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第 8章 二次型
8.1 二次型和对称矩阵
8.2 复数域和实数域上的二次型
8.3 正定二次型
8.4 主轴问题
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我思故我在。
-----笛卡儿 (Rene Descartes,1596-1650)
如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人
的肩上。
--- 牛顿（ Newton,1642－ 1727）
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8.1 二次型和对称矩阵
一,内容分布
8.1.1 二次型及矩阵
8.1.2 线性变换
8.1.3 矩阵的合同
8.1.4 二次型的标准形
二,教学目的
1.掌握二次型及其矩阵的定义
以及矩阵的合同
2.理解关于二次型的线性变换
3.了解二次型的标准形
三,重点难点,
合同、线性变换、二次型的标准形
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8.1.1 二次型及矩阵
定义 1 设 F是一个数域,F上 n元二次齐次多项式
（ 1）
nnnn
nnnn
xxaxxaxxa
xaxaxaxxxq
1,131132112
22
222
2
11121
222
),,,(
??????
????
?
??
叫做 F上的一个 n 元二次型。
F 上 n 元多项式总可以看成 F 上的 n 个变量的函
数，二次型（ 1）定义了一个函数 所
以 n 元二次型也叫 n 个变量的二次型,,,FFq
n ?
在（ 1）中令 因为
所以（ 1）式可以写成以下形式：
.),1( njiaa jiij ???,ijji xxxx ?
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（ 2） ? ?
? ?
??
n
i
n
j
jiijjiijn aaxxaxxxq
1 1
21,),,,( ?
是（ 2）式右端的系数所构成的矩阵,称
为二次型 的矩阵。因为,
所以 A是 F上的一个 n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘
法，（ 2）式可以写成
)( ijaA ?令
),,,( 21 nxxxq ? jiij aa ?
（ 3）
?
?
?
?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
n
nn
x
x
x
Axxxxxxq
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??
2
1
2121 ),,,(),,,(
二次型（ 3）的秩指的就是矩阵 A的秩。
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8.1.2 线性变换
如果对二次型（ 3）的变量施行如下的一个变换：
（ 4） ),1(,,,2,1,
1
njiFpniypix ij
n
i
jji ????? ?
?
?
那么就得到一个关于 的二次型nyyy,,,21 ?
),,,( 21 nyyyq ??
（ 4）式称为变量的线性变换，令 是（ 4）
的系数据构成的矩阵，则（ 4）可以写成
)( ijpP ?
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（ 5）
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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nn y
y
y
P
x
x
x
??
2
1
2
1
将（ 5）代入（ 3）就得到
（ 6）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
n
nn
y
y
y
APPyyyyyyq
?
??
2
1
2121 ),,,(),,,(
矩阵 P称为线性变换（ 4）的矩阵。 如果 P是非奇异
的，就称（ 4）是一个 非奇异线性变换 。因为 A是
对称矩阵，所以
也是对称矩阵。
APPAPPPAPAPP ????????,)(
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推论 8.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变
换之下保持不变。
注意, 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论
8.1.2不成立
定理 8.1.1 设 是数域 F上的一个以 A为
矩阵的 n元二次型。对它的变量施行一次以 P为矩
? ?
? ?
n
i
n
j
jiij xxa
1 1
APP?阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 。
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8.1.3 矩阵的合同
定义 2 设 A,B是数域 F上的两个 n 阶矩阵。如果存
在 F上的一个非异矩阵 P，使得
那么称 B与 A合同。
BAPP ??
矩阵的合同关系的性质：
③ 传递性：如果 B 与 A 合同,C 与 B 合同，那
么 C 与 A 合同。
① 自反性：任意矩阵 A都与自身合同，因为 IAI=A
BAPP ??
ABPPBPP ???? ???? 111 1)()(
② 对称性：如果 B与 A合同，那么 A也与 B合同，因为
由 可以得出
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事实上，由 可得
合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对
称矩阵合同的矩阵仍是对称的,
CBQQBAPP ???? 和
CBQQAPQPQPQAPQ ??????? )()(
是数域 F上两个 n 元二次型，它们的
矩阵分别为 A 和 B,如果可以通过变量的非奇异线
性变换将,则 B与 A 合同, 反之，设 B与
A 合同, 于是存在 F上非奇异矩阵 P 使得,
通过以 P为矩阵的非奇异线性变换就将,
qq ?和设
qq ?变为
APPB ??
qq ?变为
F上两个二次型叫 等价,如果可以通过变量的
非奇异线性变换将其中一个变成另一个,
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定理 8.1.3 数域 F上两个二次型等价的必要且充分
条件是它们的矩阵合同。
等价的二次型具有相同的秩。
定理 8.1.4 是数域 F上的一个 n阶对称矩
阵。总存在 F上一个 n阶非奇异矩阵 P，使得
)( ijaA ?令
?
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??
nc
c
c
APP
0
0
2
1
?
即 F上的一个 n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合
同。
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证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定
理。回忆一下 5.2里所定义的三种初等矩阵
容易看出,)()(,kTkDP
ijiji 和
)()();()(; kTkTkDkDPP ijijiijiji ??????
)( ijaA ?设
OA ?
设
现在对矩阵 A的阶 n作数学归纳法,n = 1时定
理显然成立。设 n > 1，并且假设对于 n – 1阶对称
矩阵来说，定理成立。 是一个 n阶矩阵,
如果 A = O，这时 A本身就是对角形式。设,
我们分两种情形来考虑,
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(a) 设 A的主对角线上元素不全为零，例
如,.如果 i ≠ 1，那么交换 A的第 1列与第 I 列，
再交换第 1行与第 i行，就可以把 换到左上角。这
样就相当于初等矩阵,再用
,于是 的左上角的元素
0?iia
iia
AP i 右乘1
APP ii 左乘11 ?? ii APP 11?
011 ?a
11
1
a
a j?不等于零, 因此，我们不妨设,用 乘
j 行，就可以把 第一行第 j 列和第 j 行第 1列位置的
元素变成零 。
A的第 1列加到第 j 列，再用 乘第 1行加到第
11
1
a
a j?
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这相当于用 右乘 A，用)(
11
1
1 a
aT j
j ?
)()(
11
1
1
11
1
1 a
a
T
a
a
T jjjj ???
左乘 A。这样，总可以选取初等矩阵,
使得
sEEE,,,21 ?
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????
0
0
00
1
11
2112
A
a
EEAEEEE ss
?
?
??
这里 是一个 n – 1阶的对称矩阵。
1A
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由归纳法假设，存在 n – 1阶可逆矩阵 使得1Q
?
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??
nc
c
c
QAQ
0
0
3
2
111
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0
0
001
1Q
Q
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QEEEP s?21?
取
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那么
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??????
n
ss
c
c
c
QAQ
a
Q
A
a
Q
QEEAEEEEQAPP
0
0
0
0
00
0
0
00
2
1
111
11
1
11
2112
?
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?
??
这里 。111 ac ?
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(b) 如果, 由于 A≠O，所以
一定有某一个元素, 把 A的第 j 列加
到第 i列,再把第 j 行加到第 i行,这相当于初等矩阵
右乘 A, 再用 左乘 A,而经过这
样的变换后所得到的矩阵第 i行第 j 列的元素
是, 于是由情形（ b）就归结到情形（ a）,
nia ii,,2,1,0 ??
jia ij ??,0
)1(jiT )1()1( ?? jiij TT
02 ?ija
注意 在定理 8.1.2的主对角形矩阵 中，主
对角线上的元素 的一部分甚至全部可以
是零。显然，不为零的 的个数等于 A的秩，如
果秩 A等于 r > 0，那么由定理的证明过程可以知
APP?
nccc,,,21 ?
ic
0,0,,,2121 ????? ?? nrrr cccccc ?? 而
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给了数域 F 上一个 n 阶对称矩阵 A,由定理
9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出
一个可逆矩阵 P，使 有对角形式，只要在对
A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对
n阶单位矩阵 I 施行同样的列初等变换，那么当 A
化为对角形式时,I 就化为 P。
APP?
