1
投资学 第 11章投资分析（ 2）：债券的价值分析
2
11.1 债券定价
现金流贴现法 (Discounted Cash Flow Method,简称
DCF)，又称收入法或收入资本化法。
DCF认为任何资产的内在价值（ Intrinsic value）
取决于该资产 预期的 现金流的现值。
12
0
1 1 2
1
0
,...,
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 1 )
()
n
n
j
j
t
t
CFCC
V
i i i
i
V
Ct
it
F Fac e v al ue
其 中,为 债 券 的 现 值 ( 内 在 价 值 )
为 第 期 债 券 的 利 息为 期 的 市 场 利 率 ( 短 期 利 率 ）
为 债 券 的 面 值
3
为简化讨论，假设
只有一种利率，适合于任何到期日现金流的折现
债券每期支付的利息相同，到期支付本金 0
1
( 1 ) ( 1 )
1
[ 1 ]
( 1 ) ( 1 )
1 / 1
= [ 1 / ]
( 1 ) ( 1 )
n
tn
t
n n
nn
CF
V
ii
F
Ci
i i
i
C i F
ii
＝
年金因子 现值因子
4
11.2 到期收益率
到期收益率（ Yield to maturity）：使债券未来支付的现金流之现值与债券价格相等的折现率。
到期收益率是自购买日至到期日所有收入的平均回报率
0
0
1
,1
1
11
mn
m n t
t
PF
n C m
y
C
F m
P
yy
mm
若 已 知 债 券 当 前 购 买 价 格,面 值 为,现 在 距 离 到 期时 间 为 不 年,每 年 支 付 的 利 息 总 额 为 年 内 共 分 次付 息,则 满 足 下 式 的 就 是 到 期 收 益 率
（ ）
5
2
0 2
1
/2
( 2)
( 1 / 2) ( 1 / 2)
n
tn
t
CF
P
yy?
若 每 半 年 支 付 1 次 利 息,到 期 收 益 率仍 以 年 表 示 则
0
1
1
( 3 )
11
n
tn
t
CF
P
yy?
若 年 付 息 1 次 则
6
到期收益率实际上就是内部报酬率 (internal
rate of return)
注意：债券价格是购买日的价格,购买日不一定是债券发行日
到期收益率能否实际实现取决于 3个条件：
投资者持有债券到期
无违约 (利息和本金能按时、足额收到）
收到利息能以到期收益率再投资
0
1
0
1
( 1 ) ( 1 )
( 1 )
( 1 ),.,,,( 1 )
n
tn
t
n
n
CF
P
yy
Py
C y C y C F
以到期收益率再投资
8
11.2.1 判断债券价格低估还是高估的 方法
第一种，比较到期收益率与实际利率的差异。
若 y>i,则该债券的价格被低估；
如果 y<i,该债券的价格被高估
0
1
1 ( 1 ) ( 1 )
1
( 1 ) ( 1 )
n
tn
t
F is h e r
ii
i
CF
V
ii
＝
根 据 的 利 率 理 论
0 1 11
n
tn
t
CFP
yy?
实际利率
9
第二种方法，比较债券的内在价值与债券价格的差异。
我们把债券的内在价值 V0与债券价格 P0之间的差额，定义为债券投资者的净现值
NPV。
当净现值大于零时，意味着内在价值大于债券价格，即实际利率低于债券承诺的到期收益率，
该债券被低估；
反之，当净现值小于零时，该债券被高估。
00NP V V P
10
1,价格与到期收益具有反向相关关系。
对于固定的收入流，要使得投资者的到期收益率越高，投资者购买债券的价格就必须越低，这样投资回报才越高。
2,当到期收益率为 0时，债券的价格正好等于它的所有 现金流的和 。
比如票面利率为 10％的曲线，每年为 10元，
一共 30年，得到 300点，再加上 100元的面值，得到的价格为 400元。
11.2.2 债券价格与到期收益率
11
价格表示为到期收益率的函数。
图中价格表示为面值（ 100元）的倍数；所有债券的期限为 30年；每条曲线上的数字表示票面利率。从图可以看出 4个特征。
价格
500
400
300
200
100
0 5 10 15
到期收益率
15%
10%
5%
0%
12
3,当到期收益率和票面利率相等时，债券的价格正好等于其面值。
例如票面利率为 10%的曲线，当到期收益率为 10%时，其中的价格正好等于 100元。
这两者相等的原因在于，每年的利息支付正好等于 10%的收益，从而每年的价格保持不变，均为 100元。
4,当到期收益率越来越大时，债券的价格趋于零。
13
例题
某公司债券的面值为 100元，现距离到期日为 15
年，债券的票面利率为 10％，每半年付息一次。
若该债券的现价为 105元，求到期收益率。
解：利用公式（ 2）有
30
30
1
1 0 0 5 1 0 0
105
( 1 / 2 ) ( 1 / 2 )
M a tl a b
y = 0,0 9 3 4
t
t yy?
