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第 6章 线性变换
6.1 线性映射
6.2线性变换的运算
6.3 线性变换和矩阵
6.4 不变子空间
6.5 特征值和特征向量
6.6 可以对角化矩阵
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当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取
对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。
---拉格朗日（ Lagrange,1736-1813）
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数缺形时少知觉，形少数时难入微。
---华罗庚（ 1910－ 1985）
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6.1 线性映射
一、内容分布
6.1.1 线性映射的定义、例,
6.1.2 线性变换的象与核,
二,教学目的,
1．准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定
的法则是否是一个线性变换（线性映射）．
2．正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的
联系，并能求给定线性变换的象与核．
三,重点难点, 判断给定的法则是否是一个线性变
换（线性映射），求给定线性变换的象与核．
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6.1.1 线性映射的定义、例
设 F是一个数域,V和 W是 F上向量空间,
定义 1 设 σ是 V 到 W 的一个映射, 如果下列条
件被满足，就称 σ是 V 到 W 的一个线性映射：
①对于任意
②对于任意
容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 和任意
,,V??? ).()()( ??????? ???
)()(,,????? aaVFa ???
Fba ?,,,V???
)()()( ??????? baba ???
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在②中取,对③进行数学归纳，可以得到：
（ 1）
（ 2）
0?a
0)0( ??
)()()( 1111 nnnn aaaa ??????? ????? ??
例 1 对于 的每一向量 定义
σ是 到 的一个映射，我们证明,σ是一个线
性映射,
2R ? ?21,xx??
? ? ? ? 321211,,Rxxxxx ??????
3R2R
例 2 令 H是 中经过原点的一个平面,对于 的每
一向量 ξ，令 表示向量 ξ在平面 H上的正射影,
根据射影的性质,是 到 的一个线
性映射,
3V 3V
? ???
? ????? ?,3V 3V
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例 3 令 A是数域 F上一个 m × n矩阵，对于 n元列空
间的 每一向量mF
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nx
x
x
?
2
1
?
规定,? ? ??? ??
是一个 m× 1矩阵，即是空间 的一个向量，
σ是 到 的一个线性映射,
? ??? mF
mFnF
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例 4 令 V 和 W是数域 F 上向量空间,对于 V 的每一向
量 ξ令 W 的零向量 0与它对应，容易看出这是 V 到
W的一个线性映射，叫做零映射,
例 5 令 V是数域 F上一个向量空间，取定 F的一个数
k，对于任意 定义
容易验证,σ是 V 到自身的一个线性映射，这样一
个线性映射叫做 V 的一个位似,
特别，取 k = 1，那么对于每一 都有
这时 σ就是 V到 V的恒等映射，或者叫做 V的单位映
射，如果取 k = 0，那么 σ就是 V 到 V的零映射,
,V?? ? ? ??? k?
,V?? ? ?,??? ?
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例 6 取定 F的一个 n元数列 对于
的每一向量 规定
容易验证,σ是 到 F的一个线性映射，这个线性
映射也叫做 F上一个 n元线性函数或 上一个线性
型,
? ?.21 naaa ? nF
? ?.21 nxxx ???
? ? Fxaxaxa nn ????? ?2211??
nF
nF
例 7 对于 F[x] 的每一多项式 f（ x），令它的导数
与它对应，根据导数的基本性质，这样定义
的映射是 F[x]到自身的一个线性映射,
? ?xf?
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例 8 令 C[a,b]是定义在 [a,b]上一切连续实函数所
成的 R上向量空间，对于每一 规定
仍是 [a,b]上一个连续实函数，根据积分的
基本性质,σ是 C[a,b]到自身的一个线性映射,
? ? ? ?,,baCxf ?
? ?? ? ? ?dttfxf xa???
? ?? ?xf?
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6.1.2 线性变换的象与核
定义 2 设 σ是向量空间 V到 W的一个线性映射,
(1) 如果 那么 叫做
在 σ之下的象,
(2) 设 那么 叫做 在 σ
之下的原象,
,VV ?? }|)({)( VV ???? ???? V?
,WW ?? }W)( |{ ??? ??? V W?
定理 6.1.1 设 V 和 W 是数域 F 上向量空间，而
是一个线性映射，那么 V 的任意子空间
在 σ之下的象是 W 的一个子空间，而 W 的任意子空
间在 σ之下的原象是 V 的一个子空间,
WV ?:?
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特别，向量空间 V 在 σ之下的象是 W 的一个
子空间，叫做 σ的象,记为
即
另外,W 的零子空间 { 0 } 在 σ之下的原象是
V 的一个子空间，叫做 σ的核，
记为
即
),Im(?
).()I m ( V?? ?
),(?K er
}.0)(|{)( ??? ???? VK e r
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定理 6.1.2 设 V和 W是数域 F向量空间，而是一个线
性映射，那么
(i) σ是满射
(ii) σ是单射
证明 论断 (i)是显然的,我们只证论断 (ii)
如果 σ是单射,那么 ker(σ)只能是含有唯一的零向量,
反过来设 ker(σ) = {0}.
如果
那么
从而
所以 即 σ是单射,
WV ?:?
W?? )I m (?
}0{)( ?? ?K e r
).()(,?????? ?? 而V
,0)()()( ???? ???????
}.0{)k e r ( ??? ???
,?? ?
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如果线性映射 有逆映射,那么是 W
到 V 的一个线性映射,
建议同学给出证明,
WV ?:? 1??
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6.2 线性变换的运算
一、内容分布
6.2.1 加法和数乘
6.2.2线性变换的积
6.2,3线性变换的多项式
二,教学目的,
掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算,
掌握线性变换的多项式,能够求出给定线性变换的
多项式,
三,重点难点,
会做运算,
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6.2.1 加法和数乘
令 V是数域 F上一个向量空间,V到自身的一个
线性映射叫做 V 的一个线性变换,
我们用 L（ V）表示向量空间和一切线性变换所成
的集合，设
定义,
加法,
数乘,,那么是 V的一个线性变换,
可以证明, 和 都是 V 的一个线性变换,
,),(,FkvL ????
)()(,??????? ?? ?
)(,???? kk ?
??? ?k
令,那么对于任意 和任意??? ?? Fba ?,,,V???
证明
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).()(
))()(())()((
)()()()(
)()()(
????
????????
????????
?????????
ba
ba
baba
bababa
??
????
????
?????
所以 是 V的一个线性变换???
?? k?令,那么对于任意 和任意Fba ?,,,V???
.)()(
)()(
))()((
))(()(
????
????
????
??????
ba
bkak
bak
bakba
??
??
??
???
所以 kσ是 V的一个线性变换,
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线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对
于任意,以下等式成立, )(,,vL????
(1) ;???? ???
(2) ).()( ?????? ?????
令 θ表示 V到自身的零映射,称为 V的零变换,它显然
具有以下性质：对任意 有：)(vL??
(3) ??? ??
设 σ的负变换－ σ指的是 V到 V的映射
容易验证，－ σ也是 V的线性变换，并且
),(vL??
).(,???? ?? ?
（ 4） ??? ??? )(
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线性变换的数乘满足下列算律：
,)()5( ???? kkk ???
,)()6( ??? lklk ???
),()()7( ?? lkkl ?
,1)8( ?? ?
这里 k,l是 F中任意数,σ,τ 是 V的任意线性变换,
定理 6.2.1 L（ V）对于加法和数乘来说作成数域
F上一个向量空间,
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6.2.2线性变换的积
设 容易证明合成映射 也是 V上的线
性变换，即 我们也把合成映射 叫
做 σ与 τ的积，并且简记作 στ 。除上面的性质外，
还有：
),(,VL??? ???
).(VL??? ? ???
,)()9( ??????? ???
,)()10( ??????? ???
),()()()11( ?????? kkk ??
对于任意 成立。 )(,,,vLFk ?? ???
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证明 我们验证一下等式（ 9）其余等式可以类似地
验证。设 我们有.V??
),)((
)()(
))(())((
))()((
)))((())((
?????
??????
??????
?????
????????
??
??
??
??
???
因而（ 9）成立。
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6.2.3 线性变换的多项式
线性变换的乘法满足结合律：
对于任意 都有),(,,vL????
).()( ?????? ?
因此,我们可以合理地定义一个线性变换 σ的 n次幂
??? ??
?
n
n ???? ? 这里 n是正整数。
我们再定义 ?? ?0
这里 ι表示 V到 V的单位映射，称为 V的单位变换。这
样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
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进一步，设,)( 10 nn xaxaaxf ???? ?
是 F上一个多项式，而 以 σ代替 x，以
代替,得到 V的一个线性变换
),(VL?? ?0a
0a
.10 nnaaa ??? ??? ?
这个线性变换叫做当 时 f (x)的值，并且
记作
??x
).(?f
（ 1） 因为对于任意
我们也可将 简记作,这时可以写
,)(,00 ???? aaV ??
0a?0a
.)( 10 nnaaaf ??? ???? ?
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（ 2） 带入法：如果 并且 ],[)(),( xFxgxf ?
).()()(
)()()(
xgxfx
xgxfx
?
??
?
?
那么根据 L(V )中运算所满足的性质,我们有
).()()(
)()()(
????
????
gf
gf
?
??
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6.3 线性变换和矩阵
一、内容分布
6.3.1 线性变换的矩阵
6.3.2 坐标变换
6.3.3 矩阵唯一确定线性变换
6.3.4 线性变换在不同基下的矩阵 —相似矩阵
二、教学目的,
1．熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵Ａ，以及给定 n
阶矩阵Ａ和基，求出关于这个基矩阵为Ａ的线性变换．
2．由向量 α关于给定基的坐标，求出 σ(α)关于这个基的坐
标．
3．已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出 σ关于另
一个基的矩阵。
三、重点难点,
线性变换和矩阵之间的相互转换,坐标变换,相似矩阵。
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6.3.1 线性变换的矩阵
现在设 V是数域 F上一个 n维向量空间，令 σ是 V的一
个线性变换，取定 V的一个基 令,,,,21 n??? ?
nnaaa ????? 12211111 )( ???? ?
nnaaa ????? 22221122 )( ???? ?
nnnnnn aaa ????? ???? ?2211)(
………………………………………
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设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
N 阶矩阵 A 叫做线性变换 σ关于基 的
矩阵, 上面的表达常常写出更方便的形式,
},,,{ 21 n??? ?
(1) Annn )())(,),(),((),,( 212121 ????????????? ??? ??
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6.3.2 坐标变换
设 V是数域 F上一个 n 维向量空间,
是它的一个基,ξ关于这个基的坐标是 而
σ(ξ)的坐标是 问, 和
之间有什么关系?
},,,{ 21 n??? ?
),,,,( 21 nxxx ?
).,,,( 21 nyyy ? ),,,( 21 nyyy ?
),,,,( 21 nxxx ?
设
.),,,(
2
1
21
2211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
n
n
nn
x
x
x
xxx
?
?
?
???
????
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因为 σ 是线性变换，所以
（ 2）,))(,),(),((
)()()()(
2
1
21
2211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
n
n
nn
x
x
x
xxx
?
?
?
??????
????????
将（ 1）代入（ 2）得
.),,,()(
2
1
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
A
?
? ?????
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最后，等式表明,的坐标所组成
的列是
),,()( 21 n????? ?关于
.
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nx
x
x
A
?
综合上面所述,我们得到坐标变换公式：
定理 6.3.1 令 V是数域 F上一个 n 维向量空间,σ是
V的一个线性变换，而 σ关于 V的一个基
的矩阵是 },,,{
21 n??? ?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
如果 V中向量 ξ关于这个基的坐标是,
而 σ(ξ)的坐标是,
),,,( 21 nxxx ?
),,,( 21 nyyy ?
