第十九章 振动
§ 19-1 简谐振动的描述
§ 19-2 简谐 振动与匀速圆周运动
§ 19-6 阻尼振动
§ 19-7受迫振动 共振
§ 19-8同方向同频率谐振动的合成
§ 19-3 简谐 振动的动力学方程
§ 19-4简谐 振动的能量
§ 19-5 单摆的微小振动
§ 19-9同方向不同频率谐振动的合成
第十九章 振动
§ 19-1 简谐振动的描述
?机械振动,物体
在一定位置的附
近作来回往复的
运动 (周期性或非
周期性 )
?成因, 物体的 惯性 和所受的 回复力
第十九章 振动
?简谐振动,物体距平衡位置
的位移 (或角位移 )随时间按
余弦 (或正弦 )函数变化
一,简谐振动的特征
第十九章 振动
速度
dt
dx
v ?
)s i n ( ?? ??? tv m
位移
)c o s ( ?? ?? tAx
----简谐振动表达式
)s i n ( ??? ??? tA
加速度
2
2
dt
xd
a ? )c o s (2 ??? ??? tA
)c o s ( ?? ??? ta m
第十九章 振动
即
xa 2??? ----简谐振动的运动学特征
----简谐振动的振幅,为物体离开
平衡位置最大位移的 绝对值
? ----简谐振动的初相位
?? ?t ----简谐振动的相位
A
?
----圆频率 (2?秒内的振动次数 )
二、简谐振动的基本物理量,
第十九章 振动
§ 19-2.谐振动与匀速圆周运动
AOM ?
t =0,?c o s
0 Ax ?
t 时刻
)c o s ( ?? ?? tAx
逆时针旋转
0xx
x
A
?
0M
1M
t?
A
参考圆
?
O
A
M
振幅矢量
一、旋转矢量法
第十九章 振动
[例 1]用旋转矢量法讨论质点初始时刻位
移为以下情况时谐振动的初相位,?A； ?-A； ?0，且向负方向运动； ?-A/2
，且向正方向运动
xO
2
A?
AA?
?
解,由旋转矢量法得
0?? ? ?? ?
? 2?? ? 3
4?
?
3
4?
? ?
3
2 ?
? ??或
?
2
?
第十九章 振动
二,相位差和相位的超前与落后
)c o s ( 1111 ?? ?? tAx
)c o s ( 2222 ?? ?? tAx
设
相位差 )()(
1122 ????? ????? tt
)()( 1212 ???? ???? t
同频率时
12 ??? ???
----初相差与 t 无关
第十九章 振动
讨论,
? 0?? ?
12 ?? ?
即 ----同相
? ?? ??? ??? ??
12
即 ----反相
? 0?? ? 12 ?? ?即
----第二个谐振动超前第
一个谐振动 ??
第十九章 振动
xa 2
2
2
dt
xd
????
§ 19-3简谐运动的动力学方程
一,动力学特征
根据牛顿第二定律
xm
dt
xd
mF 22
2
????
小结：简谐振动所受的外力与 位移成
正比 方向相反 。
第十九章 振动
kxF ?? 0 x
m
?胡克定律,物体所
受弹性力与物体的
位移成正比而反向
即
----简谐振动的动力学特征
0?F?
x
m
0
F?
2
2
dt
xd
mF ?? kx??
m
k
?2?
令
二、简谐振子的振动
第十九章 振动
? ------简谐振动的微分方程
0x
dt
xd 2
2
2
?? ?
根据微分方程的理论，这一方程的
解的形式为 ;
)c o s ( ?? ?? tAx
? ------简谐振动的标准形式
其中 Aωφ称为标准方程的三要素
第十九章 振动
讨论,
?由初始条件可确定 A和 ?,
设 t =0 时,
?c o s0 Ax ?? ?? s in0 Av ??
2
02
0 ?
?
?
?
?
?
??
?
v
xA ??
?
?
?
?
?
?
??
0
0
x
v
a r c t g
?
?
0xx ? 0vv ?
可得
)c o s ( ?? ?? tAx
第十九章 振动
?固有频率和固有周期,
----周期和频率由振动系统本身
的性质所决定，与 A和 ?无关
m
k
???
?
?2
?? T
k
m
?2?
T
1
??
m
k
?2
1
?
第十九章 振动
[例 2]如图的谐振动 x-t 曲线，试求其振
动表达式
s/t
m/x
O
2
1 2
解,由图知
s2,m2 ?? TA
T
?? 2?? ??
设振动表达式为 )c o s ( ?? ?? tAx
)s i n ( ??? ???? tAv
t=0时, 0?x ?c o s0 A?
2
?
? ???即
第十九章 振动
又 0?v 即 0s in ?? ?? A
0s in ?? ?
