第二十章 波动
§ 20-1行波
§ 20-2 简谐波的形成
§ 20-6 波的能量
§ 20-8 波的叠加 驻波
§ 20-9 声波
§ 20-4 物体的弹性形变
§ 20-3 简谐波的波函数 波长
§ 20-10多普勒效应
§ 20-5 弹性介质中的波速
§ 20-7 惠更斯原理与波的反射和折射
第二十章 波动
一,机械波产生的条件 ----波源和媒介
?机械波源,作机械振动的物体
?弹性媒质,质元之间彼此有弹性力联
系的物质
§ 20-1 行波
二,两类机械波 ----横波和纵波
?横波,质元的振
动方向与波动的
传播方向垂直
第二十章 波动
?纵波,质元的振
动方向与波动传
播方向平行
自然界中的地震波既有横波成分，又
有纵波成分，还有使地面扭曲的表面
波成分。水波看似横波，实际上要复
杂些，水波中的水的质元是做圆或椭
圆运动。
第二十章 波动
三、波的几何分类
?（一）,波阵面和波射线
?波阵面 (波面 ),某一时刻振动相
位相同的各点连成的面 (同相面 )
?波前：最前面的波面
?波射线 (波线 )：波的传播方向
?各向同性媒介中，波线与波面垂
直
第二十章 波动
球面波
波阵面 波射线 波阵面 波射线
平面波
第二十章 波动
§ 20-2 简谐波的形成过程
?波上的许多相同的质元，相互间有
弹性力的作用。
?开始最端点的质元离开自己的平衡位置振动；
?此后相邻质元在弹性力的作用下，
重复前一个质元的振动。
?以此类推，将振动形式由近及远传
播，形成波形。
第二十章 波动 横波的形成图示
t=0
t=T/4
t=T/2
t=3T/4
t=T
t=5T/4
第二十章 波动
?简谐波, 谐振动 在弹性媒质中 的传
播所构成的波
?波动方程,描述波动沿波线传播的
解析表达式
----波源和媒质中各质元作
同频率的谐振动
§ 20-3 简谐波的波函数 波长
第二十章 波动
一,平面简谐波的波动方程
?设波源在原点 O作谐振动
? ??? ?? tAy c o s0 u
?原点的振动状态传输到
x 处的 P点需时间 ux /
x?P点 t 时刻的位移
)(),( 0
u
x
tytxy ?? ])(c o s [ ?? ???
u
x
tA
----平面谐波的波动方程
x
y
O
P
第二十章 波动
)()(
u
tux
tt
u
x
t
??
????? ???
)(
u
xx
tt
??
???? ?
),(),( ttxxytxy ??????
---- 经 波形沿波线传播了 ?x的距离 t?
1、波动方程反映了波形的传播
二、波速 周期 波长,
第二十章 波动
其中 u是振动的相位传播的速度，称
为波速。
?2,简谐波的周期
?简谐波的任意质元都作简谐
振动，因而简谐波具有时间
的周期性其周期为
?
?2
T ? ??? 2T1 ??
第二十章 波动 3、波长,
?波还有空间上的周期性，那
就是在时间上一个周期波传
播的距离叫波长。
uT
u2
??
?
?
?
或者
???u
第二十章 波动
?当 x 一定时 (设为 x’)
)( ty? ])
'
(c os [ ?? ???
u
x
tAy
??? ??? ux ''令
t
y
O
振动曲线
则 )'c o s ( ?? ?? tAy
---- x’处质点的谐振动
三简谐波方程的物理含义
第二十章 波动
?振动状态传
输
x?
x0
y
tt ??
t
A B
x
'A
?质元的振动
A B
?? ?? )(
u
x
t ?? ???? )(
u
x
tt
A 'A
t? tt ??
?波动方程反映了各质元的振动
质元相位
第二十章 波动
?当 t 一定时 (设为 t’)
])'(c o s [ ?? ???
u
x
tAy )( xy?
令
??? ?? '' t
)'c o s ( ?
?
??
u
x
Ay
则
----t’ 时刻波线上各质点的位移
t’时刻的波
形 曲线
x
y
O
第二十章 波动
?波动方程的其他形式
???? 22 ?? T? Tu ??
