词公式
※ 谓词公式, 由原子公式, 联结词和量词可构成谓词公式 (严格定
义见教材 )。 命题的符号化结果都是谓词公式 。
例如, (?x)(F(x)?G(x))，
(?x)(F(x)?G(x))，
(?x)(?y)(F(x)?F(y)?L(x,y)?H(x,y))等都是谓词公
式 。
※ 谓词公式只是一个符号串, 没有什么意义, 但我们给这个符号串
一个解释, 使它具有真值, 就变成一个命题, 所谓解释 就是使
公式中的每一个变项都有个体域中的元素相对应 。
※ 在谓词逻辑中, 命题符号化必须明确个体域, 无特别说明认为
是全总个体域 。 一般地, 使用全称量词 ?,特性谓词后用 ?；使
用存在量词 ?,特性谓词后用 ?。
谓词公式的归纳法定义
⑴ 原子谓词公式是谓词公式；
⑵ 若 A是谓词公式，则 ?A也是谓词公式；
⑶ 若 A,B都是谓词公式，则 (A?B),(A?B),(A?B),(A?B)
都是谓词公式；
⑷ 若 A是谓词公式,x是任何变元，则 (?x)A,(?x)A也都
是谓词公式；
量词
量词, 是在命题中表示数量的词, 量词有两类：
全称量词 ?,表示, 所有的, 或, 每一个, ； 存
在量词 ?,表示, 存在某个, 或, 至少有一个, 。
在谓词逻辑中, 使用量词应注意以下几点：
(1) 在不同个体域中, 命题符号化的形式可能不同,
命题的真值也可能会改变 。
(2) 在考虑命题符号化时, 如果对个体域未作说明,
一律使用全总个体域 。
(3) 多个量词出现时, 不能随意颠倒它们的顺序,
否则可能会改变命题的含义 。
全称量词
“?”为全称量词符号，读作, 对于所有的,,, 对任一个,,
,对一切, 。
例：, 这里所有的都 是苹果, 可写成：
?xA(x)或 (?x)A(x)
几种形式的读法：
?xP(x)：, 对所有的 x,x是 …” ；
?x?P(x)：, 对所有 x,x不是 …” ；
??xP(x)：, 并不是对所有的 x,x是 …” ；
??x?P(x)：, 并不是所有的 x,x不是 …” 。
存在量词
“?”为存在量词符号，读作“存在一个”，“对于一些”，
“对于某些”，“至少存在一个”，“这里存在着这样的”
等等。
,?”表达式的读法：
? x A(x),存在一个 x,使 x是 … ；
? x?A(x),存在一个 x,使 x不是 … ；
?? x A(x),不存在一个 x,使 x是 … ；
?? x?A(x),不存在一个 x,使 x不是 … 。
三、现代谓词逻辑对关系命题内部结构的分析
1、关系命题的含义
2、关系命题构成要素分析（二元谓词、多元谓词）
3、二元关系命题的逻辑结构形式分析与刻划
(1)所有 S与所有 P有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py?Rxy))
(2)所有 S与所有 P没有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py??Rxy))
(3)所有 S与有些 P有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py?Rxy))
(4)所有 S与有些 P没有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py??Rxy))
(5)有些 S与所有 P有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py?Rxy))
(6)有些 S与所有 P没有有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py??Rxy))
(7)有些 S与有些 P有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py?Rxy))
(8)有些 S与有些 P没有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py??Rxy))
四、量词的辖域
1、变元与辖域
（ 1） 辖域,紧接在量词后面括号内的谓词公式。
例,?xP(x),?x(P(x) ?Q(x)) 。
