?研究电磁现象的有关
规律及其应用的科学
?静电场,相对于观察者静
止的电荷所产生的电场
第十一章 静止电荷的电场
§ 11-1 电荷
§ 11-2 库仑定律与叠加原理
§ 11--3 电场和电场强度
§ 11-4 静止的点电荷的 电场及其叠加
§ 11-5电场线和电通量
§ 11-6高斯定律
§ 11-7利用高斯定律求静电场的分布
第十一章 静止电荷的电场
§ 11-1 电荷
?自然界只存在两种电
荷,同种电荷相排斥，
异种电荷相吸引
?美国物理学家富兰克林首先称其为 正电荷
和 负电荷
? ?
? ?
一,电荷的种类,
?带电的物体叫带电体
第十一章 静止电荷的电场
?质子和电子是自然界存在的最小正, 负电荷, 其 数值相等, 常用 +e和 -e表示
?1986年 e 的推荐值为
C(库仑 )：电量的单位
C106 0 2 1 7 7 3 3.1 19???e
§ 11-1 电荷
二,电荷量子化
?实验表明,任何带电体或微观粒子所带电
量都是 e的整数倍 ----电荷量值不连续
?电荷量子化,电荷量不连续的性质
第十一章 静止电荷的电场
?摩擦起电
?摩擦起电的本质,电子从
一个物体转移到另一个物
体
三,电荷守恒定律
常见的两种起电方式,
§ 11-1 电荷
第十一章 静止电荷的电场
?感应起电,
?感应电量
等值异号
A
B
A
B
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
A???
B ???
B ???
A???
§ 11-1 电荷
第十一章 静止电荷的电场
?电荷守恒定律,电荷只能从一物体转移到另一物体, 或从物体的一部分转移到另一
部分, 电荷既不能被创造, 也不能被消灭
§ 11-2 库仑定律
?点电荷,可以忽略形状和大小以及电荷分
布情况的带电体
?1785年法国科学家库仑通过扭秤实验得到
两个 静止点电荷 之间相互作用的基本规律
§ 11-2 库仑定律与叠加原理
第十一章 静止电荷的电场
213
21
21
21
r
r
qq
kF
??
?
1r
?
2r
?
21r
? 21F?
12F? 1q
2q
y
z
x
O
or
r
qq
kF
212
21
21
21
??
?或
rrr o ?? ?其中 ----单位矢量
§ 11-2 库仑定律
1221 rr
??? ??
2112 FF
?? ???
123
12
21 r
r
qq
k
?
?
第十一章 静止电荷的电场
?实验测得 229 /CmN109 8 7 5.8 ???k
229 /CmN100.9 ???
?k常用常数 ?0 表示,
04
1
??
?k
其中 ?0=8.85?10-12 C2/N?m2
----真空介电常量
§ 11-2
213
21
21
0
21 4
1
r
r
qq
F
??
???
??
----库仑定律
第十一章 静止电荷的电场
说明,
?对于不能抽象为点电荷的带电体, 不能
直接应用库仑定律计算相互作用力
?库仑定律表达式中引入, 4?,因子, 称
为单位制的有理化, 这可使以后的推导
结果简化
§ 11-2
第十一章 静止电荷的电场
五,静电力叠加原理
?设空间中有 n个点电荷 q1,q2, q3 … q n
?
?
?
?
n
ij
j
iji
FF
1
??
-----静电力叠加原理
实验表明,qi受到的总静电力等于其它各点
电荷 单独存在时 作用于 qi上静电力的矢量和
?
?
?
?
n
ij
j
o
ij
ij
ji
r
r
qq
1
2
0
4
1 ?
??
