矩阵的三角分解
一、LU分解法
用的情况分析顺序消去法的消元过程，从而导出一些很有用的结论。
第一步中，设，令，
将第二行和第三行分别减去第一行的倍和倍。事实上第一步得到的结果，可以表述为一个初等矩阵与的乘积。
将第一步的结果再进行第二步消元：
由此可见，消元过程相当于下述矩阵乘法运算
由分块矩阵乘法可得
令
直接计算知
令 ，
则：
我们称之为矩阵的分解或三角状分解。其中是单位下三角矩阵，是上三角矩阵。这种解方程组的方法称为分解法或三角状分解法。（Doolittle分解方法）
因此，只要消元过程能进行到底，就有如下等价关系
消元过程即是将分解成单位下三角阵与上三角阵的乘积，解方程组；回代过程即是解方程 。
以此类推可得阶矩阵的分解，其中
下面给出关于矩阵的分解的存在唯一性条件的两个定理。
定理2 若矩阵非奇异，则能分解为的充分必要条件是的顺序主子行列式不为0，即
定理3 若非奇异矩阵有分解，则此分解是唯一的。
为简化分解，下面通过比较元素法导出一个直接求与的元素的公式。
令 。
即
比较第一框得：
假设前 框元素已求出，则由
得
，（a）
计算的规律性：计算时，除用到外，仅用到前框中与它位于同一行的与同一列的的乘积之和；而计算时，规律与一样，只不过最后还要用除一下。因此可以按下图所示逐框求出矩阵的分解，这种计算方法称紧凑格式。
例 求的分解，其中
.
解： 用紧凑格式法
将矩阵进行分解后，解线性方程组转化为依次解下三角方程组与上三角方程组，
得同解方程组：
解得
解
得同解方程组：
优 点：
1、当要解多个系数矩阵为的线性方程组时，只要对系数矩阵做一次分解，以后只要解三角形方程组即可；
2、可以根据系数矩阵的形状来设计算法。
缺 点：
1、不能为0；
2、的绝对值很小时误差会很大，数值不稳定。
原因：分解法的实质是高斯消去法。
例：用分解法解方程组
=
解：用紧凑格式
矩阵A的LU分解式为：
。
由，
再由。
课堂练习：
对矩阵A作LU分解，。
结果：
二、乔累斯基分解法
这是针对正定对称的系数矩阵而言的一种分解方法，它在分解的基础上再进行分解，计算量更小，可节约一半内存。
正定对称：
设为实对称矩阵。如果对于任给向量，有如下不等式恒成立：
则称为正定对称矩阵。
对于正定对称矩阵，我们有如下结论：
1、的特征值；
2、的顺序主子行列式大于0，即
由此可知，正定对称矩阵的分解一定存在。下面我们给出乔累斯基分解法。
设对称正定，，将进一步分解：
于是
由的对称性有
（这是因为是对角矩阵，所以有）
其中为单位下三角阵，是上三角阵。因此上式也是的分解。由分解的唯一性可知：
则：
于是有以下定理：
定理4 设矩阵对称正定，则必存在单位下三角阵及对角阵，使
我们称上式为对称正定矩阵的乔累斯基（Cholesky）分解。若记，那么，故乔累斯基分解的计算公式为
（b）
据此，当对称正定时，解方程组等价于解，而后者可以转化为依次解两个三角形方程组，（），，其计算公式如下：
这种方法叫乔累斯基（Cholesky）分解法或分解法。
优 点
1、不用选主元也能保持数值稳定；
2、计算量比分解法少了近一半（不要求），并节省约一半的存储量。
注 意 该方法只适用于为对称正定矩阵的情形。
例：用乔累斯基分解法解方程组
解：设有
得
由
得：
由得：
§3 向量和矩阵的范数
（维实向量和阶实矩阵的）范数：
衡量向量和矩阵大小的度量；用来讨论解线性方程组的误差
向量的范数
1.定义 上的范数是一个实值函数记作‖·‖，它满足
（1）当且仅当时，；
（2）对任何，；
（3），.
例： 向量的长度，是向量的2－范数
可以验证满足条件（1）（2）（3）。
一般形式：向量的范数
2.常用的向量范数：
向量的1-范数
向量的2范数
向量的范数
例：设，求
按定义，
向量范数满足的几种关系：
向量范数的用途：刻画方程组解的误差。
设是方程组的准确解，而是近似解，则
叫作关于p-范数的绝对误差和相对误差。
矩阵的范数
1.基本性质
定理 矩阵范数具有下列基本性质
（1），当且仅当时，.
（2），.
（3）对于阶方阵、，有
，（三角不等式）
（4），有.
（5），、.
性质（4）、（5）称为相容性条件
3.常用的矩阵范数()
（1）矩阵的1—范数（列和范数）:
，
（2）矩阵的—范数（行和范数）:
，
（3）矩阵的2—范数:
其中: 的最大特征值
，其特征值的按模最大值，称为的谱半径，记作.此时，.
矩阵范数的用途：描述矩阵的误差。
设是矩阵的近似矩阵，称为的误差矩阵，则与叫做关于p-范数的绝对误差和相对误差。
例 设，,则
，求相应范数。
解：，，
，，
特征值
得
扰动分析
误差对的解的影响
对于，和是通过观测或计算而得，总是存在误差，这些误差将对的解产生影响.
例 考虑两个系数矩阵及右端十分接近的方程组
的解为，
而的解为，.
由此可见，即使两方程组的系数矩阵及右端极其接近，但其解可能相差很大。
这与对和的扰动的敏感程度有关.
右端及系数矩阵的误差对解的影响
考虑 ，设其解存在唯一，即存在.
右端项 的扰动
设的右端存在误差，引起解的误差为，即 .
即
则有 .
又 ，
设，则
(*1)
即系数决定了解的敏感程度，称为的条件数，
记作 .
从(*1)式可见，若很大，则微小的相对扰动，也可能使的解产生相当大的相对扰动.
系数矩阵的扰动
当存在误差时，近似解由下面方程决定
若，则非奇异
又，则有
即
由范数的性质，得
.
当时，有
由条件数的定义，进一步有
(*2)
由于，(*2)式的分母为小于1的正数
由(*2)式，若很大，则的微小相对
扰动，可能使解产生相当大的相对扰动.
大量实际计算经验证实, 条件数刻画了扰动
对解的影响程度.通常条件数越大，扰动对解的影响越大.
条件数很大的方程组称为病态方程组,病态方
程组的求解会遇到很大的困难.
判断矩阵病态的几种情况：
在用主元消去法时出现很小的主元；
对b作微小扰动后，方程组的解相差很大；
矩阵A中元素间数量级相差很大；
A的行列式满足
<<1
矩阵的某些行或列近似线性相关。
3．近似解与残向量的关系
残向量：设方程组Ax=b的近似解为，将称为残向量。
定理五：设A非奇异，是方程组的准确解，是近似解，，则
证明：，
即
所以
又
即
例：已知=, 求()
解：
故
，
例 设，已知方程组的精确解为(3,-1)T
计算条件数 ；（课堂练习）
若有近似解为(2.97,-1.01)T,计算残量。
解：①
②