若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
（ 2） 自由变元 与 约束变元
约束变元,在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元； 自由变元, 当且仅当
不受量词的约束。
例,?xP(x,y),?x(P(x) ??y(P(x,y)) 。
在谓词公式 ?xA和 ?xA中,x是 指导变元, A是相应量词的 辖域, 在 ?x和 ?x的辖域 A
中,x的所有出现都是约束出现，即 x是 约束变元,不是约束出现的变元，就是
自由变元 。 也就是说，量词后面的式子是 辖域 。 量词只对辖域内的同一变元有
效 。
2,量词的辖域与谓词公式的真假
逻辑学所研究的谓词公式都是或真或假的公式，因此，为此公式种不允
许出现自由变项。
五、自然语言符号化
自然语言符号化为谓词公式时的注意事项
（一）标准形式的结构刻划应当规范化
（二）特殊情形下的处理分四种情况
1、个体词涉及全域中任意个体对象时，无需引入表明个
体对象性质的谓词符号。
2、个体词表示单独对象时，须用个体常项替换谓词中的
个体变项。
3、个体词涉及不同类对象时，须引入不同的个体变项和
相应的量词符号。
4、命题的复合形式出现时，要把它刻划为复合的量词公
式。
第二节 一元谓词演算
一、量词规则
（一）全称量词的销去和引入规则
1.?销去 ?销去的注意事项
(?x)Rx
Ra a/x ?销去
2,?引入
*a
Ra
(?x)Rx ?引入
??引入的根据
??引入推导图式具体
做法
??引入的应用限制
1,(?x)(Sx→Px)
2,Sa ／ ∴ Pa
3,Sa→Pa (1 a/x ?销去）
4,Pa (2.,3 → 销去 )
证毕。
1,(?x)（ Sx→Hx)
2,Sa
3,Sb
4,Sc /Ha∧ Hb∧ Hc
5,Sa→Ha (1 a/x ?销去）
6,Sb→Hb (1 b/x ?销去）
7,Sc→Hc (1 c/x ?销去 )
8,Ha (2,5 → 销去 )
9,Hb (3,6 → 销去 )
10.Hc (4,7 → 销去 )
11.Ha∧ Hb∧ Hc (8,9,10 ∧ 引入）
证毕。
1,(?x)(Ax∨ Bx)
2,(?x)(Bx→ ?Cx)
3,(?x) Cx / (?x)(Ax∨ Da)
4, *b
5, Ab∨ Bb (1 b/x ?销去）
6,Bb→ ?Cb (1 b/x ?销去）
7, Cb (1 b/x ?销去）
8, ?Bb (6,7 → 销去 )
9, Ab (5,8 ∨ 销去 )
10,Ab∨ Db （ 9 ∨ 引入）
11,(?x)(Ax∨ Da) (4,10 ?引入）
证毕。
1,(?x)(Sx→Zx)
2,(?x)(Zx→Bx)
3.Ca /∴ (?x)((Sx→Bx) ∧ Cx)
4,*a
5,Sa→Za (1 a/x ?销去）
6,Za→Ba (2 a/x ?销去）
7,Sa→Ba ( 5,6→ 连锁 ）
8,( Sa→Ba) ∧ Ca (3,7 ∧ 引入 )
9,(?x)((Sx→Bx) ∧ Cx) (4,8 ?引入 )
证毕。
（二）存在量词的销去与引入规则
1,?销去
(?x)Rx
Ra *a/x ?销去
2,?引入
Ra
(?x)Rx ?引入
?销去的注意事项
使用不受任何限制
1.Sa
2,(?x)(Sx∧ Cx) /∴ Ca
3.Sa∧ Ca (2*a/x ?销去）
4,Ca （ 3 ∧ 销去）
证毕。
注意,这个推理是错误的。第三步销量词时，列举的个体
常项 a是前提 1中已经出现过的。
1.（ (?x)Ax∧ (?x)Bx) →Da
2,(?x)(Ax∧ Fx)
3,(?x)(Bx∧ Gx ) / ∴ (?x)Dx
4,Ab∧ Fb (2*b/x ? 销去 )
5.Ab (4 ∧ 销去 )
6,(?x) Ax (5 ?引入 )
7.Bc∧ Gc (3*c/x ? 销去 )
8.Bc (7 ∧ 销去 )
9,(?x)Bx (8 ? 引入 )
10,(?x)Ax ∧ (?x)Bx (6,9∧ 引入 )
11.Da (1,10→ 销去 )
12,(?x)Dx (11 ?引入 )
证毕。
（三）量词变换规则
1,?否定
?(?x)Rx (?x)?Rx
(?x)?Rx ?(?x)Rx
2,?否定
?(?x)Rx (?x)?Rx
