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第 1章 行列式
1.1 线性方程组和行列式
1.2 排列
1.3 n阶行列式
1.4 子式和代数余子式 行列式依行 (列 )展开
1.5 克拉默法则
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能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、
和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于
这种人。
―― 庞加莱 (Poincare,1854－ 1921)
一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人，
那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。
－－外尔斯特拉斯（ Weierstrass,1815－ 1897）
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1.1 线性方程组和行列式
一、内容分布
1.1.1 二阶、三阶行列式的计算 (对角线法则 )
1.1.2 行列式在线性方程组中的应用
二、教学目的,
1.了解二阶、三阶行列式的定义。
2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。
三、重点难点,
利用对角线法则计算二阶、三阶行列式
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1.1.1 二阶、三阶行列式的计算 (对角线法则 )
二阶行列式
我们用记号
2221
1211
aa
aa
表示代数和 21122211 aaaa ?
称为二阶行列式,即
21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa ??
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三阶行列式
我们用记号
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
表示代数和
312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa ?????
称为三阶行列式,即
312213332112322311322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
D
??????
?
主对角线法
‘— ’三元素乘积取,+”号；
‘ — ’三元素乘积取,-”号,
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1.1.2 行列式在线性方程组中的应用
(1) 如果含有两个未知量两个方程的线性方程组 (1)
??
?
??
??
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
它的系数作成的二阶行列式 0
2221
1211 ?
aa
aa,那么方程组 (1)有解
.,
2221
1211
221
111
2
2221
1211
222
121
1
aa
aa
ba
ba
x
aa
aa
ab
ab
x ??
(2) 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组 (2)
??
??
?
???
???
???
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
他的系数作成的三阶行列式 0
333231
232221
131211
??
aaa
aaa
aaa
D,那么方程组 (2)有解
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,,,332211 DDxDDxDDx ??? 这里
33231
22221
11211
3
33331
23221
13111
2
33323
23222
13121
1,,
baa
baa
baa
D
aba
aba
aba
D
aab
aab
aab
D ???
我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到 n阶行列式,然后利用这一
工具来解答含有 n个未知量 n个方程的线性方程组,
例题选讲
.
25
34 ?
例
(2 )(1 )
2?
计算
,
0
13
?
?D又如 设
?
试问
当 为何值时 当 为何值时? ?
,
D ; 0D,?
解,由阶行列式的定义有,
.30,03)2(
.30,03)1(
3
13
235)3(24
25
34
2
2
2
2
?????
?????
???
??????
?
????
????
??
??
或得时当
或得时当
而
D
D
D
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1.2 排列
一、内容分布
1.2.1 排列、反序与对换
1.2.2 奇、偶排列的定义及性质
二、教学目的
了解排列、反序、对换的定义
三、重点难点
求反序数
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1.2.1 排列、反序与对换
例如, 1234,2314都是四个数码的排列。
定义 1 n个数码 n?,2,1 的一个 排列 指的是由这 n个数码组
成的一个 有序组,
n个数码的不同排列共有 n！个
例如,1,2,3这三个数码的全体不同的排列一共有 3！ = 6
个，它们是,123,132,231,213,312,321。
定义 2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个
较小的数码前面，就说这两个数码构成一个 反序 。
计算反序数的方法,看有多少个数码排在 1的前面，设为 1m
个，那么就有 1m 个数码与 1构成反序；然后把 1划去，再看
有多少个数码排在 2的前面，设为 2m 个，那么就有 2m 个数
码与 2构成反序；然后把 2划去，计算有多少个数码在 3前面，
设为
3m
个,……,如此继续下去，最后设在 n前面有 nm 个
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数码（显然 0?
nm
），那么这个排列的反序数等于
nmmm ??? ?21
。
例如,在排列 451362里,.0,2,4,2
654321 ?????? mmmmmm
所以这个排列有 8个序。
一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个
反序的排列叫做一个 偶排列 ；有奇数个反序的排列叫做 奇
排列 。
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1.2.2 奇、偶排列的定义及性质
定义 3 看 n个数码的一个排列，如果把这个排列里
的任意两个数码 i与 j交换一下，而其余数码保持不
动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的
这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（ i,j）
来表示。
定理 1.2.1 nn jjjiii ?? 2121 和设 是 n个数码的任意两个
排列，那么总可以通过一系列对换由
nn jjjiii ?? 2121 得出
证明,我们已经知道，通过一系列对换可以由
noiii n ?? 1221 得出 我们只需证明，
通过一系列对换可由
njjjn ?? 2112 得出
，
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而通过一系列对换可以由 njjj n ?? 1221 得出
，按照相反的次序施行这些对换，就可由
njjjn ?? 2112 得出
。
定理 1.2.2 任意一个排列经过一个对换后的奇偶性
改变,
其中 A与 B都代表若干个数码,施行对换 ? ?,,ji 得
证明, 我们首先看一个特殊的情形，就是被对
换的两个数码是相邻的。设给定的排列为
1
A B? ?
,,,,ij
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我们比较这两个排列的反序数,显然经过这个对换
后,属于 A或 B的数码的位置没有改变,因此这些数
码所构成的反序数没有改变,同时 i,j与 A或 B中的
数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排
列中，,ji? 那么经过对换 ? ?ji,后,i与 j就构成一个
反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数
增多一个。若在给定的排列中，,ji ? 那么经过对换
后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形，
排列的奇偶性都有改变。
A B? ?
,,,,?? ij
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现在来看一般的情形。假定 i与 j之间有 s个数码，我
们用
skkk,,,21 ? 来代表。这时给定的 排列为
2
.,,,,,,,21 ??? jkkki s（ 1）
先让 i向右移动，依次与
skkk,,,21 ? 交换。这样，经过
s次相邻的两个数码的对换后（ 1）变为
.,,,,,,,21 ??? jikkk s再让 j向左移动，依次与
12,,,,,kkki s ? 交换。经过 s+1次
相邻的两个数码的对换后，排列变为
.,,,,,,21 ??? ikkkj s（ 2）
但
（
2
）
正
??ji,
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定理 1.2.3 在 n个数码 (n>1)的所有 n！个排列，其
中奇偶排列各占一半,即各为
2
!n 个。
证明,设 n个数码的奇排列共有 p个，而偶排列
共有 q个，对这 p个奇排列施行同一个对换 ? ?,,ji
那么由定理 1.2.2,我们得到 p 个偶排列,由于对这 p
个偶排列各不相等,又可以得到原来的 p个奇排列,
所以这 p个偶排列各不相等,但我们一共只有 q个偶
排列,所以,qp ? 同样可得,pq? 因此,qp ?
