第十二章 电势
§ 12-1 静电场的保守性
§ 12-2 电势差和电势
§ 12--3 电势的叠加原理
§ 12-4 电势梯度
§ 12-5 电荷在外电场中的静电场能
§ 12-6 电荷系的静电能
§ 12-7静电场的能量
第十二章 电势
一,静电场力作功的特点
cr? E
?
a
b
?
q
ar
?
br
?
?试探电荷 q0在 q的电场中，沿
任意路径从 a 移动到 b
ldFdA ?? ?? ldEq ?? ??
0
dlEq ?c o s0? Ed rq 0?
ld??取位移元
dr
§ 12-1 静电场的保守性
ld?
?
第十二章 电势
???
b
a oab
E d rqA ??
b
a
r
r
dr
r
qq
2
0
04
1
??
)
11
(
4 0
0
ba rr
qq
??
??
----与路径无关
?在 q1,q2,?qn点电荷系电场中移动
? ??
b
aab
ldEqA
??
0 ? ?????
b
a n
ldEEEq
??
?
??
)( 210
)
11
(
4 0
0
ibiai
i
rr
qq
?? ?
??
----与路径无关
§ 12-1
第十二章 电势
?对连续分布带电体可得同样结果
?结论,电场力所作的功只与试探电荷的起
点和终点的位置有关，而与路径无关
0??? ? ldE
L
?? ----静电场环流定理
----静电场是保守场，静电力是保守力
?路径闭合时
§ 12-1
? ?? Lo ldEqA
?? 0?
第十二章 电势
一,电势能
?设 Wa和 Wb分别表示试探电荷 q0在 a点和 b点
的电势能
? ???
b
aab
ldEqA
??
0
?当电荷分布在 有限区域内 时，通常选无限
远处为零电势能参考点
??? aa AW
)( ab WW ???
?
?
??
a
ldEq
??
0
§ 12-2
§ 12-2 电势差和电势
第十二章 电势
二,电势 0q
W
U aa ?
?定义,
----单位正电荷从 a点移到无限远处
时静电场力所作的功
?
?
??
a
ldE
??
?任意两点 a和 b之间的电势差 (电压 )为
? ??
b
a
ldE
??
? ???
b
aab
ldEqA
??
0
)(0 ba UUq ??
? ?
?
?
?????
a
b
ba
dEdEUU ?
??
?
??
第十二章 电势
三,电势的计算
1.点电荷 q电场中的电势
?
?
??
aa
ldEU
??
?
?
?
r
dr
r
q
2
04
1
??
?
?
?
a
Ed r
r
q
04
1
??
?
a
?
r?
q
?取无限远处为零电势参考点,a点电势为
§ 12-2
第十二章 电势
?q>0,各点的电势为正, 离 q 愈远电势愈
低, 在无限远处电势最低并为零
?q<0,各点的电势为负, 离 q 愈远电势愈
高, 在无限远处电势最高并为零
§ 12-2
r
q
U
04
1
??
?
讨论,
第十二章 电势
[例 2]一半径为 R的均匀带电球壳，所带电荷
为 q，求空间任一点 a的电势
R
q
解,由高斯定理可得
?
?
?
?
?
?
0
4
1
3
0
r
r
q
E
?
?
??
Rr ?
Rr ?
r为 a到球心的距离
?
?
???
ra
ldEU
??
?
?
?
r
Ed r
§ 12-3
第十二章 电势
Rr ? 时,
Rr ? 时,
?
?
??
ra
ldEU
??
??
?
????
R
R
r
ldEldE
????
??
?
???
R
R
r
dr
r
q
dl
2
04
0
??
R
q
04 ??
?
?
?
??
ra
ldEU
??
?
?
?
r
dr
r
q
2
04 ?? r
q
04??
?
§ 12-2
R
q
第十二章 电势
R
q
U
r0 R
讨论,
?球壳内任一点的电势与球
壳的电势相等 (等势 )
?球壳外的电势与球壳上的
电荷集中于球心的点电荷
的电势相同
§ 12-2
第十二章 电势
一、对 q1,q2,?qn构成的点电荷系
?
?
??
aa
ldEU
??
?
?
?????
a n
ldEEE
??
?
??
)( 21
???
???
???????
a naa
ldEldEldE
??
?
????
21
nUUU ???? ?21
?
?
?
n
i i
i
r
q
1 04 ??
?
?
??
n
i
ia UU
1
§ 12-3
§ 12-3电势叠加原理
第十二章 电势
Q
?点电荷系电场中某点的电势等于每个点电荷 单独存在时 在该点产生的电势的代数和
----静电场的电势叠加原理
二,连续分布电荷电场中的电势
dUU a ??
r
dq
04
1
??
