第六章 数值积分方法 §1 引言 问题的提出 要求定积分的值。 若能求出被积函数的一个原函数，则定积分能根据牛顿-莱布尼茨公式求出，即 。 困难：①.难求（很复杂）或求不出； 如： ，  等 ②.很复杂或者根本不知其具体解析表达式；如只给出函数在一些离散点上的值。 解决方法：将求积分值转化为直接对定积分进行近似计算（即应用相应的数值积分公式进行计算） 数值求积的基本思想 由积分的几何意义，如图，所求定积分的值就是由及所围成的曲边梯形的面积。又由积分中值定理，对于连续函数在区间内至少存在一点，使得，即积分值等于底为，高为的矩形面积。 称为曲边梯形的平均高度。 困难：的具体位置不知，不能得到的准确值 解决方法：若提供的近似求法， 则定积分的值即可求得，便可相应得到一种数值求积方法。 这里提出求的近似值的几种解法： ①、， 此时得到： ， 称之为梯形公式。 ②、， 此时得到： ， 称之为（中）矩形公式。 ③、若在中有个点，且已知函数在每个已知点上的函数值，，则： ， （*1）, 称为一般的求积公式。 上述中的个点称为求积节点，系数 , 称为求积系数。 注意：求积系数只与节点的选取有关，当节点取不同的值的时候，对应不同的求积系数。 截断误差为： ， 称为求积余项。 在上述所说的一般求积公式当中有的求积系数的选取使得公式对更多的都能让约等号成为等号，这正是我们下面所要讨论的代数精度的问题。上述中若是等号成立，则说公式精确成立；否则，则称公式不精确成立。 代数精度 定义1：如果某个求积公式对所有次数不超过的多项式都精确成立，而至少对一个次的多项式不精确成立，则称该求积公式具有次代数精度。 定理1：一个求积公式具有次代数精度  求积公式对精确成立，而对不精确成立。 例1：试验证梯形公式和（中）矩形公式具有一次 代数精度。 解：对梯形公式进行验证，用定理1，梯形公式对  精确成立，而对不精确成立。 则：①.当时， 左端 右端  说明当时，梯形公式的左端与右端精确成立。 ②.当时， 左端 右端 说明当时，梯形公式的左端与右端精确成立。 ③.当时， 左端 右端 左端 说明当时，梯形公式的左端与右端不精确成立。 由定理1可知，梯形公式具有一次代数精度。 同理，可证得（中）矩形公式也只具有一次代数精度。 例2：给定求积公式  试决定使它的代数精度尽可能的高。 解：当时，左边， 右边； 当时，左边 右边 当时， 左边 右边 要使求积公式至少具有2阶代数精度，其充分必要条件为满足如下的方程组：  解得： 代入求积公式得：   （1） 当时，（1）的左边； 右边，左边等于右边； 当时， （1）的左边 右边 左边不等于右边。 所以当求积公式中的求积系数取为时得到求积公式（1），其代数精度取到最高，此时代数精度为3。 构造一个具有次代数精度的求积公式： 预先设定求积公式 ， （*1） 具有次代数精度，选定一组互异的求积节点， 令得： （*2） 其系数行列式为Vandemonde 行列式：  由于是互异的求积节点，故方程的系数行列式的值。由Crame法则可知，（*2）式有解，且唯一。换句话说，即可以找到个求积系数，使得（*1）具有次代数精度。 插值型求积公式 设给定一组节点，且已知在这些节点上的函数值，则可求得的Lagrange 插值多项式：，其中为插值基函数，取，则有：   令 ， 称为求积系数。 则有：  定义 ：这种由求积系数所确定的求积公式，称为插值型求积公式。其求积余项 其中且与有关。 定理2：具有个节点的数值求积公式  是插值型求积公式的充分必要条件是该公式至少具有次代数精度。 证明：（充分性） 设求积公式具有次代数精度，那么该求积公式对次数不超过的多项式准确成立，而都是次数不超过的多项式，则有：  故该求积公式是插值型的求积公式。 （必要性） 设该求积公式是插值型的，设次数不超过的多项式为，则有：  说明公式具有至少次代数精度。