§ 11-2
即
第十一章 静止电荷的电场
?超距的观点, 电荷 电荷
一,电场
历史上的两种观点,
?电场的观点, 电荷 场 电荷
?近代物理的观点认为：凡是有电荷存在的
地方，其周围空间便存在电场
§ 7-3 电场和电场强度
第十一章 静止电荷的电场
静电场的主要表现,
?力, 放入电场中的任何带电体都要受到电
场所作用的力 ----电场力
?功, 带电体在电场中移动时, 电场力对它
作功
?感应和极化, 电场中的导体或介质将分别
产生静电感应现象或极化现象
§ 7-3 电场 电场强度
第十一章 静止电荷的电场
二,电场强度 ?试探电荷,满足
?线度充分小,试探电荷可视为点电荷,以
便能够确定场中每一点的性质
?实验,
?将同一试探电荷 q0 放入电场的 不同地点
,
?
D 0q
C
0q
A
0q
B
0q
?带电量充分小, 可忽略其
对原有电场分布的影响
?q0 所受电场力大小和方向逐点不同
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
? 0q
P
?电场中 某点 P处放置不同电量的试探电荷,
2 F?23 F?3?所受电场力方向不变，
大小成比例地变化
----电场力不能反映某点的电场性质
?定义,电场强度
0q
F
E
?
?
?
?单位,牛顿 /库仑 (N/C)或伏特 /米 (V/m)
§ 7-3 电场 电场强度
第十一章 静止电荷的电场
三,场强叠加原理
?设空间有点电荷 q1,q2, q3 … qn
nFFFF
????? ????
21
P点处的试探电荷 q0 所受电场力为
?
?
?
n
i
iF
1
?
P点的场强为
0q
F
E
?
?
?
00
2
0
1
q
F
q
F
q
F n
?
?
??
????
§ 7-3 电场 电场强度
第十一章 静止电荷的电场
nEEEE
????? ?????
21 ?
?
?
n
i
iE
1
?
?场强叠加原理,电场中任一点处的场强等
于各个点电荷 单独存在时 在该点各自产生
的场强的矢量和
§ 11-4 电场 电场强度
第十一章 静止电荷的电场
一,点电荷的场强
?P点的试探电荷 q0所受的电场力为
P?
r?
q
0
2
0
04
1
r
r
qq
F
??
??
?
由场强的定义可得 P点的场强为
0q
F
E
?
?
? ----点电荷的场强 0
2
04
1
r
r
q ?
??
?
§ 11-4
§ 11-4静止的、点电
荷的电场及其叠加
第十一章 静止电荷的电场
讨论,
? 的大小与 q 成正比，而与 r2成反比 E?
? 的方向取决于 q 的符号 E?
?q>0, 的方向沿 的方向 (背向 q) E? r?
?q<0,的方向与 的方向相反 (指向 q) E? r?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
?点电荷的场是辐射状球对称分布电场
?
?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
二,点电荷系的场强
0
2
0
0
12
1
1
0
1
4
1
,
4
1
n
n
n
n r
r
q
Er
r
q
E
??
?
??
????
??
?设空间电场由点电荷 q1,q2,…q n激发
则各点电荷在 P点激发的场强分别为,
P点的总场强为
nEEEE
????? ????
21 ?
?
?
n
i
i
i
i r
r
q
1
0
2
04
?
??
----点电荷系的场强
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
[例 2]如图,一对等量异号电荷 +q和 -q，其间距离为 l且很近，这样的电荷系称为电偶极
子。定义 为电偶极矩，简称电矩,
的方向由 -q指向 +q。求 (1)两电荷延长线上任
一点 A的电场强度； (2)两电荷连线中垂线上
任一点 B的电场强度
lqp ?? ? l?
解, (1)设两电荷延长线上任一点 A到电偶极
子中点 O的距离为 r
?E
?
?E
?
r
l?
q? q?O
A
x
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
?E? ?E?
r
l?
q? q?O
A
x
2
0 )2/(4
1
lr
q
E
?
??
??
+q和 -q在 A点处的场
强大小分别为,
方向沿 x轴正向
方向沿 x轴负向
2
0 )2/(4
1
lr
q
E
?
??
??
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
?? ??? EEE A ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
22
0 )2/(
1
)2/(
1
4 lrlr
q
??
224
0 )2/1()2/1(4
2
rlrlr
q r l
??
?
??
