第十五章 磁场的源
Bd?
r?
?
I
一,电流的磁场 毕奥 -萨伐尔定律
3
0
4 r
rlId
Bd
???
?
?
?
?
27
0 AN104
?? ??? ??
----真空磁导率
§ 15-1 毕奥 -萨伐尔定律
lId?
?电流元在 P点的磁感应强度
----毕奥 -萨伐尔定律 P
第十五章 磁场的源
?对任意载流导线
?? l BdB
??
?
?
?
l r
rlId
3
0
4
??
?
?
说明,
?恒定电流是闭合的, 不可能直接从实
验中得出毕 -萨定律
?闭合回路各电流元磁场叠加结果与实
验相符, 间接证明了毕 -萨定律的正确
性
§ 15-1
第十五章 磁场的源
[例 1]有一长为 L的载流直导线, 通有电流为 I,求与导线相距为 a的 P点处的磁感
应强度
解,任取一电流元，它在 P
点的磁感应强度
3
0
4 r
rlId
Bd
???
?
?
?
?
方向垂直于纸面向内
?每个电流元在 P点的磁场方向相同
a
P
1?
l
r?
?
2?
?
第十五章 磁场的源
??? LdBB ?? L r
I d l
2
0 s in
4
?
?
?
?tgc??? al ?s in/a?r?
?? 2s in/addl ?
??? L r
dlI
B
2
0 s i n
4
?
?
?
??
2
1
s in
4
0
?
?
??
?
?
d
a
I
)c o sc o s(
4
B 210 ??
?
?
???
a
I
a
P
1?
l
r?
2?
?
第十五章 磁场的源
讨论,
?角 θ1,θ2分别是直导线两
端的电流元和它们到 P点的
径矢的夹角
?对无限长载流直导线有
?? ?2
a
I
B
?
?
2
0??
01 ??
)c o sc o s(
4 21
0 ??
?
? ??
a
IB亦
a
P
1?
l
r?
2?
?
第十五章 磁场的源
[例 2]半径为 R的圆形载流导线通有电流 I,试求其轴线上 P点的磁感应强度
x
0
R
I
Px
lId?
r?
Bd?
?Bd
?
//Bd
?
解,取轴线为 x轴 任取一电流元 lId?
2
0
4 r
I dl
dB
?
?
?
方向如图
由对称性可知,
磁场沿轴线方向
第十五章 磁场的源
??? L dBB //?? LdB ?s in ?? dlr
IR
3
0
4 ?
?
3
2
0
2 r
IR?
?
2
3
22
2
0
)(2 xR
IR
?
?
?
方向沿 x轴正方向
----满足右手螺旋关系
x
0
R
I
Px
r? Bd?
?Bd
?
//Bd
??
第十五章 磁场的源
讨论,
?圆心处, x =0
R
I
B
2
0
0
?
??
?载流圆导线的磁矩
nISp m ?? ?
2
3
22
0
)(2 xR
p
B m
?
??
??
?
nRI ?2??
2
322
2
0
)(2 xR
IR
B
?
?
?
第十五章 磁场的源
[例 3]试求一载流直螺线管轴线上任一点P的磁感应强度 。 设螺线管的半径为 R，
单位长度上绕有 n匝线圈, 通有电流 I
1A 2A
R P
1?
2?
l dl
r ?
解,距 P点 l处任
取一小段 dl
小段上匝数
ndldN ?
方向沿轴线向右
2
3
22
2
0
)(2
dn
d
?
?
?
?
R
RI
B
?
第十五章 磁场的源
?2222 c s cRlR ???
1A 2A
R P
1?
2?
l dl
r ?
?? dRdl 2c s c??
?c t gRl ?
??? LdBB ???
2
1
s i n
2
0
?
?
??
?
dnI
)c o s( c o s
2
12
0 ??? ?? nI
第十五章 磁场的源
讨论,?螺线管为, 无限长,,
?? ?1
nIB 0???
----密绕长直螺线管轴线上的磁感应强度
各点都相等，与位置无关
02 ??
1A 2A
R P
1?
2?
l dl
r ?
)c o s( c o s
2 12
0 ??? ?? nIB
第十五章 磁场的源
[例 4]宽度为 a的无限长金属薄片, 均匀通以电流 I。 试求薄片平面内距薄片左端
为 r处 P点的磁感应强度
a
I
dx
'I
解,建立如图所示的坐标系
取宽为 dx距 P为 x的电流线元
dx
a
I
I ??
x
P r
O x
x
I
dB
?
?
2
'0
??
x
dx
a
I
?
?
2
0?
第十五章 磁场的源
?所有的电流线元在
P点的磁感应强度
同向
??? dBB ?
?
?
ar
r x
dx
a
I
?
?
2
0
r
ar
a
I ?
