投资学 第 13章投资分析（ 4）,Black-Scholes 期权定价模型
2009-7-28 2
概 述
Black,Scholes和 Merton发现了看涨期权定价公式,Scholes和 Merton也因此获得
1997年的诺贝尔经济学奖
模型基本假设 8个
无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。
标的股票不支付红利
期权为欧式期权
2009-7-28 3
无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场
投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，
均为无风险利率
股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票
对卖空没有任何限制
标的资产为股票，其价格 S的变化为几何布朗运动
ds
d t d w d s sd t sd w
s
w
其 中,代 表 维 纳 过 程
2009-7-28 4
B-S模型证明思路
ITO引理 2
2
2
1()
2
f f f fd f a b d t b d w
t x x x
ITO过程 (,) (,)
ttd x a x t d t b x t d w
B-S微分方程 2 22
2
1
2
f f frs s rf
t s s
抖 + s =
抖
＋
B-S买权定价公式
12( ) ( )rtC S N d Ke N d
2009-7-28 5
13.1 维纳过程
根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，这种特性可以采用
Wiener process，它是 Markov stochastic
process的一种。
对于随机变量 w是 Wiener process，必须具有两个条件：
1.在某一小段时间 Δt内，它的变动 Δw与时段满足 Δt
ttwt
（ 13.1）
1,( 0,1 )t t t tw w w iid N这 里,
2,在两个不重叠的时段 Δt和 Δs,Δwt和 Δws是独立的，
这个条件也是 Markov过程的条件，即增量独立！
11
11
,t t t s s s
t t s s
w w w w w w
w w w w
其 中,
c o v (,) 0tsww （ 13.2）
有效市场
2009-7-28 7
满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有
( ) 0,( )ttE w D w t
当时段的长度放大到 T时（从现在的 0时刻到未来的 T时刻）随机变量 Δwt的满足
0( ) 0,
()
T T T
T
E w w w w
D w T
证明：
01
1
11
,
N
T T i i i i i
i
NN
T i i
ii
w w w w w w w t
w t t
11
( ) ( ) ( ) 0
NN
T i i
ii
E w t E t E
1
( ) ( ),[ ( ) 1 ],
N
T i i
i
D w t D t N T D
证 毕,
2009-7-28 9
在连续时间下，由（ 13.1）和（ 13.2）得到
c o v (,) 0
tt
ts
d w d t
d w d w
（ 13.3）
（ 13.4）
所以,概率分布的性质
~ (0,)
( ) 0,( )
t
tt
d w N d t
E d w D d w d t
tdw
以上得到的随机过程，称为维纳过程。
2009-7-28 10
13.2 ITO定理
一般维纳过程 (Generalized Wiener process)可表示为
~ (0,)
tt
t
d x a d t b d w
d w N d t
其 中,
（ 13.5）
2
2
~ (,)
( ),( )
t
tt
d x N a d t b d t
E d x a d t D d x b d t
显然，一般维纳过程的性质为
2009-7-28 11
一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。
漂移率和方差率为常数不恰当
ttd x a d t b d w
(,) (,)ttd x a x t d t b x t d w
若把变量 xt的漂移率 a和方差率 b当作变量 x和时间 t的函数，扩展后得到的即为 ITO过程
2009-7-28 12
B-S 期权定价模型是根据 ITO过程的特例－几何布朗运动来代表股价的波动
t t t tds s dt s dw
,(,),(,)t t t t t ts x a s t s b s t s
省略下标 t，变换后得到几何布朗运动方程
ds
d t d w
s
（ 13.6）
证券的预期回报与其价格无关。
2009-7-28 13
ITO定理：假设某随机变量 x的变动过程可由 ITO
过程表示为（省略下标 t）
(,) (,)d x a x t d t b x t d w
令 f(x,t)为随机变量 x以及时间 t的函数，即 f(x,t)可以代表以标的资产 x的衍生证券的价格，则 f(x,t)
的价格变动过程可以表示为
2
2
2
1()
2
f f f fd f a b d t b d w
t x x x
(,),(,),(,)f f x t a a x t b b x t
（ 13.7）
证明：将（ 13.7）离散化
(,) (,)x a x t t b x t w
wt
由（ 13.1）知利用泰勒展开，忽略高阶段项,f(x,t)可以展开为
22
2
2
2
2
2
1
()
2
1
2
f f f f
f t x x x t
t x x x t
f
t
t
（ 13.8）
在连续时间下，即 0tD
3
2 2
0
l i m 0
t
x t a t b t?
因此，（ 13.8）可以改写为
（ 13.9） 2
2
2
1
2
f f ff t x x
t x x
2 0tD 从而
3
2 0tD
22[]x a t b t
2
2 2 2 2 22a t b t a b t
22bt
20 0,tt且 当 时,有 从 而
2
2 2 2 2
0
l i m ( ) [ ] ( ) 0
t
D x b t D?
