§ 3.1 理想气体动理论的基本公式
1.平衡态,
热学中,由大量的分子或原子组成的物体或物体系统称为热力学
系统,把系统外与系统状态直接相关的物体或物体系统称 外界 。
宏观量,表征系统状态和属性的物理量称,它可以直接用仪器测量。
微观量,描述一个微观粒子运动状态的物理量
平衡过程,气体从一个状态变化到另一个状态,其间所经历过渡方
式称为状态 变化的过程,如果过程所有中间状态都无限接近平衡
状态,称平衡衡过程,
平衡态, 在不受外界影响的条件下,一个系统的宏观性质不随时间
改变的状态。热动平衡
一、理想气体状态方程
1帕 =10巴
帕厘米汞高 310333.11 ??
帕大气压 510013.11 ??
(3)温度 T,K T= t +273.16
(2)压强 P,帕
2a mNP ?
2.气体状态参量,
(1)气体所占的 体积 V,3m
(4)气体的质量 M m(一个分子质量） M=Nm
? （摩尔质量 ） ?=Nam 阿佛加得罗常数
? m o lN
A /10023.6 23??
（ 摩尔数）
??
M?
3.理想气体状态方程,
恒量?
T
VP
T
T
vpPV
0
00??
Km o lJ
T
VpR ??? /31.8
0
00
RT?? RT
M
?
?
mNNmM A?? ?,
TNRVNp
A
?
为单位体积内的数密度n
KJ
N
R
k
A
/1038.1
23?
??
n k TP ?
解, (1)
RTMpv
?
? )(21.8 升?? T
P
RMV
?
(2) 设漏气后的压力、温度、质量分别为 ''' MTp
'' ' RTMVp
?
? ? ?KgRT
VpM 067.0
'
'
' ?? ?
? ?KgM 0 3 3.00 6 7.010.0 ????
例,容器内装有氧气 0.10kg,压力为 10个大气压,温度为 。因
为漏气,经过若干时间后,压力降到原来的,温度降到 。
c470
85 c270
求, (1) 容器的容积,(2) 漏去了多少氧气?
气体动理论
?分子的观点,宏观物质由大量不连续
的微观粒子 (分子或原子 )组成
?分子运动的观点,分子都在不停地作
无规则的运动
一,气体动理论基本观点
?分子力的观点,分子之间有相互作用
力 ----引力和斥力
d
0r
斥力
引力
合力
f
r
ro,平衡距离 ~10-10m
d,分子有效直径
----此时分子速
率减为零
----此时合力为零
mr 910 ?? 时分子力 可忽略
二,气体分子的特点
小,每个分子的直径约为 10-10 m
多,标准状态下每摩尔气体约有 6?1023
个分子
快,标准状态下的平均速率约为每秒几
百米
乱,杂乱无章、瞬息万变的运动
气体动理论
三,统计规律
伽尔顿板实验
小钉
等宽
狭槽
小球落在哪个
槽是偶然事件
大量小球一个一个投入
或一次投入，分布情况
大致相同
气体动理论
说明,
?某次测量值与统计平均值之间总有偏
离 ----涨落 (起伏 )现象
?构成整体偶然事件数量越大，涨落现
象就越不明显
?在一定的条件下，大量的偶然事件存
在着一种必然规律性 ----统计规律
气体动理论律
1.概率
N
N
W A
N
A
??
? lim
简写为
N
N
W AA ?
?概率,在一定条件下，某偶然事件出现
的可能性的大小
设 N为实验总次数,NA为事件 A出现的
次数，则
气体动理论
对 n件事件,
? ??
N
N
W ii 1?
----归一化条件
任一事件的几率满足
10 ?? iW
N i?
?
气体动理论
2.统计平均值
n
nn
NNN
NMNMNM
M
???
???
?
?
?
21
2211
i
ii
N
NM
?
?
?
?测量物理量 M,M1,M2,? Mn出现次
数分别为 N1,N2,? Nn
M的算术平均值为
气体动理论
N
NMNMNM
M nn
N
???
?
??
?2211
lim
nn WMWMWM ???? ?2211
----统计平均值
iiWM??