那么
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn x
x
x
A
y
y
y
??
2
1
2
1
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例 1 在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的
单位向量 作为 的基,令 σ是将 的每一向量
旋转角 θ的一个旋转, σ是 的一个线性变换,我们有
2V
21,?? 2V 2V
2V
? ?
? ?,c o ss in
,s inc o s
212
211
??????
??????
???
??
所以 σ关于基 的矩阵是? ?21,??
???
?
???
? ?
??
??
c o ss in
s inc o s
设,它关于基 的坐标是,而
的坐标是,那么
2V?? ? ?21,xx? ?21,?? ? ???
? ?21,yy
???
?
???
?
???
?
???
? ??
???
?
???
?
2
1
2
1
c o ss in
s inc o s
x
x
y
y
??
??
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6.3.3 矩阵唯一确定线性变换
引理 6.3.2 设 V是数域 F上一个 n 维向量空间，
是 V的一个基，那么对于 V 中任意
n个向量,有且仅有 V 的一个线性变
换 σ，使得,
},,,{ 21 n??? ?
n???,,,21 ?
niii ?,2,1)( ?? ???
证 设 nnxxx ???? ???? ?2211
是 V中任意向量,我们如下地定义 V到自身的一个映
射 σ：
nnxxx ????? ???? ?2211)(
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我们证明,σ是 V的一个线性变换。设
Vyyy nn ????? ???? ?2211那么
.)()()( 222111 nnn yxyxyx ????? ???????? ?
于是
).()(
)()(
.)()()()(
22112211
222111
????
??????
??????
??
????????
????????
nnnn
nnn
yyyxxx
yxyxyx
??
?
设 那么.Fa ?
).(
)(
)()(
2211
2211
2211
??
???
???
??????
a
xxxa
axaxax
axaxaxa
nn
nn
nn
?
????
????
????
?
?
?
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这就证明了 σ是 V的一个线性变换。线性变换 σ显然
满足定理所要求的条件：
niii ?,2,1)( ?? ???
如果 τ是 V的一个线性变换，且
niii ?,2,1)( ?? ???
那么对于任意,
2211 Vxxx nn ????? ???? ?
),(
)()()(
)()(
2211
2211
2211
??
???
??????
??????
?
????
????
????
nn
nn
nn
xxx
xxx
xxx
?
?
?
从而 ■.?? ?
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定理 6.3.3 设 V 是数域 F 上一个 n 维向量空间，
是 V 的一个基，对于 V 的每一个线
性变换 σ,令 σ 关于基 的矩阵 A与
它对应，这样就得到 V 的全体线性变换所成的集合
L（ V）到 F上全体 n 阶矩阵所成的集合 的一
个双射，并且如果,而, 则
(3)
(4)
},,,{ 21 n??? ?
},,,{ 21 n??? ?
)(FM n
)(,vL??? A?? B??
,,,FaaAaBA ??? ?? ???
AB???
证 设线性变换 σ关于基 的矩阵是 A。
那么 是 的一个映射。
},,,{ 21 n??? ?
A?? )()( FMVL n到
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
是 F上任意一个 n阶矩阵。令
.,,2,1,2211 njaaa nnjjjj ?? ????? ????
由引理 6.3.2，存在唯一的 使)(VL??
.,,2,1,)( njjj ??? ???
反过来，设
显然 σ关于基 的矩阵就是 A,这就证
明了如上建立的映射是 的双射,
},,,{ 21 n??? ?
)()( FMVL n到
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设 我们有 ).(),(
ijij bBaA ?? ?? ??
.),,,())(,),(),((
),,,())(,),(),((
2121
2121
B
A
nn
nn
?????????
?????????
??
??
?
?
由于 σ是线性变换,所以
??
??
????
?
?
???
? n
i
iij
n
i
iij nibb
11
.,,2,1),( ?????
因此
.),,,())(,),(),((
))(,),(),((
2121
21
ABB nn
n
?????????
?????????
??
?
??
所以 στ关于基 的矩阵就是 AB。（ 7）
式成立，至于（ 6）式成立，是显然的。□
},,,{ 21 n??? ?
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推论 6.3.4 设数域 F上 n 维向量空间 V 的一个线性
变换 σ关于 V 的一个取定的基的矩阵是 A，那么 σ可
逆必要且只要 A可逆，并且 关于这个基的矩阵就
是,
1??
1?A
证 设 σ可逆。令 关于所取定的基的矩阵是 B。
由（ 7），
1??
.1 AB??? ???
然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵 I,
所以 AB = I, 同理 BA = I, 所以,1?? AB
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注意到（ 5），可以看出 同理 所以 σ
有逆，而 □
.??? ?,??? ?
.1?? ??
反过来，设 而 A可逆。由定理 6.3.3，有
于是
,A??
.)( 1?? AvL ??? 使
.1 IAA ?????
我们需要对上面的定理 6.3.1和定理 6.3.3的深刻意义
加以说明,
1,取定 n 维向量空间 V的一个基之后,在映射,
之下,
(作为线性空间 )
A??
nnFVL ??)(
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研究一个抽象的线性变换 σ,就可以转化为研究一个
具体的矩阵, 也就是说,线性变换就是矩阵,以后,可
以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换
来研究矩阵,
2,我们知道,数域 F上一个 n 维向量空间 V 同构
于,V上的线性变换nF
)(,???? ?
转化为 上一个具体的变换, nF
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn x
x
x
A
x
x
x
?
?
?
2
1
2
1
也就是说,线性变换都具有上述形式,
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6.3.4 线性变换在不同基下的矩阵
——相似矩阵
定义,设 A,B 是数域 F 上两个 n 阶矩阵, 如果存
在 F上一个 n 阶可逆矩阵 T 使等式
成立，那么就说 B与 A相似，记作,,
ATTB 1??
BA ~
n阶矩阵的相似关系具有下列性质：
1,自反性：每一个 n阶矩阵 A都与它自己相似，
因为
2,对称性：如果,那么 ；
因为由
.1 AIIA ??
BA ~ AB ~
.)( 11111 ????? ??? BTTT B TAATTB 得
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BA ~ CB ~
CA ~
3,传递性：如果 且
那么
事实上，由 得 BUUCATTB 11 ?? ?? 和
).()()()( 111 TUATUTUATUC ??? ??
Tnn },,,{},,,{ 2121 ?????? ?? ?
设线性变换 σ关于基 的矩阵是 A,σ
关于基 的矩阵是 B,由基
到基 的过渡矩阵 T,
即,
},,,{ 21 n??? ?
},,,{ 21 n??? ?
},,,{ 21 n??? ? },,,{ 21 n??? ?
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定理 6.3.4 在上述假设下,有,
ATTB 1??
即, 线性变换在不同基下的矩阵是相似的, 反过来,
一对相似矩阵可以是同一个线性变换在不同基下的
矩阵,
证明留做练习
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6.4 不变子空间
一、内容分布
6.4.1 定义与基本例子
6.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简
6.4.3 进一步的例子
二、教学目的
1．掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线
性变换的不变子空间方法．
2．会求给定线性变换的一些不变子空间．
三、重点难点
验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间、会求给
定线性变换的一些不变子空间。
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6.4.1 定义与基本例子
令 V是数域 F上一个向量空间,σ是 V的一个线性变
换,
定义 V的一个子空间 W说是在线性变换 σ之下不变,
如果, 如果子空间 W在 σ之下不变，那么
W就叫做 σ的一个不变子空间,
WW ?)(?
注意,子空间 W在线性变换 σ之下不变,指,
即,
并不能说,
()WW? ?
( ),WW? ? ?? ? ?
( ),W? ? ? ?? ? ?
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例 1 V本身和零空间 {0}显然在任意线性变换之下
不变,
例 2 令 σ是 V的一个线性变换，那么 σ的核 Ker(σ)
的像 Im(σ)之下不变,
例 3 V的任意子空间在任意位似变换之下不变,
例 4 令 σ是 中以某一过原点的直线 L为轴，旋转
一个角 θ的旋转，那么旋转轴 L是 σ的一个一维不变
子空间，而过原点与 L垂直的平面 H是 σ的一个二维
不变子空间,
3V
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例 5 令 F [x]是数域 F上一切一元多项式所成的向量
空间,是求导数运对于每一自然数 n，
令 表示一切次数不超过 n的多项式连同零多项
式所成的子空间, 那么 在 σ不变,
)()(,xfxf ???
][xFx
][xFx
设 W是线性变换 σ的一个不变子空间,只考虑 σ
在 W上的作用，就得到子空间 E本身的一个线性变
换，称为 σ在 W上的限制，并且记作 这样，
对于任意
然而如果 那么 没有意义。
.| w?
,W??
)()(| ???? ?w
,W?? )(| ?? w
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6.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简
设 V是数域 F上一个 n维向量空间,σ是 V的一个
线性变换。假设 σ有一个非平凡不变子空间 W，那
么取 W的一个基 再补充成 V的一个基
由于 W在 σ之下不变，所以
仍在 W内，因而可以由 W的基 线性表
示。我们有：
,,,,21 r??? ?
1 2 1,,,,,,.r r na? ? ? ? ?
)(,),(),( 21 r?????? ?
r???,,,21 ?
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.)(
,)(
,)(
,)(
1,111
1,11,11,11,11
2211
12211111
nnnrnrrrnnn
nrnrrrrrrrr
rrrrrr
rr
aaaa
aaaa
aaa
aaa
??????
??????
?????
?????
??????
????????????????
??????
????
????????????????
????
??
???????
??
??
?
?
因此,σ 关于这个基的矩阵有形状,
2
31
???
?
???
??
Ao
AAA
而 A中左下方的 O表示一个 零矩阵,rrn ?? )(
r???,,,21 ?
这里
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
rrr
r
aa
aa
A
?
???
?
1
111
1 是 关于 W的基w|?
的矩阵，
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由此可见，如果线性变换 σ 有一个非平凡不变子空
间，那么适当选取 V的基，可以使与 σ 对应的矩阵
中有一些元素是零。特别，如果 V可以写成两个非
平凡子空间的 直和,那么选取
的一个基 和 的一个基
凑成 V的一个基 当
都在 σ 之下不变时，容易看出,σ 关于这样选取的
基的矩阵是
21 WW 与,21 WWV ??
1W r???,,,21 ? 2W
.,,1 nr a???,,,,21 n??? ? 21 WW 与
,
2
1
???
?
???
??
Ao
oAA
这里 是一个 r阶矩阵,它是 关于基
1A 1|w? r???,,,21 ?
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一般地, 如果向量空间 V可以写成 s个子空间
的直和，并且每一子空间都在线性变
换 σ之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑
成 V的一个基,σ关于这个基的矩阵就有形状
SWWW,,,21 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
s
A
A
A
0
.
.
0
2
1
这里 关于所取的 的基的矩阵,
ii WA |?是 iW
的矩阵，而 是 n–r阶矩阵，它是 关于基
的矩阵。
2A 2| w?
nr a,,1 ???
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例 6 令 σ 是例 4所给出的 的线性变换, 显然 是
一维子空间 L与二维子空间 H的直和，而 L与 H在 σ
之下不变, 取 L的一个非零向量,取 H 的两个
彼此正交的单位长度向量 那么 是
的一个基，而 σ关于这个基的矩阵是
3V 3V
1?
,,32 ?? 321,,???
3V
.
c o ss in0
s inc o s0
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
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6.4.3 进一步的例子
例 7 如果,那么 子空间是两个 ??
21,WW
.,2121 子空间仍是一个 ?? ?WWWW ?
证,1,任
取
2 任
取
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例 8 如果,那么对任何子空间是 ??W
Iaaaaf nnnn 011)( ????? ? ???? ?
子空间是 ?)(?fW
证：,那么子空间是 ??W
WWf
nkWW
WWWWW
k
??