例 1 设
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
??
?
?
0403
41260
0630
3000
A
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我们按定理 8.1.2所给出的方法对 A施行行和列
初等变换，将 A变成,使得 是一个对
角形矩阵。同时对单位矩阵,施行同样的初等
变换而得出 P。
APP? APP?
4I
交换 A第一列和第二列，第一行和第二行，同
时交换 的第一列和第二列。这时 A和 分别化
为：
4I 4I
?
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??
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1000
0100
0001
0010
,
0430
41206
3000
0603
11 PA
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把 的第一列乘以 2加到第三列，第一行乘以
2加到第三行，同时把 的第一列乘以 2加到第三
列。分别得到：
1A
1P
?
?
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?
?
?
?
?
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?
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?
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1000
0100
0201
0010
,
0430
4000
3000
0003
22 PA
把 的第四列加到第二列，第四行加到第二
行，同时把 和第四列加到第二列，得
2A
2P
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??
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1010
0100
0201
0010
,
0430
4040
3460
0003
33 PA
以 2/3 和 － 1 /2 乘 的第二列依次回到第三
列和第四列上,再以 2/3 和 － 1 /2 乘第二行依次加
到第三行和第四行上，同时对 的列施行同样的
初等变换。得
3A
3P
?
?
?
?
?
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??
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2
1
3
2
2
1
3
2
4
2
3
3
84
10
0100
0201
10
,
200
200
0060
0003
PA
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最后，以 － 3/4 乘 的第三列加到第四列上,
再以 － 3/4 乘第三行加到第四行上，并且对 的
列施行同样的初等变换，我们得到
4A
4p
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010
100
201
110
,
0000
000
0060
0003
4
3
4
3
2
3
3
2
5
3
85
PA
取 。于是
5PP ?
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??
0000
0
3
8
00
0060
0003
APP
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8.1.4 二次型的标准形
定理 8.1.5 数域 F上每一个 n元二次型 ? ?
? ?
n
i
n
j
jiij xxa
1 1
可以通过变量的非奇异线性变换化为：
Fcccycycyc nnnn ????,,,,21222211 ??
例如,以 例 1 中对称矩阵 A为矩阵的二次型是
4332412322421 8126123),,( xxxxxxxxxxxq ?????
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通过变量的非奇异线性变换
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4
3
2
1
4
3
2
1
0
3
2
10
4
3
100
2
3
201
1
3
2
10
y
y
y
y
x
x
x
x
化为,
3
863 2
3
2
2
2
1 yyy ??
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练习 1 写出下列二次型的矩阵
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3
2
1
321321
9 8 7
6 5 4
3 2 1
,,
x
x
x
xxxxxxf
练习 2 写出对应下列方阵的二次型
?
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4 3 2
3 2 1
2 1 1
例 2 分别用配方法和合同变换法化二次型
323121321 622),,( xxxxxxxxxf ???
成标准形, (读者答题）
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3
2
1
3
2
1
1 0 0
1- 1 0
2 1- 1
y
y
y
x
x
x
练习 3 已知二次型
? ? 31212221321 222,,xxxxxxxxxf ????
试对它作如下非奇异线性变换
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8.2 复数域和实数域上的二次型
一,内容分布
8.2.1 复二次型的典范形
8.2.2 实二次型的典范形
二,教学目的
1．掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、
实二次
型的惯性指标,、符号差等概念。
2．掌握实二次型的惯性定律,
三,重点、难点：
实二次型的惯性定律,
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复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型
和实二次型,
8.2.1 复二次型的典范形
定理 8,2,1 复数域上两个 n阶对称矩阵合同的充分
且必要条件是它们有相同的秩, 两个复二次型等价
的充分且必要条件是它们有相同的秩,
证 显然只要证明第一个论断,
条件的必要性是明显的, 我们只要证条件的充
分性, 设 A,B是复数域上两个 n阶对称矩阵，且 A
与 B有相同的秩 r,由定理 8.1.2，分别存在复可逆
矩阵 P和 Q，使得
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00
0
0
2
1
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r
c
c
c
APP
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??
00
0
0
2
1
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r
d
d
d
BQQ
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ridcr ii,,2,1,0,0,0 ????? 时当
取 n 阶复矩阵
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10
1
1
0
1
1
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r
c
c
S
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10
1
1
0
1
1
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r
d
d
T
的一个平方根, iiii dcdc,,分别表示复数这里
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那么,而 TTSS ????,
???
?
???
???????
OO
OIB Q TQTA P SPS r
因此，矩阵 A,B 都与矩阵
???
?
???
?
OO
OI r
合同，所以 A与 B合同,
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8.2.2 实二次型的典范形
定理 8.2.2 实数域上每一 n 阶对称矩阵 A 都合同于
如下形式的一个矩阵：
（ 1）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
OOO
OIO
OOI
pr
p
这里 r 等于 A的秩,
证 由定理 9.1.2，存在实可逆矩阵 P，使得
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??
00
0
0
2
1
?
?
r
c
c
c
APP
如果 r > 0,必要时交换两列和两行，我们总
可以假定
rpccc rp ???? 0,0,0,,1 ?
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取
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1
0
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1
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r
c
c
T
那么
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???? ?
OOO
OIO
OOI
A P TPT pr
p
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定理 8.2.3 实数域上每一 n 元二次型都与如下形式
的一个二次型等价：
（ 1） 22
1221 rpp xxxx ????? ? ??
这里 r 是所给的二次型的秩,
二次型（ 1）叫做 实二次型的典范形式,定理
9.2.3 是说，实数域上每一个二次型都与一个典范
形式等价, 在典范形式里，平方项的个数 r 等于二
次型的秩，因而是唯一确定的,
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定理 8.2.4（惯性定律） 设实数域 R上 n元二次型
? ?
? ?
n
i
n
j
jiij xxa
1 1
等价于两个典范形式
22 1221 rpp yyyy ????? ? ??（ 2）
22 1221 rpp zzzz ????? ? ??（ 3）
那么 pp ??
证 设（ 2）和（ 3）分别通过变量的非奇异线性变
换
（ 4） nixsy n
j
jiji,,2,1,
1
??? ?
?
（ 5） nixtz n
j
jiji,,2,1,
1
??? ?
?
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化为所给的二次型 如果 不,
1 1
? ?
? ?
n
i
n
j
jiij xxa,pp ??
妨设 考虑 个方程的齐次线性
方程组
,pp ?? pnp ???
（ 6）
?
?
?
?
?
?
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???
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npixt
pixs
n
j
jij
n
j
jij
,,1,
,,2,1,
1
1
?
?
因为 所以 因此，方程组
（ 6）在 R内有非零解, 令 是（ 6）的
一个非零解, 把这一组值代入 的表示式
,pp ??,npnp ????
),,,( 21 nccc ?
ii zy 和
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（ 4）和（ 5）, 记
nicscy
n
j
jiji,,2,1,)(
1
??? ?
?
nictcz
n
j
jiji,,2,1,)(
1
??? ?
?
我们有
? ?
? ?
???
?
?
