§ 5-1 刚体的运动
一,刚体模型
?刚体, 在外力的作用下, 大小和形状
都不变的物体
----物体内任意两点的距离不变
二,刚体的运动
?平动, 刚体运动时, 其内部任何一条
直线, 在运动中方向始终不变
?刚体质心的运动代表了刚
体平动中每一质元的运动
特点,各点位移, 速度, 加速度
均相同 ----可视为质点
§ 5-1 刚体的运动
?转动, 刚体的各个质点都绕同一直线
(转动轴 )作圆周运动
?定轴转动,转轴固定不动 的 转动
?质心轴,通过质心的转动轴
?
?
v?
§ 5-1 刚体的运动
?刚体的一般运动 =平动 +转动
§ 5-1 刚体的运动
O
三, 刚体转动的描述
x
?
A
t
B
tt ??
?? ???1.半径 R不变，质点
位置可由角坐标 ? 确
定
?运动方程可用角坐标表示
)( t?? ?
时间内，质点转过角度 t? ??
?? ----角位移
角速度
tt ?
?
?
??
?
?
0
lim
dt
d ?
?
角加速度
tt ?
?
?
??
?
?
0
lim
dt
d ?
?
2
2
dt
d ?
?
§ 5-1 刚体的运动
角速度矢量
----角速度方向在转轴上
? 方向由右手螺旋法则确定 ??
R?O
??
v?P
边缘一点 P
ii rv
??? ?? ?
Rv ??? ?? ?
ii rv
?? ?? ?大小
?ir?
?? s inir?
§ 5-1 刚体的运动
盘上任一点 Pi
r?
Pi
?对刚体上的 Pi点,
ii rv
??? ?? ?
参考方向
x
?O
ir
?
ii r
dt
d
a
?
?
?
??
?
)( ir??? ??? ??
v?
P
§ 5-1 刚体的运动
??
z
转动平面
nitii erera
??? 2?? ??
或
nntt eaea
?? ??
?Rdds ??
dt
ds
v ??
dt
dv
a t ?
Rva n 2?
2.线量与角量关系
xO
ds
R
?d
dt
d
R
?
? ?R?
dt
d
R
?
? ?R?
2?R?
3.仿照匀加速直线运动公式可推导匀加速转动的相应公式
t??? ?? 0
t??? ?? 0
2
00
2
1
tt ???? ???
? ?0202 2 ????? ???
atvv ?? 0
)(2 0202 xxavv ???
2
00
2
1
attvxx ???
tvxx ?? 0
??
z
?在刚体上取一质元 Pi,
§ 5-2 转动动能 转动惯量
一,转动动能
im?
动能,2
2
1
iiki vmE ??
22
2
1
?ii rm??
ir
?
iP
?对刚体上所有质点的动能求和,
? ?? 2
2
2
1
?iik rmE ? ??
i
ii rm
2
2
2
?
定义,
? ??
i
iiz rmJ
2
----对 z 轴的转动惯量
则刚体的转动动能 2
2
1
?zk JE ?
§ 5-2 转动动能 转动惯量
二,转动惯量
? ??
i
iiz rmJ
2
?对刚体,
?? dmrJ z 2
?
?
?
?
?对分立的质点系,
线分布,为线密度 ?
面分布,为面密度 ?
体分布,为体密度 ?? dVr ?2
? dsr ?2
? dlr ?2
?转动惯量的物理意义,Jz表示刚体转动
时惯性的大小
§ 5-2 转动动能 转动惯量
讨论, 转动惯量 J
z的大小决定于
?刚体的质量, 同形状的刚体, ρ 越大,
Jz就越大
?质量的分布, 质量相同, dm分布在 R
越大的地方, 则 Jz 越大
?刚体的转轴位置, 同一刚体依不同的
转轴而有不同的 Jz
§ 5-2 转动动能 转动惯量
§ 5-2 转动动能 转动惯量
常见刚体的转动惯量
薄圆盘
2
2
1
mrJ ?
r
球体
2
5
2
mrJ ?
细棒
细棒
2
3
1
mlJ ?
2
12
1
mlJ ?