因 pe=ql,当 r>>l 时有
3
0
2
4
1
r
ql
E A
??
? 方向沿 x方向
3
0
2
4
1
r
p e
??
?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
3
0
2
4
1
r
p
E eA
??
??
?
或 与电矩的方向一致
(2)设电偶极子中垂线上任一点 B
到 O点的距离为 r
q? q?O
r
B
y
?E
?
?E
?
? BE?
则
)4/(4
1
22
0 lr
q
EE
?
?? ??
??
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
?? coscos ?? ??? EEE B
在 y 方向上,和 的分量相互抵消
?E
?
?E
?
?c o s2 ?? E
22
)2/(
2/
c o s
lr
l
?
???
? ? 2/3220 )2/(4
1
lr
ql
E B
?
???
??
q? q?O
r
B
y
?E
?
?E
?
? BE?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
当 r>>l 时
3
04
1
r
ql
E B
??
?
方向沿 x负方向
即
3
04
1
r
p
E eB
??
??
??
与电矩的方向相反
3
04
1
r
p e
??
?
? ? 2/3220 )2/(4
1
lr
qlE
B
?
??
??
q? q?O
r
B
y
?E
?
?E
?
? BE?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
Q
?在带电体上任取一个电荷元
dq,dq在某点 P处的场强为
三,连续分布电荷的场强
dq
P
r?
0
2
04
1
r
r
dqEd ??
??
?
整个带电体在 P点产生的总场强为
EdE ?? ?? 0
2
04
1
r
r
dq ?
??
??
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
?根据电荷分布的情况, dq 可表示为
?在直角坐标系中
kdEjdEidEE zyx
????
??????
体分布dv?
?dq
?
?
?
线分布dl?
面分布ds?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
[例 3]设有一长为 L的均匀带电 q的直线，求直线中垂线上一点的场强
解,建立如图坐标系, O为直线
中点, P为直线中垂线上任一点
任取一长为 dy的电荷元 dq
?
Ed?
x
y
O
L
P
dy
x
y
o?
r?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
?
Ed?
x
y
O
L
P
dy
x
y
o?
r?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
?? ?? ?????
0
0
0
0
s i n
4
1c o s
4
1
00
?
?
?
?
?
??
??
?
??
??
jd
x
id
x
E
???
i
x
?
0
0
s in2
4
1 ??
??
??
22
2
0
)(
2/
s i n
x
L
L ?
???
i
xx
L
E
L
??
22
20
)(4 ?
??
??
?
§ 11-4
?
Ed?
x
y
O
L
P
dy
x
y
o?
r?
第十一章 静止电荷的电场
?当 x<<L时，带电直线可视
为,无限长,
讨论,
i
x
E
??
02 ??
?
?
则
?当 x>>L时, 即在远离带电直线的区域
i
x
L
E
??
2
04 ??
?
? i
x
q ?
2
04 ??
? 此时带电直线可看作点电荷 q
i
xx
L
E
L
??
22
20 )(4 ?
?
??
?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
[例 4]一半径为 R、均匀带电为 q的细圆环，求 (1)轴线上某一点 P的场强； (2)轴线上哪一
点处的场强极大？并求其大小
解,以圆环圆心 O为
原点建立如图坐标系
在圆环上任取一线
元 dl
dl
R
q
dq
?2
?则
x
x
P
dl
xEd
?
?Ed
?
?
R
O
Ed
?
r
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
0
2
04
1
r
r
dq
Ed
??
??
??
xEdE
?? ??
由对称性有
idE ??c o s??
idl
rR
q
l
?
2
0
c os
24
1 ?
???
??
x
x
P?
R
O
Ed
?
r
xEd
?
?Ed
?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
rx??c o s? 222 Rxr ??
Rdl
l
?2??
i
Rx
qx
E
??
2/322
0 )(4
1
?
???
??
为定值
且
----可看作集中在环心的点电荷
讨论,
?当 x>>R时，有
i
x
q
E
??
2
04
1
??
?
§ 11-4
x
x
P?