2
?
? ?
m)
2
c o s (2
?
? ??? tx
xO
2
?
旋转矢量法
2
?
? ??
0,0 ?? vx?
第十九章 振动
[例 3]质量为 0.01kg物体作周期为 4s,振
幅为 0.24m的 简谐振动 。 t=0时,位移
x=0.24m。 求 (1)谐振动表达式 ； (2)t=0.5s
时,物体的位置和所受的力 ； (3)物体从
初始位置运动至 x=-0.12m处所需的最短
时间
解, (1)设振动表达式为 )c o s ( ?? ?? tAx
其中 m24.0?A
s4?T
T
?
?
2
??
2
?
?
第十九章 振动
由 旋转矢量法得 0??
m
2
c o s24.0 tx
?
??
24.0 x024.0?
(2) t=0.5s,
2
1
2
c o s24.0 ??
?
x m17.0?
maF ? xm 2???
17.0)
2
(01.0 2 ????
?
N1019.4 3????
Ax ?0?
第十九章 振动
24.0 x024.0?
??
3
2
m i n ?t
x0 AA?
4T12T6T
或
124
m i n
TT
t ??
s
3
4
?
2
32
m i n
?
?
?? t s
3
4
?
??
3
2
m i n ?t?
(3)
12.0?
第十九章 振动
[例 4]一弹性系数为 k的轻弹簧,
下挂一质量为 m的砝码 。 开始
时用手托住砝码,使弹簧为原长
,放手后砝码开始振动 。 证明砝
码作谐振动,并写出振动表达式
m 0y
y
0
m
k
解,建立如图坐标系，原点为
物体静平衡时位置，它距
弹簧原长位置为 y0
mgky ?? 0 kmgy ?0
第十九章 振动
在 y处时
2
2
dt
yd
mFmg ??
)( 0yykF ???
m
m
0y
y
0
k
2
2
0
dt
yd
mkykymg ????
设
0
2
2
?? y
m
k
dt
yd
则
02
2
2
?? y
dt
yd
?
m
k
?? ----得证
即
第十九章 振动
设振动表达式为
)c o s ( ?? ?? tAy
由旋转矢量法得
?? ?
y0A? A
?
?c o sAy ? A?? 0y??t=0时
k
mg
??
k
mg
A ??
)c o s ( ???? t
m
k
k
mg
y
第十九章 振动
?
m
[例 5]如图系统, 已知物体质量为 m,光
滑斜面倾角为 ?,自由转动的定滑轮半径
为 R,转动惯量为 J,弹簧弹性系数为 k。
开始时物体静止,弹簧为原长,重物下滑
后开始振动 。 (1)证明重物作谐振动,并
写出振动表达式 ； (2)求
重物下滑的最大
距离,并用机械
能守恒定律验证
第十九章 振动
?
m
1T
'1T
'2T
2T
mg
0s in 1 ?? Tmg ?
021 ?? RTRT
02 kxT ?
k
mg
x
?s in
0 ?
设系统处于静平衡时弹簧伸长 x0
x
0
取物体静平衡
位置为坐标原
点，沿斜面向
下建立坐标系
解,(1)
?
?
?
?
?
第十九章 振动
物体振动时
2
2
1s i n
dt
xd
mTmg ???
?JRTRT ?? 21
)( 02 xxkT ??
可得
0
22
2
?
?
? x
RJm
k
dt
xd
----谐振动
其解为
)c o s ( ?? ?? tAx
?
?
?
?
?
?
m
1T
'1T'
2T
2T
mg
x
0
第十九章 振动
其中
2
RJm
k
?
??
由旋转矢量法得 ?? ?
0xA ?
k
mg ?s in
?
)c o s (
s i n
2
?
?
?
?
?? t
RJm
k
k
mg
x
而
第十九章 振动
(2)物体下滑的最大距离为
Axs ?? 0
k
mg ?s in2
?
由机械能守恒定律
2
2
1
s i n kssmg ???
k
mg
s
?s i n2
??
s
第十九章 振动
以弹簧振子为例,
pk EEE ??
22
2
1
2
1
kxmv ??
)(c o s
2
1
)(s i n
2
1 22222
????? ???? tkAtmA
2
2
1
kA? 22
2
1
Am ??
mk??
§ 19-4.谐振动的能量
第十九章 振动
?弹簧振子的动能和势能是随时间 (或位
移 )而变化的
)(c o s21)(s i n21 22222 ????? ?? tkAtmA
讨论,
?总的机械能保持不变, 即 动能和势能
相互转化
?谐振动系统的总能量与振幅的平方成
正比
2
2
1 kAE ?
