?运动学, 研究如何描述物体的运动
以及各运动量之间的关系
?静力学, 研究作用在物体上力的平
衡条件 (工程力学 )
?动力学, 研究产生或改变运动的原
因, 即物体间相互作用对运动的影
响
第一章 质点运动学
§ 1-1 回顾与引伸
§ 1-2 直线运动
§ 1-3 曲线运动
§ 1-4 相对运动
第一章 质点运动学
§ 1-1 回顾与引伸
一,参照系
1.为什么要选用参照系
v?
车厢的人,
垂直下落
地面上的人,
抛物运动
孰是孰非？ ----运动的描述是相对的
第一章 质点运动学
?参照系,为描述物体运动而选用的标
准物体或物体系 (认为其静止 )
2.什么是参照系
二,质点
?质点, 将物体看成是一个具有一定质
量而没有大小和形状的点
----可否视为质点，依具体情况而定
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
?物体自身线度与其活动范围相比
小得多时可视为质点
非质点 质点
§ 1-1 回顾与引伸
地
球
上
的
人
看
地
球
地
球
绕
太
阳
公
转
第一章 质点运动学
?物体无转动运动时 可视为质点
物体上任一点都可以代表物体的运动
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
x
y
z
三,质点的位置
1.坐标系
?确定物体相对参照系的位置，需 在参
照系上 建立坐标系
?直角坐标系,
?直角坐标 (x,y,z)
确定质点位置 0
x
y
z
),,( zyxP
i?
j?
k?
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
s
te
?
ne
?
?自然坐标系,
?在已知运动轨迹上任选一点 0为原点建
立的坐标系
0
P
?自然坐标 s(t) 确
定质点的位置
te
?,切向单位矢量
ne
?,法向单位矢量
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
?平面极坐标系
0 x
?
),( ?rP
Ox, 极轴
?, 辐角
?平面极坐标 ( r,? ) 确定质点的位置
?通常规定从极轴沿逆时针方向的 ?为正
)(tr
r, 极径
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
0 x
y
z
),,( zyxP
i?
j?
k?
?位矢, 表征空间某
点 P的位置，由原
点 0到 P的矢量
2.质点的位置矢量
por ??? ? kzjyix ??? ???
rr ??
r
z
r
y
r
x
??? ??? c o s,c o s,c o s
222 zyx ???
??
? r?
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
四,运动的描述
矢量形式,ktzjtyitxtr ???? )()()()( ???
分量形式,
1.运动方程和轨迹
?运动方程,表示运动过程的函数
)( txx ?
)( tyy ?
)( tzz ?
?
?
?
?轨迹,质点在空间所经过的路径
----消去 t 可得
轨迹方程
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
2.位移
?位移,质点一段时
间内位置的改变
A B
)(tr? )( ttr ??
?
r??
x
y
z 0 )()( trttrr ??? ?????
)()( kzjyixkzjyix AAABBB ?????? ??????
kzzjyyixx ABABAB ??? )()()( ??????
kzjyix ??? ??????
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
讨论,
r??
A
B
0
)( ttr ???)(tr
?
?路程,质点沿轨迹运动所经历的路径
长度 s?
?路程是标量,大小与位
移的的大小一般不相等
即
sr ??? ?
?在极限情况下有 dsrd ??
?单方向直线运动时有
sr ??? ?
s?
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
3.速度
t
r
v
?
?
?
?
?平均,
?速度,描述质点运动快慢和运动方向
的物理量
k
t
z
j
t
y
i
t
x ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
kvjviv zyx
???
???
大小,
t
r
v
?
?
?
?
? 方向,r?? 的方向
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
瞬时,
t
r
v
t ?
?
?
??
?
?
0
lim
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
v
????
???
dt
rd
?
?
kvjviv zyx
???
???
B
r??
)( ttr ???
A
0
)(tr?
1B2
B3B4B
5B
6B
大小,
----轨道切线方向 方向,rd? 的方向
vv ?? 222 zyx vvv ???
用自然坐标表示,
tevv
?? ?
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
?速率,速度的大小
讨论,
vv ??
dt
rd
?
?
dt
ds
?
----路程对时间的
变化率
r?? B
)( ttr ???
A
0
)(tr?
r?
?位移大小 与位矢模的
增量 不等 r
??
r?
dt
rd
v
?
?
dt
dr
?
一般地
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
4.加速度
A
)(tr?
B
)( ttr ???
x
y
z 0
)(tv?
)( ttv ??? )(tv?