例题选讲
.3 2 5 1 41 的逆序数计算排列例
.,2 1 7 9 8 6 3 5 42 并讨论其奇偶性的逆序数计算排列例
.,321)1(3 并讨论其奇偶性的逆序数求排列例 ?nn ?)2( ?n
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1.3 n阶行列式
一,内容分布
1.3.1 n阶行列式的定义
1.3.2 行列式的性质
二、教学目的：
1.掌握和理解 n阶行列式的定义。
2.会利用定义计算一些特殊的行列式。
3.掌握和理解行列式的性质。
4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。
三、重点难点：
利用定义计算行列式 利用性质熟练计算及证明行列式
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1.3.1 n阶行列式的定义
定义 1 ),2,1,(2 njian
ij ??个元素用
组成的记号
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
称为 n阶行列式,其中：横排列称为行，纵排列称为列,
任意取 2n 个数 ),,,2,1;,,2,1( njnia ij ?? ?? 排成以下形式,
.21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
(1)
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考察位于 (1)的不同的行与不同的列上的 n个元素的
乘积,这种乘积可以写成下面的形式,
,111 21 njjj aaa ?(2)
是 1,2,…,n 这 n个数码的一个这里下标 njjj,,,21 ?
排列,反过来,给了 n个数码的任意一个排列,我们也
能得出这样的一个乘积,因此,一切位于 (1)的不同的
行与不同的列上的 n个元素的乘积一共有 n！个,
我们用符号 ),,,( 21 njjj ?? 表示排列 njjj,,,21 ?
的反序数,
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定义 2 用符号
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
表示的 n阶行列式指的是 n!项的代数和,这些项是一
切可能的取自 (1)的不同的行与不同的列上的 n个元
素的乘积,111
21 njjj aaa ? 项 njjj aaa 111 21 ? 的符号为
,)1( )( 21 njjj ??? 也就是说,当 njjj ?,,21 是偶排列时,这
一项的符号为正,当 njjj ?,,21 是奇排列时,这一项的
符号为负,
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例 1 我们看一个四阶行列式
.
00
00
00
00
hg
fe
dc
ba
D ?
根据定义,D是一个 4! = 24项的代数和。然而在这个
行列式里，除了 acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外，
其余的项都至少含有一个因子 0，因而等于 0，与上
面四项对应的排列依次是 1234,1324,4321,4231.其
中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排
列,因此
.d e g b c f gba d e ha c f hD ????
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转置
一个 n阶行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
如果把 D的行变为列,就得到一个新的行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22212
12111
??
D? 叫 D的转置行列式。
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引理 1.3.1从 n阶行列式的 列行和第第
nn jjjiii,,,,,,2121 ??
取出元素作乘积
（ 3）,
2211 nn jijiji aaa ?
这里
nn jjjiii,,,,,,2121 ?? 和
都是 1,2,…, n
这 n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是
)(),(,)1( 2121 nnts jjjtiiis ?? ?? ??? ?
证, 如果交换乘积 (3)中某两个因子的位置,那么 (3)的元素
的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换,
假定经过这样一次对换后所得的两个排列的反序数分别为
ts ??和,那么由定理 1.2.2,ttss ???? 和 都是奇数。因为两
个奇数的和是一个偶数，所以
是一个偶数。因此 tsts ???? 与 同时是偶数或同时是奇数，
从而 tsts ???? ??? )1()1(
)()()()( ttsststs ???????????
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另一方面，由定理 1.2.1，排列
niii ?21
总可以经过
若干次对换变为,因此，经过若干次交换
因子的次序，乘积（ 3）可以变为
nnkkk aaa ?2211
（ 4）
这里 nkkk ?21 是 n个数码的一个排列。根据行列式
的定义，乘积（ 4），因而乘积（ 3）的符号是
)( 21)1( nkkk ??? 。然而 0)12( ?n?? 。由上面的讨论
可知
)()()12( 2121 )1()1()1( nn kkkkkknts ??? ??? ????? ??
引理被证明。
n?12
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1.3.2 行列式的性质
项。这一项的元素位于 D的不同的行和不同的列，
所以位于 D的转置行列式
行，因而也是
D里和在
的两项显然也是
项的代数和，即
现在设
nnkkk aaa ?2211
是 n阶行列式 D的任意一
D? 的不同的列和不同的
D? 的一项，由引理 1.3.1，这一项在
D? 里的符号都是 )( 21)1( nkkk ???,并且 D中不同
D? 中不同的两项，因为 D与 D? 的
项数都是 n！，所以 D与 D? 是带有相同符号的相同
DD ?? 。 于是有
命题 1.3.2 行列式与它的转置行列式相等，即
DD ??
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命题 1.3.3 交换一个行列式的两行（或两列），
行列式改变符号。
证 设给定行列式
nnnn
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
?
交换 D的第 i行与第 j行
得
)(
)(
.
21
21
21
11211
1
j
i
aaa
aaa
aaa
aaa
D
nnnn
inii
jnjj
n
?
????
?
????
?
????
?
?
（旁边的 i和 j表示行的
序数）
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D的每一项可以写成
nji nkjkikk aaaa ???11
（ 5）
因为这一项的元素位于 的不同的行与不同的列，所以它也
是 的一项，反过来,的每一项也是 D的一项，并且 D的不
同项对应着 的不同项，因此 D与 含有相同的项。
1D
1D1D
1D 1D
交换行列式两列的情形，可以利用命题 3.3.2归结到交
换两行的情形。
式的第 i行变成第 j行，第 j行变成第 i行，而列的次序并没有改
变。所以由引理 3.3.1，并注意到 是一奇数，
因此（ 5）在 D的在 中的符号相反，所以 D与 的符号相
反。
，然而在 D1中，原行列（ 5）在 D中的符号是 )( 1)1( nji kkkk ?????
)1( nij ????
（ 5）在 中的符号是 1)()()1( 211 )1()1( ?? ??? nnji kkkkkkknij ??????? ???
1D
1D 1D
由命题 3.3.2推知，凡是行列式的对于行成立的性
质对于列也成立，反过来也是如此。
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推论 1.3.4 如果一个行列式有两行（列）完全相
同，那么这个行列式等于零。
证 设行列式 D的第 i行与第 j行 (i≠j)相同，由命题
1.3.3，交换这两行后，行列式改变符号，所以
新的行列式等于－ D，但另一方面，交换相同的
两行，行列式并没有改变由此得 D=－ D或 2D=0，
所以 D=0。
命题 1.3.5 用数 k乘行列式的某一行（列），等于
以数 k 乘此行列式。即如果设，则
kD
aaa
aaa
aaa
k
aaa
kakaka
aaa
D
nnnn
inii
n
nnnn
inii
n
???