第十九章 振动
[例 6]一水平放置的弹簧振子，质量为 m
，弹性系数为 k，当它振动时，在什么位
置动能和势能相等？它从该位置到达平
衡位置所需的最短时间为多少？
解, (1)
22
2
1
2
1
kxmv ??
)(c o s)(s i n 22222 ????? ???? tkAtmA
即 )(c o s)(s i n 22 ???? ??? tt
第十九章 振动
4???? ???? kt
)c o s ( ?? ?? tAx A
2
2
??因此
(2)
O x
4??? ??t 2)( ??? ???? tt
A22
42
??
? ???? t
4
?
?
k
m
t
4
?
??
第十九章 振动
1.单摆 l?
mg
由牛顿第二定律有
2
2
s i n
dt
d
mlmg
?
? ??
0s i n
2
2
??? ?
?
l
g
dt
d
? 很小时有 0
2
2
?? ?
?
l
g
dt
d
§ 19-5.单摆的微小摆动
第十九章 振动
)c o s ( ???? ?? tm
可得角谐振动表达式
其中
lg?? m? 为角振幅
讨论,
?单摆谐振动的频率由系统本身的性质
决定
第十九章 振动
一,阻尼振动
?阻尼振动, 能量或振幅随时间而减小
的振动
粘滞阻力
vf ???阻 ? ----阻尼系数
§ 19-6 阻尼振动
dt
dx
kx
dt
xd
m ????
2
2
?物体在 回复力 和 阻力 的作用下有
第十九章 振动
令
m
k
?20?
m
?
? ?2
0?
----无阻尼时振子的固有圆频率
? ----阻尼因子
02 20
2
2
???? x
dt
dx
dt
xd
??
特征方程为
02 202 ??? ?? rr
特征根为 2
0
2 ??? ????r
第十九章 振动
1.弱阻尼, ? ? ?0
22
02,1 ??? ????? ir
其解为 ? ???? ??? ? tAex t c o s
其中 22
0 ??? ???
讨论,
?阻尼振动的振幅 Ae－ β t随时间而衰减 。
β 越大, 阻尼越大, 衰减越快
第十九章 振动
? 周期性变化 ----阻尼振动周期 。质点每连续两次通过平衡位置
并沿相同方向运动所需时间间隔是相
同的
)'c o s ( ?? ?t
22
0
2
'
2
'
??
?
?
?
?
??T
0
2
?
?
? 0T?
?阻尼振动不是谐振动，
也不是周期运动
x
t
第十九章 振动
2.过阻尼,? ? ?0
2
0
2
2,1 ??? ????? r
)(
2
0
22
0
2
21
ttt ececex ????? ???? ??
讨论,
?? 越大，振幅衰减
越快
x
t
O
?阻尼过大时，在未到达平衡位置前，
能量就消耗完毕
第十九章 振动
临界阻尼
3.临界阻尼, ? ? ?0
????? 21 rr
? ?tccex t 21 ?? ? ?
----物体总能回
到平衡位置 小结,
?对阻尼振动，物体都随 t 的增大而 趋于
平衡位置 。 临界阻尼状态下运动物体回
到平衡位置所需时间最短
x
t
过阻尼
第十九章 振动
§ 19-7 受迫振动 共振
?自由振动：振动过程中，除弹性
力 (或准弹性力 )和阻尼力外,无
其它维持振动的外力 (强迫力 )
?受迫振动：振动系统 在连续周期
性外力 (强迫力 )作用 下发生的振
动
?一,受迫振动
第十九章 振动
1.振动方程
设周期性外力为 tFF ?c o s
0?
F0:强迫力力幅
?,强迫力的角频率
tF
dt
dx
kx
dt
xd
m ?? c o s0
2
2
?????
mk?20? m?? ?2 mFh 0?
第十九章 振动
令
thx
dt
dx
dt
xd
??? c o s2 20
2
2
????
在弱阻尼时 (? ? ?0),方程的解为
? ? )c o s ('c o s0 ????? ????? ? tAteAx t
齐次方程通解 非齐次方程特解
第十九章 振动
和谐振动 合成的
?受 迫振动是由阻尼振动 ? ?'c o s
0 ??
? ??? teA t
)c o s ( ?? ?tA
讨论,
?阻尼振动随时间而衰减，至一定时刻
受 迫振动达到稳定状态，此时系统作谐
振动
稳态振动方程为
)c o s ( ?? ?? tAx
----谐振动
x
t
过渡状态 稳定状态
第十九章 振动
2.稳态振幅和初相位
将 )c o s ( ?? ?? tAx 代入微分方程
thx
dt
dx
dt
xd
??? c o s2 20
2
2
???
得
)s i n (2)c o s (2 ??????? ???? tAtA
thtA ???? c o s)c o s (20 ???
t=0时
hA ??? ]s i n2c o s)[( 220 ??????
