二、Newton迭代法的变形 牛顿法的优点：收敛速度快。 缺点：每次迭代要计算一次导数值，当表达式复杂或无明显表达式时求解困难。 简化的牛顿迭代法 1. 主要思路 为了避免直接计算导数值，用某个定点上的值（或一常数M）取代，如，令，则牛顿迭代法的迭代格式变为：  称它为简化的牛顿迭代方法。只要选择得当，上式总是收敛的，不过其收敛速度降为线性。 2．几何意义 其几何意义可描述为用平行线代替牛顿法中的切线。 过点，斜率为的直线与轴有一交点，下面求出该交点的横坐标。该直线的方程为：  当时，即为直线与轴交点的横坐标值，也就是简化的牛顿迭代方法中的的表达式：    3．优缺点 优点：计算简单。 缺点：没有充分利用本身的特性，收敛速度慢，收敛阶为1。 割线法 双点割线法 （1）、基本思想 利用一阶差商取代牛顿迭代法中的，则有  ， 即 。 上式称为双点割线法。可以验证，在满足一定条件下，其收敛阶  （2）、几何意义： 为过点与的割线和轴交点的横坐标。事实上，连接与，得到一条直线，该直线的方程为：  当时，得到它与轴的交点的横坐标值，即： ， 每一次作迭代序列的第三点时，它都是利用前面两个已知点作曲线的割线，这正是为什么它称为双点割线法的原因。 注意：双点割线法必须预先给定两个迭代初始值。  2．单点割线法 （1）、基本思想 在用双点割线法计算时，每次都必须计算相邻两个点的函数值，为了简化计算，在计算的过程中固定一点，譬如说是，让另外一点变化，即用点代替点，则有  上式称为单点割线法，其意义很明了，因为只有一点变化，故称为单点割线法。 其具体实现过程如下： 预先给定两点和，利用单点割线法的计算公式计算出的值，然后利用和这两点计算的值，这么一直做下去，的值是利用和这两点计算而得。 （2）、几何意义： 连接点和点，得到一条直线，它和轴的交点的横坐标的值就是。 在一定的条件下，单点割线法的收敛阶为1 。 三、计算重根的牛顿迭代法 主要讨论用牛顿迭代法解决重根的问题 直接利用牛顿迭代法来求解 设的重根（）。这时， ,  若直接用牛顿迭代法计算的近似值，迭代过程的收敛速度变成线性收敛。这是因为  令，则在上式两边减去，得  （*） 所以直接用牛顿迭代法求解，效果并不理想。提高收敛速度有两种方法： 方法一： 将求重根的问题转化为求单根。注意到 ， 由于，所以是的单根。因此，求的重根等价于求的单根，而对用牛顿迭代法求根是平方收敛的，其迭代格式为：  此迭代格式较复杂，应用起来不方便。 方法二： （1）、修改牛顿迭代法 若用下述迭代函数建立迭代格式求解，则它的收敛阶为2。    等式两边都减去   若收敛，即 ，    此种改进的牛顿迭代方法是平方收敛。 （2）确定根的重数 设，，使牛顿迭代格式所得的三个相邻的迭代值，令  则  由（*）式知  故  因此可以用下式估计：  例7．用牛顿迭代法求方程在0.95附近的根。 解 直接用牛顿迭代格式  （） 有如下结果成立：      0 1 2 3 4 5 6 0.95 0.9744279 0.9870583 0.9934878 0.9967328 0.9983576 0.9991901  0.5090 0.5047 0.5007 0.5125  2.0369 2.0190 2.0028 2.0511   由知所求根为重根，我们采用修改的牛顿迭代公式：  得    其收敛速度大大快于直接用牛顿迭代法。 作业 习题二10