％
解 得 （ 用 程 序 ）
14
总结,Malkeil定理
由公式可见，债券的持有期限、利息、本金以及市场利率（或者收益率）决定了债券的内在价值，
若市场是有效的（无套利条件），则内在价值＝
价格。
在市场有效的前提下,Malkeil的 5个定理总结了债券价格（现值）与这些因素的关系。
11( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
nn
t
t n t
tt
CCFPV
i i i
＝ ＝
定理 1：债券价格与市场利率具有反向相关关系。
定理 2,若利率不变，则债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正相关关系。
1
1
1
1
1
1 11
1
11
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1
1
1
1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 )
n
n t n n
t
n
t n n
t
n
n t n n n
t
n n n n
C C F
PV
i i i
F k F k F
i i i
F k F k F k F
PV
i i i i
k
ik
i
F k F F k F
i i i i i
证 明,
当 时,有,则
11
,
n n n n
PV PV i k PV PV
从 而
。 同 理,当 时,。
因 此,同 样 的 市 场 利 率 变 化 给 长 期 债 券 造 成 的 波 动 更 剧 烈原因,长期债券由于期限长，利率对其价格的作用大。
16
定理 3：虽然到期时间延长，债券价格波动幅度增加，
但增加的速度递减。
n＋ 2年与 n+1年的差异小于 n＋ 1年与 n年之间的差异
( 1 ) ( 1 )n nn
F k FPV
ii
,1 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nn n n n
F k F k FPV
i i i
,2 1 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nn n n n n
F k F k F k FPV
i i i i
证明：分别观察 n年期,n+1年期和 n＋ 2年期债券投资者最后 1年,2年和 3年现金流的现值
17
,1 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 )n n n n n n
F k F FP V P V
i i i
,2,1 2 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )n n n n n n n
F k F FP V P V
i i i
由于则有,2,1
,1
1 1
1
n n n n
n n n
P V P V
P V P V i
原因：本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。
当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重变小，
重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然加大，但增速递减。
定理 4,对于既定期限的债券，由利率下降导致的债券价格上升的幅度，大于同等幅度的利率上升导致的债券价格下降的幅度。
证明：任取 t时刻现金流 Ct的折现值,只要证明每个时刻的现金流都具有上述性质，则价格也具有这个性质。
[ ],[ ]
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1
( ) 1,1 ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
t t t t t t
t t t t t t
tt
t t t t
C C C C C C
ud
i i i i i i i i
ia
aa
ud
a i a i
a a a a
a i a i a i a i
令再 令由 于
2
/2
22
0,
( ) ( ) [ ] 1
()
( ) ( ) 2 1 1 2
t
t t t
tt
ud
ii
a a a
a i a i a i
aa
ud
a i a i
ud
ud
P V P V
又 由 于 则 有从 而即,
对 于 任 意 时 刻,,则 所 有 现 金 流 的 现 值 也 满 足
20
定理 5：除折现债券和永久债券外，息票率越低的债券受市场利率的影响越大。
1.息票率越低，付本金前所有利息收入的现值在整个债券价格构成中占比重越低，本金现值的比重越大。
2.本金是现金流最主要的组成部分，其现值
（绝对数）受利率的影响最大。
3.由 1,2即有定理 5。
21
11.2.3 债券属性与价值分析
1,到期时间
根据 Malkiel定理 2和定理 3，若其他条件不便，
则债券的到期时间越长，债券价格的波动幅度越大，但波幅增量递减。
2,息票率的影响
若息票率大于市场利率，债券溢价发行，反之折价发行，最终债券的价格收敛到面值。
在其他属性不变的条件下，债券的息票率越低，债券价格随预期收益率波动的幅度越大
（定理 5）。
22
溢 价 债 券折 价 债 券到 期 日时 间价 格面 值溢价债券的价格将会下跌，
资本损失抵消了较高的利息收入
3,可赎回条款：该条款的存在，降低了该类债券的内在价值。
当赎回价格低于应付利息的现值时（利率降低时），发行人将赎回债券，从而与不可赎回债券扩大价差。
市场利率高时，赎回风险可忽略不计，
两种债券的价差可以忽略。
24
4,税收待遇,享受免税待遇的债券的内在价值一般略高于没有免税待遇的债券,故其价格较高
无套利原理，经税负调整后的税后报酬率应等于特征相同的免税债券的报酬率
税负债券必须支付税负贴水（ tax premium）
25
5,流动性,债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系。