?
????
?
????
?
?
????
?
????
?
21
21
11211
21
21
11211
1
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证 设把行列式 D的第 i行的元素 inii aaa,,,21 ? 乘以 k
而得到的行列式,那么 的第 i行的元素是
1D 1D
inii kakaka,,,21 ?
D的每一项可以写作
ni njijj aaa ??11
（ 6）
中对应的项可以写作1D
（ 7）
nini njijjnjijj aakaakaa ???? 11 11 ?
（ 6）在 D中的符号与（ 7）在 中的符号都是
1D
)( 21)1( njjj ???
1D kD?
因此，
推论 1.3.6 如果行列式的某一行（列）的所有元素
的公因子可以提到行列式符号的外边。
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推论 1.3.7 如果行列式的某一行（列）的元素全
部是零，那么这个行列式等于零。
推论 3.3.8 如果行列式有两行（列）的对应元素成
比例，则行列式的值等于零。
证 设行列式 D的第 i行与第 j行的对应元素成比例，
那么这两行的对应元素只差一个因子 k，即
jnijiji kaakaakaa ??? 12211,,,?
nnnn
jnjj
jnjj
n
nnnn
jnjj
inii
n
aaa
aaa
kakaka
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
21
21
21
11211
??
因此
由推论 1.3.6，可以把公因子 k提到行列式符号的外
边，于是得到一个有两行完全相同的行列式；由推
论 1.3.4，这个行列式等于零。
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命题 1.3.9 如果将行列式中的某一行（列）的每
一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写
成 两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个
数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的元
素与原行列式相同。即如果
nnnn
ininiiii
n
aaa
cbcbcb
aaa
D
?
????
?
????
21
2211
11211
????
nnnn
inii
n
aaa
ccc
aaa
D
?
????
?
????
21
21
11211
2 ?
nnnn
iniii
n
aaa
bbb
aaa
D
?
????
?
????
21
221
11211
1 ?,则
21 DDD ??
。
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证 D的每一项可以写成 nii njijijj acba ?? )(11 ?
式，它的符号是
的形
)( 21)1( njjj ??? 。去掉括弧，得
nininii njijjnjijjnjijijj acaabaacba ?????? 111 111 )( ???
但一切项
ni njijj aba ??11
附以原有符号后的和等于
行列式
nnnn
iniii
n
aaa
bbb
aaa
D
?
????
?
????
21
221
11211
1
?
nnnn
inii
n
aaa
ccc
aaa
D
?
????
?
????
21
21
11211
2
?
一切项
ni njijj aca ??11
附以原有符号后的和等于行
列式
因此 21 DDD ??
推论 如果将行列式的某一行（列）的每个元素都
写成 m 个数（ m 为大于 2的整数）的和，则此行
列式可以写成 m个行列式的和。
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命题 1.3.10 将行列式的某一行（列）的所有元素
同乘以数 k 后加于另一行（列）对应位置的元素
上，行列式的值不变。
证 设给定行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
把 D的第 j行的元素乘以同一个数 k后,加到第 i行的对
应元素上,我们得到行列式,
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nnnn
jnjj
jninjiji
n
aaa
aaa
kaakaakaa
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
21
21
2211
11211
???
?
由命题 1.3.9,1DDD ??
nnnn
jnjj
jnjj
n
aaa
aaa
kakaka
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
1
?
此处
的第 i行与第 j列成
比例；
所以 DD ?
由推论 1.3.8，
1 0D ?
1D
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例 2 计算行列式
.
321
321
321
333
222
111
aaa
aaa
aaa
D
???
???
???
?
解,根据例题 1.3.10,从 D的第二列和第三列的元素
减去第一列的对应元素 (即把 D的第一列的元素同乘
以－１后,加到第二列和第三列的对应元素上 ),得
.
211
211
211
3
2
1
a
a
a
D
?
?
?
?
这个行列式有两列成比例,所以根据推论 1.3.8,D=0,
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例 3 计算 n阶行列式
0111
1011
1101
1110
?
?????
?
?
?
?D
解, 我们看到,D的每一列的元素的和都是 n－１．把
第二，第三,…,第 n行都加到第一行上，得
.
0111
1011
1101
1111
?
?????
?
?
? ????
?
nnnn
D
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根据推论 1.３,６,提出第一行的公因子 n－１,得
.
0111
1011
1101
1111
)1(
?
?????
?
?
?
?? nD
由第二,第三,…,第 n行减去第一行,得
.
1000
0100
0010
1111
)1(
?
?
?
??
?
?????
?
?
?
nD
由行列式定义,易见后一行列式等于对角线上元素的乘积
.)1( 1?? n
所以 ).1()1( 1 ??? ? nD n
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例 1 设,1
333231
232221
131211
?
aaa
aaa
aaa
求,
53
53
1026
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
?
?
??
练习选讲：
例 2 证明奇数阶反对称行列式的值为零,
例 3 计算,
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
例 4 计算,
3111
1311
1131
1113
?D
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.
1111
00
00
00
33
22
11
aa
aa
aa
?
?
?
例 5 计算
例 6 计算,
3610363
234232
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcba
D
??????
??????
??????
?
例 8 解方程
.0?
11321
12321
13221
13211
1321
??
??
??
??
??
??
?
?
?
xaaaaaa
axaaaaa
aaxaaaa
aaaxaaa
aaaaa
nnn
nnn
nn
nn
nn
?
?
??????
?
?
?
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,)det(
,)de t(
1
111
2
1
111
1
nnn
n
ij
kkk
k
ij
bb
bb
bD
aa
aa
aD
?
??
?
?
??
?
??
??
证明,
21
DDD ?
例 7 设
nnnnkn
nk
kkk
k
bbcc
bbcc
aa
aa
D
??
????
??
?
? ?
?
11
111111
1
111
0
?
00
0 ?
?
?
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1.4 子式和代数余子式 行列式依行 (列 )展开
一、内容分布
1.4.1子式和代数余子式
1.4.2行列式的依行依列展开定理
1.4.3拉普拉斯定理
二、教学目的：
1.掌握和理解子式和代数余子式的定义
2.熟练掌握利用行列式的依行依列展开定理计算及
证明行列式的技巧。
三、重点难点：
利用行列式的依行依列展开定理熟练计算及证明行
列式
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1.4.1．余子式与代数余子式
定义 1 在一个 n阶行列式 D中任意取定 k行和 k列,
位于这些行列相交处的元素所构成的 k阶行列式叫
做行列式 D的一个 k阶 子式,
例 1 在四阶行列式
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
中,取定第二行和第三行,第一列和第四列,那么位于
这些行列的相交处的元素就构成 D的一个二阶子式
.