即 Δx2不呈现随机波动！
（ 13.10）
2 2 2 2 2( ) ( ) ( )E x E b t b tE
由（ 13.10）可得
22
(0,1 ),
( ) [ ( 0 ) ] ( ) 1
N
D E E
由 于 则
22()E x b t
（ 13.11）
由（ 13.11）得到
（ 13.12）
由于 Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即
22x b t
2
2
2
1
2
f f fd f d t d x d x
t x x
2
2
2
1()
2
f f fd t a d t b d w b d t
t x x
当 Δt→0 时,由（ 13.9）可得
2
2
2
1()
2
f f f fa b d t b d w
t x x x
■
13.3 B-S微分方程
d s s d t s d w
假设标的资产价格变动过程满足
这里 S为标的资产当前的价格，令 f(s,t)代表衍生证券的价格，则 f(x,t)的价格变动过程可由 ITO引理近似为
2
22
2
1()
2
f f f fd f s s d t s d w
t s s s
2009-7-28 20
2
22
2
1()
2
f f f ff s s t s w
t s s s
假设某投资者以 δ 份的标的资产多头和 1个单位的衍生证券空头来构造一个组合，且 δ 满足
ff s f s
s
- + d = - +
则该组合的收益为
f
s
d=
2009-7-28 21
下面将证明该组合为无风险组合，在 Δt时间区间内收益为
ffs
s
D? - D + D
2
22
2
1
()
2
()
f f f f
s s t s w
t s s s
f
s t s w
s
2
22
2
1()
2
ff st
ts
注意到此时 Δ π不含有随机项 w，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为 r，且由于 Δt较小（不采用连续复利），则
ffs
s
- +
又 由 于
2
22
2
1()
2
ffr t s t
ts
抖D? 兆譊 = - + s D
抖
2
22
2
1()
2
f f fs t f s r t
t s s
抖 - + s D = - + 鬃 D
抖 （ ）
整理得到
2
22
2
1
2
f f frs s rf
t s s
抖 + s =
抖
＋
B-S微分方程的意义
2
22
2
1
2
f f frs s rf
t s s
＋抖 + s =
抖衍生证券的价格 f，只与当前的市价 S，时间 t，证券价格波动率 σ 和无风险利率 r有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对 f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，可以采用 风险中性定价,即所有证券的预期收益率都等于无风险利率 r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用 B-S微分方程求出价格 f。
2009-7-28 24
t t t td S S d t S d w
若股票价格服从几何布朗运动设当前时刻为 t，则 T时刻股票价格满足对数正态分布，即
22l n ~ [ l n ( / 2),]
TtS N S
,[0,]T t t T
13.4 几何布朗运动与对数正态分布
2009-7-28 25
( ) l nttg g S S
2
22
11,,0
t t t t
g g g
S S S S t
令 则这样由伊藤引理得到
21()
2
d t d w
2
2
2
1( ( ) )
2t t tt t t
g g g gd g S S d t S d w
t S S S
(,)tta S dt b S
21( l n ) ( )
2t
d S d t d w
即
2009-7-28 26
21( l n ) ( )
2
TT
tttd S d t d w
21l n l n ( ) ( )
2T t T tS S w w
由（ 13.1）
Ttww
21l n l n ( )
2Tt
SS
~ ( 0,1 )iid N?
22l n ~ [ l n ( / 2),]
TtS N S
2009-7-28 27
21( ) e x p [ ( ) ] [ e x p ( ) ]
2TtE S S E
[ e xp ( ) ] e xp [ ( ) ]EE注 意,
22l n ~ [ l n ( / 2),]
TtS N S由 于则称 ST服从对数正态分布，其期望值为
2[ e xp ( ) ] e xp ( / 2)E
( ) e x p ( )TtE S S所以
2009-7-28 28
13.5 B-S买权定价公式
12
2
1
21
( ) ( )
l n( / ) ( / 2)
[ 0,],
r
tt
t
C S N d Xe N d
S X r
d
dd
t T T t
其 中,
对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权
（买权）的在定价日 t的定价公式为
2009-7-28 29
（ 1）设当前时刻为 t，到期时刻 T，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻 t
的股票价格为 St,则 T时刻的股票价格的期望值为
B-S买权定价公式推导
( ) e x p [ ( ) ]TtE S S T t
（ 13.13）
e x p ( )tS
2009-7-28 30