债券的流动性越大，价格越高
6,违约风险越高，投资收益率也越高
违约风险高，则信用等级低，价格低
7,可转换债券息票率和承诺的到期收益率通常较低
8,可延期债券的息票率和承诺的到期收益率较低。
26
11.3 久期和凸性
市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响：债券本身的溢价或损失（资本利得），利息收入和再投资收益。
债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动带来的风险，即利率风险免疫（ Interest rate immunization），即使得债券组合对利率变化不敏感。
27
11.3.1 久期 (Duration)
1
1
11
1
1 1 1
*
,
( 1 )
1
( 1 ) 1 ( 1 )
/1
( / )
( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )
1
T
t
t
t
TT
tt
tt
T T T
t t t
t t t
t t t
C
pP
y
t C t CdP
dy y y y
t C t C CdP P
dy y y y y
D
D
y
设 债 券 的 价 格 满 足 则 有
D为 Macaulay久期,D*为修正久期，当 y很小时，
二者近似相等。
利率或到期收益率
28
例子
例如，某债券当前的市场价格为 950.25美元，收益率为 10%，息票率为 8%，面值
1000美元，三年后到期，一次性偿还本金。
7 2,7 3 1 6 6,1 2 2 8 1 1,4 0 3
9 5 0,2 5
2,7 8 (
D
年 ）
29
1 1 1
[ / ]
( 1 ) ( 1 )
t
T T T
tt
ttt
t t t
t
CC
D t t w
yy
w
其 中,为 时 期 的 权 重
*/
1
d P P D D
d y y
久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率变化引起的债券价格变化越大
久期是到期时间的加权平均，权重是 t时刻现金流的现值占总现值的比例
30
Macaulay久期定理
定理 1：只有无息债券的 Macaulay久期等于它们的到期时间。
11
12
2
[ / ]
( 1 ) ( 1 )
00
[,.,] /
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
TT
tt
tt
tt
TT
Tt
CC
Dt
yy
C C T C C
y y y y
T
证 明,
31
定理 2：附息债券的 Macaulay久期小于它们的到期时间。
11
12
2
1
12
2
1
[ / ]
( 1 ) ( 1 )
12
[,,,] /
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
[,,,] /
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
TT
tt
tt
tt
T
tT
Tt
t
T
tT
Tt
t
CC
Dt
yy
CC C TC
y y y y
CT C TC TC
T
y y y y
证 明,
32
定理 3：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。
*
*
/
1
/ ( 1 )
( 1 ) 0 1
,
1
d P P D
D
d y y
d P P d P d y y
D y D
d y P
y
P
DD
证 明,由 于 ＝,所 以
（ ）
当 若 债 券 的 贴 现 率 不 变,则 当 息 票 率 上 升 时债 券 的 价 格 上 升,从 而 由 （ ） 可 知久 期 下 降,则 修 正 久 期 也 下 降 。
33
Macaulay久期定理
定理 4：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期一般也越长。 Malkeil定理 2
定理 5：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。 Malkeil 定理 3
2
20,0
DD
TT
34
*
*
/
1
/ ( 1 )
( 1 ) 0 1
1y
d P P D
D
d y y
d P P d P d y y
D y D
d y P
DD
证 明,由 于 ＝,所 以
（ ）
由 （ ） 可 知,若 到 期 收 益 率 上 升,则 有久 期 上 升,则 修 正 久 期 也 上 升 。
定理 6：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。
35
久期：现金流现值翘翘板的支点时间现值久期,以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流发生时间加权平均的结果！
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利用久期度量风险
**/dP P dPD D dy
dy P
*( ) ( )dP D d y
P
2 2 * * 2 2( ) ( ) ( )dP D d y D d y
P
例子：假设一个 10年期零息债券,10年期即期利率为 8％
且具有 0.94%的波动，则该债券价格的波动率为？
10( ) 0,9 4 8,7 %
1 0,0 8
dP
P
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久期的缺陷
久期对利率的敏感性进行测量实际上只考虑了价格变化与收益率之间的线性关系。
而实际上，市场的实际情况是非线性的。
所有现金流都只采用了一个折现率，也即意味着利率期限结构是平坦的，不符合现实。
用 3个月的即期利率来折现 30年的债券显然是不合理的
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11.3.2 凸性