§ 5-2 转动动能 转动惯量
三,平行 轴定理
x y
z
O
mdJcJ ?? ----平行轴定理
设刚性质量为 m,以 Jc
表示它对于通过其质
心轴的转动惯量，若
另一轴此轴平行并且
相距为 d，则此刚体
对于后一轴的转动惯
量为
§ 5-2 转动动能 转动惯量
d
Jc J
[例 1]求半经为 R质量为 m的均匀圆环,对
于沿直径转轴的转动惯量
R
?
?d
dmr
解,圆环的质量密度为
R
m
?
?
2
?
在环上取质量元 dm,dm
距转轴 r
dldm ?? ?? Rd? ?c o sRr ?
§ 5-2 转动动能 转动惯量
x
y
??? m dmrJ 2 ?? ??
2
2
22 c o s2 ?
?
??? RdR
?? 3R? 2
2
1
mR?
另解
对过环心并与环垂直的
转轴的转动惯量
?? mz dmRJ 2 ?? m dmR 2 2mR?
R
§ 5-2 转动动能 转动惯量
根据对称性有
yx JJ ?
由垂直轴定理
yxz JJJ ?? xJ2?
zx JJ
2
1
?? 2
2
1
mR?
§ 5-2 转动动能 转动惯量
a
b
[例 2]一长为 a、宽为 b的匀质矩形薄平板，
质量为 m，试求,(1)对通过平板中心并与
长边平行的轴的转动惯量 ; (2)对与平板
一条长边重合的轴的转动惯量
y
dy
解,垂直向上为 y轴,板的质量面密度为
abm??
§ 5-2 转动动能 转动惯量
?在板上取长为 a、宽
为 dy的小面元
dsdm ??? a d y??
a
b
y
???
2
2
2
1
b
b
adyyJ ? 3
12
1
ab?? 2
12
1
mb?
dy
?转轴与长边重合
??
b
a d yyJ
0
2
2 ?
2
3
1
mb?
§ 5-2 转动动能 转动惯量
或由平行轴定理
2
2 )
2
(
b
mJJ C ?? 22
4
1
12
1
mbmb ?? 2
3
1
mb?
哪种握法转动惯量大？
一,力矩
F? 对 O的力矩 FrM ??? ??
0在定轴转动中，只有
起作用 ?F
?
?F
? 对转轴的力矩
??? FrM z
???
§ 5-3 转动定律
r?
P
F?//F?
?F
?
z
O
d
?
大小 ?s inrFM
z ?? dF ??
方向沿 z轴
二,定轴转动定律 z
iPi
r?
iF
?
?
对 Pi,
iiii amfF
??? ???
的法向分力作用线通过
转轴，其力矩为零 iF
?
§ 5-3 转动定律
两边同乘以 ri ?2
iiiitiit rmrfrF ???
切向,
itiitit amfF ??? ?ii r??
对整个刚体求和
??? ???
i
ii
i
iit
i
iit rmrfrF ?
2
?zJ?
dt
d
J z
?
?
----刚体的定轴转动定律
因为内力矩之和为零
?
i
iit rF ? ??
i
ii rm ?
2
§ 5-3 转动定律
即
dt
d
JM zz
?
?
外力对转轴
z的力矩
[例 3]在半径分别为 R1和 R2
的阶梯形滑轮上反向绕有
两根轻绳，各挂质量为 m1
,m2的物体。如滑轮与轴
间的摩擦不计，滑轮的转
动惯量为 J。求滑轮的角加
速度 β及各绳中的张力 T1、
T2
1m
2m
1R2R
§ 5-3 转动定律
1m
gm ?1
1T
?
2m
gm ?2
2T
?
'2T? '
1T
?
解,设 m1向下运动
1111 amTgm ??
2222 amgmT ??
?
?
?
?JRTRT ?? 21
?11 Ra ? ?22 Ra ?
解得
g
RmRmJ
RmRm
2
22
2
11
2211
??
?
??
§ 5-3 转动定律
gm
RmRmJ
RRmRmJ
T
12
22
2
11
212
2
22
1
??
??
?
gm
RmRmJ
RRmRmJ
T
22
22
2
11
211
2
11
2
??
??
?
§ 5-3 转动定律
?当 时，,即滑轮静止
或匀速转动 2211 RmRm ? 0??
?当 时,
21 RR ?
则为定滑轮的情况
讨论,
?当 时，物体运动方向与所设
相同，反之则相反 2211
RmRm ?
