第十七章 电磁感应
?法拉弟 发现了电磁感应现象
全面的揭示了电和磁的联系, 为麦克
斯韦的电磁场理论奠定了坚实的基础
§ 17-1 法拉第电磁感应定律
电磁感应现象的发现，为人类生活的
电气化打下了坚实的基础
第十七章 电磁感应
一,实验现象观察
N 开合
相对
运动
N
S
绝缘架
切割磁
力线 N S
旋转
第十七章 电磁感应
二,实验结果分析 ?共同特征,穿过回路所围面积内的磁
通量发生了变化
?感应电动势,由于回路中磁通量的变
化而产生的电动势
?两类感应电动势,
?动生电动势, 磁场保持不变，导体回路
或导线在磁场中运动
?感生电动势, 导体回路不动，磁场变化
第十七章 电磁感应
?两种情况兼而有之统称 感应电动势
----感应电动势比感应电流反
映出更为本质的东西
N
?不闭合线圈或不构成回路
的导线，虽然没有感应电流
产生，但感应电动势仍然存
在
说明,
第十七章 电磁感应
?感应电动势 ?i 的大小与穿过导体回路
磁通量的变化率 d?/dt成正比
dt
d
i
?
???
负号 反映感应电动势的方向
二,法拉弟电磁感应定律
第十七章 电磁感应
?确定感应电动势的方向的方法,
n?
0??
0??
dt
d
0?i?
i?
n?
0??
0??
dt
d
0?i?
0??
dt
d
0?i?
i?
i?
i?
0??
dt
d
0?i?
第十七章 电磁感应
三, 对 N匝串联的回路, 如果穿过每匝
的磁通量分别为 ?1,?2,?? N
)()()( 21
dt
d
dt
d
dt
d N
i
?
???
?
??
?
?? ??
)( 21 N
dt
d
???????? ?
dt
d ?
??
第十七章 电磁感应
?,磁通链数 或 全磁通
?当,则有 ?=N? ????????
n?21
dt
d
i
?
??? ?
dt
d
N
?
??
第十七章 电磁感应
三,楞次定律
?感应电动势的方向, 总是使得感应电
流的磁场去阻碍引起感应电动势 (或感
应电流 )的磁通量变化
iI
N
iI
N
第十七章 电磁感应
说明,
?在实际应用时一般将 大小 和 方向 分开
考虑, 即
dt
d
i
?
??
?求大小
?由楞次定律确定感应电动势的方向
第十七章 电磁感应
M降低 20A。求 ?线圈 M 中
产生的感应电动势 ?i和感
应电流 Ii； ?求 2秒内通过
线圈 M的感应电量 qi
[例 1]环芯的相对磁导率 ?r=600的螺绕环，
截面积 S=2?10-3m2，单位长度上匝数 n＝
5000匝 /m。在环上有一匝数 N＝ 5的线圈
M，电阻 R=2?，如图 。调节可变电阻使
通过螺绕环的电流 I每秒
第十七章 电磁感应
M
解,?由安培环路定律
nIB r?? 0?
通过线圈 M的全磁通
??? N N B S?
n I SN r?? 0?
dt
d
i
?
??? ?
dt
dI
nSN r?? 0??
代入数值可得 V
i 75.0??
第十七章 电磁感应
R
I ii
?
??
2
75.0
?
? 2秒内通过线圈 M的感应电量为
??
2
1
t
t ii
dtIq tI i??
C75.0?
A38.0?
第十七章 电磁感应
[例 2]一长直导线中载有稳恒电流 I,其右侧有一长为
l1,宽为 l2的矩形线框 abcd
,长边与导线平行并以匀
速度 v垂直于导线向右运动
。 求当 ad边距导线 x时线框
中感应电动势的大小和方
向
I
a b
cd
1l
2l
x
v
第十七章 电磁感应
距长直导线 r处取宽为 dr的矩形小面元
I
a b
cd
1l
2l
dr
r
SdBd ?? ???? drl
r
I
1
0
2
??
?
?
解,取线框回路的绕行方向为顺时针,则
线框的法线方向为 ?
? ???? S SdB
??
?
?
?
2
2
10
lx
x r
drIl
?
?
x
lxIl 210
ln
2
?
?
?
?
第十七章 电磁感应
线框中的感应电动势为
dt
d
i
?
??
dt
dx
lxx
lIl
)(2 2
210
?
?
?
?
)(2 2
210
lxx
vlIl
?
?
?
?