3431
2421
aa
aaM ?
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定义 2 n (n>1)阶行列式
nnnjn
iniji
nj
aaa
aaa
aaa
D
??
?????
??
?????
??
1
1
1111
?
的某一元素
ija
的余子式
ijM
指的是在 D中划去 ija
所在行和列后所余下的 n－ 1阶子式,
例 2 例 1的四阶行列式的元素 的余子式是23a
.
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M ?
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定义 3 n阶行列式 D的元素 的余子式 附以
符号 后,叫做元素 的代数余子式,ij
a ijM
ji?? )1( ija
元素 的代数余子式用符号 来表示,
ija ijA
.)1( ijjiij MA ???
例 3 例 1中的四阶行列式 D的元素 的代数余子式23a
.)1(
444241
343231
141211
2323
32
23
aaa
aaa
aaa
MMA ?????? ?
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定理 1.4.1 若在一个 n阶行列式
nnnjn
iniji
nj
aaa
aaa
aaa
D
??
?????
??
?????
??
1
1
1111
?
中,第 i行 (或第 j列 )的元素除 外都是零,那么这个行
列式等于 与它的代数余子式 的乘积,
ija
ija ijA
.ijij AaD ?
证 我们只对行来证明这个定理
1) 先假定 D和第一行的元素除 外都是 0，这时11a
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nnnn
n
aaa
aaa
a
D
?
????
?
?
21
22221
11 00
?
我们要证明,11111111111111 )1( MaMaAaD ???? ?
也就是说：
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aD
?
????
?
?
32
33332
22322
11?
子式 的每一项都可以写作
11M
（ 1）
nnjjj aaa ?32 32
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此处 是 2,3,…, n这 n－１个数码的
一个排列，我们看项（ 1）与元素 的乘积
njjj,,,32 ?
11a
（ 2）
nnjjj aaaa ?32 3211
这一乘积的元素位在 D的不同的行与不同的列上，
因此它是 D的一项，反过来，由于行列式 D的每一项
都含有第一行的一个元素，而第一行的元素除 外
都是零，因此 D的每一项都可以写成（ 2）的形式。
这就是说,D的每一项都是 与它的子式 的某
一项的乘积，又 的不同项是 D的不同项，因此 D
与 有相同的项。
11a
11a 11M
1111Ma
1111Ma
乘积（ 2）在 D中的符号是 )()1( 22 )1()1( nn jjjj ?? ?? ???
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另一方面，乘积（ 2）在 的符号就是（ 1）
在 中的符号。乘积（ 1）在元素既然位在 D的
第 2,3,…, n行与在第 列，因此它位
在 的第 1,2,…, n－１行与列，所以（ 1）在
中的符号应该是 。显然，
，这样，乘积（ 2）在
中的符号与在 D中的符号一致。所以
1111Ma
11M
njjj,,,32 ?
11M
11M ))1()1(( 2)1( ??? njj ??
))1()1(()( 22 ??? nn jjjj ?? ??
1111Ma 1111 MaD ?
2) 现在我们来看一般的情形，设
nnjnnjjnn
ij
njjj
aaaaa
a
aaaaa
D
??
???????
??
???????
??
1,1,1
11,111,111
0000
??
??
?
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我们变动行列式 D的行列，使 位于第一行 与第一列，
并且保持 的余子式不变。
为了达到这一目的，我们把 D的第 i行依次与第 i－ 1，
i－ 2,…, 2,1行交换，这样，一共经过了 i－ 1次交换两
行的步骤，我们就把 D的第 i行换到第一行的位置。然后再把
第 j列依次与第 j－ 1,j－ 2,…, 2,1列交换，一共经过了 j
－ 1次交换两列的步骤,就被交换到第一行与第一列的位
置上，这时,D变为下面形式的行列式：
ija
ija
ija
nnjnjnnnj
nijijiiji
nijijiiji
njjj
ij
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
a
D
??
???????
??
??
???????
??
??
1,1,1
,11,11,11,1,1
,11,11,11,1,1
11,11,1111
1
0000
??
???????
???????
??
?
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是由 D经过（ i－ 1） +(j－ 1)次换行换列的步骤
而得到的。由命题 1.3.3，交换行列式的两行或两
列，行列式改变符号，因此
1D
ijijijjiijijijjiji AaMaMaDD ??????? ??? )1()1()1( 1
这样，定理得到证明。
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1.4.2行列式的依行依列展开
定理 1.4.2 n阶行列式 等于它的任意一行
(列 )的各元素与其对应代数余子式乘积的和,即ij
Da?
),,2,1(2211 niAaAaAaD ininiiii ?? ?????
),,2,1(2211 njAaAaAaD njnjjjjj ?? ?????
证 我们只对行来证明，即证明（ 3），先把行列
式 D写成以下形式：
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
????
????
?
21
21
11211
000000 ??????????
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也就是说，把 D的第 i行的每一元素写成 n项的和。
根据命题 1.3.9,D等于 n个行列式的和：
nnnn
in
n
nnnn
i
n
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
aaa
a
aaa
aaa
a
aaa
D
?
????
?
????
?
?
?
????
?
????
?
?
????
?
????
?
21
11211
21
2
11211
21
1
11211
000000 ????
在这 n个行列式的每一个中，除了第 i行外，其余
的行都与 D的相应行相同。因此，每一行列式的
第 i行的元素的代数余子式与 D的第 i行的对应元
素的代数余子式相同。这样，由定理 1.4.1，
),,2,1(2211 niAaAaAaD ininiiii ?? ?????
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定理 1.4.3 n阶行列式 的某一行 (列 )的元
素与另一行 (列 )对应元素的代数余子式乘积的
和等于零,即
ijaD ?
)(02211 jiAaAaAa jninjiji ????? ?（ 5）
)(02211 tsAaAaAa ntnststs ????? ?（ 6）
证 我们只证明等式（ 5）。看行列式
)(
)(
.
21
21
21
11211
1
j
i
aaa
aaa
aaa
aaa
D
nnnn
inii
inii
n
?
????
?
????
?
????
?
?
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的第 i行与第 j行完全相同，所以 =0。另
一方面,与 D仅有第 j行不同，因此 的第 j
行的元素的代数余子式与 D的第 j行的对应元
素的代数余子式相同，把 依第 j行展开，得
1D 1D
1D 1D
1D
jninjiji AaAaAaD ???? ?22111
因而 02211 ???? jninjiji AaAaAa ?