( ) e x p ( )TtE S S r （ 13.14）
由（ 13.13）和（ 13.14）得到
r
（ 13.15）
根据 B-S微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，
则这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。
2009-7-28 31
（ 2）在 风险中性的条件下,任何资产的贴现率为无风险利率 r，故买权期望值的现值为
[ m a x(,0)]rtTC e E S X
0
( ) ( ) 0 ( )Xr T T T T T
X
e S X f S d S f S d S
( ),
0,
r
TT
T
e E S X S X
SX
（ 13.16）
( ) ( )r T T T
X
e S X f S d S
2009-7-28 32
由于 ST服从对数正态分布，其 pdf为
2
2
( l n ( l n ) )1( ) e x p [ ]
22
TT
T
T
S E SfS
S
2
2
2
2
1 ( )
e xp [ ]
22
1 1 ( )
e xp [ ]
22
r
tT
X
r
T
X
T
ss
C e dS
uu
ss
Ke dS
Suu
（ 13.17）
第 1项第 2项将 l n,( l n ),
TTS s E S s u
由 (13.16)得到
2009-7-28 33
（ 3）化简（ 13.17）中的第 1,2项，先化简第 1项
2
2
1 ( )e xp [ ]
22
r
TX
sse dS
uu
2
2
1 1 ( )e x p ( l n ) e x p ( l n ) e x p [ ]
22
r
t t T TX
T
ssS S e S d S
Suu
2
2
1 1 ( )e x p ( l n l n ) e x p [ ]
22t T t TX T
ssS S S r d S
Suu
（ 13.18）
当前时刻价格，不是变量
2009-7-28 34
l n l nTtS S r
2
2
( l n ) l n ( / 2 )
1
l n ( l n ) ( )
2
Tt
tT
E S S
S E S
因 为,则
2( ( / 2 ) )s s r r
2
2
( / 2 )
( / 2 )
ss
s s u
（ 13.19）
( l n )TE S s r由 于,,所 以
2009-7-28 35
将（ 13.19）与（ 13.18）内的第 2个指数项合并，即
2
2
2
()( / 2 )
2
sss s u
u
2 2 2 2 2( 1 / 2 ) [ 2 2 ( / 2 ) ( ) ]u u s u s u s s
2 2 2 4 2 2( 1 / 2 ) [ 2 2 2 ]u u s u s u s ss s
2 2 2 2 4 2( 1 / 2 ) [ 2 ( ) ( 2 ) ]u s u s s u s u s
2 2 2( 1 / 2 ) [ ( ) ]u s u s
（ 13.20）
2009-7-28 36
将（ 13.20）代入（ 13.18）
22
2
1 1 [ ( ) ]e x p ( )
22tTX T
s u sS d S
Suu?
下面，将利用变量代换来简化 （ 13.21），不妨令
（ 13.21）
2()s u s
y
u
1 1 1( l n )
TT
T
dy ds d S dS
u u uS
所 以,
2009-7-28 37
22 l n [ ( l n ) ]()
TTS E Ss u sy
u
2[l n ( / )] ( / 2 )
TtE S S r
2( l n ) l n ( / 2)
TtE S S r
22l n [ l n ( / 2 ) ]
TtS S ry
2l n l n ( / 2 )
TtS S r
2009-7-28 38
y的积分下限为
2l n l n ( / 2)
|
T
t
SX
X S ry
2
1
l n( / ) ( / 2)tS X r d
y的积分上限为
2l n l n ( / 2 )
|
T
t
S
Sry
2009-7-28 39
将 dy与 y代入（ 13.21），即有
1
211
e x p ( )
22tTd T
yS u S d y
S u?
11[ 1 ( ) ] ( )ttS N d S N d
这样就完成了第 1项的证明。
22
2
1 1 [ ( ) ]e x p ( )
22tTX T
s u sS d S
Suu?
1
21
e xp ( )
22t d
yS dy
（ 13.22）
2009-7-28 40
( ) /z s s u
( l n ) 1T
T
T
dSds
d z d S
u u u S
下面证明 B-S公式中的第 2项，
2
2
1 1 ( )
e x p [ ]
22X
r
T
T
ss
X e d S
Suu
首先进行变量代换，令
TTdS uS dz?
2009-7-28 41
则 z的积分下限
2l n l n ( / 2)
| | |
T T T
Tt
S X S X S X
S S rssz
u
2l n l n ( / 2)
tX S r
2d?
z的积分上限 |
TS
z
2l n( / ) ( / 2)
tS X r
2009-7-28 42
将 z和 dz代入
2
2
1 1 ( )e x p [ ]
22
r
TX
T
ssX e d S
Suu
2
211
e x p [ ]
22
r
Td
T
zX e u S d z
S u
2
2
[ 1 ( ) ]
[ ( ) ]
r
r
X e N d
X e N d
（ 13.23）
2
21
e x p [ ]
22
r
d
zXe d z?