?波动沿 x 轴 负向传播,波动方程为
])(c o s [ ?? ??? uxtAy
])-t(2[A c o sy x ??? ? ??
])(2[A c o s XTt ?? ? ???
第二十章 波动
[例 2]沿 x轴正向传播的平面余弦波,原点
的振动方程为
波长 ?=36米，试求,?波动方程； ?x=9
米处质点的振动方程； ?t =3秒时的波形
方程和该时刻各波峰的位置坐标
米)39c o s (106 2 ?? ??? ? ty
解,?设所求波动方程为
])(c o s [ ?? ??? uxtAy
第二十章 波动
m106 2???A? 9?? ? 3?? ?
???u
m]
3
)
2
(
9
c o s [106 2
??
????? ?
x
ty
?
?
?
2
? 36
29
?
?
?
?
? sm2?
? x=9m时,其振动方程
m)
69
c o s (106 2
??
??? ? ty
第二十章 波动
? t =3s时,波形方程
m)
183
2
c o s (106 2 xy
?
? ??? ?
波峰处有
1)
183
2
c os ( ?? x
?
?
?
?
? kx 2
183
2
???
?2,1,0)3612( ????? kkx得
----各波峰的位置坐标
第二十章 波动
[例 3]下图为一平面余弦横波 t=0时的波
形，此波形以 u=0.08米 /秒的速度沿 x轴
正向传播。求,?a,b两点的振动方向；
?0点的振动方程； ?波动方程
mx
my
O
u2.0
2.0
4.0
a
b
解,?由波形传播过程知 a向下,b向上
?设 0点振动方程为
)c o s ( ?? ?? tAy
m2.0?A?
m4.0??
第二十章 波动
??? 2??
?
?
u
2?
4.0
08.0
2 ?? ?
5
2
?
又 t =0时,0?y 0?v 2?? ??
mx
my
0
u
m)
25
2
c o s (2.0
?
??? ty
?波动方程为
m]
2
)
08.0
(
5
2
c o s [2.0
?
???
x
ty
第二十章 波动
[例 4]波源在坐标原点 0处,其振动表达式
为,由波源发出波长为 ?
的平面波沿 x 轴的正方向传播，在距波
源 d处有一平面将波反射 (无半波损失 )。
则在坐标 x处反射波的表达式为什么?
tAy ??2c o s0 ?
u
x
d
0
x
第二十章 波动
解,在 d处的振
动方程为
)(2c o s udtAy d ?? ??
反射至 x处，又滞后
u
xd ?
)(2c o s
u
xd
u
d
tAy
?
???? ??
)
2
(2c o s
?
??
xd
tA
?
??
u
x
d
0
x
第二十章 波动
[例 5]一平面波以速度 u=10m/s沿 x轴反向
传播, 波线上 A和 B相距 5cm,A点的振
动方程为 ya=2cos(2? t+?)。 试分别以 A和
B为坐标原点列出波动方程, 并求出 B点
振动速度的最大值
AB
u
x
解,?以 A为坐标原点的波动方程为
])
10
(2c o s [2 ?? ???
x
ty
?令 x=-0.05m，得到 B点的振动方程
第二十章 波动
])1005.0(2c o s [2 ?? ??? ty B
)
100
2c o s (2 ?
?
? ??? t
以 B点为坐标原点的波动方程为
]
1 0 0
)(2c o s [2 ?
?
? ????
u
x
ty
?
dt
dy
v BB ? )
100
2s i n (4 ?
?
?? ???? t
?4m a x ?? Bv
第二十章 波动
?弹性,外力去除后, 物体的变形随
之消失的性质
?基本变形
拉伸和压缩
剪切
§ 20-4 物体的弹性形变
一、基本概念,
形变,物体在外力作用下，形状或
体积发生变化。
第二十章 波动 1.线变
?弹性体沿着轴线方向的拉伸
和压缩变形叫做 线变 。
ff
l
S
ll ??
线变
S
f
??
应力
l
l?线应变
l
l?
?
?