由楞次定律知 ?i 的方向为顺
时针方向
I
a b
cd
1l
2l
第十七章 电磁感应
[例 3]边长为 a的正方形线圈，在磁感应
强度为 的磁场中以转速 n旋转，该线圈
由电阻率 ?，截面积 s’的导线绕成，共 N
匝，设初始时刻线圈平面与磁场垂直。
求 ?线圈转过 300时线圈中的感应电动势； ?线圈转动时的最大电动势，此时线
圈的位置如何? ?转过 1800时导线中任
一截面通过的感应电量
B?
第十七章 电磁感应
'0
0 ?
a
a
? ???
?? ?
?
?
??
?
?
?? ?
B?
解,? n?? 2?
当转过 角时，通过线圈的磁通量为 ?
?c o sBS?? tBa ?c o s2?
ntBa ?2c o s2?
dt
d
Ni
?
???
ntnN B a ?? 2s i n2 2?
当 时 0302 ?nt? nN B a
i ??
2?
第十七章 电磁感应
?当 时 12s in ?nt? nN B a
i ??
2
m a x 2?
?线圈的电阻为
s
l
R
?
? ?
s
Na
?
?
4
?
)( 21 ?????
R
N
q i
)1 8 0c o s0c o s( 0202 BaBa
R
N
??
R
N B a 22
?
?2
'B as
?
ntnN B ai ??? 2s in2 2?
第十七章 电磁感应
一, 动生电动势 a
bc
d
外F
v?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B?取回路方向为顺时针方
向, 当 ab与 dc相距 x时
SB ?? ??? BS? B lx?
§ 17-2 动生电动势
l
dt
d
i
?
??? ? )( B l x
dt
d
??
dt
dx
Bl?? B lv??
负号表示 ?i方向与所取回路方向相反
i?
第十七章 电磁感应
?由于框架静止，动生
电动势只存在于运动
导线 ab内，由 b指向 a
讨论,a
bc
d
外F
v?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B?l
i?
?ab导线相当于一个电源。在电源内部,
电动势的方向由低电势指向高电势，
即 a点的电势高于 b点的电势
第十七章 电磁感应
?自由电子随 ab向右运动受到
洛仑兹力的作用
二,洛仑兹力解释
Bvef ??? ??? )(
??
??
?? B
?
v??
a
b
f?
----形成逆时针方向的感应电流
?在 作用下，电子沿导线从 a
向 b运动
f?
第十七章 电磁感应
?洛仑兹力可等效为一个非静电性场对
电子的作用
KEeBve
??? ???? )(
BvE K ??? ???
回路中的动生电动势为
? ?? L Ki ldE
??
? ? ??
a
b K
ldE
??
? ???
a
b
ldBv
???
)( B lv?
v?
??
??
?? B?
a
b
kE
?
表示 方向与积分路径方向相同，
即 b a
0?i? i?
第十七章 电磁感应
?一般情况下，任意的运动导线 L中产生
的动生电动势为
? ??? Li ldBv
???
)(?
----引起动生电动势的非
静电力是洛仑兹力
问题：, 即洛仑兹力对电荷不作功
，为何产生电动势？
vf ?
?
?
第十七章 电磁感应
讨论,
?洛仑兹力合力不作功 v?
??
??
?? B?
?
a
b
'v?
V?
?电子运动的合速度为
'vvV ??? ??
?电子在磁场中所受的总洛仑兹力为
BVeF ??? ???
BveBve ???? ?????? ff ???
??
Bvve ??? ????? )(
f?
'f?
F?
第十七章 电磁感应
VFP ?? ??洛 )()( vvff ?????? ??
??
vfvf ???? ??????
vBvevBve ?????? ???????? )'()(
Bvveve v B ???? 0?
v?
'v?
V?f?
'f?
F?
?
----总的洛仑兹力不作功
?总洛仑兹力作功功率为
第十七章 电磁感应
?洛仑兹力起能量转化作用
vfvf ???? ?????? 外
?电子向右匀速运动,须有外力
作用，且
'ff ?? ??外
vf ??? ??
----洛仑兹力不提供能量，只是传递能量
洛仑兹力分力 f
对电荷所作的功
外力反抗洛仑兹力
分力 f ’所作的功
v?'f?
?
'v?
f?
外f
?
vfvfP ???? ??????洛
第十七章 电磁感应
三,动生电动势的计算举例
?法拉弟定律
dt
d
i
?
???
?
? ??? Li ldBv
???
)(?