久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。
能否从数学上给予解释？
2
22
1
( 1 )1 1 1
( 1 ) ( 1 )
T
t
t
t
t t CdD d Pc
dy P dy P y y
39
泰勒展开与凸性
2
2
2
2
( ) 1 1 1
()
2
1
()
2
p y dP d P
dy dy
p p dy p dy
D dy c dy
根 据 泰 勒 逼 近 公 式
=-
凸性具有减少久期的性质。即利率变化引起债券价格实际上升的幅度比久期的线性估计要高，而下降的幅度要小。
在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。
40
练 习到期收益率 5％ 债券价格 100
调整久期 4.33% 凸性 26.3849
给定以上数据，当到期收益率上升到 7％时，债券的价格将如何变化？
41
11.3.3 债券组合的久期
由于久期是债券价格对利率敏感性的线性计量，
因此，一个债券组合的久期就是对该组合中个别债券久期的加权平均。 *
1 1 1
1
/
( ) [ ]
i
ii
ii
N N N
A i i i i i i A
i i i
N
A i i
i
Nw
d p p
A D r D d y
dy
r w r w D d y w D d y D d y
D w D
证 明,对 于 一 个 包 含 种 债 券,每 种 债 券 的 头 寸 比 例 为 的 债 券组 合 来 说,由 于 则即
42
债券组合免疫
2004年初，经测算某养老金负债的久期为 7年，
该基金投资两种债券，其久期分别为 3年和 11年，
那么该基金需要在这两种债券上分别投资多少才能不受 2004年利率风险变化的影响？
3 ( 1 ) 1 1 7
0,5
ww
w
解 得,
问题：如果下一年年初，利率没有变化，那么，
该公司要不要对投资权重进行调整？
43
由于负债的到期日又接近了，因此，可能导致债务和债权之间的久期不一致，就需要再平衡。
问题：到期日每接近一天，久期就有可能不一致，是否意味着每天需要调整？
债券免疫策略：资产管理者需要再不断再平衡以获得良好的 免疫功能 和进出市场导致的 交易成本 之间寻求一个折衷的方案。
44
11.4 债券（优先股）评级
债券评级（ Rating）是对债券质量的一种评价制度，主要是对债券发行者的信誉评级，核心是违约的可能性。
债券评级不是面向投资者的评级，不是对当前某种债券的市场价格是否合理进行评级，
也不是推荐你要去投资某一种债券，而只是给债券贴上了商标。
问题：高等级的债券的收益是否一定高于低等级的债券？
45
美国的垃圾债券，违约风险相当高，等级非常低，但是其收益是所有债券中最高的。
评级是发行者的自愿行为，在西方国家，如果债券没有评级，往往不被投资这所认可，难以体现债券的特色，债券评级类似市场细分，就难以找到销路。
问题：债券评级需要花费巨大的评级费用，谁来支付？
由债券发行者支付，所以评级是面向筹资者的，筹资者需要将此信息向市场公布，投资者就可以免费获得信息，或者说，评级是筹资者花钱做的广告。
上海规定：只有债券达到一定的等级才能发行，合理吗？
46
11.4.1 评级的依据
仅仅介绍标准普尔（ standard poor）债券评级
1,违约的可能性：还本付息的能力和意愿
2,债务的性质和条款：债权人是否优先，在破产清算和利息支付中的位置，是否有担保等。
3,非常情况下的债权人的权利保障情况。
47
11.4.2 评级的步骤
1,收集足够的信息来对发行人和所申报的债券进行评估，在充分的数据和科学的分析基础上评定出适当的等级。
2,监督已定级的债券在一段时期内的信用质量，
及时根据发行人的财务状况变化的反馈作出相应的信用级别调整，并将此信息告知发行人和投资者。
问题：一个公司的不同债券的级别是否相同？
一个企业的同种债券在不同时候级别是否相同？
48
主要级别投资级
AAA
AA
BBB
A
AA-
AA＋
A-
A+
表示略高于或低于该级别
CCC
其他级别
BB
B
CC
DDD
DD
D
C
投机级
49
AAA是信用最高级别，表示无风险，信誉最高，
偿债能力极强，不受经济形势任何影响；
AA是表示高级，最少风险，有很强的偿债能力；
A是表示中上级，较少风险，支付能力较强，
在经济环境变动时，易受不利因素影响；
BBB表示中级，有风险，有足够的还本付息能力，但缺乏可靠的保证，其安全性容易受不确定因素影响，这也是在正常情况下投资者所能接受的最低信用度等级，或者说，以上这四种级别一般被认为属投资级别，其债券质量相对较高。
50
后几种级别（到 C为止）则属投机级别，其投机程度依此递增，这类债券面临大量不确定因素。特别是 C级，
一般被认为是濒临绝境的边缘，也是投机级中资信度最低的。
D等信用度级别，则表示该类债券是属违约性质，根本无还本付息希望，
如被评为 D级，那发行人离倒闭关门就不远了。因此，是三个 D还是两个
D意义已不大。
51
债券评级的客观性和公平性
（ 1）民间经济警察的角色
在西方发达国家，债券评级机构是私人的盈利性企业，这些机构以生产信息来盈利，因此，
信息必须有价值，信息的价值首先就要求客观、
真实。由于其是私人的机构不受政府的限制。
评级机构只要一次违规，将对其未来的生存构成威胁，而且随时准备吃官司
世界 5大会计师事务所之一的安达信就一次违规而破产，现在只有 4大。
52
（ 2）信息的正反馈效应
独立性 —— 盈利性 —— 可性度，形成正反馈机制。
问题：中国的会计师事务所为什么没有成为民间经济警察？
政府的附属机构，很多与财政部门藕断丝连，
会计师事务所有行政级别。
事务所多，国家采取合并，反而使门槛降低，
竞争更加激烈。引申：高校合并
游戏规则要由民间制定。
53
附录：普通股编列（ ranking）
普通股没有评级，只有编列（ ranking ）有的书上说普通股有级别是不对的，普通股不存在什么违约风险（为什么？）。
普通股编列的意义与债券的评级完全不同。考察指标有：
红利的增长以及增长的稳定性
以往的业绩
发行公司的大小
投资学 第 11章投资分析（ 2）：债券的价值分析
2
11.1 债券定价