2009-7-28 43
12( ) ( )
r
ttC S N d Xe N d
则由（ 13.22）和（ 13.23）得到
2
1
l n( / ) ( / 2)tS X rd
2
2
l n( / ) ( / 2)tS X rd
1d
其中
2009-7-28 44
pr
0 d
N(d)
例如,当 d＝ 1.96时,N(d)＝ 913.5%
2009-7-28 45
B-S买权公式的意义
N(d2)是在风险中性世界中 ST大于 X的概率，
或者说式欧式看涨期权被执行的概率。
e-r(T-t)XN(d2)是 X的风险中性期望值的现值。
SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是 ST的风险中性期望值的现值。
2
2
1 1 ( )e x p [ ]
22
r
TX
T
ssX e d S
Suu
2[ ( )]
rX e N d
2009-7-28 46
其次,是复制交易策略中股票的数量,SN（ d1)就是股票的市值,-e-r(T-t)XN(d2)
则是复制交易策略中负债的价值。
假设两个 N(d)均为 1，看涨期权价值为 St-Xe-rT，
则没有不确定性。如果确实执行了，我们就获得了以 St为现价的股票的所有权，而承担了现值 Xe-rT的债务。
期权的价值关于标的资产的价格及其方差，
以及到期时间等 5个变量的非线性函数
Ct=f(St,X,τ,σ,r)的函数,具有如下性质
)( 1dN
Factor Effect on value
Stock price increases
Exercise price decreases
Volatility of stock price increases
Time to expiration increases
Interest rate increases
Dividend Rate decreases
Factors Influencing Option Values,Calls
2009-7-28 48
So = 100 X = 95
r = 0.10 T = 0.25 (quarter)
= 0.50
d1 = [ln(100/95) + (0.10+(0?5 2/2))] / (0?5?× 0.251/2)
= 0.43
d2 = 0.43 + ((0?50.251/2)
=0.18
N (0.43) = 0.6664,N (0.18) =0,5714
Call Option Example
2009-7-28 49
Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)
Co = 100 X,6664 - 95 e-,10 X,25 X,5714
Co = 13.70
P = Xe-rT [1-N(d2)] - S0 [1-N(d1)]
Call Option Value
2009-7-28 50
13.6 看跌期权的定价
利用金融工程的原理来看待期权平价关系
考虑如下两个组合：
组合 A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金
组合 B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产
)( tTrXe
2009-7-28 51
组合 A到期时刻 T的收益
( ) ( )[ ] m a x( 0,) m a x(,)r T t r T tT T TC X e e S X X X S
组合 B到期时刻 T的收益
m a x ( 0,) m a x (,)T T T T TP S X S S X S
两个组合具有相同的价格，且由于欧式期权不能提前执行，则在 t时刻两个组合价值相等，否则就有套利，即
()r T t
t t tP C X e S
此为看涨看跌期权平价公式。
2009-7-28 52
12( ) ( )
r
ttC S N d Xe N d
()
12( ) ( )
r r T t
t t tP S N d Xe N d Xe S
()
21( 1 ( ) ) ( 1 ( ) )
r T t
tXe N d S N d
()
21( ) ( )
r T t
tX e N d S N d
从几何图性上看，二者对影响期权的关键指标都进行了负向变换，是关于纵向对称的。
2009-7-28 53
1 2 1 2(,,,) ( ) ( )
rT
t t t tC C S d d X S N d Xe N d
12
12
21
(,,,)
( ) ( )
( ) ( )
t t t
rT
t
rT
t
P C S d d X
S N d X e N d
Xe N d S N d
（ -）
标的资产价格期权价值
13.7 有收益资产的欧式期权定价
当标的证券已知收益的现值为 I时，我们只要用（ St－ I）代替 B-S公式中的 St
12( ) ( ) ( )
r
ttC S I N d Xe N d
当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率 q（单位为年）时，我们只要将
qttS e S 取 代,得 到
12( ) ( )
qr
ttC S e N d Xe N d
对于欧式期货期权，其定价公式为
() 12[ ( ) ( ) ]r T ttc e FN d XN d
tTd
tT
tTXF
d
tT
tTXF
d
1
2
2
2
1
)(2)/l n (
)(2)/l n (
其中,F为到期日期货的价格，即付出 X，得到一个价值为 F的期货
2009-7-28 56
根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项
2
2
2
1
( ) ( 3 )
2
C C C C
C s t r
s t r
C
S
S
Delta Theta Vega Rho
Gamma
13.8 B-S公式的边际分析
命题：欧式看涨期权的 Delta=N(d1)
2
2
2
2
1
1
2
1
1 1 2 2
1
12
12
-
2 2
2
22
11
1
/2
2
1
1 2
1
( ) ( )
()
() 1
2
1
e xp( ( 2 ) )
22
1
[]
2
() 1
2
rT
d
rT rT
rT
d
d T TrT
d
N d d N d dC
N d S X e
S d S d S
dd
SS
Nd
X e X e e
d
ke
d T d T
k e e e
Nd
e
d
证 明,
由 于 ＝
又 由 于 （ ）
且 由 于
2
2
l n( / )1
1
1
1
1
1
1
()
()
()
()
()
rT
rT s X rT
rT rT
Nd
Xe
d