? ln
2
0
?
? 方向垂直于纸面向外
a
P r
O x
dx
'I
x
I
第十五章 磁场的源
一,运动电荷产生的磁场
?取电流元,它
在空间某点产生的
磁感应强度为
lId?
3
0
4 r
rlId
Bd
???
?
??
?
?
3
0 )(
4 r
rldqnSv
??
?
?
?
?
dl
I
v?
S
n
?
?
?
?
?
?
? ? ?
因电流元内粒子数 nSdldN ?
方向与电荷速度 方向相同 lId? v?
§ 15-2
§ 15-2运动电荷的磁场
第十五章 磁场的源
3
0
4 r
rvdNq
Bd
???
???
???
?
?
每个以速度 运动、电量为 q的电荷所产
生的磁感应强度为 v
?
dN
Bd
B
?
?
?
3
0
4 r
rvq
??
?
??
?
?
第十五章 磁场的源 例 按玻尔模型，在基态的氢原子中，电
子绕原子核做半径为 0.53× 10-10m的圆
周运动，速度为 2.2× 106m/s。求此运
动的电子在核处产生的磁感应强度的大
小。
解根据运动电荷产
生磁感应强度的公
式
r
v
e
B
)T(5.12
r
ev
4
B
2
0 ??
?
?
第十五章 磁场的源
一,磁场的高斯定理
?磁通量,通过磁场中某一曲面的磁力
线数
??? B d Sd B?
?c o sB d S? SdB ?? ??
§ 15-3 安培环路定理
S
B?
n?
?
dS
SdBSB ?? ?????
单位：韦伯 (Wb)
第十五章 磁场的源
?磁力线闭合，对闭合曲面 S
? ??? S SdB 0
?? ----磁场的高斯定理
?磁场是无源场
二, 安培环路定律
r
I
B
?
?
2
0?以长直电流为例,
问题,
? ??L ldB?
??
I
B?
第十五章 磁场的源
?以闭合磁力线为闭合积分
回路 L I B
?
? ?L ldB
??
?? LdlB?? LB d l
rB ?2?? I0??
L
----与半径无关系
?推论, 对以 I为中心的不同半径圆形回
路的环流都等于 I
0?
?以围绕 I且在与导线垂直平面内的任意
闭合回路为积分路径 L
L
第十五章 磁场的源
?ld
?
//ld
?
? ?L ldB
??
? ???? L ldldB )( //
???
?? L B d l // ? ??
?
?
?
?2
0
0
2
rd
r
I
I0??
L
I
B?
ld?
?围绕 I的任意回路 L(不在
一个平面内 )
?线元分解：可证有同
样的结果
ld?
ld?
第十五章 磁场的源
a
b
1L
2L
11 ldB
?? ?
I
?闭合回路 L不围绕电流 I
111 c o s ?dlB? ?drB 11??
?
?
?
d
I
2
0??
1r
2r
2B
? 1
B?
?d
L
1ld
?
2ld
?
22 ldB
?? ? ?drB
22? ?
?
?
d
I
2
0?222 c o s ?dlB?
? ?? L ldB
??
0? ?? ????
21
21 LL ldBldB
????
第十五章 磁场的源
?结论,只有闭合回路所包围的电流对环流有贡献
? ???L IldB 0?
?? ----安培环路定律 即
讨论,
? 为穿过积分回路的所有电流的代数
和，或理解为穿过以回路为边界的任
意曲面的电流代数和
?I
第十五章 磁场的源
?电流流向与积分路径绕行方向满足右
手螺旋法则时，电流为正；相反时电
流为负
?回路外面的电流对 的环流没有贡献，
但回路上各点的 却是由回路 内外所
有电流 决定的
B?
B?
?安培环路定律反映了磁场是 非保守场
第十五章 磁场的源
§ 15-4利用安培环路定理求磁场
分布
? ???L IldB 0??? ----安培环路定律
?解题步骤,
根据电流的分布的对称性分析磁场
的对称性；选择合适的闭合路径 （
安培环路 ） 计算磁感应强度
第十五章 磁场的源
[例 1]试求一均匀载流的无
限长圆柱导体内外的磁场
分布 。 设圆柱导体的半径
为 R,通以电流 I
?? drB
解, 取以轴线为中心、半径
为 r的圆作为积分回路 L
R
B?
r
L
I
? ?L ldB
??
?? LB d l
? r>R时, IrB
02 ?? ??
r
I
B
?
?
2
0??
rB2 ??
第十五章 磁场的源
? r<R时：穿过积分回路 L的电流为
2
2
r
R
I
I ?
?
???
IrB ???? 02 ??
2
2
0
R
Ir?
2
0
2 R
Ir
B
?
?
?
