第 13章有导体和介质存在的静电场
§ 13-1 导体静电屏蔽条件
§ 13-2 静电平衡的导体上的电荷分布
§ 13--3 有导体存在时静电场的分析
§ 13-4 静电屏蔽
§ 13-5 电容器
§ 13-6 电介质对电场的影响
§ 13-7电介质的极化
§ 13-8 D矢量及其高斯定律
§ 13-9电容器的能量
第 13章有导体和介质存在的静电场
一,导体的静电平衡条件
1.静电感应现象
?静电感应,外电场的作用导
致导体中电荷重新分布而呈
现出带电的现象
A?
? ?
??
B
?静电平衡状态,导体内部和表面上都没有
电荷的定向移动状态
§ 13-1导体的静电平衡
第 13章有导体和介质存在的静电场
2.导体的静电平衡条件
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无外电场
§ 13-1电场中的导体
第 13章有导体和介质存在的静电场
加外电场 ---电子在电场力作用下运动
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导体的静电感应过程
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§ 13-1电场中的导体
第 13章有导体和介质存在的静电场
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导体的静电感应过程
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外场
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§ 13-1
第 13章有导体和介质存在的静电场
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导体的静电感应过程
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§ 13-1
第 13章有导体和介质存在的静电场
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导体的静电感应过程
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§ 13-1
第 13章有导体和介质存在的静电场
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导体的静电感应过程
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外场
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§ 13-1
第 13章有导体和介质存在的静电场
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导体的静电感应过程
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§ 13-1
第 13章有导体和介质存在的静电场
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导体的静电感应过程
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外场
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§ 13-1电场中的导体
第 13章有导体和介质存在的静电场
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导体的静电感应过程
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§ 13-1
第 13章有导体和介质存在的静电场
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导体的静电感应过程
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外场
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§ 13-1
第 13章有导体和介质存在的静电场
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导体的静电感应过程
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外场
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§ 13-1
第 13章有导体和介质存在的静电场
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导体的静电感应过程
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外场
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§ 13-1
第 13章有导体和介质存在的静电场
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导体的静电感应过程
E?
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静电平衡状态
0E
?
'E?
0'0 ??? EEE ???
§ 13-1
第 13章有导体和介质存在的静电场
?静电平衡条件,?导体内部任何一点的场强为零
?导体表面上任何一点的场强方向垂直于该
点的表面
?等价条件,
?静电平衡时, 导体为等势体,
§ 13-1
§ 13-2静电平衡导体上的电荷分
布静电平衡导体的电荷分布
第 13章有导体和介质存在的静电场
1.导体处于静电平衡时, 导体内部没有 净 电
荷, 电荷只能分布在导体表面上
证,在导体内 任一点 P处取
一 任意小 的高斯面 S PS
? ??? S SdE 0
??
0??
内S
iq
?静电平衡导体内 0?E?
即电荷只能分布在导体表面上
----体内无净电荷
§ 13-2静电平衡导体上的电荷分布
第 13章有导体和介质存在的静电场
2.有空腔的导体：设空腔导体带电荷 Q
? ?
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?
?
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?
Q?空腔内没有电荷时,导体
内部和空腔内表面上都
没有净电荷存在，电荷
只分布在导体外表面
S
证,在导体内作一包围空腔的高斯面 S
? ??? S SdE 0
??0?E?导体内
0??
内S
iq
即 ----S内无净电荷存在
§ 13-2静电平衡导体上的电荷分布
第 13章有导体和介质存在的静电场
?问题,会不会出现空腔内表面分布有等量异号电荷的情况呢？
?空腔内有电荷 q时,空腔内表面感应出 等
值异号 电量 -q，导体外表面的电量为导体
原带电量 Q与感应电量 q的代数和
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qQ?
q?
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q?
?由高斯定理和电荷
守恒定律可证
§ 13-2
第 13章有导体和介质存在的静电场
3.静电平衡导体，表面附近场强的大小与该处表面的
电荷面密度成正比
PS?
'S?
'S
E?
证,过紧靠导体表面的 P点作垂直于导体表
面的小圆柱面，下底 △ S’在导体内部
? ?S SdE
??
? ?
?
??
S
SdE
?? SE ??
0?
? S??
?
0?
?