方法,
第十七章 电磁感应
[例 1]以匀角速 ? 转动, 求 OA的动生电动
势和两端的电势差
??
??
??
?
?
? ?
O
A解, 在 OA上距 O点为 l处取线元,方向设为由 O
指向 A
ld?
ld?
l
上的动生电动势为 ld?
ldBvd i ??? ??? )(? v B d l?? lB d l???
第十七章 电磁感应
OA上各线元的动生电动势指向相同
?
?
?
?? ii d ?? ? ??
0
L
l B d l? 2
2
1
BL??
? i 的方向由 A指向 O
即 A端积累负电荷 (负极 ),O端积
累正电荷 (正极 )
v?
?
?
?
?
O
A
2
0
2
1
BLUU A ???
第十七章 电磁感应
[法 2]任设一个回路 OAA’O
??
??
??
?
?
? ?
O
A
'A
设 OA在 dt时间转过角度 d?,对 d? 扇形
面积的磁通量为
B d Sd ?? ?dBL 2
2
1
?
dt
d
i
?
?? ? 2
2
1
LB ??
在假设回路中磁通量随时间而减小，由
楞次定律知 ? i的方向由 A指向 O
（自学）
第十七章 电磁感应
[例 2]一无限长直导线中通有电流 I，长为
l 并与长直导线垂直的金属棒 AB以速度
向上匀速运动，棒的近导线的一端与导
线的距离为 a，求金属棒中的动生电动势 v
?
I
A B
a l
v?
x
dx
解,在 AB上距直导线 x处
取线元,方向由 A
指向 B
xd?
第十七章 电磁感应
I
A B
a l
v?
x
dx
xdBvd i ??? ??? )(? B v d x?? v dx
x
I
?
?
2
0??
dx上的动生电动势为
? ????
a
i
x
dxIv
?a
0
2 ?
?
?
a
laIv ?
? ln
2
0
?
?
?? i 方向与所设方向，即由 B
指向 A
第十七章 电磁感应
第十七章 电磁感应
一,感生电动势
?麦克斯韦假设, 变化的磁
场在其周围空间总会产生
具有闭合电力线的感应电
场，这与空间中有无导体
或导体回路无关
----涡旋电场
§ 17-3 感生电动势和感生电场
N
第十七章 电磁感应
? ?? L Ki ldE
??
?
对回路 L有
dt
d
i
?
???
又
? ??? S SdBdt
d ??
? ??
?
??
S
Sd
t
B ?
?
sd
t
B
ldE
L S
K
?
?
??
?
?
?
???? ? ?
----变化的磁场能产生电场
第十七章 电磁感应
?两种不同性质的电场
?静止电荷产生的静电场, 电力线起始于
正电荷，终止于负电荷，环流为零
讨论,
----保守力场
?变化的磁场产生的电场, 电力线闭合，
环流不为零 ----非保守力场
?共同之处,它们都具有场能，都能对
场中的电荷施加作用力
第十七章 电磁感应
[例 1]长直螺线管半径为 R，内部均匀磁
场的大小为 B，方向如图。如 B以恒定的
速率增加，求管内外的感生电场
解,根据场的对称性，取半径为 r的圆为
闭合回路，回路方向如图
?
?
? ? ?
?
?
R
0
r
当 r <R,
?
?
???
L K dt
d
ldE
??
?
)(2 SB
dt
d
rE K
??
????? ?
dt
dB
r 2??
第十七章 电磁感应
当 r >R,因管外 0?B?
dt
dB
RrE K 22 ?? ???
dt
dB
r
R
E K
2
2
1
?
得
方向沿逆时针方向
?
?
? ? ?
?
?
R
0
R
kE
r
dt
dBr
E K
2
?
得 ----方向沿逆时针方向
第十七章 电磁感应
[例 2]一长直导线中载有稳恒电流 I,其右侧有一长为
l1,宽为 l2的矩形线框 abcd
,长边与导线平行并以匀
速度 v垂直于导线向右运动
。 求当 ad边距导线 x时线框
中感应电动势的大小和方
向
I
a b
cd
1l
2l
x
v
第十七章 电磁感应
距长直导线 r处取宽为 dr的矩形小面元
I
a b
cd
1l
2l
dr
r
SdBd ?? ???? drl
r
I
1
0
2
??
?
?
解,取线框回路的绕行方向为顺时针,则
线框的法线方向为 ?
? ???? S SdB
??
?
?
?
2
2
10
lx
x r
drIl
?