Nd
Xe e
d
Nd S
Xe e
dX
Nd
S
d
C
Nd
S
所 以,最 后 两 项 相 等,则,命 题 成 立 。
2009-7-28 59
利用 Delta进行套期保值
某人出售 10份看涨期权并且持有 6股股票，
根据 0.6的套期比率，股票价格每升高 1美元，股票的收益增加 6美元，同时看涨期权则损失 10× 0,6美元，即 6美元。可见股票价格的变动没有引起总财富的变动，这就使头寸得到了套期保值。
Delta 对冲 =对冲比。
2009-7-28 2
概 述
Black,Scholes和 Merton发现了看涨期权定价公式,Scholes和 Merton也因此获得
1997年的诺贝尔经济学奖
模型基本假设 8个
无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。
标的股票不支付红利
期权为欧式期权
2009-7-28 3
无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场
投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，
均为无风险利率
股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票
对卖空没有任何限制
标的资产为股票，其价格 S的变化为几何布朗运动
ds
d t d w d s sd t sd w
s
w
其 中,代 表 维 纳 过 程
2009-7-28 4
B-S模型证明思路
ITO引理 2
2
2
1()
2
f f f fd f a b d t b d w
t x x x
ITO过程 (,) (,)
ttd x a x t d t b x t d w
B-S微分方程 2 22
2
1
2
f f frs s rf
t s s
抖 + s =
抖
＋
B-S买权定价公式
12( ) ( )rtC S N d Ke N d
2009-7-28 5
13.1 维纳过程
根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，这种特性可以采用
Wiener process，它是 Markov stochastic
process的一种。
对于随机变量 w是 Wiener process，必须具有两个条件：
1.在某一小段时间 Δt内，它的变动 Δw与时段满足 Δt
ttwt
（ 13.1）
1,( 0,1 )t t t tw w w iid N这 里,
2,在两个不重叠的时段 Δt和 Δs,Δwt和 Δws是独立的，
这个条件也是 Markov过程的条件，即增量独立！
11
11
,t t t s s s
t t s s
w w w w w w
w w w w
其 中,
c o v (,) 0tsww （ 13.2）
有效市场
2009-7-28 7
满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有
( ) 0,( )ttE w D w t
当时段的长度放大到 T时（从现在的 0时刻到未来的 T时刻）随机变量 Δwt的满足
0( ) 0,
()
T T T
T
E w w w w
D w T
证明：
01
1
11
,
N
T T i i i i i
i
NN
T i i
ii
w w w w w w w t
w t t
11
( ) ( ) ( ) 0
NN
T i i
ii
E w t E t E
1
( ) ( ),[ ( ) 1 ],
N
T i i
i
D w t D t N T D
证 毕,
2009-7-28 9
在连续时间下，由（ 13.1）和（ 13.2）得到
c o v (,) 0
tt
ts
d w d t
d w d w
（ 13.3）
（ 13.4）
所以,概率分布的性质
~ (0,)
( ) 0,( )
t
tt
d w N d t
E d w D d w d t
tdw
以上得到的随机过程，称为维纳过程。
2009-7-28 10
13.2 ITO定理
一般维纳过程 (Generalized Wiener process)可表示为
~ (0,)
tt
t
d x a d t b d w
d w N d t
其 中,
（ 13.5）
2
2
~ (,)
( ),( )
t
tt
d x N a d t b d t
E d x a d t D d x b d t
显然，一般维纳过程的性质为
2009-7-28 11
一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。
漂移率和方差率为常数不恰当
ttd x a d t b d w
(,) (,)ttd x a x t d t b x t d w
若把变量 xt的漂移率 a和方差率 b当作变量 x和时间 t的函数，扩展后得到的即为 ITO过程
2009-7-28 12
B-S 期权定价模型是根据 ITO过程的特例－几何布朗运动来代表股价的波动
t t t tds s dt s dw
,(,),(,)t t t t t ts x a s t s b s t s
省略下标 t，变换后得到几何布朗运动方程
ds
d t d w
s
（ 13.6）
证券的预期回报与其价格无关。
2009-7-28 13
ITO定理：假设某随机变量 x的变动过程可由 ITO
过程表示为（省略下标 t）
(,) (,)d x a x t d t b x t d w
令 f(x,t)为随机变量 x以及时间 t的函数，即 f(x,t)可以代表以标的资产 x的衍生证券的价格，则 f(x,t)
的价格变动过程可以表示为
2
2
2
1()
2
f f f fd f a b d t b d w
t x x x
(,),(,),(,)f f x t a a x t b b x t
（ 13.7）
证明：将（ 13.7）离散化
(,) (,)x a x t t b x t w
wt
由（ 13.1）知利用泰勒展开，忽略高阶段项,f(x,t)可以展开为
22
2
2
2
2
2
1
()
2
1
2
f f f f
f t x x x t
t x x x t
f
t
t
（ 13.8）
在连续时间下，即 0tD
3
2 2
0
l i m 0
t
x t a t b t?
因此，（ 13.8）可以改写为
（ 13.9） 2
2
2
1
2
f f ff t x x
t x x
2 0tD 从而
3
2 0tD
22[]x a t b t
2
2 2 2 2 22a t b t a b t
22bt
20 0,tt且 当 时,有 从 而
2
2 2 2 2
0
l i m ( ) [ ] ( ) 0
t
D x b t D?