2?? ?t 0]c o s2s i n)([ 22
0 ???? ??????A
第十九章 振动
可求得
22
0
2
??
??
?
?
?
?tg
22222
0 4)( ???? ??
?
h
A
讨论,
?? >>?0或 ? <<?0，
受迫振动振幅较小
?? ??0时，受迫振
动振幅较大
0
A
?0?
0??
较小?
较大?
第十九章 振动
3.共振
?共振,受迫振动的振幅出现极大值的
现象
?共振圆频率,共振时周期性外力 (强迫
力 )的圆频率
求极值，令
?d
dA ]
4)(
[
22222
0 ????
? ??
?
h
d
d
0?
第十九章 振动
共振时振幅
22
02 ??? ?
?
h
A
讨论,
?β 越小,共振圆频率 ?共振 越接近受迫振
动系统的固有圆频率 ?0,共振时振幅
也越大, 共振现象越尖锐
可得 圆频率 22
0 2 ??? ??共振
第十九章 振动
?实际中 ? 不可能为零, 即总有能量损
失, 而且振动越强, 损失越大 。 因此 ?
越小, 共振所达到的最大振幅也越大,
但不会达到无限大
Tacoma大桥被风损坏的情景
第十九章 振动
一,同方向同频率谐振动的合成
1.代数法
? ?111 c o s ?? ?? tAx
? ?222 c o s ?? ?? tAx
设有两个谐振动
§ 19-8 同方向谐振动的合成
21 xxx ???
)s i ns i nc o s( c o s 111 ???? ttA ??
)s i ns i nc o s( c o s 222 ???? ttA ??
第十九章 振动
?c o sA? ??? ?? tA c o s ?s inA
tAA ??? c o s)c o sc o s( 2211 ??
tAA ??? s i n)s i ns i n( 2211 ??
由
??? c o sc o sc o s 2211 AAA ??
??? s i ns i ns i n 2211 AAA ??
)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA
2211
2211
c o sc o s
s i ns i n
??
??
?
AA
AA
tg
?
?
?
得
第十九章 振动
?
x
?
2.旋转矢量法
1?
1A
A
1x2x
2?
2A
2x
0 x
21 xxx ??
? ??? ?? tA cos
12 ?? ?
第十九章 振动
讨论, ?合振动仍然是简谐振动, 其频率与分
振动相同
?合振动振幅不但与两分振动的振幅有
关, 而且与相位差有关
21 AAA ??
),1,0(212 ????? kk ???? 时 (同相 )
m a xA?
),1,0()12(12 ?????? kk ???? 时 (反相 )
21 AAA ?? m i nA?
第十九章 振动
[例 7]已知两谐振动的曲线 (如图 ),它们是
同频率的谐振动,求它们的合振动方程
5
5?
cm/x
s/t
0 05.0 1.0
1
2
解,由图知 cm5?A s1.0?T
T?? 2?? ?20?
1振动在 t=0时,
00 ?x 00 ?v
2
1
?
? ???
第十九章 振动
2振动在 t=0时,5
0 ??x
A?? ?? ?? 2
cm)220c o s (51 ?? ??? tx
cm)20c o s (52 ?? ?? tx
xO
1M
2M
?
4
5
A
由旋转矢量法 2
2
2
1 00 MMA ?? cm25?
??
4
5
?
cm)
4
5
20c o s (25 ?? ??? tx
第十九章 振动
§ 19-9同方向不同频率谐运动的合成
设 )c o s (
111 ?? ?? tAx
)c o s ( 222 ?? ?? tAx
讨论 A1=A2=A的情况
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?
? ?
????
ttA
2
c o s
2
c o s2 1212
21 xxx ??
第十九章 振动
? 时合振幅 随
时间周期性缓慢地变化
21 ?? ? )
2
c o s (2 12 tA
?? ?
作角频率近于 或
的谐振动
)
2
c o s ( 12 ?
??
?
?
t 2? 1?
讨论,
?振动出现时强时
弱的拍现象
第十九章 振动
合振幅最大处
1)c o s ( 12 ?? t??? ?nc o s?
即两相邻振幅极大之间的相位差为 ?
????? ??? )( 12 ?,振幅变化周期
拍频
?
?
1
? 12 ?? ??
tt ???
??
)c o s (
2
c o s 1212 ??
?
?
?
第十九章 振动
x
0
1A
1?
2A
2?
x
0
1A
1?
2A
2?
x
02A
2?
1A
1?
0?? ?
t???? )( 21 ???
?? A1追上 A2
???? )( 21 ??? ?2?
?
?
1
??
?
??
2
21 ??
21 ?? ??
周期:?
最强
最弱