??
dq
?任取一电荷元 dq,a点的
电势为 a
r?
§ 12-3
第十二章 电势
[例 1]试计算半径为 R,均匀带电为 q的细圆环轴线上任一点 a处的电势 。
x
a
x
rR
O
解,在圆环上任取一线
元 dl,所带电量为
dldq ?? dl
R
q
?2
?
r
dq
dU
04 ??
??
22
0
2
8 xRR
q d l
?
?
??
§ 12-3
第十二章 电势
dUU ??? ?
?
?
R
xRR
qdl?
??
2
0 22
0
2
8
22
04 xR
q
?
?
?? x
P
x
rR
O讨论,
?环心处,x＝ 0
R
q
U
0
0
4 ??
?
第十二章 电势
§ 12-3
x
P
x
rR
O
x
q
U
04 ??
?
?x>>R,则
----相当于点电
荷的电势
U
xO
第十二章 电势
三,等势面
?等势面,电势相等的点所组成的曲面
?静电场中等势面特点,
?沿等势面移动电荷, 电场力不作功
证,设点电荷 q0沿等势面从 a点移到 b点
)(0 baab UUqA ?? 0?则
第十二章 电势
?电力线和等势面正交
证：设等势面上任一点 P处的场强为 E?
ldEqdA ?? ?? 0
因 均不为零 ldEq ??,,
0
ldE ????
E?
?
ld?
P
当点电荷 q0在 P点沿等势面有一微小位移
时有 ld
?
0?
§ 12-3
第十二章 电势
点电荷 等量异号点电荷
§ 12-3
第十二章 电势
一,场强与电势的关系
?设场中有两个相距很近的
等势面 1和 2，电势分别为
U和 U＋ dU(dU>0)
设 P点处场强沿法向
0n
?
P
0n?1
2
U dUU ?
Q
?
ld?
单位正电荷从 P移到 Q时
ldEdA PQ
??
?? dlE l?
dU??
dlE ?c o s?
? ?)( dUUU ???
§ 12-4电势梯度
第十二章 电势
ndEdA PR ?? ?? dU??E dn?
----场强某方向分量为电势沿
该方向变化率的负值 dl
dU
E l ???
P
0n?1
2
U dUU ?
Q
?
ld?
nd?
R
时，即沿 从 P到 R 0?? 0n?
dn
dU
E ???
负号表示 的方向与原设方
向相反
E?
----电势降方向
lE
?
E?
§ 12-4
第十二章 电势
0n
dn
dU
E
??
???
?在直角坐标系中
x
U
E x
?
?
??
)( k
z
U
j
y
U
i
x
U
E
????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
y
U
E y
?
?
??
z
U
E z
?
?
??
g r a d U??
§ 12-4
第十二章 电势
讨论,
?静电场各点场强的大小等于该点电势空间
变化率的最大值,方向垂直于等势面指向
电势降的方向
?在电势不变的空间, 电势梯度为零, 所以
场强必为零
?电势为零处, 场强不一定为零；场强为零
处, 电势也不一定为零
§ 12-4
第十二章 电势
[例 1]应用电势梯度的概念, 计算半径为 R、电荷面密度为 ?的均匀带电圆盘轴线上任一
点 P的电场强度
R
O
xPx
'r
r
dr 解,取半径为 r宽为 dr的
圆环
r d rdq ?? 2??
22
04 xr
dq
dU
?
??
?? 22
02 xr
r d r
?
?
?
?
§ 12-4
第十二章 电势
由电势叠加原理有
dUU ?? ?
?
?
R
xr
r d r
0 22
02 ?
?
][
2
22
0
xxR ???
?
?
§ 12-4
R
O
xPx
'r
r
dr
第十二章 电势
由电荷分布的对称性可
知，场强方向沿轴线
i
xR
x
E
??
)1(
2 220 ?
???
?
?
P点电场强度在 x轴方向的分量为
x
U
E x
?
?
?? )1(
2 220 xR
x
?
??
?
?
§ 12-4
R
O
xPx
'r
r
dr
第十二章 电势
[例 2]应用电势梯度的概念,计算电偶极子电场中任一点
P的电场强度
x
y
O
1r
2r
),( yxP
r?
?l?
? ?
解,P的电势为
?? ?? UUU p
1020 44 r
q
r
q
????
?
??
120
21
4
)(
rr
rrq
??
?
?
lr ??? 221 rrr ?? ?c o s21 lrr ??