R
O
Ed
?
r
xEd
?
?Ed
?
第十一章 静止电荷的电场
? x =0时 0?E?
?E的极值位置
0
)(4
1
2/322
0
??
?
?
?
?
?
?
?
Rx
qx
dx
d
dx
dE
??
令
Rx
2
2
??可得
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
R
O
xPx
[例 5]一半径为 R的均匀带电薄圆盘，电荷面
密度为 ?,求圆盘轴线任一点的场强
r
dr
Ed
?
解,可将带电圆盘看
成是由许多同心带电
细圆环组成的
在圆盘上取一半径为 r，宽
度为 dr 细圆环
r d rdq ?? 2??则
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
i
rx
x d q
Ed
??
2/322
0 )(4
1
?
??
??
i
rx
r d rx ?
2/322
0 )(
2
4
1
?
?
??
??
因各细圆环在 P点的场强方向相同
EdE ?? ??? ?
?
?
R
o
i
rx
r d rx ?
2/322
0 )(4
2
??
??
i
xR
x ?
)1(
2 220 ?
??
?
?
§ 11-4
R
O
xPx
r
dr
Ed
?
第十一章 静止电荷的电场
讨论,
?x<<R时,带电圆盘可视为 无限大均匀带电
平面
有
iE
??
02 ?
?
?
----垂直于板面的匀强电场
i
xR
xE ?? )1(
2 220 ?
??
?
?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
?x>>R时
?? ????? ? 2
2
2
2
2
2/1
2
2
)(
8
3
)(
2
1
1)1(
x
R
x
R
x
R
2
2
2
1
1
x
R
??
i
x
R
E
??
2
0
2
4 ?
?
?? i
x
q ?
2
04 ??
?
----相当于点电荷 q的电场
i
xR
xE ?? )1(
2 220 ?
??
?
?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
一,电力线
?表示电场方向,曲线上每
一点的 切向 为该点的场强
方向
AE
? BE?
§ 11-5 电力线和电通量
A
B
?表示场强大小,电力线的疏
密程度表示场强的大小
E?
?
?
dS
dN
E
第十一章 静止电荷的电场
电力线的性质,
?电力线 起于正电荷 (或无限远处 ),终于负
电荷 (或无限远处 ),不会形成闭合曲线
?两条电力线不会相交
说明,
?电场是连续分布的，分立电力线只是一种
形象化的方法
§ 11-5电力线和电通量
第十一章 静止电荷的电场
§ 11-5电力线和电通量
第十一章 静止电荷的电场
二,电通量 ?电通量,通过电场中任一给定面的电力线
数
SEE ???
?均匀电场中,
?平面 S的法矢与场强成 ? 角
???? SEE SE
?? ??
S
?平面 S与场强垂直
?c o sES?
则
则
S
?S
?
n?
§ 11-5电力线和电通量
第十一章 静止电荷的电场
S
?非均匀电场中，对任意曲面 S,
E?
n?
?
dS
?在 S上任取一小面元 dS
??? E d Sd E SdE
?? ??
? ???? S EE d
?当 S是一个闭合曲面时
? ??? SE SdE
??
? ?? S SdE
??
n?
dS
n?
n?
, 对闭合曲面，自内向外为正方向 Sd?
§ 11-5电力线和电通量
第十一章 静止电荷的电场
一, 高斯定理,静电场中任一闭合曲面的
电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的
代数和除以 ?0
? ??? SE SdE
??即
闭合曲面 S称为 高斯面
??
内S
iq
0
1
?
§ 11-6高斯定理
§ 11-6高斯定理
第十一章 静止电荷的电场
?
S
q
?简证
?包围点电荷 q的球面,且 q
处于球心处
? ??? SE SdE
??
?? S dSE
?? S Ed S
2
2
0
4
4
1
r
r
q
?
??
??
0?
q
?
?推论,对以 q为中心而 r不同的任意球面而
言，其电通量都相等
'S
§ 11-6高斯定理
第十一章 静止电荷的电场
?
q
S
?包围点电荷 q的任意闭合曲面 S
'S
?以 q为中心作一球面 S’
? ???? SE SdE
??