现金流贴现法 (Discounted Cash Flow Method,简称
DCF)，又称收入法或收入资本化法。
DCF认为任何资产的内在价值（ Intrinsic value）
取决于该资产 预期的 现金流的现值。
12
0
1 1 2
1
0
,...,
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 1 )
()
n
n
j
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t
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CFCC
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i
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其 中,为 债 券 的 现 值 ( 内 在 价 值 )
为 第 期 债 券 的 利 息为 期 的 市 场 利 率 ( 短 期 利 率 ）
为 债 券 的 面 值
3
为简化讨论，假设
只有一种利率，适合于任何到期日现金流的折现
债券每期支付的利息相同，到期支付本金 0
1
( 1 ) ( 1 )
1
[ 1 ]
( 1 ) ( 1 )
1 / 1
= [ 1 / ]
( 1 ) ( 1 )
n
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n n
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CF
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F
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i
C i F
ii
＝
年金因子 现值因子
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11.2 到期收益率
到期收益率（ Yield to maturity）：使债券未来支付的现金流之现值与债券价格相等的折现率。
到期收益率是自购买日至到期日所有收入的平均回报率
0
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1
,1
1
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mn
m n t
t
PF
n C m
y
C
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mm
若 已 知 债 券 当 前 购 买 价 格,面 值 为,现 在 距 离 到 期时 间 为 不 年,每 年 支 付 的 利 息 总 额 为 年 内 共 分 次付 息,则 满 足 下 式 的 就 是 到 期 收 益 率
（ ）
5
2
0 2
1
/2
( 2)
( 1 / 2) ( 1 / 2)
n
tn
t
CF
P
yy?
若 每 半 年 支 付 1 次 利 息,到 期 收 益 率仍 以 年 表 示 则
0
1
1
( 3 )
11
n
tn
t
CF
P
yy?
若 年 付 息 1 次 则
6
到期收益率实际上就是内部报酬率 (internal
rate of return)
注意：债券价格是购买日的价格,购买日不一定是债券发行日
到期收益率能否实际实现取决于 3个条件：
投资者持有债券到期
无违约 (利息和本金能按时、足额收到）
收到利息能以到期收益率再投资
0
1
0
1
( 1 ) ( 1 )
( 1 )
( 1 ),.,,,( 1 )
n
tn
t
n
n
CF
P
yy
Py
C y C y C F
以到期收益率再投资
8
11.2.1 判断债券价格低估还是高估的 方法
第一种，比较到期收益率与实际利率的差异。
若 y>i,则该债券的价格被低估；
如果 y<i,该债券的价格被高估
0
1
1 ( 1 ) ( 1 )
1
( 1 ) ( 1 )
n
tn
t
F is h e r
ii
i
CF
V
ii
＝
根 据 的 利 率 理 论
0 1 11
n
tn
t
CFP
yy?
实际利率
9
第二种方法，比较债券的内在价值与债券价格的差异。
我们把债券的内在价值 V0与债券价格 P0之间的差额，定义为债券投资者的净现值
NPV。
当净现值大于零时，意味着内在价值大于债券价格，即实际利率低于债券承诺的到期收益率，
该债券被低估；
反之，当净现值小于零时，该债券被高估。
00NP V V P
10
1,价格与到期收益具有反向相关关系。
对于固定的收入流，要使得投资者的到期收益率越高，投资者购买债券的价格就必须越低，这样投资回报才越高。
2,当到期收益率为 0时，债券的价格正好等于它的所有 现金流的和 。
比如票面利率为 10％的曲线，每年为 10元，
一共 30年，得到 300点，再加上 100元的面值，得到的价格为 400元。
11.2.2 债券价格与到期收益率
11
价格表示为到期收益率的函数。
图中价格表示为面值（ 100元）的倍数；所有债券的期限为 30年；每条曲线上的数字表示票面利率。从图可以看出 4个特征。
价格
500
400
300
200
100
0 5 10 15
到期收益率
15%
10%
5%
0%
12
3,当到期收益率和票面利率相等时，债券的价格正好等于其面值。
例如票面利率为 10%的曲线，当到期收益率为 10%时，其中的价格正好等于 100元。
这两者相等的原因在于，每年的利息支付正好等于 10%的收益，从而每年的价格保持不变，均为 100元。
4,当到期收益率越来越大时，债券的价格趋于零。
13
例题
某公司债券的面值为 100元，现距离到期日为 15
年，债券的票面利率为 10％，每半年付息一次。
若该债券的现价为 105元，求到期收益率。
解：利用公式（ 2）有
30
30
1
1 0 0 5 1 0 0
105
( 1 / 2 ) ( 1 / 2 )
M a tl a b
y = 0,0 9 3 4
t
t yy?