(?x)?Rx ?(?x)Rx
或
或
1,?(?x) （ Sx→ ?Gx)
2.?(?x)(Sx∧ ?Cx) /∴ (?x)(Gx∧ Cx)
3.(?x)?（ Sx→ ?Gx) (1 ?否定 )
4.(?x)? (Sx∧ ?Cx) ( 2?否定 )
5.?（ Sa→ ?Ga) (3*a/x ? 销去 )
6.? (Sa→ ?Ca) (4a/x ?销去 )
7.Sa∧ Ga (5 ?→ 等值 )
8.?Sa∨ Ca (6?∧ 等值 )
9.Sa (7∧ 销去 )
10.Ca (8,9∨ 销去 )
11.Ga (7∧ 销去 )
12.Ga∧ Ca (10,11 ∧ 引入 )
13,(?x)(Gx∧ Cx) (12 ?引入 )
二、一元谓词演算的形式证明
（一）证明的步骤
谓词演算的形式证明一般有以下 4步：
1,对待证的推理进行 符号化 。
2,按有关限制 销 去推理前提的 量词 。
3,根据命题推理的规则进行 推演 。
4,根据需要和有关规则 给结论添加应有的量词 。
（二）运用量词规则的方法
1,当推理的前提中 既有全称量词公式，又有存在量词公式
时，应先销 去存在量词，后销去全称量词。
2,当推理的 结论是全称量词公式时,要注意准确使用全称
量词引入规则，遵守该规则的限制。
3,当 前提或结论中有否定的量词公式时,要灵活运用量词
变换规则。
4,当推理的 前提或结论中有复合的量词公式时,应先分解
复合命题的公式再销量词。
5,当推理的 前提或结论中有单称命题时,应用个体常项符
号刻画命题公式，而后进行推演。
1,(?x)（ Cx→(Wx ∧ Rx))
2,(?x)(Cx∧ Qx) /∴ (?x)(Wx∧ Qx)
3,Ca∧ Qa (2*a/x ? 销去 )
4,Ca→(Wa ∧ Ra ) (1a/x ?销去 )
5,Ca (3∧ 销去 )
6,Wa∧ Ra ( 4,5→ 销去 )
7,Wa (6 ∧ 销去 )
8,Qa (3∧ 销去 )
9,Wa∧ Qa (7,8 ∧ 引入 )
10.(?x)(Wx∧ Qx) (9 ?引入 )
三、假设证明和反证法在证明过程中的应用
四、一元谓词演算的其他作用
1、前提一致性判定
2、谓词逻辑定理证明
1.Fa∨ Fb
2,?(?x)(Fx∧ ?Rx)
3.Da /∴, (?x)( Dx→ ?Rx)→Fb
4 (?x) (Fx→Rx) ( 2 ?否定 )
5,(?x)( Dx→ ?Rx) （假设）
6,Fa→Ra （ 4a/x ?销去）
7,Da→ ?Ra （ 5a/x ?销去）
8,?Ra （ 3,7→ 销去）
9,?Fa （ 6,8→ 销去）
10 Fb （ 1,9∨ 销去）
11,(?x)( Dx→ ?Rx)→Fb （ 5---10 → 引入）
第三节 二元谓词演算
※ 二元谓词演算是由二元关系命题公式组成的演算
※ 二元谓词演算（不含等词的）遵守推理规则和运用的分析
方法与一元谓词演算并无重要差别。
教学重点与要点
? 性质命题内部结构的现代谓词分析
? 关系命题内部结构的现代谓词分析
? 一元谓词演算的自然演绎推证分析
? 二元谓词演算的自然演绎推证分析
现代谓词演算的认知角度
传统谓词逻辑 现代谓词逻辑
（局限性：单称归全称；关系作性质；对结构缺乏深层把握）
现代谓词逻辑 谓词演算方法
（自然演绎法、公理化方法）
（关注简单命题及其推理有效性）
一元谓词演算 二元谓词演算
第一节 简单命题的内部分析
一、传统谓词逻辑的局限性
【 实例分析 】
所有的马都是动物,
所以，所有的马头都是动物头。
命题逻辑的局限性
在研究命题逻辑中,原子命题是命题演算中最基本
的单位，不再对原子命题进行分解,这样会产生两大
缺点：
（ 1） 不能研究命题的结构，成分和内部逻辑的特征；
（ 2） 也不可能表达二个原子命题所具有的共同特征，
甚至在命题逻辑中无法处理一些简单又常见的推理过
程。
二、现代谓词逻辑对性质命题的内部结构的分析
（一）单称命题及其逻辑结构
1、单称命题的含义
单称命题是陈述某个特定个体对项具有或者不具有某种性质的简单命
题。例如：西安是历史名城。
2、单称命题的构成要素分析
单称命题由个体词和谓词组成。单称命题中的个体词只表示某个特
定的单一对象，称为个体常项，用英文小写字母 a,b,c,d,…… 来表示。
性质命题中的谓词称为一元谓词，用大写的英文字母 E,F,G,H,….,来