?? E
第 13章有导体和介质存在的静电场
4.静电平衡导体,表面曲率越大的地方,电荷面密度越大
R
r
Q q
R?
r?
?以一 特例 说明,
设有两个相距很远的导体球，半径分别为 R
和 r(R >r)，用一导线将两球相连
R
Q
U R
04
1
??
?
R
R R
0
2
4
4
??
??
?
0?
? RR
?
第 13章有导体和介质存在的静电场
r
q
U r
04
1
??
?
r
R
R
r ??
?
?
r
r r
0
2
4
4
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??
?
0?
? rr
?
三,导体静电平衡特性的应用
1.尖端放电
???? ?
?
?
?
?
避雷针
第 13章有导体和介质存在的静电场
?导体放入静电场中,
§ 13-3 有导体时静电场的分析与计算
导体的 电荷
重新分布
导体上的 电荷分
布影响电场分布
静电平衡状态
第 13章有导体和介质存在的静电场
[例 1]半径为 R的不带电导体球附近有一点电荷 ?q，它与球心 O相距 d，求 ?导体球上感应
电荷在球心处产生的电场强度及此时球心处
的电势； ?若将导体球接地，球上的净电荷
为多少？
R
O
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
'q? 'q?
q?
d
解,?建立如图所示的
坐标系
设导体球表面感应
出电荷 ?q’ x
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法
第 13章有导体和介质存在的静电场
?球心 O处场强为零，是 ± q’的电场和 q的电场叠加的结果
EEE ??? ??? 0
EE ?? ??? '
0?
)](
4
[
2
0
i
d
q ?
???
??
i
d
q ?
2
04 ??
?
即
?因为所有感应电荷在 O处的电势为
??? '
04
'
'
q R
dq
U
??
0?
RO
?
?
?
?
?
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?
?
?
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'q? 'q?
q?
d
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法
第 13章有导体和介质存在的静电场
?而 q在 O处的电势为
d
q
U
04 ??
?
'0 UUU ???
d
q
0
4 ??
?
?导体球接地：设球上的净电荷为 q1
R
q
d
q
U
0
1
0
0
44 ????
?? 0?
q
d
R
q ??1解得
RO q?
d1q
第 13章有导体和介质存在的静电场
[例 2]两块放置很近的大导体板，面积均为 S，试讨论以下情况空间的电场分布及导体板
各面上的电荷面密度,?两板所带电荷等值
异号； ?两板带等值同号电荷；（自学）
设四个表面上的电荷面密度分别
为 ?1,?2,?3和 ?4
1? 2? 3? 4?
解,不考虑边缘效应时，可认为
板上电荷均匀分布在板表面上
第 13章有导体和介质存在的静电场
?作两底分别在两导体板内而侧面垂直于板面的闭合柱面为高斯面
1? 2? 3? 4?
S?
? ?SSsdE ?????? 32
0
1
??
?
?? 0?
?板内任一点 P点的场强为零 P
0
4
0
3
0
2
0
1
2222 ?
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????pE 0? 41 ?? ??
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
32 ?? ???
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法
第 13章有导体和介质存在的静电场
?设两板带等值异号电荷 +q 和 -q,
qS ?? )( 21 ??? qS ??? )( 43 ??
S
q
S
q
?????? 4321 ???? 0?
041 ??? ??
----电荷分布在极板内侧面
Sq /2 ?? ? Sq /3 ???
2? 3?
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法
第 13章有导体和介质存在的静电场
由场强叠加原理有
0E 3 ?
0
3
0
2
2
22 ?
?
?
?
??E
S
q
0?
?
方向向右
2? 3?
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
0
3
0
2
1
22 ?
?
?
?
???E
同理
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法
0?
第 13章有导体和介质存在的静电场
?设两板带等值同号电荷 +q,
qS ?)( 21 ?? ＋?
0)()( 4321 ????? ????
----电荷分布在极板外侧面
3241 ???? ???
032 ?? ??
qS ?)( 43 ?? ＋
由
有 1
? 4?
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
S
q
??? 41 ??
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法
第 13章有导体和介质存在的静电场
由场强叠加原理可得
1? 4?
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
0
4
0
1
1
22 ?
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?
???E
S
q
0?
??
0
4
0
1
2
22 ?
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0
4
0
1
3
22 ?
?
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??E
S
q
0?
?