?N足够大：平均值 真实值
气体动理论
?将分子看作为质点
?分子间相互作用力除碰撞外可忽略不
计
?将小球看作是完全弹性小球
理想气体的压强
一,理想气体的微观模型
?每个分子处在容器空间内任一点的几
率相同，任一点附近分子数密度均相
等
?每个分子向各个方向运动的几率相同
,即 气体分子的速度沿各个方向的分
量的各种平均值相等
二,统计假设
如,
222
zyx vvv ??
1l
2l
3l
1A2A
?一个分子与器壁 A1
碰撞给予 A1 的冲量
为
xmv2
?一秒内一个分子
的多次碰撞给予
A1的冲量为
1
2
12
2
l
mv
l
v
mv xxx ??
三,压强公式 y
x
z
v?
xv
yv
zv
?N个分子一秒内给予 A
1的冲量为
1
2
1
2
2
1
2
1
l
mv
l
mv
l
mv
tF Nxxx ?????? ?
??
i
ixv
l
m 2
1
1?? t? ???
i
ixv
l
m
F
2
1
?A1上的压强
32 ll
F
p ?
N
vvv
V
Nm Nxxx
22
2
2
1 ????? ?
2
xvnm ??
??
i
ixv
lll
m 2
321
222
zyx vvv ???
2
3
1
v? 2
3
1
vnmp ??
?定义 分子的平均平动动能 为
2
2
1
vmw ?
则
?
?
?
?
?
?
? 2
2
1
3
2
vmnp wn
3
2
?
讨论,
?对容器其它面的推算结果相同
?对一般形状的容器可证有相同结果
?这是一个统计结果, 只有对大量的分
子才有意义
np ? wp ??
?设 N为 M kg气体的分子数,No为 1 mol
气体的分子数,m为一个分子的质量
V
RT
M
M
p
m o l
?? T
N
R
V
N
o
??? n k T?
温度的微观意义
NmM ?? mNM m o l 0?
n k Tp ?即
?温度的本质,温度是分子平均平动动
能的量度,
0N
R
k ?
----玻尔兹曼常数
又 wnp
3
2
?
kTw
2
3
??
其中
23100 22.6
31.8
?
? J / K1038.1
23???
?温度 是气体分子热运动剧烈程度的物
理量
?两种理想气体,T相同，则 相同 。 反
之 相同，则 T相同
w
w
讨论,
? 是统计平均值, 只有气体分子数目
很大时, 温度才有意义, 对个别分子
来说温度没有意义
w
分子动能
§ 3-2 能量均分定理
一,自由度
?自由度,确定一个物体在空间的位置
所需的独立坐标的数目 。 它反映了运
动的自由程度
平动动能
=
转动动能 + 振动动能 +
火车,被限制在轨道上运动
，自由度为 1
飞机,在空中飞行，自
由度为 3
轮船,在一水平面上运动
，自由度为 2
1.刚体的自由度
x
y
z
C
'x
'y
'z
?
?
?
A
?
?刚体有 6个自由度,
3个转动自由度
3个平动自由度 ),,( zyx
刚体绕 CA轴转动 ?
???,,CA的方位
其中 两个 是独立的
?
?
?
确定 C的位置
2.气体分子的自由度
平动自由度 转动自由度 总计
单原子分子
双原子分子
三原子以上分子
3 0 3
3 2 5
3 3 6
?常温下可不考虑分子的振动
2
2
1
vmw ??
2
2
3
xvm? kT
2
3
?
222
2
1
2
1
2
1
zyx vmvmvm ???
二,能量按自由度均分原理
kT
2
1
----每个平动自由度的动能为 2kT
由于任一运动形式的机会均等，有
?气体分子任一自由度的平均动能都等
于 2kT
----能量均分定理
?自由度为 i 的分子，其平均动能为
kT
i
2
??
三,理想气体的内能
?对理想气体，可忽略分子间的相互作
用力，即可忽略相互作用势能
分子动能
气体内能 ?
? 分子间相互作用势能
?1mol理想气体的内能
kT
i
NE m o l
2
0 ?? RT
i
2
?
----理想气体内能是温度的单值函数
?Mkg理想气体的内能
RT
i
M
M
E
m o l 2
??
§ 3-4 麦克斯韦速率分布律
一,分子速率分布的测定
l
v?