0?q?
通过 S’的电力线都通过 S
?不包围点电荷 q的任意闭合
曲面 S
q
S
?
?穿入、穿出 S的电力线数
相等
0??? E
§ 11-6
第十一章 静止电荷的电场
?点电荷系 q1,q2,… qn电场中的任意闭合曲面
? ??? S iEi SdE
??对 qi,
?
?
?
?
0/ ?iq
在 S内
在 S外 0
S
1q
3q
iq
nq
2q?
? ???? SE SdE
??
EnEE ?????? ?21
? ? SdEEE
S n
??
?
??
????? ? 21
??
内S
iq
0
1
?
§ 11-6高斯定律
第十一章 静止电荷的电场
??? VE dV??
0
1
?对连续分布的带电体
?为电荷体密度,V为高斯面所围体积
讨论,
?当, ?E>0，即有电力线从正电荷
发出并穿出高斯面，反之则有电力线穿入
高斯面并终止于负电荷
? ? 0iq
§ 11-6
第十一章 静止电荷的电场
?电力线从正电荷出发到负电荷终止，是不
闭合的曲线
----静电场是, 有源场,
?高斯面上的场强 是总场强, 它与高斯面
内外电荷 都有关
E?
? 为高斯面内的 一切电荷 的代数和, 即
电通量只与高斯面所包围正负电荷代数和
有关, 与高斯面外电荷无关
?q
§ 11-6
第十一章 静止电荷的电场
一般步骤,
?分析电场所具有的对称性质
?选择适当形状的闭合曲面为高斯面
?计算通过高斯面的电通量
?令电通量等于高斯面内的电荷代数和除
以 ?o,求出电场强度
§ 11-7
§ 11-7利用高斯定律求静电场分布
第十一章 静止电荷的电场
[例 5]求均匀带正电球体内外的场强分布。设 球体半径为 R，带电量为 Q
解,带电球体的电场分布具有球对称性
取与球体同心球面为高斯面, 高斯面上场强
大小相等, 方向与面元外法向一致
? ??? SE sdE ?
?
?? S Ed s
?? S dsE 24 rE ???
R
Q
§ 11-7
r>R时,
外ErE
24 ???
0?Q?
r
第十一章 静止电荷的电场
R
r
r 204
1
r
Q
E
??
?? 外
r
r
Q
E
??
3
04
1
??
?外
或
r<R时,
内ErE
24 ??? ?? dV?
? 0
1 3
0 3
41
r??
?
???
§ 11-7
3)34( R
Q
?
? ??
0
3
3
2
4
?
?
Q
R
r
Er ??
内
第十一章 静止电荷的电场
3
04 R
Qr
E
??
?内
得
R
r
r
E
r0 R
r
R
Q
E
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3
04 ??
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或
§ 11-7
第十一章 静止电荷的电场
[例 6]求均匀带正电的无限大平面薄板的场强分布。设电荷面密度为 ?
E?E?
解,电场的分布具有面对
称性
高斯面取为两底与板面
对称平行，侧面与板面
垂直的圆柱形闭合面
§ 11-7
第十一章 静止电荷的电场
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12 SE ??
0
1
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02 ?
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?E
得
2S
1S3S
E
?E?
方向垂直于板面向外
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2 31 S SS
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§ 11-7
第十一章 静止电荷的电场
[例 7]求均匀带正电的无限长细棒的场强分
布 。 设棒的电荷线密度为 ?
h
r
P
2S
1S
3S
解：电场分布 具有轴对称性
,任一点处的场强方向垂直
于棒辐射向外
以棒为轴作半径为 r、长为 h
的圆柱闭合面为高斯面
§ 11-7
第十一章 静止电荷的电场
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321 SSS
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3S
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3S
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2
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由高斯定理有
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E
02 ??
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或
r
r
E
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2
02 ??
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§ 11-7
h
r
P
2S
1S
3S
第十一章 静止电荷的电场