§2 差商、牛顿插值多项式 在计算过程中，若需要再增加插值节点并求出新的插值函数，则Lagrange 插值公式所有的基函数都要重新计算，造成计算量的很大浪费。而以下介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷，可在原有插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。 差商及其性质： 1、相关定义 设给出函数在点，，… ， ，…上的函数值 ，则有： 称为函数在、点的一阶差商。 一阶差商的差商   称为函数在,和点的二阶差商。 阶差商的差商  称为函数在点的n阶差商。 见插商表4-1 2、性质： 性质1 ：差商可表示为函数值的线性组合，即  ， 其中：。 该性质表明：差商与节点的排列次序无关，即： ＝＝…＝ 这就是差商的对称性。 性质 2    性质3 设在所含节点的区间上有阶导数，则在该区间内至少有一点，使得：  由该性质可知，若为次多项式，则其阶差商为一常数。也就是说，当一个函数的阶差商接近于常数时，那么用次多项式近似是恰当的。 例：设，求差商，，和。 解: ,      二、牛顿（Newton）插值多项式： 设是 上的一点，则由差商的定义可以得到一系列的等式：     … … … … … … … … … 依次把后式代入前式，最后可得：     记  +（1） （2） 则：  （3） 由于是一个次数的多项式，又由（2），（3）式可知是满足插值条件的插值多项式。称（1）式为Newton插值多项式。 注意：Newton插值多项式与Lagrange插值多项式是同一函数的插值多项式中两种不同的表达形式，它们实质上是同一个多项式。 要计算Newton插值多项式，只要计算出各阶差商就可得到了。 例：已知函数的函数表如下：  0.4 0.55 0.65 0.80 0.90   0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652  求四次Newton插值多项式，并由此求的近似值。 解：计算函数的差商表如下：        故的四次Newton插值多项式为：    则：。 例：给定数据表：  1 2 4 6 7   4 1 0 1 1  求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。 解：    一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商  0 1 2 3 4 1 2 4 6 7 4 1 0 1 1  -3              由差商表可得4次牛顿插值多项式为：  插值余项为：   三、差分、等距节点下的Newton插值多项式： 差分 定义：设等距节点其中为常数，称为步长。 设函数的值  则有： 一阶向前差分：  ， 称为向前差分算子。 一阶向前差分的差分为  称为二阶向前差分。 一阶向后差分：  ， 称为向后差分算子。 一阶向后差分的差分为  称为二阶向后差分。 一般地，函数的阶差分可以递推的定义为  规定零阶差分为  由以上定义可以算出差分与函数值之间的关系。例如  差分的基本性质： 性质一： 性质二：差商和差分的关系：   2. 等距节点的牛顿插值公式： Newton向前插值公式（利用向前差分代替差商） 用途：求附近的函数值。 依次取等距节点 ， 已知，修改牛顿插值公式可得：  令，又有    上式称为Newton向前插值多项式。 同样的可推出Newton向后插值公式（利用向后差分代替差商） 用途：求附近的函数值。   上式称为Newton向后插值多项式。 若在函数表的中间，可以考虑用适于表中间的插值公式，我们这里就不说了。 例：有如下表函数  0 1 2 3 4   3 6 11 18 27  试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式和向后插值公式给出它的插值多项式。 构造差分表：         0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 3 6 11 18 27  3 5 7 9  2 2 2  0 0  0  牛顿向前插值公式：   牛顿向后插值公式：   例：给出 。 解：给出差分表：         0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 8 27 64  1 7 19 37  6 12 18  6 6  0  因为，故 当，根据Newton向前插值公式，分别求得   注意：上例中由于的四阶导数为零，则有，即，所以是精确结果。 例：利用差分证明,  解：令 ， 则  左边 又 故。 课堂练习： 1.已知函数表： x 0 1 4 3 6 f(x) 0 -7 8 5 14 求f[0,1,4,3,6]及4次Newton插值多项式。 2．已知 x 0 1 2 3 f(x) 1 3 9 27 写出牛顿向前插值公式和向后插值公式。 解：先构造差商表。    一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商  0 1 2 3 4 0 1 4 3 6 0 -7 8 5 14  -7 2    3          4次Newton插值多项式：  解：差分表：        0 1 2 3 0 1 2 3 1 3 9 27  2 6 18  4 12  8  牛顿向前插值公式：  牛顿向后插值公式：