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例 4 计算四阶行列式
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
在这个行列式里，第三行已有一个元素是零，由
第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第四
列上，得：
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0355
0100
13111
1115
??
??
?
?D
根据定理 1.4.1
055
1111
115
)1(1 31
??
????? ?D
把所得的三阶行列式的第一行加到第二行，得：
40
55
26
)1(1
055
026
115
31 ?
??
?
???
??
? ?
所以 D = 40
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例 5 计算 n阶行列式
1221
1000
0000
0010
0001
axaaaa
x
x
x
x
nnn
n
?
?
?
?
??
??
?
?
??????
?
?
?
按第一行展开，得：
100
000
001
0001
)1(
1000
0010
0001
1
12321
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
???
x
x
x
a
axaaaa
x
x
x
x
n
n
nnn
n
?
?????
?
?
?
?
?
??????
?
?
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这里的第一个 n－ 1阶行列式与 有相同的形式，
把它们记作 ；第二个 n－ 1阶行列式 等
于 。
n?
1??n
1)1( ?? n 所以 nnn ax ???? ?1
这个式子对于任何 都成立，因此有( 2)nn ?
nn
nn
nnn
nnnnnn
axaxax
axax
aaxxax
??????
?
????
????????
?
??
??
???
1
2
21
1
12
2
121 )(
?
?????
但,所以 111 axax ????? nnnn axax ????? ? ?11
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例 6 计算四阶行列式
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
???
?
n
n
nn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
?
这个行列式叫做一个 n阶范德蒙德 (Vandermonde)
行列式,
由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘
以,得
1a
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)()()(0
)()()(0
0
1111
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaaaaa
D
n
n
n
nn
nn
n
n
???
???
???
?
???
?
?????
?
?
?
由定理 3.4.1
)()()(
)()()(
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaaaaa
D
n
n
n
nn
nn
n
n
???
???
???
?
??? ?
????
?
?
提取每列的公因子后，得
22
3
2
2
22
3
2
2
32
11312
111
)())((
???
????
n
n
nn
n
n
nn
aaa
aaa
aaa
aaaaaaD
?
????
?
?
?
?
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最后的因子是一个 n-1阶的范德蒙德行列式。我
们用 代表它：
1?nD
111312 )())(( ????? nnn DaaaaaaD ?
同样得
2224231 )())(( ?? ???? nnn DaaaaaaD ?
此处 是一个 n-2阶的范德蒙德行列式。如此继
续下去，最后得
2?nD
)(
)()(
)())((
1
223
111312
?
?
??
????
????
nn
n
nnn
aa
aaaa
DaaaaaaD
??????
?
?
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练习题：
例 1 计算行列式,
5021
0113
2101
4321
?
??
?D
例 2 计算行列式,
5021
0113
2101
4321
?
??
?D
例 3 计算行列式,
05320
04140
01320
25271
02135
??
?
?
?D
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21
)1(
??
??
nn
x,
11
21
311
2211
13211
4321
?
?
?
xxx
xxx
nxx
nx
n
n
?
?
??????
?
?
?
?
例 4 求证
例 5 证明范德蒙德 ( V a n d e r m o n d e 行列式
,)(
111
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
?
???
???
???
jin
ji
n
n
nn
n
n
n
xx
xxx
xxx
xxx
D
?
???
?
?
?
)
其中记号,”表示全体同类因子的乘积,?
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例 6 设,
3142
3131
5011
1253
???
?
?
?
?D D 中元素
ij
a 的余子式和代数
余子式依次记作 ijM 和 ijA,求
14131211
AAAA ??? 及
41312111
MMMM ???,
例 7,
2100
3210
0321
0032
的值用拉普拉斯定理求行列式
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1.5 克拉默法则
一、内容分布
1.5.1齐次与非齐次线性方程组的概念
1.5.2克莱姆法则
1.5.3齐次线性方程组解的定理
二、教学目的：
1.掌握和理解齐次与非齐次线性方程组的概念。
2.熟练掌握克莱姆法则。
3熟练掌握齐次线性方程组解的定理
三、重点难点：
利用克莱姆法则求线性方程组的解及证明一些相关问题。
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1.5.1.齐次与非齐次线性方程组的概念
含有 n 个方程的 n 元线性方程组的一般形式为
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
???
?
?
2211
22222121
11212111
（ 1.9）
它的系数 构成的行列式 ),,2,1,( njia
ij ??
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
? （ 1.10）
称为方程组（ 1.9）的系数行列式。
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如果线性方程组（ 1.9）的常数项为零，即
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
???
?
?
称为 齐次线性方程组 。
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1.5.2．克莱姆法则
定理 1.5.1 (克莱姆法则 ) 线性方程组 (1.9)当其系
数行列式 时,有且仅有唯一解0?D
,,,,2211 DDxDDxDDx nn ??? ?
此处 是将系数行列式中第 j列的元素对应地换为
方程组的常数项 后得到的 n 阶行列式,
jD
nbbb,,,21 ?
证 时是显然的,设,令是整数 1,2,…,
中的任意一个,分别以 乘方程组（ 1）
的第一，第二,…,第个 方程，然后相加，得
1?n 1?n
njjj AAA,，,?21
n
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11221111 )( xAaAaAa njnjj ??? ?
?????????????
jnjnjjjjj xAaAaAa )( 2211 ???? ?
?????????????
nnjnnjnjn xAaAaAa )( 2211 ???? ?
njnjj AbAbAb ???? ?2211
由定理 1.4.2和 1.4.3,的系数等于 D而
的系数都是零；因此等式左端等于,而等式
右端刚好是 阶行列式
jx )( jixi ?
jDx
n
nn
n
n
nn
j
a
a
a
ba
ba
ba
D
?
??
????
??
??
2
1
1
221
111
?
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这样，我们得到
jj DDx ?
令 我们得到方程组,，，,nj ?21?
.2211 nn DDxDDxDDx ??,＝，（ 3）
方程组（ 1）的每一解都是方程组（ 3）的解,事实
上，设 是方程组（ 1）的一个解。那
么在（ 1）中把 代以,就得到一
组等式。对于这一组等式施以由方程组（ 1）到方
程组（ 3）的变换，显然得到下面的一组等式：
n??? ?，,21
ix )21( nii,，,???