??????
?????
n
j
n
ij
jiji
rpp
rpp
cca
czczczcz
cycycycy
1
22
1
22
1
22
1
22
1
)()()()(
)()()()(
??
??
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然而 0)()(,0)()( 11 ?????? ?? czczcycy rpp ??
所以 221221 )()()()( czczcycy prp ?? ?????? ??
因为 都是非负数，所以必须 22 )()( czcy
ii 和
0)()(
0)()(
1
1
???
???
?
?
czcz
cycy
p
rp
?
?
又 所以 是
齐次线性方程组
.0)()(1 ????? czcz np ? nccc,,,21 ?
nict
n
j
jij,,2,1,0
1
????
?
的一个非零解,这与矩阵 的非奇异性矛盾, )(
ijt
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这就证明了, 同理可证得,
所以
pp ?? pp ??
.pp ??
由这个定理，实数域上每一个二次型都与
唯一的典范形式（ 1）等价, 在（ 1）
中，正平方项的个数 p 叫做所给二次型的惯性指标,
正项的个数 p与负项的个数 r – p 的差 s = p – (r – p)
= 2p – r 叫做 所给的二次型的符号差,
一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定
的,
),,,( 21 nxxxq ?
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定理 8.2.5 实数域上两个 n 元二次型等价的充分
且必要条件是它们有相同的秩和符号差,
证 设 是实数
域上两个 n元二次型, 令 分别是它们的矩
阵, 那么由定理 9.2.2，存在实可逆矩阵 P，使得
),,,(),,,( 212211 nn xxxqxxxq ?? 和
21 AA 和
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ?
OOO
OIO
OOI
PAP pr
p
1
如果 等价，那么 合同, 于是存在实
可逆矩阵 Q 使得, 取,那么
12 qq 与 12 AA 和
QAQA 12 ?? PQT 1??
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?????
?
??
OOO
OIO
OOI
PAP
PQQAQQPTAT
pr
p
1
1
1
1
2
因此 都与同一个典范形式等价，所以它们
有相同的秩和符号差,
12 qq 与
反过来，如果 有相同的秩 r 和符号差 s,21,qq
)(21 srp ??
21,AA
那么它们也有相同的惯性指标, 因此
都与矩阵
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
OOO
OIO
OOI
pr
p
合同, 由此推出 合同，从而 等价,
12 AA 和 12 qq 与
推论 8.2.6 实数域 R 上一切 n元二次型可以分成
)2)(1(21 ?? nn 类，属于同一类的二次型彼此等价，
属于不同类的二次型互不等价,
证 给定, 令 rpnr ???? 00 和
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
OOO
OIO
OOI
C pr
p
pr,
由定理 8.2.4,R上每一 n元二次型恰与一个以
为矩阵的典范形式等价, 当 r 取定后,p 可以取 0，
1,…, r ；而 r 又可以取 0,1,…, n 中任何一
个数, 因此这样的 共有
prC,
prC,
)2)(1(21)1(21 ??????? nnn?
个, 对于每一个,就有一个典范形式prC,
22 1221 rpp xxxx ????? ? ??
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与它相当, 把与同一个典范形式等价的二次型放在
一类，于是 R 上的一切 n 元二次型恰可以分成
类，属于同一类的二次彼此等价，
属于不同类的二次互不等价,
)2)(1(21 ?? nn
例 1 a 满足什么条件时，二次型
? ? 313221232221321 2223,,xxxaxxxaxxxxxxf ???????
的惯性指标是 0，符号差是 － 2？写出其典范形。
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解 实二次型 的矩阵为? ?321,,xxxf
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
a a -
aA
1
3- 1-
1- 1- 1
经过合同变换可化为标准形
? ?? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
3100
0 2- 0
0 0 1
aa
所以当 或 时，二次型的惯性指标是
0，符号差是 － 2，其典范形为
1??a 3??a
? ? 2221321,,zzxxxf ???
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一．内容分布
8.3.1正定二次型
8.3.2 正定二次型的判别
二、教学目的
1．掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负
定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定
二次型的概念。
三、重点、难点
实二次型 AXXxxxf
n ??),,,( 21 ?
正定的判定。
2．掌握实二次型 AXXxxxf
n ??),,,( 21 ?
正定的判
定定理。
8.3 正定二次型
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8.3.1 正定二次型与正定矩阵
1．基本概念
i）正定二次型
实二次型 ),,,( 21 nxxxf ? 称为 正定的,如果对于
任意一组不全为零的实数
nccc,,,21 ? 都有
12(,,,) 0,nf c c c ?
ii）正定矩阵
实对称矩阵 称为 正定的,如果二次型A
AXX?
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iii）负定、半正定、半负定、不定的二次型
设 是一实二次型，如果对于任意一
组不全为零的实数,
),,,( 21 nxxxf ?
nccc,,,21 ?
1 都有,那么 称为 负
定 的； 0),,,( 21 ?ncccf ?
),,,( 21 nxxxf ?
2 都有,那么 称为 半
正定的； 0),,,( 21 ?ncccf ?
),,,( 21 nxxxf ?
3 都有, 那么 称为 半
负定的；
0),,,( 21 ?ncccf ? ),,,( 21 nxxxf ?
4 如果它既不是半正定又不是半负定，那么
就称为 不定的,
),,,( 21 nxxxf ?
),,,( 21 nxxxf ? 称为 正定 ? ),,,( 21 nxxxf ?? 称为 负定
),,,( 21 nxxxf ? 称为 半正定 ? ),,,( 21 nxxxf ?? 称为 半负定
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例 1 下列实二次型是否为正定的二次型：
1） ? ? 2221321 32,,xxxxxf ??
2） ? ? 2221321 32,,xxxxxf ??
3） ? ? 2
3
2
2
2
1321 2
132,,xxxxxxf ???
（半正定）
例 2 若, 都是 阶正定矩阵，
证明,是正定矩阵。
A B n
BA ?
证明, 只需证明 正定。? ? ? ? XBAXxxxf
n ???,,,21 ?
由, 都是正定矩阵，知,
正定，
A B ? ? AXXxxxg n ??,,,21 ?
? ? BXXxxxh n ??,,,21 ? 所以对于任意一组不全为
零的实数 nccc,,,21 ?, 有 0),,,( 21 ?ncccg ?,
0),,,( 21 ?nccch ?
从而 0),,,(),,,(),,,( 212121 ??? nnn ccchcccgcccf ???
故 ? ? ? ? XBAXxxxf
n ???,,,21 ?
正定。
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2．两个结论
1 实二次型
是正定的当且仅当,
222221121 ),,,( nnn xdxdxdxxxf ???? ??
nid i,,2,1,0 ???
证明, 若 正定，
则对任意一组不全为零的实数,都有
,分别选取
为,则有
,
222221121 ),,,( nnn xdxdxdxxxf ???? ??
nccc,,,21 ?
0),,,( 222221121 ????? nnn cdcdcdcccf ??
),,,( 21 nccc ? )1,,0,0( ),0,,1,0( ),0,,0,1( ???
nid i,,2,1,0 ???
若,则对任意一组不全为零的实
数,都有
nid i,,2,1,0 ???
nccc,,,21 ?
0),,,( 222221121 ????? nnn cdcdcdcccf ??
所以 222221121 ),,,( nnn xdxdxdxxxf ???? ??
是正定的。
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2 非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变,
设实二次型
jiij
n
i
n
j
jiijn aaxxaxxxf ?? ? ?
? ?
,),,,(
1 1
21 ?
(1)
经过非退化实线性替换
CYX ?