?
x
lxIl 210
ln
2
?
?
?
?
第十七章 电磁感应
线框中的感应电动势为
dt
d
i
?
??
dt
dx
lxx
lIl
)(2 2
210
?
?
?
?
)(2 2
210
lxx
vlIl
?
?
?
?
由楞次定律知 ?i 的方向为顺
时针方向
I
a b
cd
1l
2l
第十七章 电磁感应
[例 3]边长为 a的正方形线圈，在磁感应
强度为 的磁场中以转速 n旋转，该线圈
由电阻率 ?，截面积 s’的导线绕成，共 N
匝，设初始时刻线圈平面与磁场垂直。
求 ?线圈转过 300时线圈中的感应电动势； ?线圈转动时的最大电动势，此时线
圈的位置如何? ?转过 1800时导线中任
一截面通过的感应电量
B?
第十七章 电磁感应
'0
0 ?
a
a
? ???
?? ?
?
?
??
?
?
?? ?
B?
解,? n?? 2?
当转过 角时，通过线圈的磁通量为 ?
?c o sBS?? tBa ?c o s2?
ntBa ?2c o s2?
dt
d
Ni
?
???
ntnN B a ?? 2s i n2 2?
当 时 0302 ?nt? nN B a
i ??
2?
第十七章 电磁感应
?当 时 12s in ?nt? nN B a
i ??
2
m a x 2?
?线圈的电阻为
s
l
R
?
? ?
s
Na
?
?
4
?
)( 21 ?????
R
N
q i
)1 8 0c o s0c o s( 0202 BaBa
R
N
??
R
N B a 22
?
?2
'B as
?
ntnN B ai ??? 2s in2 2?
第十七章 电磁感应
一,互感
?互感现象,邻近线圈
中电流的变化引起 另
一个线圈 产生感应电
动势的现象
1B 2B
1I 2I
1 2
§ 17-4 互感
设 ?21为 I1的磁场在线圈 2中的磁通链数
121 I??
由毕 -萨定律知
第十七章 电磁感应
12121 IM???
M21,线圈 1对线圈 2的互感系数
?当 I1变化时，线圈 2中的互感电动势
dt
d 21
2
?
???
dt
dI
M 121??
同理
dt
d 12
1
?
???
dt
dI
M 212??
M12,线圈 2对线圈 1的互感系数
第十七章 电磁感应
可证
1221 MM ? M?
M,两回路间的互感系数，简称互感
说明,
?M与线圈的几何形状, 匝数, 相对位
置以及周围磁介质的磁导率有关
单位,亨利 (H)
?M的大小反映出两线圈间相互产生感
应电动势的能力
第十七章 电磁感应
[例 1]半径为 R的长直磁介质棒上，分别
绕有长为 l1(N1匝 )和 l2(N2匝 )的两个螺线
管, ?由此特例证明 M12=M21=M; ?当螺
线管 1中的电流变化率为 dI1/dt时，求螺
线管 2中的互感电动势
1l
2l
?
?
解,?设螺线管 1中通有电流 I1
111 InB ???
1
1
1 I
l
N
??
第十七章 电磁感应
通过螺线管 2的磁通链数为
SBN 1221 ??
1
1
2
21
l
IRNN ??
?
1
21
21
I
M
?
??
1
2
21
l
RNN ??
? 221 Vnn??
又设螺线管 2中通有电流 I2,则
222 InB ??
2
2
2 I
l
N
??
第十七章 电磁感应
因长直螺线管端口外磁场可乎略为零,
所以 I2的磁场穿过螺线管 1的磁通链数为
SBln 22112 ??? 2221 SlInn?? 2221 VInn??
1l
2l
?
?
2
12
12
I
M
?
?? 221 Vnn??
MMM ?? 2112即有
?
dt
dI
Mi 1???
dt
dI
l
RNN 1
1
2
21 ????
第十七章 电磁感应
§ 17-5自感
?自感现象,一个线圈 自身电流 的变化引
起 自身 线圈中产生感应电动势的现象
设一线圈中通有电流 I,则穿过该回路的
磁通链数与 I成正比, 即
LI??
L,自感系数，简称自感，单位, 亨利 (H)
?若 L保持不变
dt
d
L
?
???
dt
dI
L??