????
????
))((
),,2,1()(
)()()( 2
?
?
???
??
例 9 判定下列子空间在给定的 σ 下是否为不变
子空间
（ 1）
},|)0,,{(
),0,,(),,(,:
2121
32121321
33
FxxxxW
xxxxxxxxFF
??
????? ??
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（ 2）
},|)0,,{(
),,,0(),,(,:
2121
3221321
33
FxxxxW
xxxxxxxFF
??
???? ??
（ 3） ][),()(],[][,xFWxffDxFxFD n????
（ 4） ][,)())((],[][:
0 xFWdxxfxfJxRxRJ n
x ??? ?
解
WxxxxWxx ?????? )0,,()(,)0,,( 212121 ???
WW ???? )1,2,0()(,)0,1,1( ???
][)(1)()(][)( xFfnnfnfxFxf nn ?????????????
WxfJ
xRx
n
dxxxRxxf nn
x n
n
n
?
?
?
???? ??
))((
],[
1
1
][)( 1
0
即
(1) 是,
(2) 否,
(3) 是,
(4) 否,
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例 10 σ 是 V上一个线性变换,W 是
生成的子空间,,则, s
???,,,21 ?
),,2,1()( siWW i ???? ??是不变子空间
),,,( 21 sLW ??? ??
证,))(,),(),(()(
21 sLW ??????? ??
必要性,W中不变子空间，
),,2,1()())(,),(),(()( 21 siWWLW is ?? ????? ?????????
充分性：如果,)( WW i???? ))(,),(),(( 21 sL ????? ?而 是
包
含
)(,),),( 21 s???? ?的最小子空间,WL s ?? ))(,),(),()( 21 ?????? ?
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例 11 设 σ 是 V上的线性变换,α 是 V上的非零向
量，且 )(,),(,1 ????? ?k? 线性无关，但
)(),(,),(,1 ??????? kk ??
线性相关, 那么 是包含 α的最
小不变子空间,
))(,),(,( 1 ????? ?kL ?
证
(1) 线性表出,因此
这样，
的生成元在 σ 下的象 全部属
于,所以
是一个 σ 不变子空间
)(,),(,)( 1 ??????? ?kk ?可由
))(,),(,()( 1 ??????? ?? kk L ? ))(,),(,( 1 ????? ?kL ?
)(,),(),( 2 ?????? k?
))(,),(,( 1 ????? ?kL ?))(,),(,( 1 ????? ?kL ?
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（ 2） 对任何包含 α的不变子空间 W，
故,
即 包含 W的一个最小子空间,
WW k ??? ? )(,),(),( 12 ??????? ?
WL k ?? ))(,),(,( 1 ????? ?
))(,),(,( 1 ????? ?kL ?
例 12 设 是 V的一给基,σ在 下
的矩阵为
4321,,,???? 4321,,,????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
1221
1132
0010
2111
A
求包含 的最小子空间, 1?
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解 算 的坐标为（用, ( )”表示
取坐标）
)(),(,1211 ?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
3
0
1
1
2
0
1
))(())((
,
1
2
0
1
)())((,
0
0
0
1
)(
11
2
111
AA
A
????
????
中线性无关 41211 ))(()),((),( F在?????
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的坐标排成的行列式为,)(),(),(,131211 ???????
0
1410
9320
0000
10111
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
9
0
10
4
3
0
1
))(())((
1
2
1
3
A?????
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因此
?
?
?
?
?
????
????
?
4311
2
3
43112
11
43)(
2)(
??????
??????
??
? ?321,,????L 1?是包含 的最小子空间,
注意到 与 是等价向量组，因此321,,??? 431,,???
? ? ),,(,,431321 ?????? LL ??
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一,内容分布
6.5.1 引例
6.5.2 矩阵特征值和特征向量的定义
6.5.3 特征值和特征向量的计算方法
6.5.4 矩阵特征值和特征向量的性质
小结
二,教学目的
1.理解特征值和特征向量的概念
2.熟练掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法
3.掌握特征值与特征向量的一些常用性质
三,重点难点
矩阵的特征值和特征向量的求法及性质
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6.5.1 引例
在经济管理的许多定量分析模型中，经常会遇到矩阵的特征值和
特征向量的问题,
它们之间的关系为
)1(22 3
001
001 ??????????????????????
??
?
??
??
yxy
yxx
写成矩阵形式，就是
1x
是目前的工业发展水平 (以某种工业发展指数为测量单位 ).
例 发展与环境问题已成为 21世纪各国政府关注和重点，为了定量分
析污染与工业发展水平的关系，有人提出了以下的工业增长模型：设
0x 是某地区目前的污染水平 (以空气或河湖水质的某种污染指数为测
量单位 ),0y
若干年后 (例如 5年后 )的污染水平和工业发展水平分别为 和,1y
)2(22 13
0
0
1
1 ??????????????????????
?
?
???
?
???
?
???
??
???
?
???
?
y
x
y
x
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记
???
?
???
??
1
1
1 y
x?,
???
?
???
??
0
0
0 y
x?,
???
?
???
??
22
13A,
即 (2)式可写成 )3(01 ????????????????????? ?? A
设当前的 T)1,1(
0 ??
，则
.
1
14
4
4
1
1
22
13
1
1
1 ??
?
?
???
??
???
?
???
??
???
?
???
?
???
?
???
??
???
?
???
??
y
x?
即 00 4?? ?A, 由此可以预测若干年后的污染水平与工业发
展水平。
由上例我们发现，矩阵 A乘以向量 恰好等于 的 4倍，
倍数 4及向量 即是我们本节要讨论的矩阵的特征值和特
征向量,
0? 0?
0?
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6.5.2 特征值和特征向量的定义
定义 1,设 A是一个 n阶矩阵,λ是 F 中的一个数，如果存在 V 中非零
向量 α,使得 ??? ?A
那么称 λ为矩阵 A的一个特征值,α称为 A属于特征值 λ的特征向量,
例
????????? 22
13A
因
?????????????????????????????????? 114441122 13
解,
所以 4是 ??
?
???
?
??
22
13A 的一个特征值，
????????11 是 A的属于 4的特征向量,
?????????????????????????????????? 3
34
12
12
3
3
22
13又
故 ??
?
???
?
?
3
3 也是 A的属于 4的特征向量,
注 1,α是 A的属于 λ的特征向量，则
)0( ?? cc, cα也是 A的属于 λ的特
征向量
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练习 1
(1) 如果向量 是矩阵 的特征向量，
则 k = __________
1
1
????
??
1
12
k??
????
(2) 设,下列向量中可以成为 A的
特征向量的是（ ）
13
22A
???
????
A,1
2
??
????
B,3
2
???
????
C,4
1
??
?????
D,0
1
??
????√
2
(1) 解,1 1 1 1
32
1 2 1 3 1
kk
k
?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
(2) 解,1 3 1 7 1
2 2 2 6 2?
? ? ? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?A.
B,1 3 3 3 31
2 2 2 2 2
?? ? ? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?
C,1 3 4 12 2 1 6? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
D,1 3 0 3
2 2 1 2
? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
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6.5.3 特征值和特征向量的计算方法
使?1 λ是 A的特征值,0??? ? ??? ?A
.0).(0 ???? ??? AI
0)( ??? XAI? 有非零解 ?
.0??? AI?
注 2,λ是 A的特征值 ? λ是方程 0??AI? 的根,
?2 α是 A属于 λ的特征向量 0?? ? 且 ??? ?A
.0).(0 ???? ??? AI
?? 是 0)( ?? XAI? 的非零解。
注 3,α是 A属于 λ的特征向量 ?? 是 0)( ?? XAI? 的非零解。
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定义 2：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
nnnn
n
n
A
aaa
aaa
aaa
AIf
???
???
???
???
?
?
?
??
?
????
?
?
21
22221
11211
)(
称为 A的特征多项式。 0?? AI? 称为 A的特征方程，
AI ?? 称为 A的特征矩阵。
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例 1 设,求 A的全部特征值、特征的量。13
22A
??? ??
??
213 3 4 ( 4 ) ( 1 ) 0
22IA
?? ? ? ? ?
?
??? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
解,A的特征多项式为1
A的特征值为 1241???, ＝ －
对于 解2
1 4,? ? ( 4 ) 0I A X??
由于 得基础解系3 3 1 12 2 0 0??? ? ? ??? ? ? ???
? ? ? ? 1
1
1?
?????
??
A的对应于 的全部特征向量为 1 1 1( 0 )cc? ?1 4? ?
1
2
33 0
22
x
x
? ???? ?
??????? ??即
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对于 解
2 1,? ??
( ) 0I A x? ? ?
1
2
23 0
23
x
x
?? ???? ?
???????? ??即
由于 323 1 2
23 00
??????
?????
??????
??
得基础解系
2
3
2
1
?
???
???
??
??
A的对应于 的全部特征向量为
2 1? ??
2 2 2( 0 )cc? ?
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注 4,A的特征向量有无穷多个，分为两大类：
一类为 一类为
11
1
( 0 )
1
cc?? ???
??
,2 3
2
c
???
??
??
问题 1,同类的两个特征向量的线性相关性如何？
问题 2,不同类的任两个特征向量的线性相关性如
何？
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求 A的全部特征值和特征向量的方法：
1,计算特征多项式 IA? ?
2,求特征方程 0?? AI? 的所有根,即得 A的全部特征值
n???,,,21 ?
3,对于 A的每一个特征值
i?
，求相应的齐次线性方程组
( ) 0i I A X? ??
sisii ccc ??? ??? ?21 21
（
sccc,,,21 ?
不全为零 ）
例 2,求矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
001
010
100
A 的特征值和特征向量。
的一个基础解系
siii ???,,,21 ?
，则 A的属于 i? 的全部
特征向量为
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解 A的特征多项式
)1()1(
01
010
10
2 ???
?
?
?
?? ??
?
?
?
? AI
A的特征值为 121 ?? ??,,1
3 ???
对于 121 ?? ??,解 0
101
000
101
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
1 0 1 1 0 1
0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0
??? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ? ??? ? ? ?
得基础解系,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
1
,
0
1
0
21 ??
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A的属于特征值 1的全部特征向量为 ),( 212211 不全为零cccc ?? ?
对于 13 ???,解
1 0 1 1 0 1
0 2 0 0 1 0
1 0 1 0 0 0
??? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
得基础解为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
1
0
1
3?
A的属于特征值 – 1 的全部特征向量为 )0( 333 ?cc ?
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6.5.4 特征向量和特征值的性质
性质 1 AA ?与 有相同的特征值
分析：要证 AA ?与 有相同的特征值
只须证 )()( ?? AA ff ??
注意到 |||)(||| AIAIAI ??????? ???
性质 3 A的主对角线上的元素的和称为 A的迹，记作
)(ATr,则
n
nr
A
AT
???
???
?
?
21
21
||
)(
?
????
性质 2 A的属于不同特征值的特征向量线性无关。
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注意到
? ?? ? ? ?
??
??
??????
?????
???
???
???
???
? 1
2211
2211
21
22221
11211
)(
||)(
n
nn
n
nn
nnnn
n
n
A
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
AIf
??
???
?
?
?
??
（ *）
n
n
n
n
n
nA AIf
???
?????
????????
?
??
?
21
1
21
21
)1(
)(
)())((||)(
??
??????
??????
?（ **）
在（ *）和（ **）中令 λ = 0
nnn AA ??? ?21)1(||)1(|| ?????
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练习,求 ??
?
???
?
??
22
13A 的特征值，特征向量。
解,A的特征多项式为
)4)(1(4522 13||)( 2 ???????? ????? ???????? AIf A
所以 A的特征值为 4,1 21 ?? ??
对于 11 ??,解 ??