第十二章 电势
2
04
c os
r
ql
U p
??
?
??
2
04
c os
r
p e
??
?
?
222 yxr ???
r
x
??c os
2/122 )( yx
x
?
?
2/322
0 )(4 yx
xp
U ep
?
??
??
x
y
O
1r
2r
),( yxP
r?
?l??
?
第十二章 电势
x
U
E x
?
?
?? 2/522
0
22
)(4
)2(
yx
yxp e
?
?
?
??
y
U
E y
?
?
??
2/522
0 )(4
3
yx
xyp e
?
?
??
j
yx
xyp
i
yx
yxp ee ??
2/522
0
2/522
0
22
)(4
3
)(4
)2(
?
?
?
?
?
????
jEiEE yx ??? ???
第十二章 电势
§ 12-5电荷在外电场中的静电势能
?一、定义：电荷在静电场中的势能称
为静电势能 。
?二、点电荷的电势能
因为静电场中任意点的电势等于单位正
电荷在该点的电势能。
?所以电荷 q在外电场中任意一点的电势
能就是
qUW ?
第十二章 电势 例：电子与原子核的距离为 r，电子
带电为 -e，原子核带电量为 Ze。求电
子在原子核的电场中的电势能 。
? 解：以无穷远为电势的零点
，在原子核的电场中，电子
所在处的电势为 r4
Ze
U
0??
?
?电子在原子核电场中
的电势能
eUW ?? r4
Ze
0
2
??
?
?
第十二章 电势
§ 12-6电荷系的静电能
? 一,定义：将各电荷从现有位置彼此分散
到无穷远处时，它们之间的 静电力所做的
功,定义为 点电荷系 在原有状态的 静电能
。
二、点电荷系的静电能
?两个点电荷 q1和 q2的互能。另 q1不动，
移动 q2所做的功
第十二章 电势
?
?
??
??
r
2r
rdFA
??
?
?
??
r
2
0
21
dr
r4
qq
??
?
?
?
r
2
0
21
r
dr
4
qq
?? r4
qq
0
21
??
?
?则当 q1和 q2相距 r时它们势能为
r4
qq
W
0
21
12 ???
第十二章 电势
r4
q
U
0
1
2
??
??
2212 Uqw ??
1112 Uqw ?? r4
q
U
0
2
1
??
??
合并两式有,
)UqUq(
2
1
W 221112 ??
第十二章 电势
同理可以三个点电荷相互作用能
)UqUqUq(
2
1
w 332211 ???
由 n个点电荷 组成的点电荷系相互作用能
?
?
?
n
1i
ii Uq
2
1
W
第十二章 电势
二,孤立带电体 的静电能
定义：设想把该带电体分割成无限多的电
荷元，这些电荷元的静电场能的和就是
该带电体的静电能。
?? q21 U dqW
积分号下限 q表示积分范围遍
及带电体上所有电荷
第十二章 电势
例一均匀带电球面，半径为 R，总电
量为 Q，求这一带电系统的静电能
?解：带电球面的
电势为
R4
Q
U
0??
?
其电势为 一等电势,则 电势能为
?? U dq2
1
W dq
R4
Q
2
1
Q
0 0
?? ??
R8
Q
0
2
??
?
第十二章 电势
§ 12-7 静电场的能量
?一、均匀带电橡
皮气球的静电能
,R8
Q
W
0
2
??
?
二、球半径增加 dR,
能量减少量,dRR8 QdW 2
0
2
??
??
三、原来储存在 dR
球壳内的能量,dR
R8
Q
dW
2
0
2
??
?
第十二章 电势
dRR4)
R4
Q
(
2
dW 22
2
0
0 ?
??
?
? dRR4
2
E 220
?
?
?
dV
2
E
dW
2
0??或者
四、电场能量密度,
2
E
dV
dW 20
e
?
? ??
五、一个带电系统
的总能量,
dV
2
E
dVW
V
2
0
e
V
?? ??
?
?
第十二章 电势 例：在真空中一个均匀带电球体，半
径为 R，总电量为 q，求此带电系统
的静电能量
解：由公式可得
dvdv
dvW
Rr
e2
Rr
e1
e
??
?
??
??
?
??
?
R dr
r
drr4
2
E
drr4
2
E 2
R
2
202
R
0
2
10 ????
??
?
??
第十二章 电势
根据球形带电体的场强分布公式
drr4
r4
q
2
drr4
R4
qr
2
W 2
2
2
0R
02
2
3
0
R
0
0 ?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
? ??
?
R dr r
R20
3q
0
2
??
?