?
?
金属
蒸汽
胶片屏 ?斯特恩实验
v
l
t ??
?
?
? lv
?
?
??
----可通过两缝
二,气体分子 速率分布函数
N dv
dN
vf ?)(
?速率分布函数,速率在 v附近单位速率
区间内的分子数占总分子数的百分比
即
----反映分子速率分布 v附近单位
速率区间内的概率大小
?在 0--?区间有
?
?
?
0
1)( dvvf
----归一化条件
?在 v1--v2区间
??
? 2
1
)(
v
v
dvvf
N
N
)(vf
vO dv 1v 2v
?在 v--v+dv区间的分子
数占总分子数的百分比
为
dvvf
N
dN
)(?
三,麦克斯韦速率分布定律
22
2/3 2
2
4)( ve
kT
m
vf kT
mv
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
----麦克斯韦速率分布函数
?1859年 麦克斯韦从理论上导出平衡状
态下气体分子速率分布函数
)(vf
vO
麦克斯韦速率分布曲线
pv
四,气体分子的三种速率
1.最概然速率 vp,与 f(v)
的极大值对应的速率
令
kT
m
b
2
? 则
2
2/3
2
4)( ve
b
vf
bv?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
)(
?
dv
vdf令
? ? 0)22(4 22 22/3 ??? ?? bvbv vebvveb ??
22
2/3 2
2
4)( ve
kT
mvf kTmv??
?
??
?
??
?
?
b
v p
1
??
m o lM
RT2
?
m
kT2
?
m o lM
RT
41.1?
v2.平均速率
N
vNvNvN
v nn
??????
?
?2211
N
vvvNfvvvNf nn ??????
?
)()( 11 ?
?
?
??
n
i
ii vvfv
1
)(
?
?
??
0
)( dvvvfv
m o lM
RT
?
8
?
m
kT
?
8
?
m o lM
RT
60.1?
)(vf
vO pv v 2v
3.方均根速率
2v
?
?
?
0
22 )( dvvfvv
m
kT3
?
m
kT
v
32
??
m o lM
RT3
?
m o lM
RT
73.1?
[例 3]有 0oC平衡状态下的氧气，计算速
率在 300--310m/s区间内氧分子数的百分
率
解,速率区间较小，可用
vvf
N
N
??
?
)(
m
kT
v p
2
??
m o lM
RT2
? sm377?
sm300?v sm10?? v
vve
kT
m
N
N
kT
mv
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
22
2/3 2
2
4
?
?
)()(
4
2
)(
23
p
v
v
p
v
v
e
v
v
p
?
?
?
?
)
3 7 7
10
()
3 7 7
3 0 0
(
4 2)
377
300
(
23
?
? e
?
%0.2?
麦克斯韦速率分布律的实验验证
一,分子速率分布的测定
l
v?
?
?
金属
蒸汽
胶片屏 ?斯特恩实验
v
l
t ??
?
?
? lv
?
?
??
----可通过两缝
lv
?
?
?? ----可通过两缝
否与麦氏分布一致。
率分布是度，就可以验证原子速
强，对不同速率范围内的改变
之内，到在一定的速率范围
?
vvv ??
在通常情况下，实际气体的速率
分布和麦氏速分布能很好符合。
例题 求,27oC 时氢分子、氧分子的最概然速率、平
均速率和方均根速率。
解 系统的热力学温度 k..T 153 0 027152 7 3 ???
氢分子的摩尔质量 m o l/kg,3
1 10022 ????
氧分子的摩尔质量 m o l/kg3
2 1032 ????
1
1 411 ?
RT.v
p ? s/m.
..,1567
10022
15300318411
3 ??
??
?
s/mRT.v 1 7 7 861
1
1 ?? ? s/m
RT.v 1 9 2 2731
1
2
1 ?? ?
s/mRT.v p 3 9 4411
2
2 ?? ? s/mv 4472 ? s/mv 4 8 322 ?
二,玻尔兹曼 分布律
当分子处于保守力场时，麦克斯韦速率分
布律中的指数项应以总能量
代替动能,这样在保守力场
中分子的空间分布也不均匀 。
pk EEE ??
221 mvE k ?