方向向左
方向向右
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法
第 13章有导体和介质存在的静电场
?求电场分布,球和球壳的电势 U1和 U2及它
们的电势差 △ U; ?用导线将球和球壳连接
时场和电势怎样?
1r 2r
3r
[例 3]半径为 r1的导体球带有电荷
+q,球外有一个内外半径分别为
r2, r3的同心导体球壳，壳上带
有电荷 +Q
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法
第 13章有导体和介质存在的静电场
解,?球壳内表面均匀分布电荷 -q，球壳外表面均匀分布电荷 q+Q
1rr ?
21 rrr ??
32 rrr ??
3rr ?
1r 2r
3r
q??
?
?
?
?
?
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?
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? ?
? ?
?
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q?
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?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
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qQ?
以同心球面作为高斯面有
01 ?E?
0
2
0
2
4
r
r
q
E
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??
?
03 ?E?
0
2
0
4
4
r
r
Qq
E
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第 13章有导体和介质存在的静电场
?球的电势为
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1
1 r rdEU
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? ?
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3
2
1
2
0
2
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r
r
r
dr
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Qq
dr
r
q
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3210
4
1
r
Qq
r
q
r
q
??
??
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3
2
1
42 r
r
r
rdErdE
????
第 13章有导体和介质存在的静电场
?球壳的电势为
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??
3
2 r rdEU
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?
?
??
3
4r rdE
??
?
? ?
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3
2
04
r
dr
r
Qq
??
304 r
Qq
??
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?电势差为
21 UUU ??? ?
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??
210
11
4 rr
q
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第 13章有导体和介质存在的静电场
0321 ??? EEE ???
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?
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?
?用导线连接球和球壳：球面上的电荷与球
壳内表面电荷中和
0
2
0
4
4
r
r
Qq
E
??
??
?
?
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?
???
3
421 r rdEUU
??
dr
r
Qq
r?
? ?
?
3
2
04 ?? 304 r
Qq
??
?
?
第 13章有导体和介质存在的静电场
?静电屏蔽,隔绝电的相互作用,使内外互
不影响的现象
?对外电场的屏蔽
?接地空腔导
体屏蔽腔内
电荷对外界
的影响
?
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A
0?E?
?
A
???? ?
?
?
§ 13-4静电屏蔽
第 13章有导体和介质存在的静电场
§ 13-4
第 13章有导体和介质存在的静电场
一,孤立导体的电容
?设孤立导体带电量为 q，电势为 U
U
q
C ? ----孤立导体的电容
?单位,法拉 (F),1F=1C/V
§ 13-5 电容器
?定义,
第 13章有导体和介质存在的静电场
二,电容器
?电容器,两个带有等值异号电荷的导体组
成的系统
?设真空中的导体 A和 B所带电量分别为 +q和
-q
A B
q? q?
AU B
U
?定义,
BA UU
q
C
?
?
----电容器的电容
§ 13-5 电容器
第 13章有导体和介质存在的静电场
1.平板电容器 q?
A B
0? S
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
q?
?设极板所带电荷为 ?q
0?
?
?E
ldEUU BABA ?? ????? Ed?
S
qd
0?
?
S
q
0?
?
BA UU
q
C
?
?
d
S0?
?
则
§ 13-5电容器
第 13章有导体和介质存在的静电场
2.圆柱形电容器 ---两同轴圆柱面构成
A
B
AR
BR
l
0?
?设内外柱面带有电荷分别
为 +q和 -q
?两柱面间、距轴线为 r处的
场强大小为
r
E
02 ??
?
?
§ 13-5电容器
第 13章有导体和介质存在的静电场
ldEUU BABA ?? ????? E d rB
A
R
R??
r
dr
B
A
R
R,
2 0??
?
??
A
B
R
R
ln
2 0??
?
?
BA UU
q
C
?
??
A
B
R
R
l
ln
2
0
??
?
?
?
A
B
R
R
l
ln
2
0
??
?
§ 13-5电容器
第 13章有导体和介质存在的静电场
3.球形电容器 ---两同心球壳构成
?设内外球壳分别带有电荷
+q和 -q，则
2
04 r
q
E
??
? BR
AR
A
B
0?
ldEUU BABA ?? ????? )
11
(
4 0 BA RR
q
??
??
E d rB
A
R
R??
BA UU
q
C
?
??
AB
BA
RR
RR
?
? 0
4 ??