?
?
?
?
?
? ?
????
?
?
???
?
???
?
???
?
??
??
1
2
1
,012 12 1
2
1 ?得
x
x
对于 42 ??,解 ??
?
???
?
???
???
?
???
?
???????? ?
?
1
1,0
22
11
2
2
1 ?
x
x
故 A的属于特征值 1的全部特征向量为 )0(
1
2
1
11 ??
?
?
?
?
?
?
? ?
cc
故 A的属于特征值 4的全部特征向量为
)0(
1
1
22 ???
?
?
???
? cc
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小结
1、定义 1,设 A是一个 n阶矩阵,λ是 F 中的一个数，如果存在 V 中非
零向量 α,使得 ??? ?A
那么称 λ为矩阵 A的一个特征值,α称为 A属于特征值 λ的特征向量,
2,λ是 A的特征值 ? λ是方程 0??AI? 的根,
3,α是 A属于 λ的特征向量 ?? 是 0)( ?? XAI? 的非零解。
4、求 A的全部特征值和特征向量的方法：
1,计算特征多项式
2,求特征方程 0?? AI? 的所有根,即得 A的全部特征值 n???,,,21 ?
3,对于 A的每一个特征值 i?,求相应的齐次线性方程组
( ) 0iI A X? ??
sisii ccc ??? ??? ?21 21 （ sccc,,,21 ? 不全为零 ）
的一个基础解系
siii ???,,,21 ?,则 A的属于 i? 的全部特征向量
为
5,3个性质。
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思考题,矩阵 A的特征值由特征向量唯
一确定吗？为什么？
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6.6 可以对角化矩阵
一、内容分布
6.6.1 什么是可对角化
6.6.2 本征向量的线性关系
6.6.3 可对角化的判定
6.6.4 矩阵对角化的方法及步骤
二,教学目的
1．掌握可对角化的定义与判断．
2．熟练掌握矩阵对角化的方法步骤．
三、重点难点
可对角化的判断与计算。
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6.6.1 什么是可对角化
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
?
?
?
?
????
?
?
000
0
000
000
)1(
2
1
设 A是数域 F上一个 n阶矩阵，如果存在 F上一
个 n阶逆矩阵 T，使得 具有对角形式（ 1）ATT 1?
则说矩阵 A可以对角化,
我们知道,可以通过矩阵来研究线性变换,也
可以通过线性变换来研究矩阵，本节更多的通过线
性变换来研究矩阵, 矩阵 A可以对角化对应到线性
变换就是,
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设 σ是数域 F上 维向量空间 V的一个线
性变换，如果存在 V的一个基，使得 σ关于这个基
的矩阵具有对角形式 (1),那么说,σ可以对角化,
)1( ?nn
很容易证明,σ可以对角化的充分必要条件是 σ
有 n个线性无关的本征向量, 这 n个线性无关的本
征向量显然构成 V的基, 因此,我们需要进一步研
究本征向量的线性关系，需要研究在什么条件下 σ
有 n个线性无关的本征向量,
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6.6.2 本征向量的线性关系
定理 6.6.1 令 σ是数域 F上向量空间 V的一个线性变
换,如果 分别是 σ的属于互不相同的特征
根 的特征向量，那么 线性
无关,
n???,,,21 ?
n???,,,21 ? n???,,,21 ?
证 我们对 n用数学归纳法来证明这个定理
当 n = 1时，定理成立。因为本征向量不等于
零。设 n >1并且假设对于 n－ 1来说定理成立。现在
设 是 σ的两两不同的本征值,是属于
本征值 的本征向量：
n???,,,21 ? i?
i?
.,,2,1,)()2( niiii ??? ????
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如果等式
,.0)3( 2211 Faaaa inn ????? ??? ?
成立，那么以 乘（ 3）的两端得n?
.0)4( 2211 ???? nnnnn aaa ?????? ?
另一方面，对（ 3）式两端施行线性变换 σ，注意到
等式（ 2），我们有
.0)5( 222111 ???? nnnaaa ?????? ?
（ 5）式减（ 4）式得
.0)()()( 111222111 ??????? ??? nnnnnn aaa ????????? ?
根据归纳法假设,线性无关，所以121,,,?n??? ?
.1,,2,1,0)( ???? nia nii ???
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但 两两不同，所以 代
入（ 3），因为 所以 这就证明了
线性无关。□
n??? ?,,21,0121 ???? ?naaa ?
,0?n?,0?na
n???,,,21 ?
推论 6.6.2 设 σ是数域 F上向量空间 V的一个线性变
换,是 σ的互不相同的本征值。又设
是属于本征值 的线性无关的本征向量,
那么向量 线性无关,
n??? ?,,21
iisi ??,,1 ? i?
,,,1 ti ?? ttsts ????,,,,,,1111 1 ???
证 先注意这样一个事实,σ 的属于同一本征值 λ
的本征向量的非零线性组合仍是 σ 的属于 λ 的一个
本征向量。
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由上面所说的事实，如果某一,则 是 σ
的属于本征值 的本征向量。因为
互不相同，所以由定理 6.6.1，必须所有
即
0?i? i?
i? t??? ?,,21
.,,2,1,0 tii ????
.,,1,011 tiaa ii isisii ?? ???? ??
令,,,1,
11 tiaa ii isisiii ?? ???? ???
则,01 ??? t?? ?
现在设存在 F中的数 使得,,,,,,,
1111 1 ttsts aaaa ???
.011111111 11 ??????? tt tststtss aaaa ???? ???
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然而 线性无关，所以
iisi ??,,1 ?
.,,1,01 tiaa iisi ?? ????
即 线性无关。□
ttsts ????,,,,,,1111 1 ???
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6.6.3 可对角化的判定
定理 6.6.3 令 σ是数域 F上 n维向量空间 V的一个线
性变换，如果 σ的特征多项式 在 F内有 n个单
根，那么存在 V的一个基，使 σ就关于这个基的矩
阵是对角形式,
)(xf?
证 这时 σ的特征多项式 在 F [x]内可以分解
为线性因式的乘积,
)(xf?
),())(()( 21 nxxxxf ???? ???? ?
且两两不同。对于每一个 选取一个本征
向量 由定理 6.6.1,线性无
关，因而构成 V的一个基,σ关于这个基的矩阵是
Fi ??,i?
.,,1,nii ??? n???,,,21 ?
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.
000
000
000
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n?
?
?
?
?????
?
?
将上面的定理转化成矩阵的语言,就是,
定理 6.6.4 令 A是数域 F上一个 n阶矩阵，如果 A
的特征多项式 在 F内有 n个单根，那么存在一
个 n阶可逆矩阵 T,使
)(xfA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
ATT
?
?
?
?
????
?
?
000
0
000
000
2
1
1
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注意：推论 6.6.4的条件只是一个 n阶矩阵可以对角
化的充分条件，但不是必要条件。
下面将给出一个 n 阶矩阵对角化的充分必要条件。
定义,设 σ是数域 F上向量空间 V的一个线性变换，
λ是 σ的一个特征根，令
则有
因而是 V的一个子空间, 这个子空间叫做 σ的属于
特征根 λ的特征子空间,
})(|{ ?????? ??? VV
)( ???? ?? Ke rV
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现在令 V是数域 F上一个 n维向量空间，而 σ是 V的一
个线性变换，设 λ是 σ的一个本征值,是 σ的属于
本征值 λ的本征子空间，取 的一个基
并且将它扩充为 V的基，由 7.4,σ关于这
个基的矩阵有形如
?V
?V
s??,,1 ?
???
?
???
??
2
1
AO
AI
A s
?
这里 是一个 s阶的单位矩阵。因此,A的特征多
项式是
sI
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由此可见,λ至少是 的一个 s重根。)(xfA
如果线性变换 σ的本征值 λ是 σ的特征多项式 的
一个 r 重根，那么就说,λ的重数是 r。设 λ是 σ的一
个 r 重本征值，而 σ的属于本征值 λ的本征子空间的
维数是 s 。由以上的讨论可知：,即 σ的属于本
征值 λ的本征子空间的维数不能大于 λ的重数。
)(xf?
rs?
)()()de t ()(
)(
)(
2
2
1
xgxAxIx
AxIO
AIx
xf
s
an
s
sn
s
A
??
?
?????
?
??
?
?
?
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定理 6.6.5 令 σ是数域 F上 n维向量空间 V的一个线
性变换,σ可以用对角化的充分且必要的条件是
(i) σ的特征多项式的根都在 F内 ;
(ii) 对于 σ的特征多项式的每一根 λ, 特征子空间
的维数等于 λ的重数,
?V
证 设条件 (i), (ii)成立,令是 σ的一切不
同的本征值，它们的重数分别是,有
t???,,,21 ?
tsss,,,21 ?
nsss t ???? ?21
tisV ii,,2,1,d im ????
在每一个本征子空间 里选取一个基 。iV? iisi ??,,1 ?
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由推论 6.6.2,线性无关，因
而构成 V的一个基,σ关于这个基的矩阵是对角形
式：
ttsts ????,,,,,,1111 1 ???
个
个
t
t
t
s
s
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
0
0
?
?
?
?
?
?
?
(6)
反过来，设 σ 可以对角化，那么 V有一个由 σ 的本
征向量所组成的基。适当排列这一组基向量的次序，
可以假定这个基是
ttsts ????,,,,,,1111 1 ???
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而 σ关于这个基的矩阵是对角形（ 6）。于是 σ的特
征多项式
tsts xxxf )()()( 11 ??? ??? ?
因此 σ的特征多项式的根 都在 F 内，并
且 的重数等于 。然而基向量
显然是本征子空间 的线性无关的向量,
所以
t???,,,21 ?
i? tis i,,2,1,??
tisi ??,,1 ? iV?
ii sVVs ii ?? ?? d im.d im 但
因此 tisV
ii,,2,1,d im ????
□
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将上面的定理转化成矩阵的语言,就是,
推论 6.6.6 设 A是数域 F上一个 n阶矩阵,A可以对
角化的充分必要条件是
(i) A的特征根都在 F内 ;
(ii) 对于 A的每一特征根 λ,秩
这里 S是 λ的重数, □
SnAI ??? )( ?
例 1 矩阵
???
?
???
??
10
11A
不能对角化，
因为 A的特征根 I 是二重根，而秩（ I－ A） = 1,
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6.6.4 矩阵对角化的方法及步骤
１,先求出矩阵 A的全部特征根,
２,如果 A的特征根都在 F内，那么对于每一特征
根 λ，求出齐次线形方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
)(
2
1
??
n
x
x
x
AI?
的一个基础解系,
３,如果对于每一特征根 λ 来说，相应的齐次线
形方程组的基础解系所含解向量的个数等于 λ的
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例 2 矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
163
222
123
A
的特征多项式是
23 )2(1612
163
222
123
?????
???
??
??
xxx
x
x
x
特征根是 2,2，－ 4,
重 数，那么 A可对角化，以这些解向量为列，作一
个 n 阶矩阵 T,由定理 6.6.5的证明可知,T 的列
向量线形无关，因而是一个可逆矩阵，并且
是对角形矩阵,
ATT 1?
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对于特征根－ 4，求出齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
0
0
0
363
222
127
3
2
1
x
x
x
的一个基础系 ?
?
??
?
? ? 1,
3
2,
3
1
对于特征根 2，求出齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
0
0
0
363
242
121
3
2
1
x
x
x
的一个基础解系, )}1,0,1(),0,1,2{( ?