.2211 nn DDDDDD ?? ???,＝，
这就是说,也是方程组（ 3）的一解。
n??? ?，,21
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0?D当 时，方程组（ 3）有唯一解，就是
（ 2）。因此方程组（ 1）也最多有这一个解。
我们证明（ 2）是（ 1）的解。为此，把（ 2）
代入方程组（ 1），那么（ 1）的第 个方程
的左端变为
)21( nii,，,??
，DDaDDaDDa ninii ??? ?2211
而
.,,2,122111 njAbAbAbD njnjj ?? ?????,
计算出来，我们得到
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DAbAbAb nniii
1)(
111111 ??? ???
??? ????? DAbAbAb nniii 1)( 221212?
DAbAbAb nnnininin
1)(
11 ???? ???
??? ????? DAaAaAab ninii 1)( 11221111
??? ????? DAaAaAab ininiiiii 1)( 2211
inninninin bDAaAaAab ?????
1)(
2211 ??
这里我们应用了定理 1.4.2和 1.4.3。这就是说,（ 2）
是方程组（ 1）得解。
因此，当 时，方程组（ 1）有且仅有一
个解，这个解由公式（ 2）给出。
0?D
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例 解线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
???
????
0674
522
963
852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解,这个方程组的行列式
27
6741
2120
6031
1512
?
?
?
?
?
?D
因为,我们可以应用克拉默规则。再计算以
下的行列式：
0?D
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81
6740
2125
6039
1518
1 ?
?
??
?
?
?D
108
6701
2150
6081
1582
2 ??
?
??
?
?D
27
6041
2520
6931
1812
3 ???
?
?D
27
0741
5120
9031
8512
4 ?
?
??
?
?
?D
由克拉默规则，得方
程组的解是
1,1,4,3 4321 ?????? xxxx
注意：克拉默规则只有
在 时才能应用。0?D
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1.5.3．齐次线性方程组解的定理
定理 1.5.2 如果齐次线性方程组 (1.13)的系数行
列式,则它仅有零解,0?D
练习选讲：
例 1 用克莱姆法则解方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
???
???
????
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
例 2 设曲线 332210 xaxaxaay ???? 通过四点 )3,1(,
)4
,2(
,)3,3(, )3,4( ?,求系数,,,,3210 aaaa
第 1章 行列式
1.1 线性方程组和行列式
1.2 排列
1.3 n阶行列式
1.4 子式和代数余子式 行列式依行 (列 )展开
1.5 克拉默法则
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能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、
和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于
这种人。
―― 庞加莱 (Poincare,1854－ 1921)
一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人，
那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。
－－外尔斯特拉斯（ Weierstrass,1815－ 1897）
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1.1 线性方程组和行列式
一、内容分布
1.1.1 二阶、三阶行列式的计算 (对角线法则 )
1.1.2 行列式在线性方程组中的应用
二、教学目的,
1.了解二阶、三阶行列式的定义。
2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。
三、重点难点,
利用对角线法则计算二阶、三阶行列式
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1.1.1 二阶、三阶行列式的计算 (对角线法则 )
二阶行列式
我们用记号
2221
1211
aa
aa
表示代数和 21122211 aaaa ?
称为二阶行列式,即
21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa ??
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三阶行列式
我们用记号
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
表示代数和
312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa ?????
称为三阶行列式,即
312213332112322311322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
D
??????
?
主对角线法
‘— ’三元素乘积取,+”号；
‘ — ’三元素乘积取,-”号,
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1.1.2 行列式在线性方程组中的应用
(1) 如果含有两个未知量两个方程的线性方程组 (1)
??
?
??
??
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
它的系数作成的二阶行列式 0
2221
1211 ?
aa
aa,那么方程组 (1)有解
.,
2221
1211
221
111
2
2221
1211
222
121
1
aa
aa
ba
ba
x
aa
aa
ab
ab
x ??
(2) 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组 (2)
??
??
?
???
???
???
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
他的系数作成的三阶行列式 0
333231
232221
131211
??
aaa
aaa
aaa
D,那么方程组 (2)有解
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,,,332211 DDxDDxDDx ??? 这里
33231
22221
11211
3
33331
23221
13111
2
33323
23222
13121
1,,
baa
baa
baa
D
aba
aba
aba
D
aab
aab
aab
D ???
我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到 n阶行列式,然后利用这一
工具来解答含有 n个未知量 n个方程的线性方程组,
例题选讲
.
25
34 ?
例
(2 )(1 )
2?
计算
,
0
13
?
?D又如 设
?
试问
当 为何值时 当 为何值时? ?
,
D ; 0D,?
解,由阶行列式的定义有,
.30,03)2(
.30,03)1(
3
13
235)3(24
25
34
2
2
2
2
?????
?????
???
??????
?
????
????
??
??
或得时当
或得时当
而
D
D
D
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1.2 排列
一、内容分布
1.2.1 排列、反序与对换
1.2.2 奇、偶排列的定义及性质
二、教学目的
了解排列、反序、对换的定义
三、重点难点
求反序数
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1.2.1 排列、反序与对换
例如, 1234,2314都是四个数码的排列。
定义 1 n个数码 n?,2,1 的一个 排列 指的是由这 n个数码组
成的一个 有序组,
n个数码的不同排列共有 n！个
例如,1,2,3这三个数码的全体不同的排列一共有 3！ = 6
个，它们是,123,132,231,213,312,321。
定义 2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个
较小的数码前面，就说这两个数码构成一个 反序 。
计算反序数的方法,看有多少个数码排在 1的前面，设为 1m
个，那么就有 1m 个数码与 1构成反序；然后把 1划去，再看
有多少个数码排在 2的前面，设为 2m 个，那么就有 2m 个数
码与 2构成反序；然后把 2划去，计算有多少个数码在 3前面，
设为
3m
个,……,如此继续下去，最后设在 n前面有 nm 个
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数码（显然 0?
nm
），那么这个排列的反序数等于
nmmm ??? ?21
。
例如,在排列 451362里,.0,2,4,2
654321 ?????? mmmmmm
所以这个排列有 8个序。
一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个
反序的排列叫做一个 偶排列 ；有奇数个反序的排列叫做 奇
排列 。
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1.2.2 奇、偶排列的定义及性质
定义 3 看 n个数码的一个排列，如果把这个排列里
的任意两个数码 i与 j交换一下，而其余数码保持不
动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的
这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（ i,j）
来表示。
定理 1.2.1 nn jjjiii ?? 2121 和设 是 n个数码的任意两个
排列，那么总可以通过一系列对换由
nn jjjiii ?? 2121 得出
证明,我们已经知道，通过一系列对换可以由
noiii n ?? 1221 得出 我们只需证明，
通过一系列对换可由
njjjn ?? 2112 得出
，
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而通过一系列对换可以由 njjj n ?? 1221 得出
，按照相反的次序施行这些对换，就可由
njjjn ?? 2112 得出
。
定理 1.2.2 任意一个排列经过一个对换后的奇偶性
改变,
其中 A与 B都代表若干个数码,施行对换 ? ?,,ji 得
证明, 我们首先看一个特殊的情形，就是被对
换的两个数码是相邻的。设给定的排列为
1
A B? ?