§ 13-5电容器
第 13章有导体和介质存在的静电场
讨论,
?电容器的电容与极板所带电量无关,只与
电容器的几何结构有关
§ 13-5电容器
第 13章有导体和介质存在的静电场
?计算电容器电容的步骤,
?设极板带有电荷 ?q
?由电荷分布求出两极板间的 场强 分布
?由场强分布求出两极板间的 电势差
?由电容的定义求得电容器的 电容
§ 13-5电容器
第 13章有导体和介质存在的静电场
?各电容器上
的电压相等
三,电容器的串并联
?并联, ??1C 2C 3C nCU
U
q
C ??
U
qqq n???
?
?21
nCCC ???? ?21 ?
?
?
n
i
iC
1
?电容器组总电量 q为各电容所带电量之和
§ 13-5电容器
第 13章有导体和介质存在的静电场
?串联, ??
U
?各电容器的电量相等，即为电容器组的总
电量 q
?总电压为各电
容器电压之和
U
q
C ??
nUUU
q
???
?
?21
nCqCqCq
q
/// 21 ???
?
§ 13-5电容器
第 13章有导体和介质存在的静电场
nCCCC
1111
21
????? ?
讨论,
?并联时 等效电容等于各电容器电容之和，
利用并联可获得较大的电容
?串联时 等效电容的倒数等于各电容器电容
的倒数之和，因而它比每一电容器的电容
小,但电容器组的耐力能力提高
?
?
?
n
i iC1
1
§ 13-5电容器
第 13章有导体和介质存在的静电场
§ 13-6 电介质对电场的影响
?电介质,内部几乎没有可以自由运动电荷
的物体, 又称为绝缘体
r0 /UU1,??
试验可以证明：在平行板电容器中充满
电介质时，两板电压
相对介电常数0r / ??? ?
第 13章有导体和介质存在的静电场
2、根据电容的定义式
0r cc ??
3、根据电压和电场强度的关系
r0 /EE ??
U/QC ?
第 13章有导体和介质存在的静电场
一,电介质的分类
?无极分子电介质,无
外电场时分子的正负
电荷中心重合
?
?
0?ep?
?没有固有电矩的分子称为 无极分子
甲烷 CH4
H
H
H
H
C
?
?
?
?????
§ 13-7 电介质的极化
第 13章有导体和介质存在的静电场
?有极分子电介质,无
外电场时分子正负电
荷中心不重合
水 H2O
H
H
O
??
? ?
ep
?
?
?
0?ep?
?具有固有电矩的分子
称为 有极分子
§ 13-7电介质的极化
第 13章有导体和介质存在的静电场
?? ?? ??
?? ??
?? ?? ??
?? ??
?? ?
?
??
二,电介质的 极化 1.无极分子的极化
?
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? ??
??
??
??
????
??
????
??
??
??
??
?无极分子的极化是由于分子中的正负电荷
中心在外电场作用下发生 相对位移 的结果
----位移极化
??
0E
?
0E
?
诱导电偶极矩
ep?
§ 13-7电介质的极化
第 13章有导体和介质存在的静电场
?
? ?
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? ?
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??
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??
?
??
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2.有极分子的极化
?
?
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?
?
?有极分子的极化是由于分子偶极子在外电
场的作用下发生 转向 的结果
----转向极化
1f
?
2f
?
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?? ?
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??
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0E
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0E
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ep
?
§ 13-7电介质的极化
第 13章有导体和介质存在的静电场
三,结论
?无外场时,电介质中任一小体积元 ?V内无
极化电荷存在
?有外场时,电介质被极化，且外场越强，
电介质极化程度越高。极化电场的方向总
是与原电场的方向相反，这样比起真空时
的电场时减小。
§ 13-7电介质的极化
第 13章有导体和介质存在的静电场
?例：一平行板电容器间充满相对介电常数为 εr的电介质，求当它带电为 Q时，电介质两表面
的束缚电荷为多少？（自学）
s/Q??则
?解：设极化电荷为 Q’,?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
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?? ??
'??
?
?
?
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?
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?
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'??
0E
?
'E
?
§ 13-7电介质的极化
r0/E ????
第 13章有导体和介质存在的静电场
EEE ??? ???? 0
EEE ???? 0 )1(00 ?
?
?
? ???
s/Q ????