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由于基础解系所含解向量的个数都等于对应的特
征根的重数，所以 A可以对角化, 取
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
101
01
3
2
02
3
1
T
那么
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
200
020
004
1 ATT
第 6章 线性变换
6.1 线性映射
6.2线性变换的运算
6.3 线性变换和矩阵
6.4 不变子空间
6.5 特征值和特征向量
6.6 可以对角化矩阵
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当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取
对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。
---拉格朗日（ Lagrange,1736-1813）
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数缺形时少知觉，形少数时难入微。
---华罗庚（ 1910－ 1985）
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6.1 线性映射
一、内容分布
6.1.1 线性映射的定义、例,
6.1.2 线性变换的象与核,
二,教学目的,
1．准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定
的法则是否是一个线性变换（线性映射）．
2．正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的
联系，并能求给定线性变换的象与核．
三,重点难点, 判断给定的法则是否是一个线性变
换（线性映射），求给定线性变换的象与核．
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6.1.1 线性映射的定义、例
设 F是一个数域,V和 W是 F上向量空间,
定义 1 设 σ是 V 到 W 的一个映射, 如果下列条
件被满足，就称 σ是 V 到 W 的一个线性映射：
①对于任意
②对于任意
容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 和任意
,,V??? ).()()( ??????? ???
)()(,,????? aaVFa ???
Fba ?,,,V???
)()()( ??????? baba ???
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在②中取,对③进行数学归纳，可以得到：
（ 1）
（ 2）
0?a
0)0( ??
)()()( 1111 nnnn aaaa ??????? ????? ??
例 1 对于 的每一向量 定义
σ是 到 的一个映射，我们证明,σ是一个线
性映射,
2R ? ?21,xx??
? ? ? ? 321211,,Rxxxxx ??????
3R2R
例 2 令 H是 中经过原点的一个平面,对于 的每
一向量 ξ，令 表示向量 ξ在平面 H上的正射影,
根据射影的性质,是 到 的一个线
性映射,
3V 3V
? ???
? ????? ?,3V 3V
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例 3 令 A是数域 F上一个 m × n矩阵，对于 n元列空
间的 每一向量mF
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nx
x
x
?
2
1
?
规定,? ? ??? ??
是一个 m× 1矩阵，即是空间 的一个向量，
σ是 到 的一个线性映射,
? ??? mF
mFnF
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例 4 令 V 和 W是数域 F 上向量空间,对于 V 的每一向
量 ξ令 W 的零向量 0与它对应，容易看出这是 V 到
W的一个线性映射，叫做零映射,
例 5 令 V是数域 F上一个向量空间，取定 F的一个数
k，对于任意 定义
容易验证,σ是 V 到自身的一个线性映射，这样一
个线性映射叫做 V 的一个位似,
特别，取 k = 1，那么对于每一 都有
这时 σ就是 V到 V的恒等映射，或者叫做 V的单位映
射，如果取 k = 0，那么 σ就是 V 到 V的零映射,
,V?? ? ? ??? k?
,V?? ? ?,??? ?
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例 6 取定 F的一个 n元数列 对于
的每一向量 规定
容易验证,σ是 到 F的一个线性映射，这个线性
映射也叫做 F上一个 n元线性函数或 上一个线性
型,
? ?.21 naaa ? nF
? ?.21 nxxx ???
? ? Fxaxaxa nn ????? ?2211??
nF
nF
例 7 对于 F[x] 的每一多项式 f（ x），令它的导数
与它对应，根据导数的基本性质，这样定义
的映射是 F[x]到自身的一个线性映射,
? ?xf?
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例 8 令 C[a,b]是定义在 [a,b]上一切连续实函数所
成的 R上向量空间，对于每一 规定
仍是 [a,b]上一个连续实函数，根据积分的
基本性质,σ是 C[a,b]到自身的一个线性映射,
? ? ? ?,,baCxf ?
? ?? ? ? ?dttfxf xa???
? ?? ?xf?
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6.1.2 线性变换的象与核
定义 2 设 σ是向量空间 V到 W的一个线性映射,
(1) 如果 那么 叫做
在 σ之下的象,
(2) 设 那么 叫做 在 σ
之下的原象,
,VV ?? }|)({)( VV ???? ???? V?
,WW ?? }W)( |{ ??? ??? V W?
定理 6.1.1 设 V 和 W 是数域 F 上向量空间，而
是一个线性映射，那么 V 的任意子空间
在 σ之下的象是 W 的一个子空间，而 W 的任意子空
间在 σ之下的原象是 V 的一个子空间,
WV ?:?
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特别，向量空间 V 在 σ之下的象是 W 的一个
子空间，叫做 σ的象,记为
即
另外,W 的零子空间 { 0 } 在 σ之下的原象是
V 的一个子空间，叫做 σ的核，
记为
即
),Im(?
).()I m ( V?? ?
),(?K er
}.0)(|{)( ??? ???? VK e r
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定理 6.1.2 设 V和 W是数域 F向量空间，而是一个线
性映射，那么
(i) σ是满射
(ii) σ是单射
证明 论断 (i)是显然的,我们只证论断 (ii)
如果 σ是单射,那么 ker(σ)只能是含有唯一的零向量,
反过来设 ker(σ) = {0}.
如果
那么
从而
所以 即 σ是单射,
WV ?:?
W?? )I m (?
}0{)( ?? ?K e r
).()(,?????? ?? 而V
,0)()()( ???? ???????
}.0{)k e r ( ??? ???
,?? ?
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如果线性映射 有逆映射,那么是 W
到 V 的一个线性映射,
建议同学给出证明,
WV ?:? 1??
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6.2 线性变换的运算
一、内容分布
6.2.1 加法和数乘
6.2.2线性变换的积
6.2,3线性变换的多项式
二,教学目的,
掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算,
掌握线性变换的多项式,能够求出给定线性变换的
多项式,
三,重点难点,
会做运算,
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6.2.1 加法和数乘
令 V是数域 F上一个向量空间,V到自身的一个
线性映射叫做 V 的一个线性变换,
我们用 L（ V）表示向量空间和一切线性变换所成
的集合，设
定义,
加法,
数乘,,那么是 V的一个线性变换,
可以证明, 和 都是 V 的一个线性变换,
,),(,FkvL ????
)()(,??????? ?? ?
)(,???? kk ?
??? ?k
令,那么对于任意 和任意??? ?? Fba ?,,,V???
证明
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).()(
))()(())()((
)()()()(
)()()(
????
????????
????????
?????????
ba
ba
baba
bababa
??
????
????
?????
所以 是 V的一个线性变换???
?? k?令,那么对于任意 和任意Fba ?,,,V???
.)()(
)()(
))()((
))(()(
????
????
????
??????
ba
bkak
bak
bakba
??
??
??
???
所以 kσ是 V的一个线性变换,
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线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对
于任意,以下等式成立, )(,,vL????
(1) ;???? ???
(2) ).()( ?????? ?????
令 θ表示 V到自身的零映射,称为 V的零变换,它显然
具有以下性质：对任意 有：)(vL??
(3) ??? ??
设 σ的负变换－ σ指的是 V到 V的映射
容易验证，－ σ也是 V的线性变换，并且
),(vL??
).(,???? ?? ?
（ 4） ??? ??? )(
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线性变换的数乘满足下列算律：
,)()5( ???? kkk ???
,)()6( ??? lklk ???
),()()7( ?? lkkl ?
,1)8( ?? ?
这里 k,l是 F中任意数,σ,τ 是 V的任意线性变换,
定理 6.2.1 L（ V）对于加法和数乘来说作成数域
F上一个向量空间,
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6.2.2线性变换的积
设 容易证明合成映射 也是 V上的线
性变换，即 我们也把合成映射 叫
做 σ与 τ的积，并且简记作 στ 。除上面的性质外，
还有：
),(,VL??? ???
).(VL??? ? ???
,)()9( ??????? ???
,)()10( ??????? ???
),()()()11( ?????? kkk ??
对于任意 成立。 )(,,,vLFk ?? ???
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证明 我们验证一下等式（ 9）其余等式可以类似地
验证。设 我们有.V??
),)((
)()(
))(())((
))()((
)))((())((
?????
??????
??????
?????
????????
??
??
??
??
???
因而（ 9）成立。
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6.2.3 线性变换的多项式
线性变换的乘法满足结合律：
对于任意 都有),(,,vL????
).()( ?????? ?
因此,我们可以合理地定义一个线性变换 σ的 n次幂
??? ??
?
n
n ???? ? 这里 n是正整数。
我们再定义 ?? ?0
这里 ι表示 V到 V的单位映射，称为 V的单位变换。这
样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
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进一步，设,)( 10 nn xaxaaxf ???? ?
是 F上一个多项式，而 以 σ代替 x，以
代替,得到 V的一个线性变换
),(VL?? ?0a
0a
.10 nnaaa ??? ??? ?
这个线性变换叫做当 时 f (x)的值，并且
记作
??x
).(?f
（ 1） 因为对于任意
我们也可将 简记作,这时可以写
,)(,00 ???? aaV ??
0a?0a
.)( 10 nnaaaf ??? ???? ?
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（ 2） 带入法：如果 并且 ],[)(),( xFxgxf ?
).()()(
)()()(
xgxfx
xgxfx
?
??
?
?
那么根据 L(V )中运算所满足的性质,我们有
).()()(
)()()(
????
????
gf
gf
?
??
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6.3 线性变换和矩阵
一、内容分布
6.3.1 线性变换的矩阵
6.3.2 坐标变换
6.3.3 矩阵唯一确定线性变换
6.3.4 线性变换在不同基下的矩阵 —相似矩阵
二、教学目的,
1．熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵Ａ，以及给定 n
阶矩阵Ａ和基，求出关于这个基矩阵为Ａ的线性变换．
2．由向量 α关于给定基的坐标，求出 σ(α)关于这个基的坐
标．
3．已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出 σ关于另
一个基的矩阵。
三、重点难点,
线性变换和矩阵之间的相互转换,坐标变换,相似矩阵。
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6.3.1 线性变换的矩阵
现在设 V是数域 F上一个 n维向量空间，令 σ是 V的一
个线性变换，取定 V的一个基 令,,,,21 n??? ?
nnaaa ????? 12211111 )( ???? ?
nnaaa ????? 22221122 )( ???? ?
nnnnnn aaa ????? ???? ?2211)(
………………………………………
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设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
N 阶矩阵 A 叫做线性变换 σ关于基 的
矩阵, 上面的表达常常写出更方便的形式,
},,,{ 21 n??? ?
(1) Annn )())(,),(),((),,( 212121 ????????????? ??? ??
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6.3.2 坐标变换
设 V是数域 F上一个 n 维向量空间,
是它的一个基,ξ关于这个基的坐标是 而
σ(ξ)的坐标是 问, 和
之间有什么关系?
},,,{ 21 n??? ?
),,,,( 21 nxxx ?
).,,,( 21 nyyy ? ),,,( 21 nyyy ?
),,,,( 21 nxxx ?
设
.),,,(
2
1
21
2211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
n
n
nn
x
x
x
xxx
?
?
?
???
????
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因为 σ 是线性变换，所以
（ 2）,))(,),(),((
)()()()(
2
1
21
2211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
n
n
nn
x
x
x
xxx
?
?
?
??????
????????
将（ 1）代入（ 2）得
.),,,()(
2
1
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
A
?
? ?????
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最后，等式表明,的坐标所组成
的列是
),,()( 21 n????? ?关于
.
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nx
x
x
A
?
综合上面所述,我们得到坐标变换公式：
定理 6.3.1 令 V是数域 F上一个 n 维向量空间,σ是
V的一个线性变换，而 σ关于 V的一个基
的矩阵是 },,,{
21 n??? ?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
如果 V中向量 ξ关于这个基的坐标是,
而 σ(ξ)的坐标是,
),,,( 21 nxxx ?
),,,( 21 nyyy ?
那么
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn x
x
x
A
y
y
y
??