玻尔兹曼计算 得到系统在某一微小区域 x-x+dx，
y-y+dy,z-z+dz 及 vx-vx+dvx,vy-vy+dvy,vz-vz+dvz 的分
子数 dN
zyxvvve
kT
m
N
dN
y
kT
pk
dddddd
2 z
2
3
x
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
玻尔兹曼
1,气体分子按能量分布律
重力场中 考虑一竖直空气柱,
0n
z n
0
设 Ep=0 处分子数密度为 n0,
zyxenN dddd kT
pε?
?? 0据
在 Z 处分子数密度为
kT
m g zenn ??
0
2,重力场中粒子按高度分布
当大气温度均匀时，
分子数密度随高度增
加按指数规律减小。
?T 减小更慢n
?m 减小更快n
在同一高度
0n
z n
0
n k Tp ?又据
RT
gzm o lM
kT
m g z epepp ?? ??
00
的压强随高度的增加按指数规律减小。
将分子数密度代入，得,
设 Z=0处分子数密度为 P0, 重力场中气体
恒温气压公式（高度计）
设温度不随高度变化
根据压强变化测高度，实际温度也随高度
变化，测大气温度有一定的范围，是近似测量。
由上式可得高度 h 为,
gMRTppz mol/)/l n ( 0?
一,概念
?平均碰撞次数,一个分子在单位时间
内与其他分子碰撞次数的平均值
?平均自由程,一个分子连续两次碰撞
所经过路程的平均值
气体分子的 平均自由程
二,计算 (对同一类分子 )
?分子视为弹性小球, 有效直径为 d,速
率为, 碰撞后速率仍为 v v
1.考虑一个分子运动，其它分子静止
nvdZ 2??
?运动分子在 1秒内
与其它分子的平均
碰撞次数为
d2
d
一,概念
?平均碰撞次数,一个分子在单位时间
内与其他分子碰撞次数的平均值
?平均自由程,一个分子连续两次碰撞
所经过路程的平均值
§ 3-11 气体分子的 平均自由程
2.考虑所有的分子都在运动
nvdZ 22 ??
3.分子的平均自由程
Z
v
??
pd
kT
22 ?
?
平均碰撞次数为
nd 22
1
?
?
§ 8-7 分子的平均碰撞次数和平均自由程
[例 4]计算氧气在标准状态下的分子平均
碰撞次数和平均自由程。设氧气分子的
有效直径为 2.9× 10-10m
解,标准状态
K273?T Pa100 1 3.1 5??p
m o lM
RT
v
?
8
??
3103214.3
2 7 331.88
???
??
?
sm426?
kT
p
n ?
2 7 31038.1
100 1 3.1
23
5
??
?
?
?
325 m1069.2 ???
nvdz 22 ??? 19 s1028.4 ???
z
v
??
91028.4
426
?
? m1095.9 8???
?迁移现象 (输运过程 ):气体状态由不平
衡趋向于平衡的现象
§ 3-11 气体内的输运过程
一,内摩擦现象 (粘滞现象 )
1.宏观现象及规律
?气层流速不同 而
x
y
Au
?
Bu
?
f?
f??
S?
B
A
?实验表明
,
S
dy
du
f ??? ?
?气体分子定向 动量
的迁移
?为粘滞系数,正负号表示内摩擦力成
对出现
§ 5-9 气体内的迁移现象
x
y
S?
Au
?
Bu
?
f?
f??
B
A
)( mu?
2.微观本质
y
x
S?
A B
BA TT ?
AT BT
?实验表明,
S
dx
dT
t
Q
???
?
?
?
? 为热导率或导热系数，负号表示热量
从高温处传向低温处
二,热传导
1.宏观现象及规律
?气体内部 温度不同
而发生的现象
y
x
S?
A B
BA TT ?
AT BT
三,扩散
1.宏观现象及规律
?气体分子 数密度 不均
匀而发生的现象
x
A B
S?
BA ?? ?
m?
2.微观本质
?气体分子热运动
动能 的迁移 Q?
?气体分子 质量 的迁移
?实验表明
S
dx
d
D
t
M
???
?
? ?
D为扩散系数,负号表示从密度较大处
向密度较低处扩散
x
A B
S?
BA ?? ?
m?