％
解 得 （ 用 程 序 ）
14
总结,Malkeil定理
由公式可见，债券的持有期限、利息、本金以及市场利率（或者收益率）决定了债券的内在价值，
若市场是有效的（无套利条件），则内在价值＝
价格。
在市场有效的前提下,Malkeil的 5个定理总结了债券价格（现值）与这些因素的关系。
11( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
nn
t
t n t
tt
CCFPV
i i i
＝ ＝
定理 1：债券价格与市场利率具有反向相关关系。
定理 2,若利率不变，则债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正相关关系。
1
1
1
1
1
1 11
1
11
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1
1
1
1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 )
n
n t n n
t
n
t n n
t
n
n t n n n
t
n n n n
C C F
PV
i i i
F k F k F
i i i
F k F k F k F
PV
i i i i
k
ik
i
F k F F k F
i i i i i
证 明,
当 时,有,则
11
,
n n n n
PV PV i k PV PV
从 而
。 同 理,当 时,。
因 此,同 样 的 市 场 利 率 变 化 给 长 期 债 券 造 成 的 波 动 更 剧 烈原因,长期债券由于期限长，利率对其价格的作用大。
16
定理 3：虽然到期时间延长，债券价格波动幅度增加，
但增加的速度递减。
n＋ 2年与 n+1年的差异小于 n＋ 1年与 n年之间的差异
( 1 ) ( 1 )n nn
F k FPV
ii
,1 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nn n n n
F k F k FPV
i i i
,2 1 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nn n n n n
F k F k F k FPV
i i i i
证明：分别观察 n年期,n+1年期和 n＋ 2年期债券投资者最后 1年,2年和 3年现金流的现值
17
,1 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 )n n n n n n
F k F FP V P V
i i i
,2,1 2 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )n n n n n n n
F k F FP V P V
i i i
由于则有,2,1
,1
1 1
1
n n n n
n n n
P V P V
P V P V i
原因：本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。
当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重变小，
重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然加大，但增速递减。
定理 4,对于既定期限的债券，由利率下降导致的债券价格上升的幅度，大于同等幅度的利率上升导致的债券价格下降的幅度。
证明：任取 t时刻现金流 Ct的折现值,只要证明每个时刻的现金流都具有上述性质，则价格也具有这个性质。
[ ],[ ]
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1
( ) 1,1 ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
t t t t t t
t t t t t t
tt
t t t t
C C C C C C
ud
i i i i i i i i
ia
aa
ud
a i a i
a a a a
a i a i a i a i
令再 令由 于
2
/2
22
0,
( ) ( ) [ ] 1
()
( ) ( ) 2 1 1 2
t
t t t
tt
ud
ii
a a a
a i a i a i
aa
ud
a i a i
ud
ud
P V P V
又 由 于 则 有从 而即,
对 于 任 意 时 刻,,则 所 有 现 金 流 的 现 值 也 满 足
20
定理 5：除折现债券和永久债券外，息票率越低的债券受市场利率的影响越大。
1.息票率越低，付本金前所有利息收入的现值在整个债券价格构成中占比重越低，本金现值的比重越大。
2.本金是现金流最主要的组成部分，其现值
（绝对数）受利率的影响最大。
3.由 1,2即有定理 5。
21
11.2.3 债券属性与价值分析
1,到期时间
根据 Malkiel定理 2和定理 3，若其他条件不便，
则债券的到期时间越长，债券价格的波动幅度越大，但波幅增量递减。
2,息票率的影响
若息票率大于市场利率，债券溢价发行，反之折价发行，最终债券的价格收敛到面值。
在其他属性不变的条件下，债券的息票率越低，债券价格随预期收益率波动的幅度越大
（定理 5）。
22
溢 价 债 券折 价 债 券到 期 日时 间价 格面 值溢价债券的价格将会下跌，
资本损失抵消了较高的利息收入
3,可赎回条款：该条款的存在，降低了该类债券的内在价值。
当赎回价格低于应付利息的现值时（利率降低时），发行人将赎回债券，从而与不可赎回债券扩大价差。
市场利率高时，赎回风险可忽略不计，
两种债券的价差可以忽略。
24
4,税收待遇,享受免税待遇的债券的内在价值一般略高于没有免税待遇的债券,故其价格较高
无套利原理，经税负调整后的税后报酬率应等于特征相同的免税债券的报酬率
税负债券必须支付税负贴水（ tax premium）