(2)
变成二次型
jiij
n
i
n
j
jiijn bbyybyyyg ?? ? ?
? ?
,),,,(
1 1
21 ?
(3)
则 是正定的 是正
定的。
),,,( 21 nxxxf ? ? ),,,( 21 nyyyg ?
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证明,若 是正定的。对于任意一
组不全为零的实数,令
),,,( 21 nxxxf ?
nkkk,,,21 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
k
k
k
C
u
u
u
??
2
1
2
1
由于 是可逆实矩阵，故 也是一组不全
为零的实数，从而
C nuuu,,,21 ?
0),,,(),,,( 21
1 11 1
21 ???? ? ?? ?
? ?? ?
n
n
i
n
j
jiij
n
i
n
j
jiijn uuufuuakkbkkkg ??
因为二次型（ 3）也可以经非退化实线性替换
XCY 1??
变到二次型（ 1），所以按同样理由，当（ 3）正定
时，（ 1）也正定,
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8.3.2 正定二次型的判别
1．判别定理 1：
1 实二次型 是正定的 它的正惯
性指数等于,
),,,( 21 nxxxf ? ?
n
2 实二次型 是正定的 它的规范
形为 。
),,,( 21 nxxxf ? ?
22221 nyyy ??? ?
3 一个实对称矩阵是正定的 它与单位矩阵合
同, ?
例 3 正定矩阵的行列式大于零, 逆命题不成立。
???
?
???
?
?
??
1 0
0 1A反例：
的行列式大于零，但它对应的二次型
不是正定的。
A
222121 ),( xxxxf ???
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提示,IAAAA ???
2．矩阵的顺序主子式
1 11,Pa? 1 1 1 22
2 1 2 2
,aaP aa? ?,
333231
232221
131211
3
aaa
aaa
aaa
P ?
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
P
?
?????
?
?
21
22221
11211
?
称为矩阵 的顺序主子式,
nnijaA )(?
矩阵 的第 个顺序主子式为
nnijaA )(? i
练习 1,若 是 阶实矩阵，则满足（ ）时，
是正定矩阵。
A n
AA?
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),,2,1(
21
22221
11211
ni
aaa
aaa
aaa
P
iiii
i
i
i
?
?
???????
?
?
??
称为矩阵 的顺序主子式,
nnijaA )(?
3．判别定理 2,实二次型
AXXxxaxxxf
n
i
n
j
jiijn ??? ? ?
? ?1 1
21 ),,,( ?
是正定的 矩阵 的顺序主子式全大于零, ? A
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例 4 判定二次型
323121232221321 48455),,( xxxxxxxxxxxxf ??????
是否正定,
),,( 321 xxxf 的矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5 2- 4-
2- 1 2
4- 2 5
，它的顺序主子
式 50?, 5 2 10
2 1 ??,
5 2 - 4
2 1 - 2 1 0
- 4 - 2 5
??,
所以,正定。),,( 321 xxxf
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A．, B,非退化,C,的元素
全是正实数,D,的主对角上元素全为正。
0|| ?A A A
A
练习 2,若 是正定矩阵，则下列结论错误的是
（ ）。
A
练习 3,设 1 1
1 2A
??? ??
??
,1 11 3B ??? ??
??
,1 11 2C ??? ????，
易知 都是正定矩阵，但CBA,,
2 4
3 7AB
???
????, 2 33 4AC ??? ??
??
，
不是正定矩阵。
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8.4 主轴问题
一,内容分布
8.4.1 变量的正交变换
8.4.2 实对称矩阵的相似对角形
二,教学目的,
1．掌握变量的正交变换
2．掌握将实二次型通过变量的正交变换化为一
个只含变量平方项的二次型
三,重点、难点,
实二次型通过变量的正交变换化为一个只含变
量平方项的二次型
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8.4.1 变量的正交变换
我们已经看到,实数域上一个二次型
可以经过变量的非奇异变换 ),,,(
21 nxxxq ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn y
y
y
P
x
x
x
??
2
1
2
1
化为二次型,22 1221 rpp yyyy ????? ? ??
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定义, 我们一般地讨论将一个 n元实二次型通过
变量的正交变换化为一个只含变量平方项的二次型
问题,这个问题称为二次型的主轴问题, 这里所说的
变量的正交变换指的是这个变换的矩阵是正交矩阵,
由于正交矩阵是非奇异的,所以变量的正交变
换是非奇异的, 用矩阵的语言来说就是,给一个实
对称矩阵 A,要寻求一个正交矩阵 U,使得
是对角形式,这个问题在 8.4里实际上已经得到解
决,
AUU ?
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定理 8.4.1 设 ? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiijn xxaxxxq
1 1
21 ),,,( ?
是实数域上一个二次型,那么总可以通过变量的正
交变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn y
y
y
U
x
x
x
??
2
1
2
1
化为 这里 U是一个正交矩阵,
而 是二次型 的全部特征
根,
.2222211 nn yyy ??? ??? ?
Rn ????,,,21 ? ? ?ijaA ?
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证 是一个 n 阶实对称矩阵,由定理 8.4.3
和 8.4.6,存在一个正交矩阵 U,使得
? ?ijaA ?
.
0
0
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
AUU
?
?
?
?
这里 是 A的全部特征根,这也就相
当于说以 A为矩阵的二次型可以通过变量的正交变
换化为标准形式 □
Rn ????,,,21 ?
.2222211 nn yyy ??? ??? ?
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推论 8.4.2 设 ? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiijn xxaxxxq
1 1
21 ),,,( ?
是实数域上一个 n元二次型,是它的矩阵,? ?
ijaA ?
(i) 二次型 的秩等于 A 的不等于
零的特征根的个数,而符号差等于 A 的正特征根个
数与负特征根个数的差,
(ii) 二次型 是正交的必要且只要
A的所有特征根都是正数,
),,,( 21 nxxxq ?
),,,( 21 nxxxq ?
8.4.2 实对称矩阵的相似对角形
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例 1 已知实二次型
? ? 323121232221321 222222,,xxxxxxxxxxxxf ??????
(1) 用正交线性变换将二次型化为标准形,并写出
所用的正交线性变换；
(2) 求出的秩、惯性指标与符号差,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2 1- 1-
1- 2 1-
1 - 1- 2
A
解 （ 1） 的矩阵为? ?
321,,xxxf
求 f 的全部特征根：因为
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? ? 23
211
1 21
11 2
|| ??
?
?? xx
x -
x -
x
AxI
故的全部特征根为 （二重）,。31 ?? 0
2 ??
对特征根,解齐次线性方程组31 ??
?
?
?
?
?
???
???
???
0
0
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
得一基础解系：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
1
0
1
,
0
1
1
21 ??
上页 下页 铃结束返回67 首页
对特征根,解齐次线性方程组02 ??
?
?
?
?
?
???
???
????
02
02
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
得一基础解系：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
3?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
3?
,
1
0
1
,
0
1
1
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ??对
正交化、单位化得：
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,
6
2
6
1
6
1
,
0
2
1
2
1
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ee
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
1
3
1
3
1
3
e
以 为列作一个正交矩阵321,,eee
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
3
1
6
2
0
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
T
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则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3 0 0
0 3 0
0 0 3
ATT
于是 经过正交线性变换,
化为标准形
? ?321,,xxxf TYX ?
? ? 2221321 33,,yyxxxf ??