E ----杨氏模量
定义
第二十章 波动
设拉力不太大时,
l
S
ff
ll ??
线变
,/Es,
s,
近似常数变
基本不较小
?
??
??
?
???? k
ES
F
K 称为 劲度系数
2、线变时的弹性势能
第二十章 波动 类比弹簧的弹性势能
?其中
2
P )(k2
1
W ??? 2)(ES
2
1
?
?
??
2)(ES
2
1
?
?
?
?
?
VS ??
2
P )(E
2
1
?
??
??
单位体积内的弹性势能等于杨氏模
量与线应变的平方的乘积的一半。
第二十章 波动
?
?
?G
----切变弹性模量
2.切变
切应力
S
f
??
D
d?
??
切应变
设柱体受切向力作用
定义
f
f
?
切变
△ d
D
第二十章 波动 2、切变时的弹性势能
?类比弹簧，单位体
积内的弹性势能
f
f
?
切变
△ d
D
22
P )(G2
1
2
1
D
d
G
?
?? ??
在横波形成时，介质中
的各质元都发生切变，
各质元都有上式给出的
弹性势能
第二十章 波动
三,体变
1.弹性体的体积变形
0V
V
体变
f
f
f
f
设立方体受正压力 f 作用
压强 (应力 )
S
f
p ??
体应变
0
0
0 V
VV
V
V ?
?
?
第二十章 波动 根据胡克定律
?体积模量的倒数叫压
缩系数
0V
V
体变
f
f
f
f
v
v
kp
?
???
定义
0
k
V
V
p
?
?
----体积模量
第二十章 波动
讨论,
?弹性模量的大小决定于材料的弹性
，它反映了 材料抵抗形变的能力
?液体和气体只能发生体积形变
，因此只有体变弹性模量
§ 20-5弹性介质中的波速
第二十章 波动
一,波速与弹性模量的关系
?弹性波的 波速 由介质的 弹性模量 和 密度
(?)所决定
?波速 (相速 ),单位时间内一定的振动位
相传播的距离
----振动状态传播的快慢程度
?在均匀各向同性的 固体介质 中
横波
?Gu ?
纵波 ?Yu ?
第二十章 波动
?液体和气体只有体变弹性，只能传播纵
波，即
?Bu ?
?对理想气体，其中的声速
?? pu ?
m o lMRT??
,比热比 ?
?在紧张的柔软绳中，横波的波速
?Tu ?
T, 绳中的张力
?, 单位长度的质量
第二十章 波动 结论
?弹性模量越大 的介质中,波的传
播的速度就越大。 因为波是靠介
质的各质元间的弹性力作用形成
的。
?密度越大的介质,其中波的 传播
速度就越小 。因为密度大的介质
，其中各质元的质量大，惯性就
大，前面的质元不容易被后面的质元弹力所带动
第二十章 波动
动能
势能
能量
传播
一,波的能量
?以纵波在细棒
中传输为例
§ 20-6 波的能量
波传播
媒质弹性形变
媒质质点振动
?
?
?
?取体积元 ab
a b
x x?
y yy ??
x0
x0 'a 'b
yyx ???? yx ???
原长为 ?x,长度变化为 ?y
第二十章 波动
体积元振
动速度
t
y
v
?
?
? )(s i n
u
x
tA ??? ??
设体积元体积为 ?V,质 量 为 ?m=??V
? ? 2
2
1
vmW k ??? 2)(
2
1
vV?? ?
? ? )(s i n
2
1 222
u
x
tAV ??? ???
1.振动 动能
?设波动方程为 )(c o s
u
x
tAy ?? ?
第二十章 波动
2u?
体积元 胁变,?y / ?x
体积元所受弹性力
x
y
YSf
?
?
? yk??
? ? 2
2
1
ykW P ?? ? ? 2
2
1
y
x
YS
?
?
?
2
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
??
x
y
xYS
V?
体积元的 弹性势能
2.弹性势能
)(s i n
u
x
tA
ux
y
??
?
?
?
?
?
第二十章 波动
? ? )(s i n
2
1 22
2
2
2
u
x
tA
u
VuW p ???? ?
?
?