2
1
2
1
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例 1 在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的
单位向量 作为 的基,令 σ是将 的每一向量
旋转角 θ的一个旋转, σ是 的一个线性变换,我们有
2V
21,?? 2V 2V
2V
? ?
? ?,c o ss in
,s inc o s
212
211
??????
??????
???
??
所以 σ关于基 的矩阵是? ?21,??
???
?
???
? ?
??
??
c o ss in
s inc o s
设,它关于基 的坐标是,而
的坐标是,那么
2V?? ? ?21,xx? ?21,?? ? ???
? ?21,yy
???
?
???
?
???
?
???
? ??
???
?
???
?
2
1
2
1
c o ss in
s inc o s
x
x
y
y
??
??
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6.3.3 矩阵唯一确定线性变换
引理 6.3.2 设 V是数域 F上一个 n 维向量空间，
是 V的一个基，那么对于 V 中任意
n个向量,有且仅有 V 的一个线性变
换 σ，使得,
},,,{ 21 n??? ?
n???,,,21 ?
niii ?,2,1)( ?? ???
证 设 nnxxx ???? ???? ?2211
是 V中任意向量,我们如下地定义 V到自身的一个映
射 σ：
nnxxx ????? ???? ?2211)(
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我们证明,σ是 V的一个线性变换。设
Vyyy nn ????? ???? ?2211那么
.)()()( 222111 nnn yxyxyx ????? ???????? ?
于是
).()(
)()(
.)()()()(
22112211
222111
????
??????
??????
??
????????
????????
nnnn
nnn
yyyxxx
yxyxyx
??
?
设 那么.Fa ?
).(
)(
)()(
2211
2211
2211
??
???
???
??????
a
xxxa
axaxax
axaxaxa
nn
nn
nn
?
????
????
????
?
?
?
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这就证明了 σ是 V的一个线性变换。线性变换 σ显然
满足定理所要求的条件：
niii ?,2,1)( ?? ???
如果 τ是 V的一个线性变换，且
niii ?,2,1)( ?? ???
那么对于任意,
2211 Vxxx nn ????? ???? ?
),(
)()()(
)()(
2211
2211
2211
??
???
??????
??????
?
????
????
????
nn
nn
nn
xxx
xxx
xxx
?
?
?
从而 ■.?? ?
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定理 6.3.3 设 V 是数域 F 上一个 n 维向量空间，
是 V 的一个基，对于 V 的每一个线
性变换 σ,令 σ 关于基 的矩阵 A与
它对应，这样就得到 V 的全体线性变换所成的集合
L（ V）到 F上全体 n 阶矩阵所成的集合 的一
个双射，并且如果,而, 则
(3)
(4)
},,,{ 21 n??? ?
},,,{ 21 n??? ?
)(FM n
)(,vL??? A?? B??
,,,FaaAaBA ??? ?? ???
AB???
证 设线性变换 σ关于基 的矩阵是 A。
那么 是 的一个映射。
},,,{ 21 n??? ?
A?? )()( FMVL n到
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
是 F上任意一个 n阶矩阵。令
.,,2,1,2211 njaaa nnjjjj ?? ????? ????
由引理 6.3.2，存在唯一的 使)(VL??
.,,2,1,)( njjj ??? ???
反过来，设
显然 σ关于基 的矩阵就是 A,这就证
明了如上建立的映射是 的双射,
},,,{ 21 n??? ?
)()( FMVL n到
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设 我们有 ).(),(
ijij bBaA ?? ?? ??
.),,,())(,),(),((
),,,())(,),(),((
2121
2121
B
A
nn
nn
?????????
?????????
??
??
?
?
由于 σ是线性变换,所以
??
??
????
?
?
???
? n
i
iij
n
i
iij nibb
11
.,,2,1),( ?????
因此
.),,,())(,),(),((
))(,),(),((
2121
21
ABB nn
n
?????????
?????????
??
?
??
所以 στ关于基 的矩阵就是 AB。（ 7）
式成立，至于（ 6）式成立，是显然的。□
},,,{ 21 n??? ?
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推论 6.3.4 设数域 F上 n 维向量空间 V 的一个线性
变换 σ关于 V 的一个取定的基的矩阵是 A，那么 σ可
逆必要且只要 A可逆，并且 关于这个基的矩阵就
是,
1??
1?A
证 设 σ可逆。令 关于所取定的基的矩阵是 B。
由（ 7），
1??
.1 AB??? ???
然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵 I,
所以 AB = I, 同理 BA = I, 所以,1?? AB
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注意到（ 5），可以看出 同理 所以 σ
有逆，而 □
.??? ?,??? ?
.1?? ??
反过来，设 而 A可逆。由定理 6.3.3，有
于是
,A??
.)( 1?? AvL ??? 使
.1 IAA ?????
我们需要对上面的定理 6.3.1和定理 6.3.3的深刻意义
加以说明,
1,取定 n 维向量空间 V的一个基之后,在映射,
之下,
(作为线性空间 )
A??
nnFVL ??)(
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研究一个抽象的线性变换 σ,就可以转化为研究一个
具体的矩阵, 也就是说,线性变换就是矩阵,以后,可
以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换
来研究矩阵,
2,我们知道,数域 F上一个 n 维向量空间 V 同构
于,V上的线性变换nF
)(,???? ?
转化为 上一个具体的变换, nF
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn x
x
x
A
x
x
x
?
?
?
2
1
2
1
也就是说,线性变换都具有上述形式,
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6.3.4 线性变换在不同基下的矩阵
——相似矩阵
定义,设 A,B 是数域 F 上两个 n 阶矩阵, 如果存
在 F上一个 n 阶可逆矩阵 T 使等式
成立，那么就说 B与 A相似，记作,,
ATTB 1??
BA ~
n阶矩阵的相似关系具有下列性质：
1,自反性：每一个 n阶矩阵 A都与它自己相似，
因为
2,对称性：如果,那么 ；
因为由
.1 AIIA ??
BA ~ AB ~
.)( 11111 ????? ??? BTTT B TAATTB 得
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BA ~ CB ~
CA ~
3,传递性：如果 且
那么
事实上，由 得 BUUCATTB 11 ?? ?? 和
).()()()( 111 TUATUTUATUC ??? ??
Tnn },,,{},,,{ 2121 ?????? ?? ?
设线性变换 σ关于基 的矩阵是 A,σ
关于基 的矩阵是 B,由基
到基 的过渡矩阵 T,
即,
},,,{ 21 n??? ?
},,,{ 21 n??? ?
},,,{ 21 n??? ? },,,{ 21 n??? ?
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定理 6.3.4 在上述假设下,有,
ATTB 1??
即, 线性变换在不同基下的矩阵是相似的, 反过来,
一对相似矩阵可以是同一个线性变换在不同基下的
矩阵,
证明留做练习
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6.4 不变子空间
一、内容分布
6.4.1 定义与基本例子
6.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简
6.4.3 进一步的例子
二、教学目的
1．掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线
性变换的不变子空间方法．
2．会求给定线性变换的一些不变子空间．
三、重点难点
验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间、会求给
定线性变换的一些不变子空间。
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6.4.1 定义与基本例子
令 V是数域 F上一个向量空间,σ是 V的一个线性变
换,
定义 V的一个子空间 W说是在线性变换 σ之下不变,
如果, 如果子空间 W在 σ之下不变，那么
W就叫做 σ的一个不变子空间,
WW ?)(?
注意,子空间 W在线性变换 σ之下不变,指,
即,
并不能说,
()WW? ?
( ),WW? ? ?? ? ?
( ),W? ? ? ?? ? ?
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例 1 V本身和零空间 {0}显然在任意线性变换之下
不变,
例 2 令 σ是 V的一个线性变换，那么 σ的核 Ker(σ)
的像 Im(σ)之下不变,
例 3 V的任意子空间在任意位似变换之下不变,
例 4 令 σ是 中以某一过原点的直线 L为轴，旋转
一个角 θ的旋转，那么旋转轴 L是 σ的一个一维不变
子空间，而过原点与 L垂直的平面 H是 σ的一个二维
不变子空间,
3V
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例 5 令 F [x]是数域 F上一切一元多项式所成的向量
空间,是求导数运对于每一自然数 n，
令 表示一切次数不超过 n的多项式连同零多项
式所成的子空间, 那么 在 σ不变,
)()(,xfxf ???
][xFx
][xFx
设 W是线性变换 σ的一个不变子空间,只考虑 σ
在 W上的作用，就得到子空间 E本身的一个线性变
换，称为 σ在 W上的限制，并且记作 这样，
对于任意
然而如果 那么 没有意义。
.| w?
,W??
)()(| ???? ?w
,W?? )(| ?? w
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6.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简
设 V是数域 F上一个 n维向量空间,σ是 V的一个
线性变换。假设 σ有一个非平凡不变子空间 W，那
么取 W的一个基 再补充成 V的一个基
由于 W在 σ之下不变，所以
仍在 W内，因而可以由 W的基 线性表
示。我们有：
,,,,21 r??? ?
1 2 1,,,,,,.r r na? ? ? ? ?
)(,),(),( 21 r?????? ?
r???,,,21 ?
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.)(
,)(
,)(
,)(
1,111
1,11,11,11,11
2211
12211111
nnnrnrrrnnn
nrnrrrrrrrr
rrrrrr
rr
aaaa
aaaa
aaa
aaa
??????
??????
?????
?????
??????
????????????????
??????
????
????????????????
????
??
???????
??
??
?
?
因此,σ 关于这个基的矩阵有形状,
2
31
???
?
???
??
Ao
AAA
而 A中左下方的 O表示一个 零矩阵,rrn ?? )(
r???,,,21 ?
这里
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
rrr
r
aa
aa
A
?
???
?
1
111
1 是 关于 W的基w|?
的矩阵，
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由此可见，如果线性变换 σ 有一个非平凡不变子空
间，那么适当选取 V的基，可以使与 σ 对应的矩阵
中有一些元素是零。特别，如果 V可以写成两个非
平凡子空间的 直和,那么选取
的一个基 和 的一个基
凑成 V的一个基 当
都在 σ 之下不变时，容易看出,σ 关于这样选取的
基的矩阵是
21 WW 与,21 WWV ??
1W r???,,,21 ? 2W
.,,1 nr a???,,,,21 n??? ? 21 WW 与
,
2
1
???
?
???
??
Ao
oAA
这里 是一个 r阶矩阵,它是 关于基
1A 1|w? r???,,,21 ?
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一般地, 如果向量空间 V可以写成 s个子空间
的直和，并且每一子空间都在线性变
换 σ之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑
成 V的一个基,σ关于这个基的矩阵就有形状
SWWW,,,21 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
s
A
A
A
0
.
.
0
2
1
这里 关于所取的 的基的矩阵,
ii WA |?是 iW
的矩阵，而 是 n–r阶矩阵，它是 关于基
的矩阵。
2A 2| w?
nr a,,1 ???
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例 6 令 σ 是例 4所给出的 的线性变换, 显然 是
一维子空间 L与二维子空间 H的直和，而 L与 H在 σ
之下不变, 取 L的一个非零向量,取 H 的两个
彼此正交的单位长度向量 那么 是
的一个基，而 σ关于这个基的矩阵是
3V 3V
1?
,,32 ?? 321,,???
3V
.
c o ss in0
s inc o s0
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
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6.4.3 进一步的例子
例 7 如果,那么 子空间是两个 ??
21,WW
.,2121 子空间仍是一个 ?? ?WWWW ?
证,1,任
取
2 任
取
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例 8 如果,那么对任何子空间是 ??W
Iaaaaf nnnn 011)( ????? ? ???? ?
子空间是 ?)(?fW
证：,那么子空间是 ??W
WWf
nkWW
WWWWW
k
??
????
????
))((
),,2,1()(
)()()( 2
?