（ 2） 由（ 1） 的秩为 2，惯性指
标,符号差,
? ?321,,xxxf
2?p 22 ??? rps
第 8章 二次型
8.1 二次型和对称矩阵
8.2 复数域和实数域上的二次型
8.3 正定二次型
8.4 主轴问题
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我思故我在。
-----笛卡儿 (Rene Descartes,1596-1650)
如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人
的肩上。
--- 牛顿（ Newton,1642－ 1727）
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8.1 二次型和对称矩阵
一,内容分布
8.1.1 二次型及矩阵
8.1.2 线性变换
8.1.3 矩阵的合同
8.1.4 二次型的标准形
二,教学目的
1.掌握二次型及其矩阵的定义
以及矩阵的合同
2.理解关于二次型的线性变换
3.了解二次型的标准形
三,重点难点,
合同、线性变换、二次型的标准形
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8.1.1 二次型及矩阵
定义 1 设 F是一个数域,F上 n元二次齐次多项式
（ 1）
nnnn
nnnn
xxaxxaxxa
xaxaxaxxxq
1,131132112
22
222
2
11121
222
),,,(
??????
????
?
??
叫做 F上的一个 n 元二次型。
F 上 n 元多项式总可以看成 F 上的 n 个变量的函
数，二次型（ 1）定义了一个函数 所
以 n 元二次型也叫 n 个变量的二次型,,,FFq
n ?
在（ 1）中令 因为
所以（ 1）式可以写成以下形式：
.),1( njiaa jiij ???,ijji xxxx ?
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（ 2） ? ?
? ?
??
n
i
n
j
jiijjiijn aaxxaxxxq
1 1
21,),,,( ?
是（ 2）式右端的系数所构成的矩阵,称
为二次型 的矩阵。因为,
所以 A是 F上的一个 n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘
法，（ 2）式可以写成
)( ijaA ?令
),,,( 21 nxxxq ? jiij aa ?
（ 3）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
nn
x
x
x
Axxxxxxq
?
??
2
1
2121 ),,,(),,,(
二次型（ 3）的秩指的就是矩阵 A的秩。
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8.1.2 线性变换
如果对二次型（ 3）的变量施行如下的一个变换：
（ 4） ),1(,,,2,1,
1
njiFpniypix ij
n
i
jji ????? ?
?
?
那么就得到一个关于 的二次型nyyy,,,21 ?
),,,( 21 nyyyq ??
（ 4）式称为变量的线性变换，令 是（ 4）
的系数据构成的矩阵，则（ 4）可以写成
)( ijpP ?
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（ 5）
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nn y
y
y
P
x
x
x
??
2
1
2
1
将（ 5）代入（ 3）就得到
（ 6）
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???
n
nn
y
y
y
APPyyyyyyq
?
??
2
1
2121 ),,,(),,,(
矩阵 P称为线性变换（ 4）的矩阵。 如果 P是非奇异
的，就称（ 4）是一个 非奇异线性变换 。因为 A是
对称矩阵，所以
也是对称矩阵。
APPAPPPAPAPP ????????,)(
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推论 8.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变
换之下保持不变。
注意, 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论
8.1.2不成立
定理 8.1.1 设 是数域 F上的一个以 A为
矩阵的 n元二次型。对它的变量施行一次以 P为矩
? ?
? ?
n
i
n
j
jiij xxa
1 1
APP?阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 。
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8.1.3 矩阵的合同
定义 2 设 A,B是数域 F上的两个 n 阶矩阵。如果存
在 F上的一个非异矩阵 P，使得
那么称 B与 A合同。
BAPP ??
矩阵的合同关系的性质：
③ 传递性：如果 B 与 A 合同,C 与 B 合同，那
么 C 与 A 合同。
① 自反性：任意矩阵 A都与自身合同，因为 IAI=A
BAPP ??
ABPPBPP ???? ???? 111 1)()(
② 对称性：如果 B与 A合同，那么 A也与 B合同，因为
由 可以得出
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事实上，由 可得
合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对
称矩阵合同的矩阵仍是对称的,
CBQQBAPP ???? 和
CBQQAPQPQPQAPQ ??????? )()(
是数域 F上两个 n 元二次型，它们的
矩阵分别为 A 和 B,如果可以通过变量的非奇异线
性变换将,则 B与 A 合同, 反之，设 B与
A 合同, 于是存在 F上非奇异矩阵 P 使得,
通过以 P为矩阵的非奇异线性变换就将,
qq ?和设
qq ?变为
APPB ??
qq ?变为
F上两个二次型叫 等价,如果可以通过变量的
非奇异线性变换将其中一个变成另一个,
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定理 8.1.3 数域 F上两个二次型等价的必要且充分
条件是它们的矩阵合同。
等价的二次型具有相同的秩。
定理 8.1.4 是数域 F上的一个 n阶对称矩
阵。总存在 F上一个 n阶非奇异矩阵 P，使得
)( ijaA ?令
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??
nc
c
c
APP
0
0
2
1
?
即 F上的一个 n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合
同。
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证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定
理。回忆一下 5.2里所定义的三种初等矩阵
容易看出,)()(,kTkDP
ijiji 和
)()();()(; kTkTkDkDPP ijijiijiji ??????
)( ijaA ?设
OA ?
设
现在对矩阵 A的阶 n作数学归纳法,n = 1时定
理显然成立。设 n > 1，并且假设对于 n – 1阶对称
矩阵来说，定理成立。 是一个 n阶矩阵,
如果 A = O，这时 A本身就是对角形式。设,
我们分两种情形来考虑,
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(a) 设 A的主对角线上元素不全为零，例
如,.如果 i ≠ 1，那么交换 A的第 1列与第 I 列，
再交换第 1行与第 i行，就可以把 换到左上角。这
样就相当于初等矩阵,再用
,于是 的左上角的元素
0?iia
iia
AP i 右乘1
APP ii 左乘11 ?? ii APP 11?
011 ?a
11
1
a
a j?不等于零, 因此，我们不妨设,用 乘
j 行，就可以把 第一行第 j 列和第 j 行第 1列位置的
元素变成零 。
A的第 1列加到第 j 列，再用 乘第 1行加到第
11
1
a
a j?
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这相当于用 右乘 A，用)(
11
1
1 a
aT j
j ?
)()(
11
1
1
11
1
1 a
a
T
a
a
T jjjj ???
左乘 A。这样，总可以选取初等矩阵,
使得
sEEE,,,21 ?
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????
0
0
00
1
11
2112
A
a
EEAEEEE ss
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??
这里 是一个 n – 1阶的对称矩阵。
1A
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由归纳法假设，存在 n – 1阶可逆矩阵 使得1Q
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nc
c
c
QAQ
0
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3
2
111
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0
0
001
1Q
Q
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QEEEP s?21?
取
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那么
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??????
n
ss
c
c
c
QAQ
a
Q
A
a
Q
QEEAEEEEQAPP
0
0
0
0
00
0
0
00
2
1
111
11
1
11
2112
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??
这里 。111 ac ?
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(b) 如果, 由于 A≠O，所以
一定有某一个元素, 把 A的第 j 列加
到第 i列,再把第 j 行加到第 i行,这相当于初等矩阵
右乘 A, 再用 左乘 A,而经过这
样的变换后所得到的矩阵第 i行第 j 列的元素
是, 于是由情形（ b）就归结到情形（ a）,
nia ii,,2,1,0 ??
jia ij ??,0
)1(jiT )1()1( ?? jiij TT
02 ?ija
注意 在定理 8.1.2的主对角形矩阵 中，主
对角线上的元素 的一部分甚至全部可以
是零。显然，不为零的 的个数等于 A的秩，如
果秩 A等于 r > 0，那么由定理的证明过程可以知
APP?
nccc,,,21 ?
ic
0,0,,,2121 ????? ?? nrrr cccccc ?? 而
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给了数域 F 上一个 n 阶对称矩阵 A,由定理
9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出
一个可逆矩阵 P，使 有对角形式，只要在对
A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对
n阶单位矩阵 I 施行同样的列初等变换，那么当 A
化为对角形式时,I 就化为 P。
APP?