? ? )(s i n
2
1 222
u
x
tAV ??? ???
即
pk WW ?
?体积元总能量
pk WWW ?? )(s i n)(
222
u
x
tAV ??? ???
? ? )(s i n
2
1 222
u
xtAVE
k ??? ???
第二十章 波动
讨论,
?波传播时，任一体积元的动能、势能和总能量作
同相 的周期性变化
?体积元在 平衡位置 时,动能、势能和总
能量 最大 ； 位移最大 时，三者均 为零
?体积元总能量不守恒,它 不断从前面
媒质吸收能量，又不断地将能量传递
给后面媒质 ----能量传播
)(c o s uxtAy ?? ?
)(s i n)( 222 uxtAVE ??? ???
第二十章 波动
二,波的能量密度 ?能量密度,单位体积内的波动能量
V
W
w
?
? )(s i n 222
u
x
tA ?? ???
?一周期内的平均值 (平均能量密度 )
??
T
w dt
T
w
0
1 22
2
1
?? A?
第二十章 波动
三,波的能流密度 (波的强度 )
?能流, 单位时间内通过某
一面积传播的能量
?一周期内平均值 (平均能流 )
Suwp ?
S
u
u
?能流密度 (波的强度 ),通过垂直于波传
播方向的单位面积的平均能流
S
P
I ? 22
2
1
Au ???uw? 22
2
1
Az ??
第二十章 波动
其中 uz ?? ----介质的特性阻抗
22,???? IAI
四,波的吸收
?波的吸收,波在传输过程中，强度和
振幅衰减的现象
定义, 单位传输距离上，波幅衰减的相
对值为吸收系数
即
A dx
dA
???
第二十章 波动
xeAA ????
0
设 x=0时,A=A0,则有
?? ??
xA
A
dx
A
dA
00
?
xeII ?2
0
???
2AI ??
第二十章 波动
一,惠更斯原理
? 论述, 媒质中波动传到的各点都可以看作是新的
次波源, 这些新波源发射的波称为子波, 其后任
一时刻这些子波的包络面就是该时刻的新波阵面
§ 20-7惠更斯原理与波的反射和折射
第二十章 波动
tu? tu?
球面波 平面波
第二十章 波动
二,波的衍射, 反射和折射
1.衍射
?衍射,波传播过程中遇到障碍物而发
生偏离原方向传播的现象
第二十章 波动
第二十章 波动
2.反射
A
1A
2A
B C
'A
'ii i 'i
CAAA 2' ?
CAAACA '2 ???
CAAACA 2' ????
而
0
2 90'' ?????? iCAAiACA
'ii ??
第二十章 波动
3.折射
A
1A
2A
B C
?
?
i
1u
2u
'A
'B
iACCA s in2 ? tu ?? 1
?s in' ACAA ? tu ?? 2
21
2
1
s i n
s i n
n
u
ui
???
?
21 uu ?
设
n21,2介质对 1介质的相对折射率
第二十章 波动
三,波的传播规律
?独立性,几列波在媒质中相遇时,各个
波将保持本身特性 (频率, 波长, 振动
方向等 )沿原方向继续传播, 与未相遇
一样
?叠加原理, 在几列波相遇区域,任一
质点的振动为各个波 单独 在该点引起的
振动的合成
第二十章 波动
四,波的干涉
?相干波的条件, 频率相同
,振动方向相同, 相位相
同或相位差恒定
?干涉现象,波在媒质中叠
加时，出现某些地方振动
始终加强，某些地方振动
始终减弱或完全抵消的现
象
视频
第二十章 波动
?设两相干波源的振动表达式为
)c o s ( 11010 ?? ?? tAy
)c o s ( 22020 ?? ?? tAy 1S
2S
P
1r
2r传输到 P点时振动方程为
)2c o s ( 1111 ???? ??? rtAy
)2c o s ( 2222 ???? ??? rtAy
P点的合振动为
21 yyy ?? )c o s ( ?? ?? tA
第二十章 波动
其中
)2c o s (2 1212212221
?
???
rr
AAAAA
?
?????