)( ttv ???
v??
?加速度,描述质点速度随时间变化快
慢的物理量
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
t
v
a
t ?
?
?
??
?
?
0
lim
dt
vd
?
?
2
2
dt
rd
?
?
t
tvttv
a
?
???
?
)()(
??
?
t
v
?
?
?
?
平均,
瞬时,
)(tv?
)( ttv ???
v??
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
222
zyx aaa ???
大小,aa ??
dt
vd
a
?
?
? k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv zyx ???
???
k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd ???
2
2
2
2
2
2
???
kajaia zyx
???
???
方向,的方向一 般与速度 的方向不同 vd? v?
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
[例 1]已知质点运动方程为
jtRitRr ??? ?? s i n)c o s21( ???
(?,R为常数 )。求 (1)质点的轨道方程；
(2)2秒末的速度和加速度； (3)证明 av ???
解,?运动方程的分量形式为
?
)cos21( tRx ???
tRy ?s in?
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
消出 t 得轨道方程 222
)
2
( Ry
R
x ???
----轨道为半径为 R的圆周，圆心 (R/2,0)
? dtrdv ??? ? jtRitR ?? ???? c o ss i n ???
dtvda ?? ? jtRitR
?? ???? s i nc o s 22 ???
jRiRv t ??? ???? 2c o s2s i n2 ???? ?
jRiRa t ??? ???? 2s i n2c o s 222 ????
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
?两矢量相互垂直时应有
?c o svaav ?? ?? 0?
)c o ss i n( jtRitRav ????? ???? ????
)s i nc o s( 22 jtRitR ?? ???? ???
0?
av ???? 得证
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
[例 2]一质点在 xOy平面内运动，运动方
程为 x=2t,y=19-2t2。 (1)写出质点任意时
刻的位置矢量,速度矢量 和加速度矢
量 ； (2)写出轨道方程； (3)什么时刻，
质点的位置矢量和速度矢量恰好垂直
r? v?
a?
解,?
jtitr ??? )219(2 2???
jti ?? 42 ??
j?4??
§ 1-1 回顾与引伸
dtrdv ?? ?
dtvda ?? ?
第一章 质点运动学
?消去 t,2xt ??
2)2(219 xy ??? 219 2x??
?令 0??vr ??
即
0)219(44 2 ???? ttt
0)42(])219(2[ 2 ????? jtijtit ????
解得 st 0
1 ? st 32 ?
st 33 ??
(舍去 )
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
[例 3]如图,长为 l的细棒,在竖直平面内
沿墙角下滑,上端 A下滑速度为匀速 v。
当下端 B离墙角距离为 x (x<l)时,B端水
平速度和加速度多大?
解,?建立如图所示的
坐标系
设 A端离地高度为 y l
x
y
x
y
O
A
B222 lyx ???
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
方程两边对 t求导
022 ??
dt
dy
y
dt
dx
x
dt
dy
x
y
dt
dx
??? v
x
y
? v
x
xl 22 ?
?
加速度
22
2
x
dtdxydtdyx
dt
xd ?
? 2
3
2
v
x
l
??
§ 1-1 回顾与引伸
第一章 质点运动学
一,直线运动的描述
§ 1-2 直线运动
?直线运动,一维运动
0 xixr
?? ?
----用坐标 x (代数量 )可表示质点的位置
位矢,1P
1x
2P
2x?
运动方程,)( txx ?
第一章 质点运动学
?已知运动方程,求速度和加速
度
)(txx ?
二,运动量为 t 的函数的两类问题
----微分问题
速度
dt
dx
v ?
dt
dv
a ?
加速度
2
2
dt
xd
?
§ 1-2 直线运动
第一章 质点运动学
?已知加速度 a=a(t)和初始条件，求速度、
位移和运动方程 ----积分问题
dt
dv
a ?? dttadv )(??
两边积分
?? ?
t
o
v
v
dttadv
o
)(
????
t
dttavv
00
)(
匀加速 时 (a为常数 ) (1)
§ 1-2 直线运动
atvv ?? 0
第一章 质点运动学
dt
dx
v ? dttvdx )(?
又
?? ??
tx
x
dttvdx
0
)(
0
???
t
dttvxx
00
)(
匀加速 时 ? ??? t dtatvxx
0 00
)(
2
00
2
1
attvxx ???? (2)
即
(1),(2)消去 t 得 )(2
0
2
0
2 xxavv ???
