§3 牛顿（Newton）迭代方法
一、Newton迭代方法的计算公式
牛顿迭代法计算公式的推导过程
本节所讨论的是：。
设是的根，在的邻域内具有二阶连续导数，在的邻域内取一点，使，将它在点二阶Taylor展开得：
又，则有：
的近似解，记
类似，在点处Taylor展开，可得：
，记：
依次往下做，可得一般的迭代格式：
上述迭代格式称为求的解的牛顿迭代法。
几何意义
在点处作的切线，交轴于一点，求该点的横坐标。此切线方程为：，当时，得：，正是的值。
依次类推，在点作函数的切线，交轴于一点，切线方程为：，当时，得：，正是的值。
牛顿迭代法又称为切线求根法。
迭代法收敛的条件与收敛速度（针对单根而言）
定理：设，且在的邻域内具有二阶连续导数，则由牛顿迭代法产生的迭代序列
局部收敛于，且为平方收敛。
证明：在牛顿迭代法的迭代格式中，迭代函数为：
在的邻域内具有二阶连续导数，即
又 ，
，
牛顿迭代法局部收敛于（由定理2）又
即有：牛顿迭代法具有二阶（平方）收敛速度（由定理3）。
说明，只要充分接近，按照牛顿迭代格式计算的迭代序列总是收敛于的，且收敛的速度为平方收敛。
但是，充分的程度没有具体的描述，而且，若的值没有取好，有可能得不到收敛的结果。
牛顿迭代法收敛的一个保证条件。
补充定理：设在区间上的二阶导数存在，且满足：
① ；
②不变号；
③保持符号不变。
④初始值，
则牛顿迭代法产生的迭代序列收敛于
在区间的唯一根。
证明：由①②知方程在区间有且只有一个根，记为。
不失一般性，设
其他情形可类似证明。按④应取
由知为单调增函数，从而知
以为初值，迭代一次
另一方面，将在处作泰勒展开，得
其中介于和之间。将上式两边除以，得移项得
即
因而
一般的，若，同理可证
这就说明单调下降有下界，因此必收敛。
设，易知。
再对迭代格式两边取极限，
有
由此推得＝0，即为的根。又
在内有唯一根，故必有，
即。
例1. 用Newton迭代法建立求的迭代公式.
解：关键：找到方程，使是它的根.
而满足是方程的根，最好不要出现根号，故作函数，则的正根就是 .
的Newton迭代公式如下：
当时，
作初始值， . (由补充定理得)
例2. 用简单迭代法和牛顿迭代法求方程在附近的根，取 .
解： 用简单迭代法：
对方程建立迭代格式：
取，计算可得：
，（在第26步才达到要求）
用牛顿迭代法：
对方程建立迭代格式：
取，计算可得：
，
，
，
在第三步就已经达到了要求。
显然后者比前者(收敛阶为1)的速度快很多。
例3 给定方程显然有两个根。求出用牛顿法解这个方程的收敛的阶。
解：牛顿迭代公式为
，
注意到
，存在，因此该迭代法至少是二阶收敛的，又由于
，
因此该迭代格式一定是二阶收敛的。
在x=0处，由于不存在，只能用定义求出收敛的阶。由迭代格式：
两边除以，得
此时牛顿法的收敛阶为。
例4 确定常数p,q,r使迭代公式产生的序列收敛到，并使收敛的阶尽可能高。
解：迭代函数
，
要使迭代序列收敛阶尽可能高，应使
由
即 （1），
由 （2），
同样由 （3），
由（1），（2），（3）得到，而且由于知该迭代是三阶收敛的。
例5 应用牛顿法于方程，导出求的迭代公式，由此求。
解：建立迭代格式
因此该迭代格式在附近局部收敛到，且是2阶收敛的。取，迭代计算如下
，，