25
5,流动性,债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系。
债券的流动性越大，价格越高
6,违约风险越高，投资收益率也越高
违约风险高，则信用等级低，价格低
7,可转换债券息票率和承诺的到期收益率通常较低
8,可延期债券的息票率和承诺的到期收益率较低。
26
11.3 久期和凸性
市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响：债券本身的溢价或损失（资本利得），利息收入和再投资收益。
债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动带来的风险，即利率风险免疫（ Interest rate immunization），即使得债券组合对利率变化不敏感。
27
11.3.1 久期 (Duration)
1
1
11
1
1 1 1
*
,
( 1 )
1
( 1 ) 1 ( 1 )
/1
( / )
( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )
1
T
t
t
t
TT
tt
tt
T T T
t t t
t t t
t t t
C
pP
y
t C t CdP
dy y y y
t C t C CdP P
dy y y y y
D
D
y
设 债 券 的 价 格 满 足 则 有
D为 Macaulay久期,D*为修正久期，当 y很小时，
二者近似相等。
利率或到期收益率
28
例子
例如，某债券当前的市场价格为 950.25美元，收益率为 10%，息票率为 8%，面值
1000美元，三年后到期，一次性偿还本金。
7 2,7 3 1 6 6,1 2 2 8 1 1,4 0 3
9 5 0,2 5
2,7 8 (
D
年 ）
29
1 1 1
[ / ]
( 1 ) ( 1 )
t
T T T
tt
ttt
t t t
t
CC
D t t w
yy
w
其 中,为 时 期 的 权 重
*/
1
d P P D D
d y y
久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率变化引起的债券价格变化越大
久期是到期时间的加权平均，权重是 t时刻现金流的现值占总现值的比例
30
Macaulay久期定理
定理 1：只有无息债券的 Macaulay久期等于它们的到期时间。
11
12
2
[ / ]
( 1 ) ( 1 )
00
[,.,] /
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
TT
tt
tt
tt
TT
Tt
CC
Dt
yy
C C T C C
y y y y
T
证 明,
31
定理 2：附息债券的 Macaulay久期小于它们的到期时间。
11
12
2
1
12
2
1
[ / ]
( 1 ) ( 1 )
12
[,,,] /
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
[,,,] /
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
TT
tt
tt
tt
T
tT
Tt
t
T
tT
Tt
t
CC
Dt
yy
CC C TC
y y y y
CT C TC TC
T
y y y y
证 明,
32
定理 3：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。
*
*
/
1
/ ( 1 )
( 1 ) 0 1
,
1
d P P D
D
d y y
d P P d P d y y
D y D
d y P
y
P
DD
证 明,由 于 ＝,所 以
（ ）
当 若 债 券 的 贴 现 率 不 变,则 当 息 票 率 上 升 时债 券 的 价 格 上 升,从 而 由 （ ） 可 知久 期 下 降,则 修 正 久 期 也 下 降 。
33
Macaulay久期定理
定理 4：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期一般也越长。 Malkeil定理 2
定理 5：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。 Malkeil 定理 3
2
20,0
DD
TT
34
*
*
/
1
/ ( 1 )
( 1 ) 0 1
1y
d P P D
D
d y y
d P P d P d y y
D y D
d y P
DD
证 明,由 于 ＝,所 以
（ ）
由 （ ） 可 知,若 到 期 收 益 率 上 升,则 有久 期 上 升,则 修 正 久 期 也 上 升 。
定理 6：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。
35
久期：现金流现值翘翘板的支点时间现值久期,以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流发生时间加权平均的结果！
36
利用久期度量风险
**/dP P dPD D dy
dy P
*( ) ( )dP D d y
P
2 2 * * 2 2( ) ( ) ( )dP D d y D d y
P
例子：假设一个 10年期零息债券,10年期即期利率为 8％
且具有 0.94%的波动，则该债券价格的波动率为？
10( ) 0,9 4 8,7 %
1 0,0 8
dP
P
37
久期的缺陷
久期对利率的敏感性进行测量实际上只考虑了价格变化与收益率之间的线性关系。
而实际上，市场的实际情况是非线性的。
所有现金流都只采用了一个折现率，也即意味着利率期限结构是平坦的，不符合现实。
用 3个月的即期利率来折现 30年的债券显然是不合理的
38
11.3.2 凸性
久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。