例 1 设
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??
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?
0403
41260
0630
3000
A
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我们按定理 8.1.2所给出的方法对 A施行行和列
初等变换，将 A变成,使得 是一个对
角形矩阵。同时对单位矩阵,施行同样的初等
变换而得出 P。
APP? APP?
4I
交换 A第一列和第二列，第一行和第二行，同
时交换 的第一列和第二列。这时 A和 分别化
为：
4I 4I
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1000
0100
0001
0010
,
0430
41206
3000
0603
11 PA
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把 的第一列乘以 2加到第三列，第一行乘以
2加到第三行，同时把 的第一列乘以 2加到第三
列。分别得到：
1A
1P
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1000
0100
0201
0010
,
0430
4000
3000
0003
22 PA
把 的第四列加到第二列，第四行加到第二
行，同时把 和第四列加到第二列，得
2A
2P
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??
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1010
0100
0201
0010
,
0430
4040
3460
0003
33 PA
以 2/3 和 － 1 /2 乘 的第二列依次回到第三
列和第四列上,再以 2/3 和 － 1 /2 乘第二行依次加
到第三行和第四行上，同时对 的列施行同样的
初等变换。得
3A
3P
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2
1
3
2
2
1
3
2
4
2
3
3
84
10
0100
0201
10
,
200
200
0060
0003
PA
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最后，以 － 3/4 乘 的第三列加到第四列上,
再以 － 3/4 乘第三行加到第四行上，并且对 的
列施行同样的初等变换，我们得到
4A
4p
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010
100
201
110
,
0000
000
0060
0003
4
3
4
3
2
3
3
2
5
3
85
PA
取 。于是
5PP ?
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??
0000
0
3
8
00
0060
0003
APP
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8.1.4 二次型的标准形
定理 8.1.5 数域 F上每一个 n元二次型 ? ?
? ?
n
i
n
j
jiij xxa
1 1
可以通过变量的非奇异线性变换化为：
Fcccycycyc nnnn ????,,,,21222211 ??
例如,以 例 1 中对称矩阵 A为矩阵的二次型是
4332412322421 8126123),,( xxxxxxxxxxxq ?????
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通过变量的非奇异线性变换
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4
3
2
1
4
3
2
1
0
3
2
10
4
3
100
2
3
201
1
3
2
10
y
y
y
y
x
x
x
x
化为,
3
863 2
3
2
2
2
1 yyy ??
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练习 1 写出下列二次型的矩阵
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3
2
1
321321
9 8 7
6 5 4
3 2 1
,,
x
x
x
xxxxxxf
练习 2 写出对应下列方阵的二次型
?
?
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?
4 3 2
3 2 1
2 1 1
例 2 分别用配方法和合同变换法化二次型
323121321 622),,( xxxxxxxxxf ???
成标准形, (读者答题）
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3
2
1
3
2
1
1 0 0
1- 1 0
2 1- 1
y
y
y
x
x
x
练习 3 已知二次型
? ? 31212221321 222,,xxxxxxxxxf ????
试对它作如下非奇异线性变换
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8.2 复数域和实数域上的二次型
一,内容分布
8.2.1 复二次型的典范形
8.2.2 实二次型的典范形
二,教学目的
1．掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、
实二次
型的惯性指标,、符号差等概念。
2．掌握实二次型的惯性定律,
三,重点、难点：
实二次型的惯性定律,
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复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型
和实二次型,
8.2.1 复二次型的典范形
定理 8,2,1 复数域上两个 n阶对称矩阵合同的充分
且必要条件是它们有相同的秩, 两个复二次型等价
的充分且必要条件是它们有相同的秩,
证 显然只要证明第一个论断,
条件的必要性是明显的, 我们只要证条件的充
分性, 设 A,B是复数域上两个 n阶对称矩阵，且 A
与 B有相同的秩 r,由定理 8.1.2，分别存在复可逆
矩阵 P和 Q，使得
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00
0
0
2
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r
c
c
c
APP
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00
0
0
2
1
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r
d
d
d
BQQ
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ridcr ii,,2,1,0,0,0 ????? 时当
取 n 阶复矩阵
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10
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1
0
1
1
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r
c
c
S
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10
1
1
0
1
1
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r
d
d
T
的一个平方根, iiii dcdc,,分别表示复数这里
上页 下页 铃结束返回31 首页
那么,而 TTSS ????,
???
?
???
???????
OO
OIB Q TQTA P SPS r
因此，矩阵 A,B 都与矩阵
???
?
???
?
OO
OI r
合同，所以 A与 B合同,
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8.2.2 实二次型的典范形
定理 8.2.2 实数域上每一 n 阶对称矩阵 A 都合同于
如下形式的一个矩阵：
（ 1）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
OOO
OIO
OOI
pr
p
这里 r 等于 A的秩,
证 由定理 9.1.2，存在实可逆矩阵 P，使得
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??
00
0
0
2
1
?
?
r
c
c
c
APP
如果 r > 0,必要时交换两列和两行，我们总
可以假定
rpccc rp ???? 0,0,0,,1 ?
上页 下页 铃结束返回34 首页
取
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10
1
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1
0
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1
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r
c
c
T
那么
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???? ?
OOO
OIO
OOI
A P TPT pr
p
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定理 8.2.3 实数域上每一 n 元二次型都与如下形式
的一个二次型等价：
（ 1） 22
1221 rpp xxxx ????? ? ??
这里 r 是所给的二次型的秩,
二次型（ 1）叫做 实二次型的典范形式,定理
9.2.3 是说，实数域上每一个二次型都与一个典范
形式等价, 在典范形式里，平方项的个数 r 等于二
次型的秩，因而是唯一确定的,
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定理 8.2.4（惯性定律） 设实数域 R上 n元二次型
? ?
? ?
n
i
n
j
jiij xxa
1 1
等价于两个典范形式
22 1221 rpp yyyy ????? ? ??（ 2）
22 1221 rpp zzzz ????? ? ??（ 3）
那么 pp ??
证 设（ 2）和（ 3）分别通过变量的非奇异线性变
换
（ 4） nixsy n
j
jiji,,2,1,
1
??? ?
?
（ 5） nixtz n
j
jiji,,2,1,
1
??? ?
?
上页 下页 铃结束返回37 首页
化为所给的二次型 如果 不,
1 1
? ?
? ?
n
i
n
j
jiij xxa,pp ??
妨设 考虑 个方程的齐次线性
方程组
,pp ?? pnp ???
（ 6）
?
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?
?
?
?
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???
?
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npixt
pixs
n
j
jij
n
j
jij
,,1,
,,2,1,
1
1
?
?
因为 所以 因此，方程组
（ 6）在 R内有非零解, 令 是（ 6）的
一个非零解, 把这一组值代入 的表示式
,pp ??,npnp ????
),,,( 21 nccc ?
ii zy 和
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（ 4）和（ 5）, 记
nicscy
n
j
jiji,,2,1,)(
1
??? ?
?
nictcz
n
j
jiji,,2,1,)(
1
??? ?
?
我们有
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???
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??????
?????
n
j
n
ij
jiji
rpp
rpp
cca
czczczcz
cycycycy
1
22
1
22
1
22
1
22
1
)()()()(
)()()()(
??