?
???
??
例 9 判定下列子空间在给定的 σ 下是否为不变
子空间
（ 1）
},|)0,,{(
),0,,(),,(,:
2121
32121321
33
FxxxxW
xxxxxxxxFF
??
????? ??
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（ 2）
},|)0,,{(
),,,0(),,(,:
2121
3221321
33
FxxxxW
xxxxxxxFF
??
???? ??
（ 3） ][),()(],[][,xFWxffDxFxFD n????
（ 4） ][,)())((],[][:
0 xFWdxxfxfJxRxRJ n
x ??? ?
解
WxxxxWxx ?????? )0,,()(,)0,,( 212121 ???
WW ???? )1,2,0()(,)0,1,1( ???
][)(1)()(][)( xFfnnfnfxFxf nn ?????????????
WxfJ
xRx
n
dxxxRxxf nn
x n
n
n
?
?
?
???? ??
))((
],[
1
1
][)( 1
0
即
(1) 是,
(2) 否,
(3) 是,
(4) 否,
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例 10 σ 是 V上一个线性变换,W 是
生成的子空间,,则, s
???,,,21 ?
),,2,1()( siWW i ???? ??是不变子空间
),,,( 21 sLW ??? ??
证,))(,),(),(()(
21 sLW ??????? ??
必要性,W中不变子空间，
),,2,1()())(,),(),(()( 21 siWWLW is ?? ????? ?????????
充分性：如果,)( WW i???? ))(,),(),(( 21 sL ????? ?而 是
包
含
)(,),),( 21 s???? ?的最小子空间,WL s ?? ))(,),(),()( 21 ?????? ?
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例 11 设 σ 是 V上的线性变换,α 是 V上的非零向
量，且 )(,),(,1 ????? ?k? 线性无关，但
)(),(,),(,1 ??????? kk ??
线性相关, 那么 是包含 α的最
小不变子空间,
))(,),(,( 1 ????? ?kL ?
证
(1) 线性表出,因此
这样，
的生成元在 σ 下的象 全部属
于,所以
是一个 σ 不变子空间
)(,),(,)( 1 ??????? ?kk ?可由
))(,),(,()( 1 ??????? ?? kk L ? ))(,),(,( 1 ????? ?kL ?
)(,),(),( 2 ?????? k?
))(,),(,( 1 ????? ?kL ?))(,),(,( 1 ????? ?kL ?
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（ 2） 对任何包含 α的不变子空间 W，
故,
即 包含 W的一个最小子空间,
WW k ??? ? )(,),(),( 12 ??????? ?
WL k ?? ))(,),(,( 1 ????? ?
))(,),(,( 1 ????? ?kL ?
例 12 设 是 V的一给基,σ在 下
的矩阵为
4321,,,???? 4321,,,????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
1221
1132
0010
2111
A
求包含 的最小子空间, 1?
上页 下页返回首页 铃结束
解 算 的坐标为（用, ( )”表示
取坐标）
)(),(,1211 ?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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??
?
?
?
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?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
3
0
1
1
2
0
1
))(())((
,
1
2
0
1
)())((,
0
0
0
1
)(
11
2
111
AA
A
????
????
中线性无关 41211 ))(()),((),( F在?????
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的坐标排成的行列式为,)(),(),(,131211 ???????
0
1410
9320
0000
10111
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
9
0
10
4
3
0
1
))(())((
1
2
1
3
A?????
上页 下页返回首页 铃结束
因此
?
?
?
?
?
????
????
?
4311
2
3
43112
11
43)(
2)(
??????
??????
??
? ?321,,????L 1?是包含 的最小子空间,
注意到 与 是等价向量组，因此321,,??? 431,,???
? ? ),,(,,431321 ?????? LL ??
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一,内容分布
6.5.1 引例
6.5.2 矩阵特征值和特征向量的定义
6.5.3 特征值和特征向量的计算方法
6.5.4 矩阵特征值和特征向量的性质
小结
二,教学目的
1.理解特征值和特征向量的概念
2.熟练掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法
3.掌握特征值与特征向量的一些常用性质
三,重点难点
矩阵的特征值和特征向量的求法及性质
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6.5.1 引例
在经济管理的许多定量分析模型中，经常会遇到矩阵的特征值和
特征向量的问题,
它们之间的关系为
)1(22 3
001
001 ??????????????????????
??
?
??
??
yxy
yxx
写成矩阵形式，就是
1x
是目前的工业发展水平 (以某种工业发展指数为测量单位 ).
例 发展与环境问题已成为 21世纪各国政府关注和重点，为了定量分
析污染与工业发展水平的关系，有人提出了以下的工业增长模型：设
0x 是某地区目前的污染水平 (以空气或河湖水质的某种污染指数为测
量单位 ),0y
若干年后 (例如 5年后 )的污染水平和工业发展水平分别为 和,1y
)2(22 13
0
0
1
1 ??????????????????????
?
?
???
?
???
?
???
??
???
?
???
?
y
x
y
x
上页 下页返回首页 铃结束
记
???
?
???
??
1
1
1 y
x?,
???
?
???
??
0
0
0 y
x?,
???
?
???
??
22
13A,
即 (2)式可写成 )3(01 ????????????????????? ?? A
设当前的 T)1,1(
0 ??
，则
.
1
14
4
4
1
1
22
13
1
1
1 ??
?
?
???
??
???
?
???
??
???
?
???
?
???
?
???
??
???
?
???
??
y
x?
即 00 4?? ?A, 由此可以预测若干年后的污染水平与工业发
展水平。
由上例我们发现，矩阵 A乘以向量 恰好等于 的 4倍，
倍数 4及向量 即是我们本节要讨论的矩阵的特征值和特
征向量,
0? 0?
0?
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6.5.2 特征值和特征向量的定义
定义 1,设 A是一个 n阶矩阵,λ是 F 中的一个数，如果存在 V 中非零
向量 α,使得 ??? ?A
那么称 λ为矩阵 A的一个特征值,α称为 A属于特征值 λ的特征向量,
例
????????? 22
13A
因
?????????????????????????????????? 114441122 13
解,
所以 4是 ??
?
???
?
??
22
13A 的一个特征值，
????????11 是 A的属于 4的特征向量,
?????????????????????????????????? 3
34
12
12
3
3
22
13又
故 ??
?
???
?
?
3
3 也是 A的属于 4的特征向量,
注 1,α是 A的属于 λ的特征向量，则
)0( ?? cc, cα也是 A的属于 λ的特
征向量
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练习 1
(1) 如果向量 是矩阵 的特征向量，
则 k = __________
1
1
????
??
1
12
k??
????
(2) 设,下列向量中可以成为 A的
特征向量的是（ ）
13
22A
???
????
A,1
2
??
????
B,3
2
???
????
C,4
1
??
?????
D,0
1
??
????√
2
(1) 解,1 1 1 1
32
1 2 1 3 1
kk
k
?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
(2) 解,1 3 1 7 1
2 2 2 6 2?
? ? ? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?A.
B,1 3 3 3 31
2 2 2 2 2
?? ? ? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?
C,1 3 4 12 2 1 6? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
D,1 3 0 3
2 2 1 2
? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
上页 下页返回首页 铃结束
6.5.3 特征值和特征向量的计算方法
使?1 λ是 A的特征值,0??? ? ??? ?A
.0).(0 ???? ??? AI
0)( ??? XAI? 有非零解 ?
.0??? AI?
注 2,λ是 A的特征值 ? λ是方程 0??AI? 的根,
?2 α是 A属于 λ的特征向量 0?? ? 且 ??? ?A
.0).(0 ???? ??? AI
?? 是 0)( ?? XAI? 的非零解。
注 3,α是 A属于 λ的特征向量 ?? 是 0)( ?? XAI? 的非零解。
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定义 2：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
nnnn
n
n
A
aaa
aaa
aaa
AIf
???
???
???
???
?
?
?
??
?
????
?
?
21
22221
11211
)(
称为 A的特征多项式。 0?? AI? 称为 A的特征方程，
AI ?? 称为 A的特征矩阵。
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例 1 设,求 A的全部特征值、特征的量。13
22A
??? ??
??
213 3 4 ( 4 ) ( 1 ) 0
22IA
?? ? ? ? ?
?
??? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
解,A的特征多项式为1
A的特征值为 1241???, ＝ －
对于 解2
1 4,? ? ( 4 ) 0I A X??
由于 得基础解系3 3 1 12 2 0 0??? ? ? ??? ? ? ???
? ? ? ? 1
1
1?
?????
??
A的对应于 的全部特征向量为 1 1 1( 0 )cc? ?1 4? ?
1
2
33 0
22
x
x
? ???? ?
??????? ??即
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对于 解
2 1,? ??
( ) 0I A x? ? ?
1
2
23 0
23
x
x
?? ???? ?
???????? ??即
由于 323 1 2
23 00
??????
?????
??????
??
得基础解系
2
3
2
1
?
???
???
??
??
A的对应于 的全部特征向量为
2 1? ??
2 2 2( 0 )cc? ?
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注 4,A的特征向量有无穷多个，分为两大类：
一类为 一类为
11
1
( 0 )
1
cc?? ???
??
,2 3
2
c
???
??
??
问题 1,同类的两个特征向量的线性相关性如何？
问题 2,不同类的任两个特征向量的线性相关性如
何？
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求 A的全部特征值和特征向量的方法：
1,计算特征多项式 IA? ?
2,求特征方程 0?? AI? 的所有根,即得 A的全部特征值
n???,,,21 ?
3,对于 A的每一个特征值
i?
，求相应的齐次线性方程组
( ) 0i I A X? ??
sisii ccc ??? ??? ?21 21
（
sccc,,,21 ?
不全为零 ）
例 2,求矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
001
010
100
A 的特征值和特征向量。
的一个基础解系
siii ???,,,21 ?
，则 A的属于 i? 的全部
特征向量为
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解 A的特征多项式
)1()1(
01
010
10
2 ???
?
?
?
?? ??
?
?
?
? AI
A的特征值为 121 ?? ??,,1
3 ???
对于 121 ?? ??,解 0
101
000
101
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
1 0 1 1 0 1
0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0
??? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ? ??? ? ? ?
得基础解系,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
1
,
0
1
0
21 ??
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A的属于特征值 1的全部特征向量为 ),( 212211 不全为零cccc ?? ?
对于 13 ???,解
1 0 1 1 0 1
0 2 0 0 1 0
1 0 1 0 0 0
??? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
得基础解为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
1
0
1
3?
A的属于特征值 – 1 的全部特征向量为 )0( 333 ?cc ?
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6.5.4 特征向量和特征值的性质
性质 1 AA ?与 有相同的特征值
分析：要证 AA ?与 有相同的特征值
只须证 )()( ?? AA ff ??
注意到 |||)(||| AIAIAI ??????? ???
性质 3 A的主对角线上的元素的和称为 A的迹，记作
)(ATr,则
n
nr
A
AT
???
???
?
?
21
21
||
)(
?
????
性质 2 A的属于不同特征值的特征向量线性无关。
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注意到
? ?? ? ? ?
??
??
??????
?????
???
???
???
???
? 1
2211
2211
21
22221
11211
)(
||)(
n
nn
n
nn
nnnn
n
n
A
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
AIf
??
???
?
?
?
??
（ *）
n
n
n
n
n
nA AIf
???
?????
????????
?
??
?
21
1
21
21
)1(
)(
)())((||)(
??
??????
??????
?（ **）
在（ *）和（ **）中令 λ = 0
nnn AA ??? ?21)1(||)1(|| ?????
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练习,求 ??
?
???
?
??
22
13A 的特征值，特征向量。
解,A的特征多项式为
)4)(1(4522 13||)( 2 ???????? ????? ???????? AIf A
所以 A的特征值为 4,1 21 ?? ??
