§2 牛顿—柯特斯(Newton_Cotes)求积公式 一、公式的导出 设将等分，步长为，求积节点为：， 由此构造插值型的求积公式，则其求积系数为：  令，，    则求积系数  又      则   上述求积公式称为阶牛顿-柯特斯公式，称为柯特斯系数。 特别地，当时，    故： 即为梯形公式。 当时， 故：  即为辛甫生（）公式。 同样的，当时，      故：  其中 称为柯特斯（）公式。 分别用梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式 计算积分， 函数在某些节点上的值如下图：  1.8 2.0 2.2 2.4 2.6   3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675  解：（1）、用梯形公式求积分  （2）、用辛甫生公式求积分  （3）、用柯特斯公式求积分   二、误差分析 定理3：阶牛顿—柯特斯(Newton_Cotes)求积公式的代数精度为：  例如：梯形公式的代数精度： 1 辛甫生公式： 3 柯特斯公式： 5 三、收敛性 1. 稳定性 由定理2知，阶牛顿－柯特斯公式  当时，求积公式精确成立，即 ， 故：。 若有误差，现考虑误差对数值求积结果的影响。记，则  分两种情况来讨论： 1）、当时，有，故： ， 其中为一个定值，当不大时，其误差不会太大。则阶牛顿—柯特斯()求积公式是稳定的。所以有如下结论：考虑到当时，所有牛顿—柯特斯系数均为正数，故当不大时，方法是稳定的。 2）、当有正有负时，有可能很大，导致误差很大。 所以有如下结论：考虑到当时，牛顿—柯特斯系数有正有负，即使不大时，方法也可能是不稳定的。也就是说，方法不具有稳定性。