§ 1-2 直线运动 atvv ?? 0
第一章 质点运动学
三,运动量非 t 的函数问题
----分离变量方法
1.已知 a=a(x),求 v(x)
dt
dv
xa ?)(
dt
dx
dx
dv
??
dx
dv
v?
?? ??
x
x
v
v
dxxav d v
00
)(
???
x
x
dxxavv
0
)(2202
即
匀加速 时 )(2
0
2
0
2 xxavv ???
§ 1-2 直线运动
第一章 质点运动学
2.已知 v=v(x), 求 x(t)
dt
dx
xv ?)(? dtxvdx )(?
?? ??
x
x
t
xv
dx
dt
0 )(0
??
x
x xv
dx
t
0 )(
§ 1-2 直线运动
匀速时 vtxx ??
0
第一章 质点运动学
[例 4]质点沿 x 轴作直线运动,加速度 a=2t。
t =0时,x=1,v=0，求任意时刻质点的
速度和位置
解,质点作非匀加速的运动
dtdva ?? t2?
t d tdv 2??
积分
?? ?
tv
t d tdv
00
2 2tv ?
§ 1-2 直线运动
第一章 质点运动学
即有 2
t
dt
dx
?
?? ??
tx
dttdx
0
2
1
可得 3
3
1
1 tx ??
§ 1-2 直线运动
第一章 质点运动学
[例 5]质点沿 x轴作直线运动，速度
v=1+2x，初始时刻质点位于原点,求质点
的位置和加速度
解,
dtdxv ?? x21 ??
?? ???
tx
dt
x
dx
00 21
tx ?? )21ln (
2
1
)1(
2
1 2
??? tex
2
2
dt
xd
a ? te 22?
§ 1-2 直线运动
第一章 质点运动学
[例 6]质点沿 x轴正向作直线运动，加速
度 a=-mx(m为正常数 )。 t=0时,x=0,v =v0，
在什么位置质点停止运动?
解,
dt
dv
a ??
dt
dx
dx
dv
?
dx
dv
v?
mx
dx
dv
v ???
§ 1-2 直线运动
?? ??
xv
v
m x d xv d v
00
积分
第一章 质点运动学
得
22
0
2 mxvv ????
22
0
2
2
1
)(
2
1
mxvv ???
22
0 mxvv ??
质点停止运动时 0?v
m
v
x 0??
m
v
x 0??( 舍去 )
§ 1-2 直线运动
第一章 质点运动学
一,抛体运动
§ 1-3 曲线运动
?抛体运动,二维运动 (平面曲线运动 )
0 x
y
0v
?
?
xv0
?
yv0
?
g?
任意时刻速度分量为
?c o s0vv x ?
gtvv y ?? ?s in0
v?
积分得
tvx ?? ?c o s0
2
0
2
1
s i n gttvy ??? ?
第一章 质点运动学
消去 t 得轨迹方程
2
22
0 c o s2
tg x
v
g
xy
?
? ??
由 vy=0有 gvt ?s in
0?
得 射高
g
v
y m
2
s in
22
0 ??
由 y =0得 射程
g
v
x m
?2s in
2
0?
§ 1-3 曲线运动
gtvv y ?? ?s in0
第一章 质点运动学
jgtvivv ??? )s i n()c o s( 00 ??? ??
矢量形式为
即
jgtjvivv ???? ??? ])s i n()c o s[( 00 ??
tgv ?? ?? 0
v?
tg?
0v
?
dtrdv ??? ?
???
t
dtvr
0
?? 2
0
2
1
tgtv
??
??
§ 1-3 曲线运动
?c o s0vv x ?
gtvv y ?? ?s in0
? ??
t
dttgv
0 0
)( ??
第一章 质点运动学
0 x
y tv0
?
2
2
1 tg??初速度方向的 匀速
直线运动 和竖直方
向的 自由落体运动
的叠加
----归结为直线运动的叠加
如猎人与猴子的演示
2
2
1 gt
§ 1-3 曲线运动
2
0 2
1
tgtvr
???
??
2
0 2
1 tgtvr ??? ??
第一章 质点运动学
tevv
?? ?
二, 圆周运动
?d
ne
?
'te?
v?
在自然坐标系中 R
0
P? ?
tev
dt
d
a
??
?
dt
ed
ve
dt
dv t
t
?
?
??
tt eed
??? ? 即 与 同向
ne
?
ntt edeed
??? ???
ned
??? te?
'te?
?d
ted
?
§ 1-3 曲线运动
te
?
第一章 质点运动学
nntt eaea
?? ??
n
t e
dt
d
dt
ed ?