2.微观本质
1.平衡态,
热学中,由大量的分子或原子组成的物体或物体系统称为热力学
系统,把系统外与系统状态直接相关的物体或物体系统称 外界 。
宏观量,表征系统状态和属性的物理量称,它可以直接用仪器测量。
微观量,描述一个微观粒子运动状态的物理量
平衡过程,气体从一个状态变化到另一个状态,其间所经历过渡方
式称为状态 变化的过程,如果过程所有中间状态都无限接近平衡
状态,称平衡衡过程,
平衡态, 在不受外界影响的条件下,一个系统的宏观性质不随时间
改变的状态。热动平衡
一、理想气体状态方程
1帕 =10巴
帕厘米汞高 310333.11 ??
帕大气压 510013.11 ??
(3)温度 T,K T= t +273.16
(2)压强 P,帕
2a mNP ?
2.气体状态参量,
(1)气体所占的 体积 V,3m
(4)气体的质量 M m(一个分子质量） M=Nm
? （摩尔质量 ） ?=Nam 阿佛加得罗常数
? m o lN
A /10023.6 23??
（ 摩尔数）
??
M?
3.理想气体状态方程,
恒量?
T
VP
T
T
vpPV
0
00??
Km o lJ
T
VpR ??? /31.8
0
00
RT?? RT
M
?
?
mNNmM A?? ?,
TNRVNp
A
?
为单位体积内的数密度n
KJ
N
R
k
A
/1038.1
23?
??
n k TP ?
解, (1)
RTMpv
?
? )(21.8 升?? T
P
RMV
?
(2) 设漏气后的压力、温度、质量分别为 ''' MTp
'' ' RTMVp
?
? ? ?KgRT
VpM 067.0
'
'
' ?? ?
? ?KgM 0 3 3.00 6 7.010.0 ????
例,容器内装有氧气 0.10kg,压力为 10个大气压,温度为 。因
为漏气,经过若干时间后,压力降到原来的,温度降到 。
c470
85 c270
求, (1) 容器的容积,(2) 漏去了多少氧气?
气体动理论
?分子的观点,宏观物质由大量不连续
的微观粒子 (分子或原子 )组成
?分子运动的观点,分子都在不停地作
无规则的运动
一,气体动理论基本观点
?分子力的观点,分子之间有相互作用
力 ----引力和斥力
d
0r
斥力
引力
合力
f
r
ro,平衡距离 ~10-10m
d,分子有效直径
----此时分子速
率减为零
----此时合力为零
mr 910 ?? 时分子力 可忽略
二,气体分子的特点
小,每个分子的直径约为 10-10 m
多,标准状态下每摩尔气体约有 6?1023
个分子
快,标准状态下的平均速率约为每秒几
百米
乱,杂乱无章、瞬息万变的运动
气体动理论
三,统计规律
伽尔顿板实验
小钉
等宽
狭槽
小球落在哪个
槽是偶然事件
大量小球一个一个投入
或一次投入，分布情况
大致相同
气体动理论
说明,
?某次测量值与统计平均值之间总有偏
离 ----涨落 (起伏 )现象
?构成整体偶然事件数量越大，涨落现
象就越不明显
?在一定的条件下，大量的偶然事件存
在着一种必然规律性 ----统计规律
气体动理论律
1.概率
N
N
W A
N
A
??
? lim
简写为
N
N
W AA ?
?概率,在一定条件下，某偶然事件出现
的可能性的大小
设 N为实验总次数,NA为事件 A出现的
次数，则
气体动理论
对 n件事件,
? ??
N
N
W ii 1?
----归一化条件
任一事件的几率满足
10 ?? iW
N i?
?
气体动理论
2.统计平均值
n
nn
NNN
NMNMNM
M
???
???
?
?
?
21
2211
i
ii
N
NM
?
?
?
?测量物理量 M,M1,M2,? Mn出现次
数分别为 N1,N2,? Nn
M的算术平均值为
气体动理论
N
NMNMNM
M nn
N
???
?
??
?2211
lim
nn WMWMWM ???? ?2211
----统计平均值
iiWM??