R
B
rR0
第十五章 磁场的源
[例 2]一无限大导体薄平板通有均匀的面电流密度 (即通过与电流方向垂直的单位
长度的电流 ),大小为 j。 求平面外磁场
的分布
j? 1dl
1Bd?
2dl
2Bd
?
Bd?
B?
P
B?
第十五章 磁场的源
解,作矩形闭合回路 abcda
B?
B?
? ?L ldB
??
? ?? ????
dabc
ldBldB
???? Bl2?
jl0??
2
0 jB ???
两侧是均匀磁场,大小
相等，方向相反
a
b c
dl
第十五章 磁场的源
[例 3]试求一无限长螺线管内的磁场分布。 设螺线管单位长度上绕有 n匝线圈, 通
有电流 I
解,作一矩形闭合回路 abcda(如图 )
R
a
b c
d
? ?? L ldB
??
? ?? bc ldB
?? bcB ??
根据安培环路定律
nIbcbcB ???? 0?
nIB 0???
----均匀磁场
第十五章 磁场的源
R
O
[例 4]半径为 R的无限长直导体, 内部有一与导体轴平行, 半径为 a的圆柱形孔洞
,两轴相距为 b。 设导体横截面上均匀通
有电流 I,求 P点处的磁感应强度 。
解,设导体中电流密度方
向垂直于纸面向外
b
a
P
电流密度大小为
)( 22 aR
I
j
?
?
?
第十五章 磁场的源
?补偿法,设想在空洞里同时存在密度为
和 的电流
j??j?
jba
ba
B 201 )(
)(2
??
?
?? ?
?
?
j
ba
2
)(0 ?
?
?
?对半径为 R的无限长载流导体
R
O
b
a
P 1
B?
方向如图
第十五章 磁场的源
?对半径为 a的无限长载流圆柱体
ja
a
B 202
2
?
?
?
?? j
a
2
0?? 方向如图
R
O
b
a
P 1
B?
2B
?
21 BBB P ???
? ?
j
a
j
ba
22
00 ?? ???
j
b
2
0??
)(2 22
0
aR
bI
?
?
?
?
方向竖直向上
第十五章 磁场的源
一,闭合电流的安培环流特点
?设有闭合电流 I（如图）
IdB 0? ?? ??
??
穿过以 L为边界包围的
S1的电流的环流
§ 15-5与变化的电场相联系的磁场
S1
L
S2
穿过以 L为边界包围的 S2的电流的
环流不变
第十五章 磁场的源 结论：由于恒定电流总是闭合的，所以
安培环路定理的正确性仅与闭合路径有
关，而与设想的回路所包围的曲面无关
二, 不闭合电流的安
培环流特点
1,有电容存在的电
路
穿过以 L为边界包围的
S2的电流的环流积分则
为零, 显然出现矛盾 。
S1
L
S2
第十五章 磁场的源
2、麦克斯韦研究电
磁场规律时，把安培环流定理推广到了
非稳定电流的情况。大胆的设想了电场
的变化与磁场的联系。
dt
d
dB e00
?
??? ?? ?
?? ? ??
s
00 sdE
dt
d ??
??
?如图在电流断开处,
电容充放电有变化的电
场存在, 并从理论上定
量为,
S1
L
S2
第十五章 磁场的源
三、当穿过 S的电流 Ie和变化电场
同时存在时,
)sdE
dt
d
I(dB
s
0e
L
0 ?? ????
??
?
??
??
sd)
dt
Ed
j( 0e
s
0
?
?
??? ? ??
?上式称为普遍的安培环路定理
?§ 15-6平行电流间的相互作用力
第十五章 磁场的源
d
一,平行载流导线间的相互作用力
1I 2I
1B
?
21Fd
?
?1导线在 2导线处所产生的
磁感应强度大小为
d
I
B
?
?
2
10
1 ?
方向如图
?对 2导线上任一电流元
的作用力
1221 BldIFd
??? ??
ldI ?2
第十五章 磁场的源
大小为
dlBIdF 1221 ? dl
d
II
?
?
2
210?
方向由 2导线垂直指向 1导线
同理有
dl
d
II
F
?
?
2
210
12 ?
方向与 相反
21Fd
?
d
1I 2I
1B
?
21Fd
?
ldI ?2
2B
?
12Fd
?
第十五章 磁场的源
[例 1]半径 R,载流 I的半圆形闭合线圈共有 N匝, 当均匀外磁场方向与线圈法向
成 60o角时, 求 ?线圈的磁矩； ?此时线
圈所受磁力矩；
B?
I
R
060
n?
解,?线圈磁矩
nNI Sp m ?? ?
nRNI
?2
2
1
??
第十五章 磁场的源
?磁力矩大小为
060s inBpM
m?
2
3
2
1 2
?? BRNI ?
2
4
3
RN I B ??
方向竖直向上
B?
I
R
060
n?