即 Δx2不呈现随机波动！
（ 13.10）
2 2 2 2 2( ) ( ) ( )E x E b t b tE
由（ 13.10）可得
22
(0,1 ),
( ) [ ( 0 ) ] ( ) 1
N
D E E
由 于 则
22()E x b t
（ 13.11）
由（ 13.11）得到
（ 13.12）
由于 Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即
22x b t
2
2
2
1
2
f f fd f d t d x d x
t x x
2
2
2
1()
2
f f fd t a d t b d w b d t
t x x
当 Δt→0 时,由（ 13.9）可得
2
2
2
1()
2
f f f fa b d t b d w
t x x x
■
13.3 B-S微分方程
d s s d t s d w
假设标的资产价格变动过程满足
这里 S为标的资产当前的价格，令 f(s,t)代表衍生证券的价格，则 f(x,t)的价格变动过程可由 ITO引理近似为
2
22
2
1()
2
f f f fd f s s d t s d w
t s s s
2009-7-28 20
2
22
2
1()
2
f f f ff s s t s w
t s s s
假设某投资者以 δ 份的标的资产多头和 1个单位的衍生证券空头来构造一个组合，且 δ 满足
ff s f s
s
- + d = - +
则该组合的收益为
f
s
d=
2009-7-28 21
下面将证明该组合为无风险组合，在 Δt时间区间内收益为
ffs
s
D? - D + D
2
22
2
1
()
2
()
f f f f
s s t s w
t s s s
f
s t s w
s
2
22
2
1()
2
ff st
ts
注意到此时 Δ π不含有随机项 w，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为 r，且由于 Δt较小（不采用连续复利），则
ffs
s
- +
又 由 于
2
22
2
1()
2
ffr t s t
ts
抖D? 兆譊 = - + s D
抖
2
22
2
1()
2
f f fs t f s r t
t s s
抖 - + s D = - + 鬃 D
抖 （ ）
整理得到
2
22
2
1
2
f f frs s rf
t s s
抖 + s =
抖
＋
B-S微分方程的意义
2
22
2
1
2
f f frs s rf
t s s
＋抖 + s =
抖衍生证券的价格 f，只与当前的市价 S，时间 t，证券价格波动率 σ 和无风险利率 r有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对 f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，可以采用 风险中性定价,即所有证券的预期收益率都等于无风险利率 r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用 B-S微分方程求出价格 f。
2009-7-28 24
t t t td S S d t S d w
若股票价格服从几何布朗运动设当前时刻为 t，则 T时刻股票价格满足对数正态分布，即
22l n ~ [ l n ( / 2),]
TtS N S
,[0,]T t t T
13.4 几何布朗运动与对数正态分布
2009-7-28 25
( ) l nttg g S S
2
22
11,,0
t t t t
g g g
S S S S t
令 则这样由伊藤引理得到
21()
2
d t d w
2
2
2
1( ( ) )
2t t tt t t
g g g gd g S S d t S d w
t S S S
(,)tta S dt b S
21( l n ) ( )
2t
d S d t d w
即
2009-7-28 26
21( l n ) ( )
2
TT
tttd S d t d w
21l n l n ( ) ( )
2T t T tS S w w
由（ 13.1）
Ttww
21l n l n ( )
2Tt
SS
~ ( 0,1 )iid N?
22l n ~ [ l n ( / 2),]
TtS N S
2009-7-28 27
21( ) e x p [ ( ) ] [ e x p ( ) ]
2TtE S S E
[ e xp ( ) ] e xp [ ( ) ]EE注 意,
22l n ~ [ l n ( / 2),]
TtS N S由 于则称 ST服从对数正态分布，其期望值为
2[ e xp ( ) ] e xp ( / 2)E
( ) e x p ( )TtE S S所以
2009-7-28 28
13.5 B-S买权定价公式
12
2
1
21
( ) ( )
l n( / ) ( / 2)
[ 0,],
r
tt
t
C S N d Xe N d
S X r
d
dd
t T T t
其 中,
对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权
（买权）的在定价日 t的定价公式为
2009-7-28 29
（ 1）设当前时刻为 t，到期时刻 T，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻 t
的股票价格为 St,则 T时刻的股票价格的期望值为
B-S买权定价公式推导
( ) e x p [ ( ) ]TtE S S T t
（ 13.13）
e x p ( )tS
2009-7-28 30