)
2
c o s ()
2
c o s (
)
2
s i n ()
2
s i n (
2
22
1
11
2
22
1
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
r
A
r
A
r
A
r
A
tg
???
???
?
讨论,
?空间某点
?
???? 1212 2
rr ?
????
----空间每点有 恒定的合振幅 A
第二十章 波动
?空间各点的 不同，因此各点有不同的合振幅 A ??
?由波的强度
2AI ?
所以叠加波的强度为
????? c o s2 2121 IIIII
----空间各点的强度与 ?? 有关,即随
位置而变化，但是稳定的
第二十章 波动
?2,1,02 ????? kk ??
?当
21 AAA ??
有
?2,1,0)12( ?????? kk ?? 当
21 AAA ??
有
2121 2 IIIII ???
----强度最强
2121 2 IIIII ???
----强度最弱
m a xA?
m i nA?
第二十章 波动
?如果,波程差
21 ?? ?
?k?
? ?
2
12
?
?? k
?,2,1,0 ???k
12 rr ???
m a xAA ?
12 rr ???
m i nAA ?
----半波长偶数倍
有
----半波长奇数倍
有
第二十章 波动
[例 5]两列相干平面简谐波沿 x轴传播。
波源 S1和 S2相距 d=30m,S1为坐标原点,
已知 x1=9m和 x2=12m处的两点是相邻的
两个因干涉而静止的点。求两波的波长
和两波源的最小位相差
x0 1x
2x
1S 2S
解,设 S1,S2的初相位为 ?1, ?2
因 x1和 x2处为相邻干涉静止点，有
第二十章 波动
?
?
?
?
?
?
? )12(]
2
[]
)(2
[ 1112 ????
?
? k
xxd
?
?
?
?? )12(
)2(2 1
12 ??
?
??? k
xd
同理
?
?
?
?? )32(
)2(2 2
12 ??
?
?? k
xd
x0 1x
2x
1S 2S
第二十章 波动
相减得
?
?
?
2
)(4 12
?
? xx
)(2 12 xx ??? ? )912(2 ??? m6?
?
?
???
)2(2
)32( 212
xd
k
?
?????
?)52( ?? k
k=-2时，位相差最小
??? ?? 12
第二十章 波动
一,驻波的产生和特点
?驻波,两列振幅相同的相干波沿相反
方向传播时叠加而成的波
uu
0?t
0 x
§ 20-8 波的叠加 驻波
第二十章 波动
4
T
t ?
2
T
t ?
始终静止 ---波节
0 x
0
x
振幅最大 ---波腹
第二十章 波动
特点,
?某些点始终静止 (波节 )，某些点的振幅
最大 (波腹 )，其它各点的振幅在 0--2A
之间，两相邻波节或波腹之间的距离
为 ?/2
?每一时刻合成波波形一定，且不左右
移动 ----驻波
?驻波没有振动和能量的传播 ----不是波，
只是一种特殊的振动形式
第二十章 波动
?分段振动。相邻两波节之间各点振动同步 ----同相 ；相邻两段的振动方向相
反 ----反相
二,驻波的表达式
)](c o s [1
u
x
tAy ?? ?
)](c o s [2
u
x
tAy ?? ?
?设相向而行的两列相干波为
第二十章 波动
合成波
21 yyy ?? t
u
x
A ?
?
c os)c os (2?
讨论,
?坐标为 x处的质元作振幅为 的
谐振动 u
x
A
?
c os2
?驻波表达式中不含 因子，即
它不是波动，只是振动 )( uxt ?
第二十章 波动
?波腹的位置：满足
1c os ?
u
x?
?,2,1,0 ????? kk
u
x
?
?
?
?
u
kx ?
?
?
?
2
k?
2
?
k?
?相邻波腹的间距为
kk xxx ??? ? 1 2??
第二十章 波动
?波节的位置：满足 0c os ?
u
x?
2,1,0
2
2
?????? kkx
?
?
?
?
4
)12(
?
??? kx
?同样可得相邻波节的间距也为 2?