?N足够大：平均值 真实值
气体动理论
?将分子看作为质点
?分子间相互作用力除碰撞外可忽略不
计
?将小球看作是完全弹性小球
理想气体的压强
一,理想气体的微观模型
?每个分子处在容器空间内任一点的几
率相同，任一点附近分子数密度均相
等
?每个分子向各个方向运动的几率相同
,即 气体分子的速度沿各个方向的分
量的各种平均值相等
二,统计假设
如,
222
zyx vvv ??
1l
2l
3l
1A2A
?一个分子与器壁 A1
碰撞给予 A1 的冲量
为
xmv2
?一秒内一个分子
的多次碰撞给予
A1的冲量为
1
2
12
2
l
mv
l
v
mv xxx ??
三,压强公式 y
x
z
v?
xv
yv
zv
?N个分子一秒内给予 A
1的冲量为
1
2
1
2
2
1
2
1
l
mv
l
mv
l
mv
tF Nxxx ?????? ?
??
i
ixv
l
m 2
1
1?? t? ???
i
ixv
l
m
F
2
1
?A1上的压强
32 ll
F
p ?
N
vvv
V
Nm Nxxx
22
2
2
1 ????? ?
2
xvnm ??
??
i
ixv
lll
m 2
321
222
zyx vvv ???
2
3
1
v? 2
3
1
vnmp ??
?定义 分子的平均平动动能 为
2
2
1
vmw ?
则
?
?
?
?
?
?
? 2
2
1
3
2
vmnp wn
3
2
?
讨论,
?对容器其它面的推算结果相同
?对一般形状的容器可证有相同结果
?这是一个统计结果, 只有对大量的分
子才有意义
np ? wp ??
?设 N为 M kg气体的分子数,No为 1 mol
气体的分子数,m为一个分子的质量
V
RT
M
M
p
m o l
?? T
N
R
V
N
o
??? n k T?
温度的微观意义
NmM ?? mNM m o l 0?
n k Tp ?即
?温度的本质,温度是分子平均平动动
能的量度,
0N
R
k ?
----玻尔兹曼常数
又 wnp
3
2
?
kTw
2
3
??
其中
23100 22.6
31.8
?
? J / K1038.1
23???
?温度 是气体分子热运动剧烈程度的物
理量
?两种理想气体,T相同，则 相同 。 反
之 相同，则 T相同
w
w
讨论,
? 是统计平均值, 只有气体分子数目
很大时, 温度才有意义, 对个别分子
来说温度没有意义
w
分子动能
§ 3-2 能量均分定理
一,自由度
?自由度,确定一个物体在空间的位置
所需的独立坐标的数目 。 它反映了运
动的自由程度
平动动能
=
转动动能 + 振动动能 +
火车,被限制在轨道上运动
，自由度为 1
飞机,在空中飞行，自
由度为 3
轮船,在一水平面上运动
，自由度为 2
1.刚体的自由度
x
y
z
C
'x
'y
'z
?
?
?
A
?
?刚体有 6个自由度,
3个转动自由度
3个平动自由度 ),,( zyx
刚体绕 CA轴转动 ?
???,,CA的方位
其中 两个 是独立的
?
?
?
确定 C的位置
2.气体分子的自由度
平动自由度 转动自由度 总计
单原子分子
双原子分子
三原子以上分子
3 0 3
3 2 5
3 3 6
?常温下可不考虑分子的振动
2
2
1
vmw ??
2
2
3
xvm? kT
2
3
?
222
2
1
2
1
2
1
zyx vmvmvm ???
二,能量按自由度均分原理
kT
2
1
----每个平动自由度的动能为 2kT
由于任一运动形式的机会均等，有
?气体分子任一自由度的平均动能都等
于 2kT
----能量均分定理
?自由度为 i 的分子，其平均动能为
kT
i
2
??
三,理想气体的内能
?对理想气体，可忽略分子间的相互作
用力，即可忽略相互作用势能
分子动能
气体内能 ?
? 分子间相互作用势能
?1mol理想气体的内能
kT
i
NE m o l
2
0 ?? RT
i
2
?
----理想气体内能是温度的单值函数
?Mkg理想气体的内能
RT
i
M
M
E
m o l 2
??
§ 3-4 麦克斯韦速率分布律
一,分子速率分布的测定
l
v?
?