( ) e x p ( )TtE S S r （ 13.14）
由（ 13.13）和（ 13.14）得到
r
（ 13.15）
根据 B-S微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，
则这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。
2009-7-28 31
（ 2）在 风险中性的条件下,任何资产的贴现率为无风险利率 r，故买权期望值的现值为
[ m a x(,0)]rtTC e E S X
0
( ) ( ) 0 ( )Xr T T T T T
X
e S X f S d S f S d S
( ),
0,
r
TT
T
e E S X S X
SX
（ 13.16）
( ) ( )r T T T
X
e S X f S d S
2009-7-28 32
由于 ST服从对数正态分布，其 pdf为
2
2
( l n ( l n ) )1( ) e x p [ ]
22
TT
T
T
S E SfS
S
2
2
2
2
1 ( )
e xp [ ]
22
1 1 ( )
e xp [ ]
22
r
tT
X
r
T
X
T
ss
C e dS
uu
ss
Ke dS
Suu
（ 13.17）
第 1项第 2项将 l n,( l n ),
TTS s E S s u
由 (13.16)得到
2009-7-28 33
（ 3）化简（ 13.17）中的第 1,2项，先化简第 1项
2
2
1 ( )e xp [ ]
22
r
TX
sse dS
uu
2
2
1 1 ( )e x p ( l n ) e x p ( l n ) e x p [ ]
22
r
t t T TX
T
ssS S e S d S
Suu
2
2
1 1 ( )e x p ( l n l n ) e x p [ ]
22t T t TX T
ssS S S r d S
Suu
（ 13.18）
当前时刻价格，不是变量
2009-7-28 34
l n l nTtS S r
2
2
( l n ) l n ( / 2 )
1
l n ( l n ) ( )
2
Tt
tT
E S S
S E S
因 为,则
2( ( / 2 ) )s s r r
2
2
( / 2 )
( / 2 )
ss
s s u
（ 13.19）
( l n )TE S s r由 于,,所 以
2009-7-28 35
将（ 13.19）与（ 13.18）内的第 2个指数项合并，即
2
2
2
()( / 2 )
2
sss s u
u
2 2 2 2 2( 1 / 2 ) [ 2 2 ( / 2 ) ( ) ]u u s u s u s s
2 2 2 4 2 2( 1 / 2 ) [ 2 2 2 ]u u s u s u s ss s
2 2 2 2 4 2( 1 / 2 ) [ 2 ( ) ( 2 ) ]u s u s s u s u s
2 2 2( 1 / 2 ) [ ( ) ]u s u s
（ 13.20）
2009-7-28 36
将（ 13.20）代入（ 13.18）
22
2
1 1 [ ( ) ]e x p ( )
22tTX T
s u sS d S
Suu?
下面，将利用变量代换来简化 （ 13.21），不妨令
（ 13.21）
2()s u s
y
u
1 1 1( l n )
TT
T
dy ds d S dS
u u uS
所 以,
2009-7-28 37
22 l n [ ( l n ) ]()
TTS E Ss u sy
u
2[l n ( / )] ( / 2 )
TtE S S r
2( l n ) l n ( / 2)
TtE S S r
22l n [ l n ( / 2 ) ]
TtS S ry
2l n l n ( / 2 )
TtS S r
2009-7-28 38
y的积分下限为
2l n l n ( / 2)
|
T
t
SX
X S ry
2
1
l n( / ) ( / 2)tS X r d
y的积分上限为
2l n l n ( / 2 )
|
T
t
S
Sry
2009-7-28 39
将 dy与 y代入（ 13.21），即有
1
211
e x p ( )
22tTd T
yS u S d y
S u?
11[ 1 ( ) ] ( )ttS N d S N d
这样就完成了第 1项的证明。
22
2
1 1 [ ( ) ]e x p ( )
22tTX T
s u sS d S
Suu?
1
21
e xp ( )
22t d
yS dy
（ 13.22）
2009-7-28 40
( ) /z s s u
( l n ) 1T
T
T
dSds
d z d S
u u u S
下面证明 B-S公式中的第 2项，
2
2
1 1 ( )
e x p [ ]
22X
r
T
T
ss
X e d S
Suu
首先进行变量代换，令
TTdS uS dz?
2009-7-28 41
则 z的积分下限
2l n l n ( / 2)
| | |
T T T
Tt
S X S X S X
S S rssz
u
2l n l n ( / 2)
tX S r
2d?
z的积分上限 |
TS
z
2l n( / ) ( / 2)
tS X r
2009-7-28 42
将 z和 dz代入
2
2
1 1 ( )e x p [ ]
22
r
TX
T
ssX e d S
Suu
2
211
e x p [ ]
22
r
Td
T
zX e u S d z
S u
2
2
[ 1 ( ) ]
[ ( ) ]
r
r
X e N d
X e N d
（ 13.23）
2
21
e x p [ ]
22
r
d
zXe d z?
