第二章 非线性方程求解 首先引入定义： 的解称为方程的根或函数的零点。 若，其中，且，则称为方程 的重根，或函数的重零点。 §2.1 根的隔离与二分法 方程求根问题一般分两步： 根的隔离：确定根所在区间,使该区间内只有方程的一个根，该区间叫隔根区间。 近似根的精确化：已知根的一个近似值后，用某种方法对其进行加工，使之满足给定的精度要求。 求隔根区间的一般方法 理论依据： 设，且，则在内至少有一个实根；若在内严格单调，则在内只有一个根。由此可得求隔根区间的几种方法。  1、验证法 验证是否成立？ 先取定一点，再找一点，使得不等式成立。则 为所求。 2、作图法 利用的单调性、凹凸性、对称性、奇偶性描点，画出 的图象，根据图象判断隔根区间。 缺陷：只能对一些较简单的函数作分析。对复杂一点的函数，像难求的，聚点，凹凸点难求的，用此种方法效率很差。 3、作图法的改进 将，其中与的图象比较容易画出来，则与的交点的横坐标即为的根。 4、逐步扫描（逐步搜索）法 利用计算机来搜寻隔根区间（前三种方法都是手算）。 预先给定一点和步长，利用计算机重复判断   是否成立，直至找到这样的区间为止。 若经过很多步之后，仍找不到满足条件的区间，则用做步长试一试。 二分法 假定，，则在内至少有一个实根。 主要思想（步骤）： 先选定两个小的正数和。 记，取其中点为，判断？若成立，则即为所求的根，停；否则进入下一步。 2、判断？若成立，说明在内有一根，则令 ；否则，，形成新的隔根区间. 3、对新的有根区间重复步骤1、2，仅当出现情况1时计算过程中断. 误差分析及做多少次二分的估计： 记第次过程得到的有根区间为，有   若，则取 . 作为的近似值，此时误差为 . 考虑误差，则可通过不等式大致估计出需经多少步能达到精度要求。 由于二分法的收敛速度较慢，常用作求初始近似值。 优点：算法简单，且收敛总能得到保证。 注意： 由于在偶重根附近曲线为向上凹或向下凹，即与的正负号相同，所以不能用二分法求偶重根。 例1：用二分法求方程在内的实根，要求。 解：，取6即可。 已知，其具体过程如下：     的符号  0 1 1.5 1.25 -  1 1.25 1.5 1.375 +  2 1.25 1.375 1.3125 -  3 1.3125 1.375 1.3438 +  4 1.3125 1.3438 1.3281 +  5 1.3125 1.3281 1.3203 -  6 1.3203 1.3281 1.3242 -  课堂练习：P35.2 三 .试位法（二分法的一种改进） 设，且，则在内至少有一个实根，且总假定所讨论的隔根区间只有一个根。  试位法的主要思想如下：先选定两个小的正数和。 记，过两点 作一条直线，它与轴的交 点的横坐标记为，判断？若成立，则即为所求的根，停；否则进入下一步。 判断？若成立，说明在内有一根，则令； 否则，，则形成新的有根区间 . 对新的有根区间重复以上步骤，当出现情况1时停止； 记第次过程得到的有根区间为此时  在试位的每一步计算中，有  若，则取，作为的近似值。 可以验证，试位法总是收敛的。在一定条件下，试位法比二分法收敛快些。