??
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然而 0)()(,0)()( 11 ?????? ?? czczcycy rpp ??
所以 221221 )()()()( czczcycy prp ?? ?????? ??
因为 都是非负数，所以必须 22 )()( czcy
ii 和
0)()(
0)()(
1
1
???
???
?
?
czcz
cycy
p
rp
?
?
又 所以 是
齐次线性方程组
.0)()(1 ????? czcz np ? nccc,,,21 ?
nict
n
j
jij,,2,1,0
1
????
?
的一个非零解,这与矩阵 的非奇异性矛盾, )(
ijt
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这就证明了, 同理可证得,
所以
pp ?? pp ??
.pp ??
由这个定理，实数域上每一个二次型都与
唯一的典范形式（ 1）等价, 在（ 1）
中，正平方项的个数 p 叫做所给二次型的惯性指标,
正项的个数 p与负项的个数 r – p 的差 s = p – (r – p)
= 2p – r 叫做 所给的二次型的符号差,
一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定
的,
),,,( 21 nxxxq ?
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定理 8.2.5 实数域上两个 n 元二次型等价的充分
且必要条件是它们有相同的秩和符号差,
证 设 是实数
域上两个 n元二次型, 令 分别是它们的矩
阵, 那么由定理 9.2.2，存在实可逆矩阵 P，使得
),,,(),,,( 212211 nn xxxqxxxq ?? 和
21 AA 和
?
?
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??? ?
OOO
OIO
OOI
PAP pr
p
1
如果 等价，那么 合同, 于是存在实
可逆矩阵 Q 使得, 取,那么
12 qq 与 12 AA 和
QAQA 12 ?? PQT 1??
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?
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?????
?
??
OOO
OIO
OOI
PAP
PQQAQQPTAT
pr
p
1
1
1
1
2
因此 都与同一个典范形式等价，所以它们
有相同的秩和符号差,
12 qq 与
反过来，如果 有相同的秩 r 和符号差 s,21,qq
)(21 srp ??
21,AA
那么它们也有相同的惯性指标, 因此
都与矩阵
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
OOO
OIO
OOI
pr
p
合同, 由此推出 合同，从而 等价,
12 AA 和 12 qq 与
推论 8.2.6 实数域 R 上一切 n元二次型可以分成
)2)(1(21 ?? nn 类，属于同一类的二次型彼此等价，
属于不同类的二次型互不等价,
证 给定, 令 rpnr ???? 00 和
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
OOO
OIO
OOI
C pr
p
pr,
由定理 8.2.4,R上每一 n元二次型恰与一个以
为矩阵的典范形式等价, 当 r 取定后,p 可以取 0，
1,…, r ；而 r 又可以取 0,1,…, n 中任何一
个数, 因此这样的 共有
prC,
prC,
)2)(1(21)1(21 ??????? nnn?
个, 对于每一个,就有一个典范形式prC,
22 1221 rpp xxxx ????? ? ??
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与它相当, 把与同一个典范形式等价的二次型放在
一类，于是 R 上的一切 n 元二次型恰可以分成
类，属于同一类的二次彼此等价，
属于不同类的二次互不等价,
)2)(1(21 ?? nn
例 1 a 满足什么条件时，二次型
? ? 313221232221321 2223,,xxxaxxxaxxxxxxf ???????
的惯性指标是 0，符号差是 － 2？写出其典范形。
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解 实二次型 的矩阵为? ?321,,xxxf
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
a a -
aA
1
3- 1-
1- 1- 1
经过合同变换可化为标准形
? ?? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
3100
0 2- 0
0 0 1
aa
所以当 或 时，二次型的惯性指标是
0，符号差是 － 2，其典范形为
1??a 3??a
? ? 2221321,,zzxxxf ???
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一．内容分布
8.3.1正定二次型
8.3.2 正定二次型的判别
二、教学目的
1．掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负
定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定
二次型的概念。
三、重点、难点
实二次型 AXXxxxf
n ??),,,( 21 ?
正定的判定。
2．掌握实二次型 AXXxxxf
n ??),,,( 21 ?
正定的判
定定理。
8.3 正定二次型
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8.3.1 正定二次型与正定矩阵
1．基本概念
i）正定二次型
实二次型 ),,,( 21 nxxxf ? 称为 正定的,如果对于
任意一组不全为零的实数
nccc,,,21 ? 都有
12(,,,) 0,nf c c c ?
ii）正定矩阵
实对称矩阵 称为 正定的,如果二次型A
AXX?
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iii）负定、半正定、半负定、不定的二次型
设 是一实二次型，如果对于任意一
组不全为零的实数,
),,,( 21 nxxxf ?
nccc,,,21 ?
1 都有,那么 称为 负
定 的； 0),,,( 21 ?ncccf ?
),,,( 21 nxxxf ?
2 都有,那么 称为 半
正定的； 0),,,( 21 ?ncccf ?
),,,( 21 nxxxf ?
3 都有, 那么 称为 半
负定的；
0),,,( 21 ?ncccf ? ),,,( 21 nxxxf ?
4 如果它既不是半正定又不是半负定，那么
就称为 不定的,
),,,( 21 nxxxf ?
),,,( 21 nxxxf ? 称为 正定 ? ),,,( 21 nxxxf ?? 称为 负定
),,,( 21 nxxxf ? 称为 半正定 ? ),,,( 21 nxxxf ?? 称为 半负定
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例 1 下列实二次型是否为正定的二次型：
1） ? ? 2221321 32,,xxxxxf ??
2） ? ? 2221321 32,,xxxxxf ??
3） ? ? 2
3
2
2
2
1321 2
132,,xxxxxxf ???
（半正定）
例 2 若, 都是 阶正定矩阵，
证明,是正定矩阵。
A B n
BA ?
证明, 只需证明 正定。? ? ? ? XBAXxxxf
n ???,,,21 ?
由, 都是正定矩阵，知,
正定，
A B ? ? AXXxxxg n ??,,,21 ?
? ? BXXxxxh n ??,,,21 ? 所以对于任意一组不全为
零的实数 nccc,,,21 ?, 有 0),,,( 21 ?ncccg ?,
0),,,( 21 ?nccch ?
从而 0),,,(),,,(),,,( 212121 ??? nnn ccchcccgcccf ???
故 ? ? ? ? XBAXxxxf
n ???,,,21 ?
正定。
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2．两个结论
1 实二次型
是正定的当且仅当,
222221121 ),,,( nnn xdxdxdxxxf ???? ??
nid i,,2,1,0 ???
证明, 若 正定，
则对任意一组不全为零的实数,都有
,分别选取
为,则有
,
222221121 ),,,( nnn xdxdxdxxxf ???? ??
nccc,,,21 ?
0),,,( 222221121 ????? nnn cdcdcdcccf ??
),,,( 21 nccc ? )1,,0,0( ),0,,1,0( ),0,,0,1( ???
nid i,,2,1,0 ???
若,则对任意一组不全为零的实
数,都有
nid i,,2,1,0 ???
nccc,,,21 ?
0),,,( 222221121 ????? nnn cdcdcdcccf ??
所以 222221121 ),,,( nnn xdxdxdxxxf ???? ??
是正定的。
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2 非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变,
设实二次型
jiij
n
i
n
j
jiijn aaxxaxxxf ?? ? ?
? ?
,),,,(
1 1
21 ?
(1)
经过非退化实线性替换
CYX ?
(2)
变成二次型
jiij
n
i
n
j
jiijn bbyybyyyg ?? ? ?