,,,,ij
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我们比较这两个排列的反序数,显然经过这个对换
后,属于 A或 B的数码的位置没有改变,因此这些数
码所构成的反序数没有改变,同时 i,j与 A或 B中的
数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排
列中，,ji? 那么经过对换 ? ?ji,后,i与 j就构成一个
反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数
增多一个。若在给定的排列中，,ji ? 那么经过对换
后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形，
排列的奇偶性都有改变。
A B? ?
,,,,?? ij
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现在来看一般的情形。假定 i与 j之间有 s个数码，我
们用
skkk,,,21 ? 来代表。这时给定的 排列为
2
.,,,,,,,21 ??? jkkki s（ 1）
先让 i向右移动，依次与
skkk,,,21 ? 交换。这样，经过
s次相邻的两个数码的对换后（ 1）变为
.,,,,,,,21 ??? jikkk s再让 j向左移动，依次与
12,,,,,kkki s ? 交换。经过 s+1次
相邻的两个数码的对换后，排列变为
.,,,,,,21 ??? ikkkj s（ 2）
但
（
2
）
正
??ji,
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定理 1.2.3 在 n个数码 (n>1)的所有 n！个排列，其
中奇偶排列各占一半,即各为
2
!n 个。
证明,设 n个数码的奇排列共有 p个，而偶排列
共有 q个，对这 p个奇排列施行同一个对换 ? ?,,ji
那么由定理 1.2.2,我们得到 p 个偶排列,由于对这 p
个偶排列各不相等,又可以得到原来的 p个奇排列,
所以这 p个偶排列各不相等,但我们一共只有 q个偶
排列,所以,qp ? 同样可得,pq? 因此,qp ?
例题选讲
.3 2 5 1 41 的逆序数计算排列例
.,2 1 7 9 8 6 3 5 42 并讨论其奇偶性的逆序数计算排列例
.,321)1(3 并讨论其奇偶性的逆序数求排列例 ?nn ?)2( ?n
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1.3 n阶行列式
一,内容分布
1.3.1 n阶行列式的定义
1.3.2 行列式的性质
二、教学目的：
1.掌握和理解 n阶行列式的定义。
2.会利用定义计算一些特殊的行列式。
3.掌握和理解行列式的性质。
4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。
三、重点难点：
利用定义计算行列式 利用性质熟练计算及证明行列式
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1.3.1 n阶行列式的定义
定义 1 ),2,1,(2 njian
ij ??个元素用
组成的记号
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
称为 n阶行列式,其中：横排列称为行，纵排列称为列,
任意取 2n 个数 ),,,2,1;,,2,1( njnia ij ?? ?? 排成以下形式,
.21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
(1)
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考察位于 (1)的不同的行与不同的列上的 n个元素的
乘积,这种乘积可以写成下面的形式,
,111 21 njjj aaa ?(2)
是 1,2,…,n 这 n个数码的一个这里下标 njjj,,,21 ?
排列,反过来,给了 n个数码的任意一个排列,我们也
能得出这样的一个乘积,因此,一切位于 (1)的不同的
行与不同的列上的 n个元素的乘积一共有 n！个,
我们用符号 ),,,( 21 njjj ?? 表示排列 njjj,,,21 ?
的反序数,
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定义 2 用符号
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
表示的 n阶行列式指的是 n!项的代数和,这些项是一
切可能的取自 (1)的不同的行与不同的列上的 n个元
素的乘积,111
21 njjj aaa ? 项 njjj aaa 111 21 ? 的符号为
,)1( )( 21 njjj ??? 也就是说,当 njjj ?,,21 是偶排列时,这
一项的符号为正,当 njjj ?,,21 是奇排列时,这一项的
符号为负,
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例 1 我们看一个四阶行列式
.
00
00
00
00
hg
fe
dc
ba
D ?
根据定义,D是一个 4! = 24项的代数和。然而在这个
行列式里，除了 acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外，
其余的项都至少含有一个因子 0，因而等于 0，与上
面四项对应的排列依次是 1234,1324,4321,4231.其
中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排
列,因此
.d e g b c f gba d e ha c f hD ????
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转置
一个 n阶行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
如果把 D的行变为列,就得到一个新的行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22212
12111
??
D? 叫 D的转置行列式。
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引理 1.3.1从 n阶行列式的 列行和第第
nn jjjiii,,,,,,2121 ??
取出元素作乘积
（ 3）,
2211 nn jijiji aaa ?
这里
nn jjjiii,,,,,,2121 ?? 和
都是 1,2,…, n
这 n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是
)(),(,)1( 2121 nnts jjjtiiis ?? ?? ??? ?
证, 如果交换乘积 (3)中某两个因子的位置,那么 (3)的元素
的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换,
假定经过这样一次对换后所得的两个排列的反序数分别为
ts ??和,那么由定理 1.2.2,ttss ???? 和 都是奇数。因为两
个奇数的和是一个偶数，所以
是一个偶数。因此 tsts ???? 与 同时是偶数或同时是奇数，
从而 tsts ???? ??? )1()1(
)()()()( ttsststs ???????????
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另一方面，由定理 1.2.1，排列
niii ?21
总可以经过
若干次对换变为,因此，经过若干次交换
因子的次序，乘积（ 3）可以变为
nnkkk aaa ?2211
（ 4）
这里 nkkk ?21 是 n个数码的一个排列。根据行列式
的定义，乘积（ 4），因而乘积（ 3）的符号是
)( 21)1( nkkk ??? 。然而 0)12( ?n?? 。由上面的讨论
可知
)()()12( 2121 )1()1()1( nn kkkkkknts ??? ??? ????? ??
引理被证明。
n?12
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1.3.2 行列式的性质
项。这一项的元素位于 D的不同的行和不同的列，
所以位于 D的转置行列式
行，因而也是
D里和在
的两项显然也是
项的代数和，即
现在设
nnkkk aaa ?2211
是 n阶行列式 D的任意一
D? 的不同的列和不同的
D? 的一项，由引理 1.3.1，这一项在
D? 里的符号都是 )( 21)1( nkkk ???,并且 D中不同
D? 中不同的两项，因为 D与 D? 的
项数都是 n！，所以 D与 D? 是带有相同符号的相同
DD ?? 。 于是有
命题 1.3.2 行列式与它的转置行列式相等，即
DD ??
