迭代法 问题的提出 直接方法（以Gauss消去法为代表）的缺陷： 对于低阶或中等阶数的线性方程组十分有效，但当较大时，特别是由某些微分方程经离散后得到的线性方程组，由于舍入误差的积累以及计算机的存贮困难，直接方法变得无能为力. 解决方法：（利用迭代方法） 迭代方法：把线性方程组的数值求解问题，化为一个迭代序列来实现，类似于非线性方程迭代法的思想. 具体做法 ①    ② 取任意初始向量构成迭代序列： ，  (*1) 若，则有 . (*2) 即为的解. 迭代矩阵:矩阵. (*2)也称为迭代格式. 若序列的极限存在，则称此迭代过程收敛，否则称为发散. 二．常用的迭代方法 Jacobi迭代方法 Jacobi迭代方法的具体形式 设有阶线性方程组     建立迭代格式： 或缩写为：   用此迭代格式求解的方法叫雅可比（Jacobi）迭代 法，又称简单迭代格式。 分解为  其中   变形   故雅可比迭代格式可写成矩阵形式：  迭代矩阵  Gauss—Seidle迭代方法的具体形式 即在计算新分量时，利用了新值，，上面这种迭代法称为Gauss—Seidel迭代方法。 或缩写为： 故Gauss—Seidel迭代的矩阵形式为：      称为Gauss—Seidel法的迭代矩阵。 例：求的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式。 解：Jacobi迭代格式： 由原方程   Gauss-Seidel迭代格式： 原方程组为  二、序列收敛的条件 定理6： ，常向量，迭代过程收敛.为矩阵的谱半径.，为矩阵的特征值。 例：设方程组的系数矩阵为  判别雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代是否收敛。 解：① 求的特征值： ， ， 故有一值于中，，雅可比迭代不收敛。 ②   即    解得：   高斯-塞德尔迭代收敛。 注：由于对Gauss-Seidel迭代法而言，其特征矩阵必须求出。以下介绍一种等价的求其特征值的方法。  考虑到，前一个矩阵的行列式不会为0（在本章开始就已经假设），那么只需第二个行列式为0即可。即：.而该方程无须求，也能求出矩阵的特征值. 即  定理7 若迭代矩阵的某种范数，则迭代方法，有如下误差估计   证明：（略） 定理7给出了一个判别雅可比迭代格式收敛的充分条件。即只要有某个范数，雅可比迭代过程一定收敛，但是反过来，，则不能说此过程发散，而应该用定理6（充分必要条件）进行判断。 定理8：（充分条件）对线性方程组的雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法，其收敛性有如下判别条件： ①若为严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法收敛。 ②若为对称正定阵，则高斯-塞德尔迭代法收敛。 例：给定，其中  ⑴证明当时对称正定，从而迭代方法收敛 ⑵证明当时Jacobi迭代方法收敛，否则发散. 证明：（1）由题设知，为对称阵 正定的所有顺序主子式全大于零 要求：    综上，时对称正定，从而迭代方法收敛 （2）由定理，为严格对角占优矩阵，即 当时Jacobi迭代方法收敛，否则发散. 例：给出方程组 ,其中 , . 对，其Jacobi迭代矩阵和迭代矩阵分别为： ，  . =0 或者对于高斯-塞德尔迭代： 即  的特征多项式为，所以.的特征多项式为，特征值为，即.  对，Jacobi方法收敛，方法不收敛. 同样讨论， 其中  ,   ==0 的特征多项式为，特征值为，，则. 的特征多项式为，特征值为 ，故.  对，Jacobi方法发散，方法收敛. 课堂练习：给定线性方程组  写出雅可比迭代格式和高斯-塞德尔迭代格式； 考查雅可比迭代格式和高斯-塞德尔迭代格式的敛散性。 解：雅可比迭代格式为：  高斯-塞德尔迭代格式：  由于所给线性方程组的系数矩阵  是严格对角占优的，所以雅可比迭代格式和高斯-塞德尔迭代格式都是收敛的。 例：设线性方程组为  证明用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛要么同时发散。 当同时收敛时比较其收敛速度。 解：所给线性方程组的系数矩阵为  雅可比迭代矩阵的特征方程组为  解得：  ①当时， ②当时， ③当时， 因而  （1） 高斯-塞德尔迭代矩阵的特征方程为：  即：  解得：  因而  （2） 比较（1）和（2），当时，  当时， 故雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法要么同时收敛，要么同时发散。 当，两个迭代格式同时收敛，此时由于，即：， 所以高斯-塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快。 逐次超松弛迭代方法(SOR法) 对迭代格式加以适当的修改，在不增加过多的计算量的条件下，可以使收敛速度加快。 回顾迭代格式中对有：  (1)  (2)记  (3) 则： (4) 从(4)式中可以看出：可以看作是在上增加了一个修正量。若此时将该修正量进行适当的修改，最简单的就是在其前面增加一个系数，即： (4)变为：  (5) 上式我们称为逐次松弛方法，当时，我们称其为超松弛方法，当时，称为低松弛方法，当时，为迭代方法。 下面要讨论的是其收敛的条件： 定理1： 逐次超松弛方法收敛的必要条件是： 注意：该定理只是逐次松弛方法收敛的必要条件，而不是充分条件，换句话说，就是如果不在内，则松弛方法一定不收敛，但当时，松弛方法也未必一定收敛。 定理2：若矩阵为对称正定阵，当时，则对方程组逐次松弛方法必定收敛。 例：写出方程组的逐次超松弛方法（SOR法）的迭代格式。设  解：先写出其高斯-塞德尔迭代格式：    此格式就是方程的逐次超松弛迭代格式。 例：给出方程组  研究用SOR方法的收敛性。 写出的SOR方法的迭代格式 求解，取初始向量为，至少迭代三次。 解：（1）由于  对称正定，所以对，SOR迭代收敛。 （2）建立G-S迭代公式：  取，建立SOR迭代公式： （3）迭代计算如下： 。