?
金属
蒸汽
胶片屏 ?斯特恩实验
v
l
t ??
?
?
? lv
?
?
??
----可通过两缝
二,气体分子 速率分布函数
N dv
dN
vf ?)(
?速率分布函数,速率在 v附近单位速率
区间内的分子数占总分子数的百分比
即
----反映分子速率分布 v附近单位
速率区间内的概率大小
?在 0--?区间有
?
?
?
0
1)( dvvf
----归一化条件
?在 v1--v2区间
??
? 2
1
)(
v
v
dvvf
N
N
)(vf
vO dv 1v 2v
?在 v--v+dv区间的分子
数占总分子数的百分比
为
dvvf
N
dN
)(?
三,麦克斯韦速率分布定律
22
2/3 2
2
4)( ve
kT
m
vf kT
mv
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
----麦克斯韦速率分布函数
?1859年 麦克斯韦从理论上导出平衡状
态下气体分子速率分布函数
)(vf
vO
麦克斯韦速率分布曲线
pv
四,气体分子的三种速率
1.最概然速率 vp,与 f(v)
的极大值对应的速率
令
kT
m
b
2
? 则
2
2/3
2
4)( ve
b
vf
bv?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
)(
?
dv
vdf令
? ? 0)22(4 22 22/3 ??? ?? bvbv vebvveb ??
22
2/3 2
2
4)( ve
kT
mvf kTmv??
?
??
?
??
?
?
b
v p
1
??
m o lM
RT2
?
m
kT2
?
m o lM
RT
41.1?
v2.平均速率
N
vNvNvN
v nn
??????
?
?2211
N
vvvNfvvvNf nn ??????
?
)()( 11 ?
?
?
??
n
i
ii vvfv
1
)(
?
?
??
0
)( dvvvfv
m o lM
RT
?
8
?
m
kT
?
8
?
m o lM
RT
60.1?
)(vf
vO pv v 2v
3.方均根速率
2v
?
?
?
0
22 )( dvvfvv
m
kT3
?
m
kT
v
32
??
m o lM
RT3
?
m o lM
RT
73.1?
[例 3]有 0oC平衡状态下的氧气，计算速
率在 300--310m/s区间内氧分子数的百分
率
解,速率区间较小，可用
vvf
N
N
??
?
)(
m
kT
v p
2
??
m o lM
RT2
? sm377?
sm300?v sm10?? v
vve
kT
m
N
N
kT
mv
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
22
2/3 2
2
4
?
?
)()(
4
2
)(
23
p
v
v
p
v
v
e
v
v
p
?
?
?
?
)
3 7 7
10
()
3 7 7
3 0 0
(
4 2)
377
300
(
23
?
? e
?
%0.2?
麦克斯韦速率分布律的实验验证
一,分子速率分布的测定
l
v?
?
?
金属
蒸汽
胶片屏 ?斯特恩实验
v
l
t ??
?
?
? lv
?
?
??
----可通过两缝
lv
?
?
?? ----可通过两缝
否与麦氏分布一致。
率分布是度，就可以验证原子速
强，对不同速率范围内的改变
之内，到在一定的速率范围
?
vvv ??
在通常情况下，实际气体的速率
分布和麦氏速分布能很好符合。
例题 求,27oC 时氢分子、氧分子的最概然速率、平
均速率和方均根速率。
解 系统的热力学温度 k..T 153 0 027152 7 3 ???
氢分子的摩尔质量 m o l/kg,3
1 10022 ????
氧分子的摩尔质量 m o l/kg3
2 1032 ????
1
1 411 ?
RT.v
p ? s/m.
..,1567
10022
15300318411
3 ??
??
?
s/mRT.v 1 7 7 861
1
1 ?? ? s/m
RT.v 1 9 2 2731
1
2
1 ?? ?
s/mRT.v p 3 9 4411
2
2 ?? ? s/mv 4472 ? s/mv 4 8 322 ?
二,玻尔兹曼 分布律
当分子处于保守力场时，麦克斯韦速率分
布律中的指数项应以总能量
代替动能,这样在保守力场
中分子的空间分布也不均匀 。
pk EEE ??
221 mvE k ?