表示。
（个体词、谓词、个体常项、一元谓词）
3、单称命题逻辑结构的公式刻画
（二）泛称命题及其逻辑结构
1、泛称命题的含义
2、泛称命题的构成要素分析
（个体词、谓词、量词、个体变项）
3、全域下的泛称命题逻辑结构形式刻划
? (?x)(Sx?Px)
? (?x)(Sx??Px)
? (?x)(Sx?Px)
? (?x)(Sx??Px)
个体词、谓词
※ 谓词, 在谓词逻辑中, 简单命题分解成个体词和
谓词, 个体词 是可以独立存在的客体, 它可以是
具体事物或抽象的概念 。 谓词 是用来刻划个体词
的性质或事物之间关系的词 。
※ 个体词分个体常项 (用 a,b,c,… 表示 )和个体变项 (用
x,y,z,… 表示 )；谓词分谓词常项 (表示具体性质和
关系 )和谓词变项 (表示抽象的或泛指的谓词 ),用
E,F,G,H,… 表示 。
注意,单独的个体词和谓词不能构成命题, 将个体
词和谓词分开不是命题 。
谓词填式,一元谓词、多元谓词
（ 1） 谓词填式,谓词字母后填以客体所得的式子。
例,H(a,b)
（ 2） 若谓词字母联系着一个客体，则称作 一元谓词 ；若谓
词字母联系着二个客体，则称作 二元谓词 ；若谓词字
母联系着 n个客体，则称作 n元谓词 。
（ 3） 客体的次序必须是有规定的。
例：河南省 北接 河北省。
a L b
写成二元谓词为,L(a,b)，但不能写成 L(b,a) 。
谓词公式
※ 谓词公式, 由原子公式, 联结词和量词可构成谓词公式 (严格定
义见教材 )。 命题的符号化结果都是谓词公式 。
例如, (?x)(F(x)?G(x))，
(?x)(F(x)?G(x))，
(?x)(?y)(F(x)?F(y)?L(x,y)?H(x,y))等都是谓词公
式 。
※ 谓词公式只是一个符号串, 没有什么意义, 但我们给这个符号串
一个解释, 使它具有真值, 就变成一个命题, 所谓解释 就是使
公式中的每一个变项都有个体域中的元素相对应 。
※ 在谓词逻辑中, 命题符号化必须明确个体域, 无特别说明认为
是全总个体域 。 一般地, 使用全称量词 ?,特性谓词后用 ?；使
用存在量词 ?,特性谓词后用 ?。
谓词公式的归纳法定义
⑴ 原子谓词公式是谓词公式；
⑵ 若 A是谓词公式，则 ?A也是谓词公式；
⑶ 若 A,B都是谓词公式，则 (A?B),(A?B),(A?B),(A?B)
都是谓词公式；
⑷ 若 A是谓词公式,x是任何变元，则 (?x)A,(?x)A也都
是谓词公式；
量词
量词, 是在命题中表示数量的词, 量词有两类：
全称量词 ?,表示, 所有的, 或, 每一个, ； 存
在量词 ?,表示, 存在某个, 或, 至少有一个, 。
在谓词逻辑中, 使用量词应注意以下几点：
(1) 在不同个体域中, 命题符号化的形式可能不同,
命题的真值也可能会改变 。
(2) 在考虑命题符号化时, 如果对个体域未作说明,
一律使用全总个体域 。
(3) 多个量词出现时, 不能随意颠倒它们的顺序,
否则可能会改变命题的含义 。
全称量词
“?”为全称量词符号，读作, 对于所有的,,, 对任一个,,
,对一切, 。
例：, 这里所有的都 是苹果, 可写成：
?xA(x)或 (?x)A(x)
几种形式的读法：
?xP(x)：, 对所有的 x,x是 …” ；
?x?P(x)：, 对所有 x,x不是 …” ；
??xP(x)：, 并不是对所有的 x,x是 …” ；
??x?P(x)：, 并不是所有的 x,x不是 …” 。
存在量词
“?”为存在量词符号，读作“存在一个”，“对于一些”，
“对于某些”，“至少存在一个”，“这里存在着这样的”
等等。
,?”表达式的读法：
? x A(x),存在一个 x,使 x是 … ；
? x?A(x),存在一个 x,使 x不是 … ；
?? x A(x),不存在一个 x,使 x是 … ；
?? x?A(x),不存在一个 x,使 x不是 … 。
三、现代谓词逻辑对关系命题内部结构的分析
1、关系命题的含义
2、关系命题构成要素分析（二元谓词、多元谓词）
3、二元关系命题的逻辑结构形式分析与刻划
(1)所有 S与所有 P有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py?Rxy))