? ?
,),,,(
1 1
21 ?
(3)
则 是正定的 是正
定的。
),,,( 21 nxxxf ? ? ),,,( 21 nyyyg ?
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证明,若 是正定的。对于任意一
组不全为零的实数,令
),,,( 21 nxxxf ?
nkkk,,,21 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
k
k
k
C
u
u
u
??
2
1
2
1
由于 是可逆实矩阵，故 也是一组不全
为零的实数，从而
C nuuu,,,21 ?
0),,,(),,,( 21
1 11 1
21 ???? ? ?? ?
? ?? ?
n
n
i
n
j
jiij
n
i
n
j
jiijn uuufuuakkbkkkg ??
因为二次型（ 3）也可以经非退化实线性替换
XCY 1??
变到二次型（ 1），所以按同样理由，当（ 3）正定
时，（ 1）也正定,
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8.3.2 正定二次型的判别
1．判别定理 1：
1 实二次型 是正定的 它的正惯
性指数等于,
),,,( 21 nxxxf ? ?
n
2 实二次型 是正定的 它的规范
形为 。
),,,( 21 nxxxf ? ?
22221 nyyy ??? ?
3 一个实对称矩阵是正定的 它与单位矩阵合
同, ?
例 3 正定矩阵的行列式大于零, 逆命题不成立。
???
?
???
?
?
??
1 0
0 1A反例：
的行列式大于零，但它对应的二次型
不是正定的。
A
222121 ),( xxxxf ???
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提示,IAAAA ???
2．矩阵的顺序主子式
1 11,Pa? 1 1 1 22
2 1 2 2
,aaP aa? ?,
333231
232221
131211
3
aaa
aaa
aaa
P ?
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
P
?
?????
?
?
21
22221
11211
?
称为矩阵 的顺序主子式,
nnijaA )(?
矩阵 的第 个顺序主子式为
nnijaA )(? i
练习 1,若 是 阶实矩阵，则满足（ ）时，
是正定矩阵。
A n
AA?
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),,2,1(
21
22221
11211
ni
aaa
aaa
aaa
P
iiii
i
i
i
?
?
???????
?
?
??
称为矩阵 的顺序主子式,
nnijaA )(?
3．判别定理 2,实二次型
AXXxxaxxxf
n
i
n
j
jiijn ??? ? ?
? ?1 1
21 ),,,( ?
是正定的 矩阵 的顺序主子式全大于零, ? A
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例 4 判定二次型
323121232221321 48455),,( xxxxxxxxxxxxf ??????
是否正定,
),,( 321 xxxf 的矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5 2- 4-
2- 1 2
4- 2 5
，它的顺序主子
式 50?, 5 2 10
2 1 ??,
5 2 - 4
2 1 - 2 1 0
- 4 - 2 5
??,
所以,正定。),,( 321 xxxf
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A．, B,非退化,C,的元素
全是正实数,D,的主对角上元素全为正。
0|| ?A A A
A
练习 2,若 是正定矩阵，则下列结论错误的是
（ ）。
A
练习 3,设 1 1
1 2A
??? ??
??
,1 11 3B ??? ??
??
,1 11 2C ??? ????，
易知 都是正定矩阵，但CBA,,
2 4
3 7AB
???
????, 2 33 4AC ??? ??
??
，
不是正定矩阵。
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8.4 主轴问题
一,内容分布
8.4.1 变量的正交变换
8.4.2 实对称矩阵的相似对角形
二,教学目的,
1．掌握变量的正交变换
2．掌握将实二次型通过变量的正交变换化为一
个只含变量平方项的二次型
三,重点、难点,
实二次型通过变量的正交变换化为一个只含变
量平方项的二次型
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8.4.1 变量的正交变换
我们已经看到,实数域上一个二次型
可以经过变量的非奇异变换 ),,,(
21 nxxxq ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
nn y
y
y
P
x
x
x
??
2
1
2
1
化为二次型,22 1221 rpp yyyy ????? ? ??
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定义, 我们一般地讨论将一个 n元实二次型通过
变量的正交变换化为一个只含变量平方项的二次型
问题,这个问题称为二次型的主轴问题, 这里所说的
变量的正交变换指的是这个变换的矩阵是正交矩阵,
由于正交矩阵是非奇异的,所以变量的正交变
换是非奇异的, 用矩阵的语言来说就是,给一个实
对称矩阵 A,要寻求一个正交矩阵 U,使得
是对角形式,这个问题在 8.4里实际上已经得到解
决,
AUU ?
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定理 8.4.1 设 ? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiijn xxaxxxq
1 1
21 ),,,( ?
是实数域上一个二次型,那么总可以通过变量的正
交变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn y
y
y
U
x
x
x
??
2
1
2
1
化为 这里 U是一个正交矩阵,
而 是二次型 的全部特征
根,
.2222211 nn yyy ??? ??? ?
Rn ????,,,21 ? ? ?ijaA ?
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证 是一个 n 阶实对称矩阵,由定理 8.4.3
和 8.4.6,存在一个正交矩阵 U,使得
? ?ijaA ?
.
0
0
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
AUU
?
?
?
?
这里 是 A的全部特征根,这也就相
当于说以 A为矩阵的二次型可以通过变量的正交变
换化为标准形式 □
Rn ????,,,21 ?
.2222211 nn yyy ??? ??? ?
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推论 8.4.2 设 ? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiijn xxaxxxq
1 1
21 ),,,( ?
是实数域上一个 n元二次型,是它的矩阵,? ?
ijaA ?
(i) 二次型 的秩等于 A 的不等于
零的特征根的个数,而符号差等于 A 的正特征根个
数与负特征根个数的差,
(ii) 二次型 是正交的必要且只要
A的所有特征根都是正数,
),,,( 21 nxxxq ?
),,,( 21 nxxxq ?
8.4.2 实对称矩阵的相似对角形
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例 1 已知实二次型
? ? 323121232221321 222222,,xxxxxxxxxxxxf ??????
(1) 用正交线性变换将二次型化为标准形,并写出
所用的正交线性变换；
(2) 求出的秩、惯性指标与符号差,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2 1- 1-
1- 2 1-
1 - 1- 2
A
解 （ 1） 的矩阵为? ?
321,,xxxf
求 f 的全部特征根：因为
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? ? 23
211
1 21
11 2
|| ??
?
?? xx
x -
x -
x
AxI
故的全部特征根为 （二重）,。31 ?? 0
2 ??
对特征根,解齐次线性方程组31 ??
?
?
?
?
?
???
???
???
0
0
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
得一基础解系：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
1
0
1
,
0
1
1
21 ??
上页 下页 铃结束返回67 首页
对特征根,解齐次线性方程组02 ??
?
?
?
?
?
???
???
????
02
02
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
得一基础解系：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
3?
?
?
?
?
?
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?
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1
1
1
3?
,
1
0
1
,
0
1
1
21
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ??对
正交化、单位化得：
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,
6
2
6
1
6
1
,
0
2
1
2
1
21
?
?
?
?
?
?
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? ee
?
?
?
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?
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?
?
?
?
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?
3
1
3
1
3
1
3
e
以 为列作一个正交矩阵321,,eee
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
3
1
6
2
0
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
T
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则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3 0 0
0 3 0
0 0 3
ATT
于是 经过正交线性变换,
化为标准形
? ?321,,xxxf TYX ?
? ? 2221321 33,,yyxxxf ??
（ 2） 由（ 1） 的秩为 2，惯性指
标,符号差,
? ?321,,xxxf
2?p 22 ??? rps