玻尔兹曼计算 得到系统在某一微小区域 x-x+dx，
y-y+dy,z-z+dz 及 vx-vx+dvx,vy-vy+dvy,vz-vz+dvz 的分
子数 dN
zyxvvve
kT
m
N
dN
y
kT
pk
dddddd
2 z
2
3
x
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
玻尔兹曼
1,气体分子按能量分布律
重力场中 考虑一竖直空气柱,
0n
z n
0
设 Ep=0 处分子数密度为 n0,
zyxenN dddd kT
pε?
?? 0据
在 Z 处分子数密度为
kT
m g zenn ??
0
2,重力场中粒子按高度分布
当大气温度均匀时，
分子数密度随高度增
加按指数规律减小。
?T 减小更慢n
?m 减小更快n
在同一高度
0n
z n
0
n k Tp ?又据
RT
gzm o lM
kT
m g z epepp ?? ??
00
的压强随高度的增加按指数规律减小。
将分子数密度代入，得,
设 Z=0处分子数密度为 P0, 重力场中气体
恒温气压公式（高度计）
设温度不随高度变化
根据压强变化测高度，实际温度也随高度
变化，测大气温度有一定的范围，是近似测量。
由上式可得高度 h 为,
gMRTppz mol/)/l n ( 0?
一,概念
?平均碰撞次数,一个分子在单位时间
内与其他分子碰撞次数的平均值
?平均自由程,一个分子连续两次碰撞
所经过路程的平均值
气体分子的 平均自由程
二,计算 (对同一类分子 )
?分子视为弹性小球, 有效直径为 d,速
率为, 碰撞后速率仍为 v v
1.考虑一个分子运动，其它分子静止
nvdZ 2??
?运动分子在 1秒内
与其它分子的平均
碰撞次数为
d2
d
一,概念
?平均碰撞次数,一个分子在单位时间
内与其他分子碰撞次数的平均值
?平均自由程,一个分子连续两次碰撞
所经过路程的平均值
§ 3-11 气体分子的 平均自由程
2.考虑所有的分子都在运动
nvdZ 22 ??
3.分子的平均自由程
Z
v
??
pd
kT
22 ?
?
平均碰撞次数为
nd 22
1
?
?
§ 8-7 分子的平均碰撞次数和平均自由程
[例 4]计算氧气在标准状态下的分子平均
碰撞次数和平均自由程。设氧气分子的
有效直径为 2.9× 10-10m
解,标准状态
K273?T Pa100 1 3.1 5??p
m o lM
RT
v
?
8
??
3103214.3
2 7 331.88
???
??
?
sm426?
kT
p
n ?
2 7 31038.1
100 1 3.1
23
5
??
?
?
?
325 m1069.2 ???
nvdz 22 ??? 19 s1028.4 ???
z
v
??
91028.4
426
?
? m1095.9 8???
?迁移现象 (输运过程 ):气体状态由不平
衡趋向于平衡的现象
§ 3-11 气体内的输运过程
一,内摩擦现象 (粘滞现象 )
1.宏观现象及规律
?气层流速不同 而
x
y
Au
?
Bu
?
f?
f??
S?
B
A
?实验表明
,
S
dy
du
f ??? ?
?气体分子定向 动量
的迁移
?为粘滞系数,正负号表示内摩擦力成
对出现
§ 5-9 气体内的迁移现象
x
y
S?
Au
?
Bu
?
f?
f??
B
A
)( mu?
2.微观本质
y
x
S?
A B
BA TT ?
AT BT
?实验表明,
S
dx
dT
t
Q
???
?
?
?
? 为热导率或导热系数，负号表示热量
从高温处传向低温处
二,热传导
1.宏观现象及规律
?气体内部 温度不同
而发生的现象
y
x
S?
A B
BA TT ?
AT BT
三,扩散
1.宏观现象及规律
?气体分子 数密度 不均
匀而发生的现象
x
A B
S?
BA ?? ?
m?
2.微观本质
?气体分子热运动
动能 的迁移 Q?
?气体分子 质量 的迁移
?实验表明
S
dx
d
D
t
M
???
?
? ?
D为扩散系数,负号表示从密度较大处
向密度较低处扩散
x
A B
S?
BA ?? ?
m?
2.微观本质