2009-7-28 43
12( ) ( )
r
ttC S N d Xe N d
则由（ 13.22）和（ 13.23）得到
2
1
l n( / ) ( / 2)tS X rd
2
2
l n( / ) ( / 2)tS X rd
1d
其中
2009-7-28 44
pr
0 d
N(d)
例如,当 d＝ 1.96时,N(d)＝ 913.5%
2009-7-28 45
B-S买权公式的意义
N(d2)是在风险中性世界中 ST大于 X的概率，
或者说式欧式看涨期权被执行的概率。
e-r(T-t)XN(d2)是 X的风险中性期望值的现值。
SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是 ST的风险中性期望值的现值。
2
2
1 1 ( )e x p [ ]
22
r
TX
T
ssX e d S
Suu
2[ ( )]
rX e N d
2009-7-28 46
其次,是复制交易策略中股票的数量,SN（ d1)就是股票的市值,-e-r(T-t)XN(d2)
则是复制交易策略中负债的价值。
假设两个 N(d)均为 1，看涨期权价值为 St-Xe-rT，
则没有不确定性。如果确实执行了，我们就获得了以 St为现价的股票的所有权，而承担了现值 Xe-rT的债务。
期权的价值关于标的资产的价格及其方差，
以及到期时间等 5个变量的非线性函数
Ct=f(St,X,τ,σ,r)的函数,具有如下性质
)( 1dN
Factor Effect on value
Stock price increases
Exercise price decreases
Volatility of stock price increases
Time to expiration increases
Interest rate increases
Dividend Rate decreases
Factors Influencing Option Values,Calls
2009-7-28 48
So = 100 X = 95
r = 0.10 T = 0.25 (quarter)
= 0.50
d1 = [ln(100/95) + (0.10+(0?5 2/2))] / (0?5?× 0.251/2)
= 0.43
d2 = 0.43 + ((0?50.251/2)
=0.18
N (0.43) = 0.6664,N (0.18) =0,5714
Call Option Example
2009-7-28 49
Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)
Co = 100 X,6664 - 95 e-,10 X,25 X,5714
Co = 13.70
P = Xe-rT [1-N(d2)] - S0 [1-N(d1)]
Call Option Value
2009-7-28 50
13.6 看跌期权的定价
利用金融工程的原理来看待期权平价关系
考虑如下两个组合：
组合 A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金
组合 B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产
)( tTrXe
2009-7-28 51
组合 A到期时刻 T的收益
( ) ( )[ ] m a x( 0,) m a x(,)r T t r T tT T TC X e e S X X X S
组合 B到期时刻 T的收益
m a x ( 0,) m a x (,)T T T T TP S X S S X S
两个组合具有相同的价格，且由于欧式期权不能提前执行，则在 t时刻两个组合价值相等，否则就有套利，即
()r T t
t t tP C X e S
此为看涨看跌期权平价公式。
2009-7-28 52
12( ) ( )
r
ttC S N d Xe N d
()
12( ) ( )
r r T t
t t tP S N d Xe N d Xe S
()
21( 1 ( ) ) ( 1 ( ) )
r T t
tXe N d S N d
()
21( ) ( )
r T t
tX e N d S N d
从几何图性上看，二者对影响期权的关键指标都进行了负向变换，是关于纵向对称的。
2009-7-28 53
1 2 1 2(,,,) ( ) ( )
rT
t t t tC C S d d X S N d Xe N d
12
12
21
(,,,)
( ) ( )
( ) ( )
t t t
rT
t
rT
t
P C S d d X
S N d X e N d
Xe N d S N d
（ -）
标的资产价格期权价值
13.7 有收益资产的欧式期权定价
当标的证券已知收益的现值为 I时，我们只要用（ St－ I）代替 B-S公式中的 St
12( ) ( ) ( )
r
ttC S I N d Xe N d
当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率 q（单位为年）时，我们只要将
qttS e S 取 代,得 到
12( ) ( )
qr
ttC S e N d Xe N d
对于欧式期货期权，其定价公式为
() 12[ ( ) ( ) ]r T ttc e FN d XN d
tTd
tT
tTXF
d
tT
tTXF
d
1
2
2
2
1
)(2)/l n (
)(2)/l n (
其中,F为到期日期货的价格，即付出 X，得到一个价值为 F的期货
2009-7-28 56
根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项
2
2
2
1
( ) ( 3 )
2
C C C C
C s t r
s t r
C
S
S
Delta Theta Vega Rho
Gamma
13.8 B-S公式的边际分析
命题：欧式看涨期权的 Delta=N(d1)
2
2
2
2
1
1
2
1
1 1 2 2
1
12
12
-
2 2
2
22
11
1
/2
2
1
1 2
1
( ) ( )
()
() 1
2
1
e xp( ( 2 ) )
22
1
[]
2
() 1
2
rT
d
rT rT
rT
d
d T TrT
d
N d d N d dC
N d S X e
S d S d S
dd
SS
Nd
X e X e e
d
ke
d T d T
k e e e
Nd
e
d
证 明,
由 于 ＝
又 由 于 （ ）
且 由 于
2
2
l n( / )1
1
1
1
1
1
1
()
()
()
()
()
rT
rT s X rT
rT rT
Nd
Xe
d
Nd
Xe e
d
Nd S
Xe e
dX
Nd
S
d
C
Nd
S
所 以,最 后 两 项 相 等,则,命 题 成 立 。
2009-7-28 59
利用 Delta进行套期保值
某人出售 10份看涨期权并且持有 6股股票，
根据 0.6的套期比率，股票价格每升高 1美元，股票的收益增加 6美元，同时看涨期权则损失 10× 0,6美元，即 6美元。可见股票价格的变动没有引起总财富的变动，这就使头寸得到了套期保值。
Delta 对冲 =对冲比。