(2)所有 S与所有 P没有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py??Rxy))
(3)所有 S与有些 P有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py?Rxy))
(4)所有 S与有些 P没有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py??Rxy))
(5)有些 S与所有 P有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py?Rxy))
(6)有些 S与所有 P没有有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py??Rxy))
(7)有些 S与有些 P有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py?Rxy))
(8)有些 S与有些 P没有 R关系,(?x)(Sx?(?y)(Py??Rxy))
四、量词的辖域
1、变元与辖域
（ 1） 辖域,紧接在量词后面括号内的谓词公式。
例,?xP(x),?x(P(x) ?Q(x)) 。
若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
（ 2） 自由变元 与 约束变元
约束变元,在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元； 自由变元, 当且仅当
不受量词的约束。
例,?xP(x,y),?x(P(x) ??y(P(x,y)) 。
在谓词公式 ?xA和 ?xA中,x是 指导变元, A是相应量词的 辖域, 在 ?x和 ?x的辖域 A
中,x的所有出现都是约束出现，即 x是 约束变元,不是约束出现的变元，就是
自由变元 。 也就是说，量词后面的式子是 辖域 。 量词只对辖域内的同一变元有
效 。
2,量词的辖域与谓词公式的真假
逻辑学所研究的谓词公式都是或真或假的公式，因此，为此公式种不允
许出现自由变项。
五、自然语言符号化
自然语言符号化为谓词公式时的注意事项
（一）标准形式的结构刻划应当规范化
（二）特殊情形下的处理分四种情况
1、个体词涉及全域中任意个体对象时，无需引入表明个
体对象性质的谓词符号。
2、个体词表示单独对象时，须用个体常项替换谓词中的
个体变项。
3、个体词涉及不同类对象时，须引入不同的个体变项和
相应的量词符号。
4、命题的复合形式出现时，要把它刻划为复合的量词公
式。
第二节 一元谓词演算
一、量词规则
（一）全称量词的销去和引入规则
1.?销去 ?销去的注意事项
(?x)Rx
Ra a/x ?销去
2,?引入
*a
Ra
(?x)Rx ?引入
??引入的根据
??引入推导图式具体
做法
??引入的应用限制
1,(?x)(Sx→Px)
2,Sa ／ ∴ Pa
3,Sa→Pa (1 a/x ?销去）
4,Pa (2.,3 → 销去 )
证毕。
1,(?x)（ Sx→Hx)
2,Sa
3,Sb
4,Sc /Ha∧ Hb∧ Hc
5,Sa→Ha (1 a/x ?销去）
6,Sb→Hb (1 b/x ?销去）
7,Sc→Hc (1 c/x ?销去 )
8,Ha (2,5 → 销去 )
9,Hb (3,6 → 销去 )
10.Hc (4,7 → 销去 )
11.Ha∧ Hb∧ Hc (8,9,10 ∧ 引入）
证毕。
1,(?x)(Ax∨ Bx)
2,(?x)(Bx→ ?Cx)
3,(?x) Cx / (?x)(Ax∨ Da)
4, *b
5, Ab∨ Bb (1 b/x ?销去）
6,Bb→ ?Cb (1 b/x ?销去）
7, Cb (1 b/x ?销去）
8, ?Bb (6,7 → 销去 )
9, Ab (5,8 ∨ 销去 )
10,Ab∨ Db （ 9 ∨ 引入）
11,(?x)(Ax∨ Da) (4,10 ?引入）
证毕。
1,(?x)(Sx→Zx)
2,(?x)(Zx→Bx)
3.Ca /∴ (?x)((Sx→Bx) ∧ Cx)
4,*a
5,Sa→Za (1 a/x ?销去）
6,Za→Ba (2 a/x ?销去）
