习题一： 1．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限，相对误差限。 ⑵ ⑷ ⑹ 解：四舍五入得到的近似数的误差都不超过其末位的半个单位，从其最后一位数字开始到前面第一个非零数字为止的所有数字，均是有效数字。 故有效数字的位数分别为2，5，2 由有效数字与绝对误差限的关系：   分别为-1，2，3 解得绝对误差限分别为：    由有效数字与相对误差限的关系：    2．为使下列各数的近似值的相对误差限不超过，问各近似值分别应取几位有效数字？  解：由定理1知，。 由于，所以。 欲使 解得： 至少应取，即3位有效数字。 4．计算，取，利用下列等价表达式计算，哪一个效果最好？为什么？ （1）； （2）； （3）； （4） 解：第（3）个计算的结果最好。 由原则三：“避免两相近的数相减”，可排除（2）、（4）， 由原则五：“简化计算步骤，减少运算次数”，可排除（1）。 7．利用等式变换使下列表达式的结果比较精确。 （1）， ； （2）， ； （3）， ； （4），。 解：（1）（方法一）（方法二） （2）  （3）  （4）  习题二： 2．方程在区间中有一实根，若用二分法求此根，使其误差不超过，问应将区间对分几次？并用二分法求此根。 解：由题意，。若要，则  解得，故取，即将区间二分六次即可。 n      0 3（-） 4（+） 3.5 +  1 3 3.5 3.25 -  2 3.25 3.5 3.375 -  3 3.375 3.5 3.4375 +  4 3.375 3.4375 3.40625 +  5 3.375 3.40625 3.390625 -  6 3.390625 3.40625 3.3984375 -   7．下面是求的两个迭代格式： （1） （2） 求它们的收敛阶。 解 （1） （*1）  是的根。 我们将（*1）式进行变形，得 方程两边对进行求导，得  再对上式求导，得  故所给迭代格式为二阶收敛。 （2） （*2） ， 是的根。 我们将（*2）式进行变形，得  方程两边对进行求导，得   对上式求导，得   再对上式求导，得  故所给迭代格式为三阶收敛。 8．设充分接近方程的某个根，给定迭代函数，其中   （1） 试证至少有三阶收敛速度。 证明：因为初值充分接近根，所以我们可以用定理3来证明。 是方程的根，。并且  我们将（1）式进行变形，得  对上式求一阶导数  解得： 则有。 对上式再求导数  解得： 则有。 故所给迭代格式至少三阶收敛。 10．设，应用牛顿迭代法分别求与之根，从而导出的两种迭代格式，并求，取，。 解 （1） 其牛顿迭代格式为： 。 （2） 其牛顿迭代格式为：  在上述两种迭代格式中分别取，，，并且要求，由此求得的近似值（4.21716421）。 习题三 2．用列主元素法解下列方程组 （1） （2） 解 （1）考查方程的增广矩阵   回代后求解得  （2）考查方程的增广矩阵   回代后求解得  观察可得：上述两个方程的系数矩阵都是严格对角占优矩阵，所以在用列主元素法求解方程时，选主元与不选主元的结果是一样的。 3．用追赶法解下列方程组。 （1）  解：对方程组的增广矩阵进行顺序消元，且每步都将主元系数化为1，  5．求第3题中系数矩阵的分解，并用此分解法解对应的线性方程组。 解   用紧凑格式法： 故  求解方程组，得  求解方程组，得  7．给定，，求及。 解：       解得：   13．设，计算的条件数。 解：  ，。 故 由于，又因为是对称矩阵，所以 ，  由 解得，故。 同理可得 故。 15．对下列方程组考察用雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法是否收敛？若收敛，写出其迭代格式；若不收敛，能不能将方程组变形，使之用雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法时收敛？ （2） 解：① 解得： ，故Jacobi法发散。 ② 解得： ，故G-S法发散。 如果将方程组变形为： 这时方程组的系数矩阵为严格对角占优的矩阵，故Jacobi法和G-S法都收敛。 （4） 解：① 当时，带入上式， 得  当时，带入上式， 得  说明在之间有一根，则 故Jacobi法发散。 ②因为系数矩阵是对称矩阵，而  即系数矩阵是对称正定的矩阵，G-S法收敛。 迭代格式：  16．写出方程组 的SOR迭代格式。 解：先写出方程组的G-S迭代格式：  则该方程组的SOR迭代格式为：  习题四 1．已知，求的二次插值多项式。 解：  3．给出函数的数表如下，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。 解：线性插值： 内插的效果比外推的要好， 选取节点，，则   因为，所以   二次插值： 选 则： 得：   9．根据函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。  1.615 1.634 1.702 1.828 1.921   2.41450 2.46459 2.65271 3.03035 3.34066  解：构造差商表： 1.615 2.41450      1.634 2.46459 2.636316     1.702 2.65271 2.738046 1.496029    1.828 3.03035 2.891315 1.314428 -1.441278   1.921 3.34066 3.026667 1.360108 -0.620644 8.824022    11.已知函数的函数值表，解答下列问题。  0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5   1.00 1.32 1.68 2.08 2.52 3.00  （1）试列出相应的差分表， （2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。 解: （1）构造差分表： 0.0 1.00       0.1 1.32 0.32      0.2 1.68 0.36 0.04     0.3 2.08 0.40 0.04 0    0.4 2.52 0.44 0.04 0 0   0.5 3.00 0.48 0.04 0 0 0  （2）牛顿向前插值公式：  习题六： 3．确定下列求积公式中的代定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。 （1） 解：要使代数精度尽量高，则求积公式应对于精确成立  即：  即： 解得： 此时求积公式为：  当时，， ， 左边等于右边。故求积公式对于也精确成立。 当时， ，左边不等于右边， 故求积公式对于不精确成立。 所以，当时，求积公式的代数精度最高，代数精度为3。 6．分别用复化梯形法和复化辛甫生法计算积分：，8等分积分区间。 解：函数在各个等分点的函数值分别为：  0      0 0.031128 0.061538 0.090566      1  0.117647 0.142349 0.164384 0.183607 0.2  复化梯形公式：    习题七： 取步长，用欧拉法和改进的欧拉法解下列初值问题。  解：欧拉法： 欧拉公式对于该初值问题的具体格式为：  ① ② ③ ④ 改进的欧拉法对于该初值问题的具体格式：  ①   ②     ③    ④