§ 5-3 转动定律
[例 4]物体 A,B的质量分别为 m1和 m2，
用一轻绳相连，绳子跨过质量为 M，半
径为 R的匀质定滑轮 C。如 A下降,B与
水平桌面间的滑动摩擦系数为 μ，绳与
滑轮之间无相对滑动，求系统的加速度
及绳中的张力 T1和 T2
A
BC
§ 5-3 转动定律
B
N?
kf
?
gm ?2
2T
?
A
gm ?1
1T
?
x
y
y
'2T?
'1T?
解,建立如图坐标系
1111 amTgm ??
02 ?? gmN
Nf k ??
222 amfT k ??
?
?
?
?JRTRT ?? 21
21 aa ? a? ?r?
2
2
1
MRJ ?
§ 5-3 转动定律
解得
g
Mmm
mm
a
221
21
??
?
?
?
gm
Mmm
Mm
T 1
21
2
1
2
2)1(
??
??
?
?
gm
Mmm
Mm
T 2
21
1
1
2
2)1(
??
??
?
??
§ 5-3 转动定律
一,刚体的 角 动量
iiiiz vmrL
??? ??
)( iii rrm ??? ??? ?
大小,?2
iiiz rmL ?
x
z
??
§ 5-4 角 动量及 角 动量守恒
?在刚体上取质元 Pi，它
相对于 O的角动量
izL
?
v?
iP
O
ir
?
?定轴转动刚体的总角动量在转轴 z 上的
分量为
??
i
izz LL
?zJ???
i
ii rm ?
2
§ 5-4 角动量及角动量守恒
讨论,
?动量与角动量是两个单位不同的物理
量, 不可混用
?与质点动量 相比可看出,角动
量 与之对应 vmp
?? ?
?zz JL ?
二,刚体定轴转动的 角动量定理
dt
d
JM zz
?
?
dt
Jd z )( ?
?
由刚体定轴转动的转动定律
dt
dL z
?
----刚体定轴转动的角动量定理
)(
00 )(
?
?
? z
J
J
t
t z
JddtM
z
z
?? ? 0)( ?? zz JJ ??
冲量矩
§ 5-4 角动量及角动量守恒
? ??
t
t z
JJdtM
0
00 ??
?对 J 可变化的质点系或非刚体，定轴转
动时有
三,刚体定轴转动角 动量守恒
?zz JL ?0?zM
当 则 =常量
----刚体定轴转动的角动量
守恒定律
§ 5-4 角动量及角动量守恒
演示
(一 )茹可夫斯基凳
花样滑冰 跳水
(二 )自行车转盘
m m
ω
1r
2r
[例 5] 质量为 M、半径为 R的水平放置、
圆盘转台上，两质量均为 m的电动汽车
模型可分别沿半径为 R和 r(R＞ r)两轨道
运行。最初小车和转台都不动，令外轨
道小车作反时针转动，内轨道小车顺时
针转动，相对于转台的速率均为 v。求转
台对地面的角速度
§ 5-4 角动量及角动量守恒
r
v?
R
v?
r R
v? v?
解,设转台对地面的角速度为,且逆
时针运转
?
A相对于地面的角速度
RvA ?? ??
B相对于地面的角速度
rvB ?? ??
由角动量守恒 0??? ??? JJJ
BBAA
其中 2mRJ
A ?
2mrJ
B ? 2
2MRJ ?
§ 5-4 角动量及角动量守恒
A B
0
2
1
)()( 222 ?????? ??? MR
r
v
mr
R
v
mR
可得
222
2
1
)(
)(
MRrRm
rRmv
??
?
??? 0?
----顺时针运转
§ 5-4 角动量及角动量守恒
[例 6 ] 质点与质量均匀的细棒相撞 (如图 )
解：过程 1 质点与细棒相碰撞
碰撞过程中系统对 o 点
的合力矩为 0?M
设，完全非弹性碰撞
求：棒摆的最大角度
所以，系统对 o点的角动量守恒。
即,
21 LL ?
o
lM
m
0?
?
?
? ?131 220 ?? ?
?
??
?
? ?? mlMllm
? ? ? ? ? ?2c o s1c o s1
2
1
3
1
2
1 222
??
?
????
?
?
?
?
?
?
?
m g lM g l
mlMl
细棒势能 质点势能
过程 2 质点、细棒上摆
系统中包括地球,
只有保守内力作功，所以机械能守恒。
设末态为势能零点
两式联
立得解
o
lM
m
0?
?
?