第二十章 波动
?两相邻波节间各点振动相位相同，相
邻两分段上各点振动相位相反
0 x
?驻波能量在 波腹和波节之间交替转移 -
---无能量的定向传播
第二十章 波动
1u
2u
三,反射波的周相和半波损失
?波疏媒质, 较小的媒质 uz ??
?波密媒质, 较大的媒质 uz ??
?波疏 波密媒质, 反射点出现波节
2?
22u?11u? ?
1 2
第二十章 波动
2u
?即在反射点反射波的相位有 ? 突变
----半波损失
?波密 波疏媒质, 反射点出现波腹
1u
22 u?11u? ?
1 2
?即在反射点入射波和反射波同相
第二十章 波动
波疏 波密
0x
入射波
反射波 x
y
0
解,入射波传播
到 x0点产生
的振动为
)(c o s 01 uxtAy ?? ?
[例 6]如图,已知入射波的方程为
)(c o s uxtAy ?? ?
试求反射波的波动方程
第二十章 波动
])(c o s [2 ?? ??? uxtAy
设反射波方程为
因 x0处入、反射波的相位差为 ?
)]([])([ 00 uxtuxt ???? ???
?? ?? ux 02 ??
ux 02 ??? ???
])
2
(c o s [ 02 ?? ????
u
x
u
x
tAy可得
第二十章 波动
另解,x0处反射时相位产生 突变 ?
所以反射波在 x0处的振动方程为
])(c o s [' 02 ?? ??? uxtAy
反射波传播 l距离至 x处，滞后 l/u时间
波疏 波密
0x
入射波
反射波 x
y
0
x
l
第二十章 波动
])(c o s [ 02 ?? ?????
u
l
u
x
tAy
])(c o s [ 00 ?? ?
?
???
u
xx
u
x
tA
])
2
(c o s [ 0 ?? ????
u
x
u
x
tA
第二十章 波动
?多普勒效应,波源, 观察者
或两者相对媒质运动时, 观
察者接收到的波的频率不同
于波源频率的现象
?设波传播速度为 u，波源速度为 vs，观
察者速度为 vb，波源频率为 ?
§ 20-10 多普勒效应
呜
第二十章 波动
1.波源不动, 观察者相对于媒质运动
?观察者向波
源运动时 s b
bv
u
则波以速度 通过观察者
bvu ?
?
? b
vu ?
?? '
?u
vu b?
? ?)1(
u
v b
??
----接受频率高于波源频率
第二十章 波动
?若 观察者背离波源运动，则有
?? )1('
u
v b
??
----接受频率低于波
源频率
2.观察者不动，波源相对媒质运动
's
s
b
b
sv
?波源向观察
者运动时
第二十章 波动
Tvs
'?
?
Tv s?? ?? ' TvuT s??
Tvu s )( ??
'
'
?
?
u
??
Tvu
u
s )( ?
?
?
svu
u
?
? ----接受频率高于波源频率
?若 波源背离观察者运动，则有
??
svu
u
?
?' ----接受频率低于波源频率
第二十章 波动
3.波源和观察者同时相对于媒介运动
?设 波源和观察者相向运动，则波相对
于观察者的速度为
bvu ?媒质中的波长为
Tvu s )(' ???
'
'
?
? b
vu ?
??
Tvu
vu
s
b
)( ?
?
? ?
s
b
vu
vu
?
?
?
?波源和观察者相背离运动，则
??
s
b
vu
vu
?
?
?'
第二十章 波动
讨论,
uv s ?
A
tvs
ut
sv
?
sv
u
??s in
u
vs ----马赫数
----马赫角 ?
冲击波
'A
B
第二十章 波动
[例 7]如图振源 S位置固定,反射面以速度
v=0.2m/s朝观察者 R运动,R听到拍音频
率 ?b=4Hz,求振源频率 ?s (已知空气中声
速为 340m/s)
v
R S
解,R可以直接接受 S的
波和经反射的波
直接接受的频率
s?? ?1
接受反射后波的频率
s
vu
vu
??
?
?
?2
第二十章 波动
拍频
12 ??? ??b s
vu
vu
?)1( ?
?
?
?
bs
v
vu
??
2
?
?? 4
2.02
2.034 0
?
?
?
?
Hz3398?