?
?
?
ne
dt
ds
ds
d ?
??
?
ne
R
v ?
?
nt e
R
v
e
dt
dv
a
??? 2
???
nt aa
?? ??
R
0
ne
?
ta
?
na
?
a?
?
:切向加速度，沿轨道切线
ta
?
na
?,法向加速度，指向圆心
§ 1-3 曲线运动
te
?
第一章 质点运动学
大小 22
nt aaa ??
n
t
a
a
ar c t g??
2
22
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
R
v
dt
dv
方向 ----与法向的夹角
ta
?
na
?
a?
?
§ 1-3 曲线运动
第一章 质点运动学
讨论,
?速度 大小的变化 引起 切向加速度
速度 方向的变化 引起 法向加速度
?变速圆周运动, 的 方向不指向圆心 a?
?匀速圆周运动
naa
?? ??0?
ta
---- 的 方向指向圆心 a?
§ 1-3 曲线运动
第一章 质点运动学
三,一般曲线运动
? ----曲率半径
nntt eaeaa
??? ??
1P
2P
nt e
v
e
dt
dv ??
?
2
??
讨论,
?一般曲线运动的法向加速度指向瞬时
曲率中心
? 总是指向曲线凹的一侧 a?
1?
10
2?
20
0 ----瞬时 曲率中心 曲率圆
§ 1-3 曲线运动
第一章 质点运动学
O
四, 圆周运动的角量描述
x
?
A
t
B
tt ??
?? ??
1.角量
?半径 R不变，质点位
置可由角坐标 ? 确定
?运动方程可用角坐标表示
)( t?? ?
时间内，质点转过角度 t? ??
?? ----角位移
§ 1-3 曲线运动
第一章 质点运动学
角速度
tt ?
?
?
??
?
?
0
lim
dt
d?
?
角加速度
tt ?
?
?
??
?
?
0
lim
dt
d?
?
2
2
dt
d ?
?
§ 1-3 曲线运动
第一章 质点运动学
?Rdds ??
dt
ds
v ??
dt
dv
a t ?
Rva n 2?
2.线量与角量关系
xO
ds
R
?d
dt
d
R
?
? ?R?
dt
d
R
?
? ?R?
2?R?
§ 1-3 曲线运动
第一章 质点运动学
3.用角量表示匀速和匀变速圆周运动
t??? ?? 0
t??? ?? 0
2
00
2
1
tt ???? ???
? ?0202 2 ????? ???
atvv ?? 0
)(2 0202 xxavv ???
2
00
2
1
attvxx ???
tvxx ?? 0
§ 1-3 曲线运动
第一章 质点运动学
[例 8]一质点作半径 R=1m的圆周运动，
其角位置 θ= t 2+1(rad),t以秒计,问 θ多大
时，其切向加速度大小是总加速度大小
的 1/2?
解,
?Ra t ??
2
2
dt
d
R
?
? 22 ??? sm
Ra n 2?? R
dt
d
?? 2)(
? Rt ?? 2)2(
224 ??? smt
§ 1-3 曲线运动
第一章 质点运动学
222
)4(2
2
ta
a t
?
??
2
1
?
可得
4
4
3
?t s931.0?
§ 1-3 曲线运动
第一章 质点运动学
证,
[例 9]一质点沿圆周运动,其切向加速度
与法向加速度的大小恒保持相等。设
为质点在圆周上任意两点速度 与 之
间的夹角。试证,v2=v1eθ 1
v?
?
2v
?
Rva n 2?? dtdva t ?
dt
dv
R
v
??
2
ds
dv
v?
v
dv
R
ds
?
即
§ 1-3 曲线运动
第一章 质点运动学
?? ??
2
10
v
v
s
v
dv
R
ds
积分得
1
2ln
v
v
R
s
?
??
R
s
? ?evv 12 ??
§ 1-3 曲线运动
第一章 质点运动学
[例 10]东流的江水，流速为 v1=4 m/s,一
船在江中以航速 v2=3 m/s向正北行驶。试
求,岸上的人将看到船以多大的速率 v，
向什么方向航行?
解,
1v
?
2v
? v?
?
以岸为 K系，江
水为 K’系
船相对于岸的速度
21 vvv
??? ??
§ 1-4 相对运动
第一章 质点运动学
22 43 ?? 2
2
2
1 vvv ???
sm /5?
方向
1
21
v
v
tg ???
4
31?
? tg
087.36?
§ 1-4 相对运动