对于 11 ??,解 ??
?
?
?
?
?
? ?
????
?
?
???
?
???
?
???
?
??
??
1
2
1
,012 12 1
2
1 ?得
x
x
对于 42 ??,解 ??
?
???
?
???
???
?
???
?
???????? ?
?
1
1,0
22
11
2
2
1 ?
x
x
故 A的属于特征值 1的全部特征向量为 )0(
1
2
1
11 ??
?
?
?
?
?
?
? ?
cc
故 A的属于特征值 4的全部特征向量为
)0(
1
1
22 ???
?
?
???
? cc
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小结
1、定义 1,设 A是一个 n阶矩阵,λ是 F 中的一个数，如果存在 V 中非
零向量 α,使得 ??? ?A
那么称 λ为矩阵 A的一个特征值,α称为 A属于特征值 λ的特征向量,
2,λ是 A的特征值 ? λ是方程 0??AI? 的根,
3,α是 A属于 λ的特征向量 ?? 是 0)( ?? XAI? 的非零解。
4、求 A的全部特征值和特征向量的方法：
1,计算特征多项式
2,求特征方程 0?? AI? 的所有根,即得 A的全部特征值 n???,,,21 ?
3,对于 A的每一个特征值 i?,求相应的齐次线性方程组
( ) 0iI A X? ??
sisii ccc ??? ??? ?21 21 （ sccc,,,21 ? 不全为零 ）
的一个基础解系
siii ???,,,21 ?,则 A的属于 i? 的全部特征向量
为
5,3个性质。
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思考题,矩阵 A的特征值由特征向量唯
一确定吗？为什么？
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6.6 可以对角化矩阵
一、内容分布
6.6.1 什么是可对角化
6.6.2 本征向量的线性关系
6.6.3 可对角化的判定
6.6.4 矩阵对角化的方法及步骤
二,教学目的
1．掌握可对角化的定义与判断．
2．熟练掌握矩阵对角化的方法步骤．
三、重点难点
可对角化的判断与计算。
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6.6.1 什么是可对角化
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
?
?
?
?
????
?
?
000
0
000
000
)1(
2
1
设 A是数域 F上一个 n阶矩阵，如果存在 F上一
个 n阶逆矩阵 T，使得 具有对角形式（ 1）ATT 1?
则说矩阵 A可以对角化,
我们知道,可以通过矩阵来研究线性变换,也
可以通过线性变换来研究矩阵，本节更多的通过线
性变换来研究矩阵, 矩阵 A可以对角化对应到线性
变换就是,
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设 σ是数域 F上 维向量空间 V的一个线
性变换，如果存在 V的一个基，使得 σ关于这个基
的矩阵具有对角形式 (1),那么说,σ可以对角化,
)1( ?nn
很容易证明,σ可以对角化的充分必要条件是 σ
有 n个线性无关的本征向量, 这 n个线性无关的本
征向量显然构成 V的基, 因此,我们需要进一步研
究本征向量的线性关系，需要研究在什么条件下 σ
有 n个线性无关的本征向量,
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6.6.2 本征向量的线性关系
定理 6.6.1 令 σ是数域 F上向量空间 V的一个线性变
换,如果 分别是 σ的属于互不相同的特征
根 的特征向量，那么 线性
无关,
n???,,,21 ?
n???,,,21 ? n???,,,21 ?
证 我们对 n用数学归纳法来证明这个定理
当 n = 1时，定理成立。因为本征向量不等于
零。设 n >1并且假设对于 n－ 1来说定理成立。现在
设 是 σ的两两不同的本征值,是属于
本征值 的本征向量：
n???,,,21 ? i?
i?
.,,2,1,)()2( niiii ??? ????
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如果等式
,.0)3( 2211 Faaaa inn ????? ??? ?
成立，那么以 乘（ 3）的两端得n?
.0)4( 2211 ???? nnnnn aaa ?????? ?
另一方面，对（ 3）式两端施行线性变换 σ，注意到
等式（ 2），我们有
.0)5( 222111 ???? nnnaaa ?????? ?
（ 5）式减（ 4）式得
.0)()()( 111222111 ??????? ??? nnnnnn aaa ????????? ?
根据归纳法假设,线性无关，所以121,,,?n??? ?
.1,,2,1,0)( ???? nia nii ???
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但 两两不同，所以 代
入（ 3），因为 所以 这就证明了
线性无关。□
n??? ?,,21,0121 ???? ?naaa ?
,0?n?,0?na
n???,,,21 ?
推论 6.6.2 设 σ是数域 F上向量空间 V的一个线性变
换,是 σ的互不相同的本征值。又设
是属于本征值 的线性无关的本征向量,
那么向量 线性无关,
n??? ?,,21
iisi ??,,1 ? i?
,,,1 ti ?? ttsts ????,,,,,,1111 1 ???
证 先注意这样一个事实,σ 的属于同一本征值 λ
的本征向量的非零线性组合仍是 σ 的属于 λ 的一个
本征向量。
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由上面所说的事实，如果某一,则 是 σ
的属于本征值 的本征向量。因为
互不相同，所以由定理 6.6.1，必须所有
即
0?i? i?
i? t??? ?,,21
.,,2,1,0 tii ????
.,,1,011 tiaa ii isisii ?? ???? ??
令,,,1,
11 tiaa ii isisiii ?? ???? ???
则,01 ??? t?? ?
现在设存在 F中的数 使得,,,,,,,
1111 1 ttsts aaaa ???
.011111111 11 ??????? tt tststtss aaaa ???? ???
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然而 线性无关，所以
iisi ??,,1 ?
.,,1,01 tiaa iisi ?? ????
即 线性无关。□
ttsts ????,,,,,,1111 1 ???
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6.6.3 可对角化的判定
定理 6.6.3 令 σ是数域 F上 n维向量空间 V的一个线
性变换，如果 σ的特征多项式 在 F内有 n个单
根，那么存在 V的一个基，使 σ就关于这个基的矩
阵是对角形式,
)(xf?
证 这时 σ的特征多项式 在 F [x]内可以分解
为线性因式的乘积,
)(xf?
),())(()( 21 nxxxxf ???? ???? ?
且两两不同。对于每一个 选取一个本征
向量 由定理 6.6.1,线性无
关，因而构成 V的一个基,σ关于这个基的矩阵是
Fi ??,i?
.,,1,nii ??? n???,,,21 ?
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.
000
000
000
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n?
?
?
?
?????
?
?
将上面的定理转化成矩阵的语言,就是,
定理 6.6.4 令 A是数域 F上一个 n阶矩阵，如果 A
的特征多项式 在 F内有 n个单根，那么存在一
个 n阶可逆矩阵 T,使
)(xfA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
ATT
?
?
?
?
????
?
?
000
0
000
000
2
1
1
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注意：推论 6.6.4的条件只是一个 n阶矩阵可以对角
化的充分条件，但不是必要条件。
下面将给出一个 n 阶矩阵对角化的充分必要条件。
定义,设 σ是数域 F上向量空间 V的一个线性变换，
λ是 σ的一个特征根，令
则有
因而是 V的一个子空间, 这个子空间叫做 σ的属于
特征根 λ的特征子空间,
})(|{ ?????? ??? VV
)( ???? ?? Ke rV
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现在令 V是数域 F上一个 n维向量空间，而 σ是 V的一
个线性变换，设 λ是 σ的一个本征值,是 σ的属于
本征值 λ的本征子空间，取 的一个基
并且将它扩充为 V的基，由 7.4,σ关于这
个基的矩阵有形如
?V
?V
s??,,1 ?
???
?
???
??
2
1
AO
AI
A s
?
这里 是一个 s阶的单位矩阵。因此,A的特征多
项式是
sI
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由此可见,λ至少是 的一个 s重根。)(xfA
如果线性变换 σ的本征值 λ是 σ的特征多项式 的
一个 r 重根，那么就说,λ的重数是 r。设 λ是 σ的一
个 r 重本征值，而 σ的属于本征值 λ的本征子空间的
维数是 s 。由以上的讨论可知：,即 σ的属于本
征值 λ的本征子空间的维数不能大于 λ的重数。
)(xf?
rs?
)()()de t ()(
)(
)(
2
2
1
xgxAxIx
AxIO
AIx
xf
s
an
s
sn
s
A
??
?
?????
?
??
?
?
?
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定理 6.6.5 令 σ是数域 F上 n维向量空间 V的一个线
性变换,σ可以用对角化的充分且必要的条件是
(i) σ的特征多项式的根都在 F内 ;
(ii) 对于 σ的特征多项式的每一根 λ, 特征子空间
的维数等于 λ的重数,
?V
证 设条件 (i), (ii)成立,令是 σ的一切不
同的本征值，它们的重数分别是,有
t???,,,21 ?
tsss,,,21 ?
nsss t ???? ?21
tisV ii,,2,1,d im ????
在每一个本征子空间 里选取一个基 。iV? iisi ??,,1 ?
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由推论 6.6.2,线性无关，因
而构成 V的一个基,σ关于这个基的矩阵是对角形
式：
ttsts ????,,,,,,1111 1 ???
个
个
t
t
t
s
s
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
0
0
?
?
?
?
?
?
?
(6)
反过来，设 σ 可以对角化，那么 V有一个由 σ 的本
征向量所组成的基。适当排列这一组基向量的次序，
可以假定这个基是
ttsts ????,,,,,,1111 1 ???
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而 σ关于这个基的矩阵是对角形（ 6）。于是 σ的特
征多项式
tsts xxxf )()()( 11 ??? ??? ?
因此 σ的特征多项式的根 都在 F 内，并
且 的重数等于 。然而基向量
显然是本征子空间 的线性无关的向量,
所以
t???,,,21 ?
i? tis i,,2,1,??
tisi ??,,1 ? iV?
ii sVVs ii ?? ?? d im.d im 但
因此 tisV
ii,,2,1,d im ????
□
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将上面的定理转化成矩阵的语言,就是,
推论 6.6.6 设 A是数域 F上一个 n阶矩阵,A可以对
角化的充分必要条件是
(i) A的特征根都在 F内 ;
(ii) 对于 A的每一特征根 λ,秩
这里 S是 λ的重数, □
SnAI ??? )( ?
例 1 矩阵
???
?
???
??
10
11A
不能对角化，
因为 A的特征根 I 是二重根，而秩（ I－ A） = 1,
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6.6.4 矩阵对角化的方法及步骤
１,先求出矩阵 A的全部特征根,
２,如果 A的特征根都在 F内，那么对于每一特征
根 λ，求出齐次线形方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
)(
2
1
??
n
x
x
x
AI?
的一个基础解系,
３,如果对于每一特征根 λ 来说，相应的齐次线
形方程组的基础解系所含解向量的个数等于 λ的
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例 2 矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
163
222
123
A
的特征多项式是
23 )2(1612
163
222
123
?????
???
??
??
xxx
x
x
x
特征根是 2,2，－ 4,
重 数，那么 A可对角化，以这些解向量为列，作一
个 n 阶矩阵 T,由定理 6.6.5的证明可知,T 的列
向量线形无关，因而是一个可逆矩阵，并且
是对角形矩阵,
ATT 1?
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对于特征根－ 4，求出齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
0
0
0
363
222
127
3
2
1
x
x
x
的一个基础系 ?
?
??
?
? ? 1,
3
2,
3
1
对于特征根 2，求出齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
0
0
0
363
242
121
3
2
1
x
x
x
的一个基础解系, )}1,0,1(),0,1,2{( ?
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由于基础解系所含解向量的个数都等于对应的特
征根的重数，所以 A可以对角化, 取
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
101
01
3
2
02
3
1
T
那么
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
200
020
004
1 ATT