)2(/E r0 ?????又
0/E ?? ???
§ 13-7电介质的极化
第 13章有导体和介质存在的静电场
)3(
00r0
?
?
?
?
??
? ?
???
)4(
1
r
r ?
?
?
?
?
???
( 5 )Q
1
Q
r
r
?
? ?
???
§ 13-7电介质的极化
第 13章有导体和介质存在的静电场
§ 13-8 D矢量及其高斯定理
?一、电位移矢量,
r0 /EE ?
?? ?实验结果介质充满电场时,
上式乘以
0r??
)2(EE 00r0
??
??? ?
定义,
)3(EED r0
???
??? ??
§ 13-8
第 13章有导体和介质存在的静电场
电介质的介电常数
称为电位移矢量。
?
D
?
)4(SdE 00r0? ?? ????
S
S
qSdE
内
????
???
1、将（ 2）式进行通量积分,
二、介质电场中高斯定理,
§ 13-8
第 13章有导体和介质存在的静电场
E00 ??? ?? ?? ED
? ???? S
S
qSdD
内
0
??
----电位移
----有介质时的高斯定理或 的高斯定理 D?
?根据,
讨论,
自由电荷
?电位移通量 只与闭合曲面所包围的 自由电
荷 有关，但 本身与 自由电荷 和 极化电荷
都有关
D?
§ 13-8
第 13章有导体和介质存在的静电场
? 是一个辅助物理量，没有明显的物理
意义，但有介质时，计算 通量比计算
通量简便
D? E?
D?
说明,
?以上讨论的是各向同性介质,方
向一致
，,ED ??
§ 13-8
第 13章有导体和介质存在的静电场
[例 4]半径为 R 的金属球带有正电荷 q0，置于一均匀无限大的电介质中 (相对介电常数为
?r)，求球外的电场分布。
R
0q
r?
解,?电 场分布球对称性
取半径为 r并与金属球同
心的球面 S为高斯面
? ??S rDSdD 24 ?
??
0q?
第 13章有导体和介质存在的静电场
2
4
0
r
q
D
?
?? 方向沿径向向外
或 0
0
2
4
r
r
q
D
??
?
?
?电介质中的电场分布为
?
DE
??
?
r
D
?? 0
?
? 0
2
0
0
4
r
r
q
r
?
???
?
第 13章有导体和介质存在的静电场
dq
一,带电体的能量
)( ??? UUdqdA U dq? q
U
?设物体带有电量 q时，相应电势为 U
dqq ?
§ 13-9 电容器的能量
将电荷元 dq从无限远处移到该带电体上，
外力 需作功
?带电体具有的电势能
AW ? U d qQ
0??
第 13章有导体和介质存在的静电场
A B
二,带电电容器的能量
dq
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
q? q?
E?
?将 dq由 B板移到 A板,外力 需
作功
)( ba UUdqdA ?? dq
C
q
?
??
q
dq
C
q
W
0 C
Q 2
2
1
?
2)(
2
1
BA UUC ?? )(
2
1
BA UUQ ??
?带电电容器的能量为
§ 13-9
第 13章有导体和介质存在的静电场
三,电场的能量 ?以平板电容器为例,设极板面积为 S，两
极板间距离为 d,板间充满介电常数为 ? 的
电介质
2)(
2
1
BA UUCW ??
2)(
2
1
Ed
d
S?
? VE ?? 2
2
1
?
?单位体积的能量 (电场能量密度 )为
V
W
e ??
2
2
1
E?? DE
2
1
?
§ 13-9
第 13章有导体和介质存在的静电场
?任意电场中所储存的能量为
dVW eV ??? D E dVV
2
1
??
讨论,
?电场具有能量是电场物质性的一种表现
§ 13-9
第 13章有导体和介质存在的静电场
[例 7]真空中一个半径为 R的薄球壳，其上带有均匀分布的电荷 Q，求静电场的总能量
解,电场分布在球壳的外部空间
0?内E
2
04
1
r
Q
E ??
??
外
Rr ?
Rr ? Q
R
§ 13-9
第 13章有导体和介质存在的静电场
?? V e dVwW ?? V dVE
2
0
2
1
?
?
?
??
R
drr
r
Q 22
2
0
0 4)
4
(
2
1
?
??
?
R
Q
2
08
1
??
?
Q
R
§ 13-9