能否从数学上给予解释？
2
22
1
( 1 )1 1 1
( 1 ) ( 1 )
T
t
t
t
t t CdD d Pc
dy P dy P y y
39
泰勒展开与凸性
2
2
2
2
( ) 1 1 1
()
2
1
()
2
p y dP d P
dy dy
p p dy p dy
D dy c dy
根 据 泰 勒 逼 近 公 式
=-
凸性具有减少久期的性质。即利率变化引起债券价格实际上升的幅度比久期的线性估计要高，而下降的幅度要小。
在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。
40
练 习到期收益率 5％ 债券价格 100
调整久期 4.33% 凸性 26.3849
给定以上数据，当到期收益率上升到 7％时，债券的价格将如何变化？
41
11.3.3 债券组合的久期
由于久期是债券价格对利率敏感性的线性计量，
因此，一个债券组合的久期就是对该组合中个别债券久期的加权平均。 *
1 1 1
1
/
( ) [ ]
i
ii
ii
N N N
A i i i i i i A
i i i
N
A i i
i
Nw
d p p
A D r D d y
dy
r w r w D d y w D d y D d y
D w D
证 明,对 于 一 个 包 含 种 债 券,每 种 债 券 的 头 寸 比 例 为 的 债 券组 合 来 说,由 于 则即
42
债券组合免疫
2004年初，经测算某养老金负债的久期为 7年，
该基金投资两种债券，其久期分别为 3年和 11年，
那么该基金需要在这两种债券上分别投资多少才能不受 2004年利率风险变化的影响？
3 ( 1 ) 1 1 7
0,5
ww
w
解 得,
问题：如果下一年年初，利率没有变化，那么，
该公司要不要对投资权重进行调整？
43
由于负债的到期日又接近了，因此，可能导致债务和债权之间的久期不一致，就需要再平衡。
问题：到期日每接近一天，久期就有可能不一致，是否意味着每天需要调整？
债券免疫策略：资产管理者需要再不断再平衡以获得良好的 免疫功能 和进出市场导致的 交易成本 之间寻求一个折衷的方案。
44
11.4 债券（优先股）评级
债券评级（ Rating）是对债券质量的一种评价制度，主要是对债券发行者的信誉评级，核心是违约的可能性。
债券评级不是面向投资者的评级，不是对当前某种债券的市场价格是否合理进行评级，
也不是推荐你要去投资某一种债券，而只是给债券贴上了商标。
问题：高等级的债券的收益是否一定高于低等级的债券？
45
美国的垃圾债券，违约风险相当高，等级非常低，但是其收益是所有债券中最高的。
评级是发行者的自愿行为，在西方国家，如果债券没有评级，往往不被投资这所认可，难以体现债券的特色，债券评级类似市场细分，就难以找到销路。
问题：债券评级需要花费巨大的评级费用，谁来支付？
由债券发行者支付，所以评级是面向筹资者的，筹资者需要将此信息向市场公布，投资者就可以免费获得信息，或者说，评级是筹资者花钱做的广告。
上海规定：只有债券达到一定的等级才能发行，合理吗？
46
11.4.1 评级的依据
仅仅介绍标准普尔（ standard poor）债券评级
1,违约的可能性：还本付息的能力和意愿
2,债务的性质和条款：债权人是否优先，在破产清算和利息支付中的位置，是否有担保等。
3,非常情况下的债权人的权利保障情况。
47
11.4.2 评级的步骤
1,收集足够的信息来对发行人和所申报的债券进行评估，在充分的数据和科学的分析基础上评定出适当的等级。
2,监督已定级的债券在一段时期内的信用质量，
及时根据发行人的财务状况变化的反馈作出相应的信用级别调整，并将此信息告知发行人和投资者。
问题：一个公司的不同债券的级别是否相同？
一个企业的同种债券在不同时候级别是否相同？
48
主要级别投资级
AAA
AA
BBB
A
AA-
AA＋
A-
A+
表示略高于或低于该级别
CCC
其他级别
BB
B
CC
DDD
DD
D
C
投机级
49
AAA是信用最高级别，表示无风险，信誉最高，
偿债能力极强，不受经济形势任何影响；
AA是表示高级，最少风险，有很强的偿债能力；
A是表示中上级，较少风险，支付能力较强，
在经济环境变动时，易受不利因素影响；
BBB表示中级，有风险，有足够的还本付息能力，但缺乏可靠的保证，其安全性容易受不确定因素影响，这也是在正常情况下投资者所能接受的最低信用度等级，或者说，以上这四种级别一般被认为属投资级别，其债券质量相对较高。
50
后几种级别（到 C为止）则属投机级别，其投机程度依此递增，这类债券面临大量不确定因素。特别是 C级，
一般被认为是濒临绝境的边缘，也是投机级中资信度最低的。
D等信用度级别，则表示该类债券是属违约性质，根本无还本付息希望，
如被评为 D级，那发行人离倒闭关门就不远了。因此，是三个 D还是两个
D意义已不大。
51
债券评级的客观性和公平性
（ 1）民间经济警察的角色
在西方发达国家，债券评级机构是私人的盈利性企业，这些机构以生产信息来盈利，因此，
信息必须有价值，信息的价值首先就要求客观、
真实。由于其是私人的机构不受政府的限制。
评级机构只要一次违规，将对其未来的生存构成威胁，而且随时准备吃官司
世界 5大会计师事务所之一的安达信就一次违规而破产，现在只有 4大。
52
（ 2）信息的正反馈效应
独立性 —— 盈利性 —— 可性度，形成正反馈机制。
问题：中国的会计师事务所为什么没有成为民间经济警察？
政府的附属机构，很多与财政部门藕断丝连，
会计师事务所有行政级别。
事务所多，国家采取合并，反而使门槛降低，
竞争更加激烈。引申：高校合并
游戏规则要由民间制定。
53
附录：普通股编列（ ranking）
普通股没有评级，只有编列（ ranking ）有的书上说普通股有级别是不对的，普通股不存在什么违约风险（为什么？）。
普通股编列的意义与债券的评级完全不同。考察指标有：
红利的增长以及增长的稳定性
以往的业绩
发行公司的大小
