常微分方程数值解 本章介绍求解微分方程数值解的基本思想和方法。 许多科学和技术问题的数学模型，常常归结为一个含有自变量、未知函数和它的一阶导数和高阶导数的方程，称为常微分方程。它是描述运动、变化规律的重要数学方法之一。 分为两类： 1.初值问题，即给出未知函数及导数在初始点的值的问题； 2.边值问题，即给出未知函数及（或）它的某些导数在区间两个端点的值的问题。 常微分方程初值问题 这里仅讨论一阶微分方程初值问题的数值解法，即，所要讨论的问题为：  其中为的已知函数，为给定的初值。 初值问题的适定性(其解是否唯一存在) 将区域：记为，即 设为连续映射，若存在常数使得不等式  对一切都成立，则称在上关于满足Lipschitz条件，而式中的常数称为Lipschitz常数。 补充定理：初值问题 ， 当在上连续，且关于满足Lipschitz 条件，则其解存在且唯一. 本章，总是假设所讨论的问题满足解的存在唯一性定理条件。 数值解法 寻求微分方程初值问题的解在一系列离散点  上的近似值的方法. : 问题的数值解。 数值解所满足的离散方程统称为差分格式. 步长： ，一般取定步长 §1 Euler方法 Euler公式 将初值问题  的求解区间等分， 分点, 其中。 将在进行二阶Taylor展开：    即 记： ，截去得近似计算公式： . 可得的近似值的递推公式  (*1) 上式称为Euler公式。 初值问题给定了，代入(*1)，依次解出数值解，，。 称为Euler方法的局部截断误差。 例1 用Euler公式解初值问题  解：取，Euler公式的具体形式为  其中， 已知，则有   … … … 依次计算可得  其部分结果见下表  数值解 准确解 误差       其中，准确解为：。 可见Euler方法的计算结果精度不太高。 几何意义：用折线近似代替方程的真解曲线。故该方法常常也称为欧拉折线法。见P161图7－1。 隐式(后退的)Euler 公式 将在进行Taylor展开：  ，令，则，  即 令，截去，则  得到数值求解公式：  (*2) (*2)式称为隐式Euler公式。即要求出必需要解方程，这样的公式叫做隐式公式，而Euler公式是显式公式。 称为隐式Euler方法的局部截断误差 方法的阶 1．定义: 若局部截断误差（将准确解代入公式的左、右两端，其左端与右端之差） ， 则称该数值方法具有阶精度。越大，精度越高，数值方法越好。 ①Euler方法的精度     即：  Euler方法具有一阶精度 。 ②后退的Euler方法的精度     即：  后退的Euler方法也是具有一阶精度 改进的Euler方法 考虑到Euler方法的局部截断误差为，而后退的Euler方法的局部截断误差为，其中，的不一定相同。 我们将Euler公式：  和后退的Euler公式： 两端求平均值：  (*3) (*3)式称为平均（梯形）公式 其局部截断误差为：   将及均在点处三阶Taylor展开   这种方法具有二阶精度 平均（梯形）公式  为隐式公式，一般用迭代法求解，迭代初值由Euler公式提供，只迭代一次即得如下预测－校正型公式  或  称上式为改进的Euler 公式 可以证明，改进的Euler 公式具有二阶精度。 例2 用改进的Euler公式解初值问题  解：取，改进的Euler公式的具体格式为 具体计算过程如下 … … … 依次计算可得 见p162表7-2。 可见改进的Euler方法的计算结果精度比Euler方法要高。 例：已知初值函数：，取步长，用改进的欧拉方法求初值问题的数值解。 解：改进的欧拉方法的具体格式为：  ①   ②