第四章 多项式插值 基本问题：研究用简单的函数近似代替一个复杂函数在某些点上的值的方法。 §1 代数多项式插值 Lagrange插值多项式 问题的提出： 设是区间上的一个实函数，是上的个互异实数，且已知在处的函数值，即有：  ， 现要求一个次数不超过的多项式使得  （*１） 这就是Lagrange插值问题。 可设： 定义：（*１）称为插值条件，共有个方程。 满足（*１）的多项式称为多项式插值问题的解。称为插值节点，在不致混淆的情况下，经常也简称为节点。称为被插值函数，称为插值多项式。 1. 插值多项式的存在唯一性 Th1 多项式插值问题的解是存在且唯一的。 证：设所要求的多项式为： ， 只要当中的系数定下来，多项式就定下来。 则由插值条件（*１）可得关于系数的线性方程组：  （*2） 其系数行列式为Vandermonde 行列式：  由于是互异的插值节点，故上式系数行列式的值不为0。由Cramer法则可知，（*2）式有解，且唯一。 但是，如果用这种方法来求方程组的解，很烦琐，很难计算。我们一般采用其他方法来求其近似解。 2 . Lagrange插值公式 下面用基函数的方法来构造满足的多项式。 首先考虑最简单的插值多项式：在 上有 两个插值节点，且已知在节点上的函数值。现在要求一个多项式，使得：  （*3） 若能够找到这样的函数，即：  ， 且次数不能超过1。使：   恰好满足（*3）的要求。问题在于怎样求出这样的。 不妨先求，考虑到在处函数值为0，且它的次数不能超过1，显然应包括这个因子，则，又在处函数值为1，故，则可得： 。 同理可求出的表达式，考虑到在处函数值为0，且它的次数不能超过1，显然应包括这个因子，则，又在处函数值为1，故，则可得： 。 故：， 称之为线性插值多项式。 在上有三个插值节点，且已知在节点上的函数值。现在要求一个多项式，使得：  （*4） 若能够找到这样的函数，即：  ， 且次数不能超过2。则：  恰好满足（*4）的要求。问题在于怎样求出这样的。 不妨先求，考虑到在处函数值为0，且它的次数不能超过2，显然应包括这个因子， 则 ， 又在处函数值为1， 故 ， 则可得： 。 同理可求出、的表达式，考虑到在处函数值为0，且它的次数不能超过2，显然应包括这个因子， 则 ， 又在处函数值为1， 故 ， 则有： 。 考虑到在处函数值为0，且它的次数不能超过2，显然应包括这个因子，则，又在处函数值为1，故，则有： 。 故：  称为抛物插值多项式。 在上有个插值节点，且已知在节点上的函数值。现在要求一个多项式，使得  （*5） 若能够找到这样的函数，即：  且次数不能超过。则  ……………………………………………………………  恰好满足（*5）的要求。问题在于怎样求出这样的 ， 不妨先求，考虑到在处函数值为0，且它的次数不能超过，显然应包括这个因子，则： ， 又在处函数值为1，故： ， 则可得： 。 同理可求出，，的表达式， 则可得： 。 ………………………………………………… 。 即  （） 称为拉格朗日插值基函数。 称 = 为拉格朗日插值多项式。 例1、已知分别用线性插值和抛物插值求的近似值。 解：①、选 则：  得： ②、选 则：  得： ③、选 则：  得： 而 可以看出：抛物插值比线性插值的结果精确；两个线性插值中比的结果精确。 实际上，通常称插值节点所界定的范围 为基本插值区间。当点位于该区间内时，插值过程称为内插，否则称为外推。一般来说，内插比外推的效果要好。故对于上题的两个线性插值来说，的基本插值区间，，为外推，而的基本插值区间，，是内插。所以比的结果精确。 精度 Th2 设在上存在阶导数， 为个互异节点，则对 任何有：  式中且与有关。 注：由于余项表达式中在中的具体位置不能确定，所以，若能求出，那么就可以对余项进行估计：  ， 或 ， 例如：对线性插值多项式的余项： 设，      例2：估计例1中线性插值和抛物插值的截断误差。 解：首先的导数为： ，， 则的截断误差为  则 的截断误差为： ，   的截断误差为      故抛物插值比线性插值的结果精确；内插比外推的结果精确。 例3：令，写出的一次插值多项式，并估计插值误差。 解：记， 则以，为插值节点的一次插值多项式为    因为，所以     例4 设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以-1，0，1，2为插值节点的三次插值公式。 解：记以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式为。由插值余项定理有   因而  例5 证明由下列插值条件：  0  1  2    -1 - 0  3   所确定的拉格朗日插值多项式是一个二次多项式。该例说明了什么问题？ 解：记  以为插值节点作的2次插值多项式，则   验证：   因而六个点全在二次曲线上。换句话说，满足插值条件 的拉格朗日插值多项式为。 由拉格朗日插值多项式的唯一性定理知：满足条件的5次插值多项式是唯一存在的，但该5次多项式并不一定是一个真正的5次多项式，而把小于等于4次的多项式看成特殊的5次多项式。 例6 考虑下列插值问题：求一个2次多项式使得  其中为已知数据。试给出使这一问题的解存在唯一的条件。 解：设，则，要存在唯一的2次多项式满足插值条件，当且仅当下列方程组存在唯一解：  方程组的系数矩阵的行列式为  由于的充分必要条件为  所以插值问题存在唯一解的充分必要条件为。