第十七章 电磁感应
?自感系数 L与回路的大小, 形状, 线
圈匝数及它周围磁介质的磁导率有关
讨论,
?负号的意义,?L将反抗回路中 电流的
变化 (不是电流本身 ) ----反电动势
? L的物理意义,L越大，阻碍原来电流
的变化的作用越大 ----电磁惯性
第十七章 电磁感应
[例 ]一空心的长直螺线管, 长为 l,半径
为 R,总匝数为 N,试求其自感系数 L
解,长直螺线管内
nIB 0??
磁通链数
N B S??
l
RIN 220 ??
?
I
L
?
??
l
RN 220 ??
? Vn 20??
螺线管的体积
I
l
N
0??
第十七章 电磁感应
[例 ]两个共轴长直圆管组成
的传输线, 半径分别为 R1和
R2,电流 I由内管流入, 外
管流出 。 求单位长度上的自
感系数
I
2R1R
I
解,由安培环路定律可知, 只有两管之
间存在磁场
r
I
B
?
?
2
0?
磁感应强度大小为
第十七章 电磁感应
取两管之间的截面 ABCD，磁通量为
? ??? S SdB
??
??
2
1
R
R
B l dr
??
2
12
0
R
R r
drIl
?
?
1
20 ln
2 R
RIl
?
?
?
I
2R1R
I
l
A B
CD
所以单位长度的自感系数为
Il
L
?
??
1
20 ln
2 R
R
?
?
?
第十七章 电磁感应
?以实验为例
?电键 K接 1点,
?电键由 1点接 2点上,
问题,能量从哪里来的呢？
灯泡突然闪亮一下，然后熄灭
灯泡
渐亮至稳定状态
L
K
2
1 ?
R
§ 17-6 磁场的能量
第十七章 电磁感应
?电键接 1触点,设 0到 t0时间内, 电流 I
由 0至 I0(稳定值 ),线圈产生反抗电流增
大的自感电动势
RI
dt
dI
L ???
??? ???
000
00
2
0
Itt
L I d IdtRII d t?
2
00
2
2
10
LIdtRI
t
?? ?
由欧姆定律有
L
K
2
1 ?
R
第十七章 电磁感应
?
0
0
2t dtRI
----消耗在 R上的焦耳热
?
0
0
t
I d t?
----电源电动势所作的功
2
02
1
LI
----电源电动势反抗自感电动
势所作的功
?这部分功在磁场建立过程中转换为磁
场的能量
第十七章 电磁感应
?所以自感为 L的线圈通有电流 I时所具
有的磁场能量为
2
2
1
LIW m ?
对长直螺线管有 nIB ??VnL 2??
22
2
1
VInW m ??? V
B
?
2
2
1
?
第十七章 电磁感应
?电键由 1触点接到 2触点,电流由 I0减至
0,线圈产生反抗电流减小的自感电动势
I d tAd L???
? ????
0
0I
LI d IA
----等于电流增大时 ? 反抗 ?L所作的功
dt时间内 ?L的功为
?A’是由 储存在磁场中的能量提供的
L I d I??
2
0
2
1
LI?
L
K
2
1 ?
R
第十七章 电磁感应
?长直螺线管内的磁场均匀分布，所以磁
能密度为
V
W
w mm ? BH
2
1
?
?
2
2
1 B
? 2
2
1
H??
----该结果适用于一切磁场
?? V mm dVwW
?对不均匀磁场
?? V B H dV2
1
第十七章 电磁感应
故单位长度导体内的磁能为
l
W
W mm ??
?
?
16
2
0 I?
因此在长为 l 的导体内的磁能为
?? v mm dVwW ??
R
drr
R
lI
0
3
4
2
0
4 ?
?
?
?
16
2
0 lI?
----与 R无关
第十七章 电磁感应
[例 ]传输线由半径为 R1的圆柱
导体和半径为 R2的圆柱壳同
轴组成, 电流 I由内管流入,
外管流出, 求其单位长度上
储存的磁能 （ 自学 ）
解,磁场分布在圆柱体和两管之间
I
2R1R
I
圆柱体单位长度上磁能为
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16
'
2
0
1
I
W m ?
第十七章 电磁感应
故单位长度传输线上的磁能为
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1
2
2
0
2
0 ln
416 R
RII
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第十七章 电磁感应
两管间距轴线 r处的磁感应强度大小
r
I
B
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2
0?
0
2
2
1
?
B
w m ?
22
2
0
8 r
I
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圆柱体和圆柱壳间单位长度上的磁能为
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1
'2 ? ??
2
1
2
8
1
22
2
0
R
R
r l d r
r
I
l
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1
2
2
0 ln
4 R
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