7,Sa→Ba ( 5,6→ 连锁 ）
8,( Sa→Ba) ∧ Ca (3,7 ∧ 引入 )
9,(?x)((Sx→Bx) ∧ Cx) (4,8 ?引入 )
证毕。
（二）存在量词的销去与引入规则
1,?销去
(?x)Rx
Ra *a/x ?销去
2,?引入
Ra
(?x)Rx ?引入
?销去的注意事项
使用不受任何限制
1.Sa
2,(?x)(Sx∧ Cx) /∴ Ca
3.Sa∧ Ca (2*a/x ?销去）
4,Ca （ 3 ∧ 销去）
证毕。
注意,这个推理是错误的。第三步销量词时，列举的个体
常项 a是前提 1中已经出现过的。
1.（ (?x)Ax∧ (?x)Bx) →Da
2,(?x)(Ax∧ Fx)
3,(?x)(Bx∧ Gx ) / ∴ (?x)Dx
4,Ab∧ Fb (2*b/x ? 销去 )
5.Ab (4 ∧ 销去 )
6,(?x) Ax (5 ?引入 )
7.Bc∧ Gc (3*c/x ? 销去 )
8.Bc (7 ∧ 销去 )
9,(?x)Bx (8 ? 引入 )
10,(?x)Ax ∧ (?x)Bx (6,9∧ 引入 )
11.Da (1,10→ 销去 )
12,(?x)Dx (11 ?引入 )
证毕。
（三）量词变换规则
1,?否定
?(?x)Rx (?x)?Rx
(?x)?Rx ?(?x)Rx
2,?否定
?(?x)Rx (?x)?Rx
(?x)?Rx ?(?x)Rx
或
或
1,?(?x) （ Sx→ ?Gx)
2.?(?x)(Sx∧ ?Cx) /∴ (?x)(Gx∧ Cx)
3.(?x)?（ Sx→ ?Gx) (1 ?否定 )
4.(?x)? (Sx∧ ?Cx) ( 2?否定 )
5.?（ Sa→ ?Ga) (3*a/x ? 销去 )
6.? (Sa→ ?Ca) (4a/x ?销去 )
7.Sa∧ Ga (5 ?→ 等值 )
8.?Sa∨ Ca (6?∧ 等值 )
9.Sa (7∧ 销去 )
10.Ca (8,9∨ 销去 )
11.Ga (7∧ 销去 )
12.Ga∧ Ca (10,11 ∧ 引入 )
13,(?x)(Gx∧ Cx) (12 ?引入 )
二、一元谓词演算的形式证明
（一）证明的步骤
谓词演算的形式证明一般有以下 4步：
1,对待证的推理进行 符号化 。
2,按有关限制 销 去推理前提的 量词 。
3,根据命题推理的规则进行 推演 。
4,根据需要和有关规则 给结论添加应有的量词 。
（二）运用量词规则的方法
1,当推理的前提中 既有全称量词公式，又有存在量词公式
时，应先销 去存在量词，后销去全称量词。
2,当推理的 结论是全称量词公式时,要注意准确使用全称
量词引入规则，遵守该规则的限制。
3,当 前提或结论中有否定的量词公式时,要灵活运用量词
变换规则。
4,当推理的 前提或结论中有复合的量词公式时,应先分解
复合命题的公式再销量词。
5,当推理的 前提或结论中有单称命题时,应用个体常项符
号刻画命题公式，而后进行推演。
1,(?x)（ Cx→(Wx ∧ Rx))
2,(?x)(Cx∧ Qx) /∴ (?x)(Wx∧ Qx)
3,Ca∧ Qa (2*a/x ? 销去 )
4,Ca→(Wa ∧ Ra ) (1a/x ?销去 )
5,Ca (3∧ 销去 )
6,Wa∧ Ra ( 4,5→ 销去 )
7,Wa (6 ∧ 销去 )
8,Qa (3∧ 销去 )
9,Wa∧ Qa (7,8 ∧ 引入 )
10.(?x)(Wx∧ Qx) (9 ?引入 )
三、假设证明和反证法在证明过程中的应用
四、一元谓词演算的其他作用
1、前提一致性判定
2、谓词逻辑定理证明
1.Fa∨ Fb
2,?(?x)(Fx∧ ?Rx)
3.Da /∴, (?x)( Dx→ ?Rx)→Fb
4 (?x) (Fx→Rx) ( 2 ?否定 )
5,(?x)( Dx→ ?Rx) （假设）
6,Fa→Ra （ 4a/x ?销去）
7,Da→ ?Ra （ 5a/x ?销去）
8,?Ra （ 3,7→ 销去）
9,?Fa （ 6,8→ 销去）
10 Fb （ 1,9∨ 销去）
11,(?x)( Dx→ ?Rx)→Fb （ 5---10 → 引入）
第三节 二元谓词演算
※ 二元谓词演算是由二元关系命题公式组成的演算
※ 二元谓词演算（不含等词的）遵守推理规则和运用的分析
方法与一元谓词演算并无重要差别。