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命题 1.3.3 交换一个行列式的两行（或两列），
行列式改变符号。
证 设给定行列式
nnnn
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
?
交换 D的第 i行与第 j行
得
)(
)(
.
21
21
21
11211
1
j
i
aaa
aaa
aaa
aaa
D
nnnn
inii
jnjj
n
?
????
?
????
?
????
?
?
（旁边的 i和 j表示行的
序数）
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D的每一项可以写成
nji nkjkikk aaaa ???11
（ 5）
因为这一项的元素位于 的不同的行与不同的列，所以它也
是 的一项，反过来,的每一项也是 D的一项，并且 D的不
同项对应着 的不同项，因此 D与 含有相同的项。
1D
1D1D
1D 1D
交换行列式两列的情形，可以利用命题 3.3.2归结到交
换两行的情形。
式的第 i行变成第 j行，第 j行变成第 i行，而列的次序并没有改
变。所以由引理 3.3.1，并注意到 是一奇数，
因此（ 5）在 D的在 中的符号相反，所以 D与 的符号相
反。
，然而在 D1中，原行列（ 5）在 D中的符号是 )( 1)1( nji kkkk ?????
)1( nij ????
（ 5）在 中的符号是 1)()()1( 211 )1()1( ?? ??? nnji kkkkkkknij ??????? ???
1D
1D 1D
由命题 3.3.2推知，凡是行列式的对于行成立的性
质对于列也成立，反过来也是如此。
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推论 1.3.4 如果一个行列式有两行（列）完全相
同，那么这个行列式等于零。
证 设行列式 D的第 i行与第 j行 (i≠j)相同，由命题
1.3.3，交换这两行后，行列式改变符号，所以
新的行列式等于－ D，但另一方面，交换相同的
两行，行列式并没有改变由此得 D=－ D或 2D=0，
所以 D=0。
命题 1.3.5 用数 k乘行列式的某一行（列），等于
以数 k 乘此行列式。即如果设，则
kD
aaa
aaa
aaa
k
aaa
kakaka
aaa
D
nnnn
inii
n
nnnn
inii
n
???
?
????
?
????
?
?
????
?
????
?
21
21
11211
21
21
11211
1
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证 设把行列式 D的第 i行的元素 inii aaa,,,21 ? 乘以 k
而得到的行列式,那么 的第 i行的元素是
1D 1D
inii kakaka,,,21 ?
D的每一项可以写作
ni njijj aaa ??11
（ 6）
中对应的项可以写作1D
（ 7）
nini njijjnjijj aakaakaa ???? 11 11 ?
（ 6）在 D中的符号与（ 7）在 中的符号都是
1D
)( 21)1( njjj ???
1D kD?
因此，
推论 1.3.6 如果行列式的某一行（列）的所有元素
的公因子可以提到行列式符号的外边。
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推论 1.3.7 如果行列式的某一行（列）的元素全
部是零，那么这个行列式等于零。
推论 3.3.8 如果行列式有两行（列）的对应元素成
比例，则行列式的值等于零。
证 设行列式 D的第 i行与第 j行的对应元素成比例，
那么这两行的对应元素只差一个因子 k，即
jnijiji kaakaakaa ??? 12211,,,?
nnnn
jnjj
jnjj
n
nnnn
jnjj
inii
n
aaa
aaa
kakaka
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
21
21
21
11211
??
因此
由推论 1.3.6，可以把公因子 k提到行列式符号的外
边，于是得到一个有两行完全相同的行列式；由推
论 1.3.4，这个行列式等于零。
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命题 1.3.9 如果将行列式中的某一行（列）的每
一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写
成 两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个
数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的元
素与原行列式相同。即如果
nnnn
ininiiii
n
aaa
cbcbcb
aaa
D
?
????
?
????
21
2211
11211
????
nnnn
inii
n
aaa
ccc
aaa
D
?
????
?
????
21
21
11211
2 ?
nnnn
iniii
n
aaa
bbb
aaa
D
?
????
?
????
21
221
11211
1 ?,则
21 DDD ??
。
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证 D的每一项可以写成 nii njijijj acba ?? )(11 ?
式，它的符号是
的形
)( 21)1( njjj ??? 。去掉括弧，得
nininii njijjnjijjnjijijj acaabaacba ?????? 111 111 )( ???
但一切项
ni njijj aba ??11
附以原有符号后的和等于
行列式
nnnn
iniii
n
aaa
bbb
aaa
D
?
????
?
????
21
221
11211
1
?
nnnn
inii
n
aaa
ccc
aaa
D
?
????
?
????
21
21
11211
2
?
一切项
ni njijj aca ??11
附以原有符号后的和等于行
列式
因此 21 DDD ??
推论 如果将行列式的某一行（列）的每个元素都
写成 m 个数（ m 为大于 2的整数）的和，则此行
列式可以写成 m个行列式的和。
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命题 1.3.10 将行列式的某一行（列）的所有元素
同乘以数 k 后加于另一行（列）对应位置的元素
上，行列式的值不变。
证 设给定行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
把 D的第 j行的元素乘以同一个数 k后,加到第 i行的对
应元素上,我们得到行列式,
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nnnn
jnjj
jninjiji
n
aaa
aaa
kaakaakaa
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
21
21
2211
11211
???
?
由命题 1.3.9,1DDD ??
nnnn
jnjj
jnjj
n
aaa
aaa
kakaka
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
1
?
此处
的第 i行与第 j列成
比例；
所以 DD ?
由推论 1.3.8，
1 0D ?
1D
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例 2 计算行列式
.
321
321
321
333
222
111
aaa
aaa
aaa
D
???
???
???
?
解,根据例题 1.3.10,从 D的第二列和第三列的元素
减去第一列的对应元素 (即把 D的第一列的元素同乘
以－１后,加到第二列和第三列的对应元素上 ),得
.
211
211
211
3
2
1
a
a
a
D
?
?
?
?
这个行列式有两列成比例,所以根据推论 1.3.8,D=0,
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例 3 计算 n阶行列式
0111
1011
1101
1110
?
?????
?
?
?
?D
解, 我们看到,D的每一列的元素的和都是 n－１．把
第二，第三,…,第 n行都加到第一行上，得
.
0111
1011
1101
1111
?
?????
?
?
? ????
?
nnnn
D
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根据推论 1.３,６,提出第一行的公因子 n－１,得
.
0111
1011
1101
1111
)1(
?
?????
?
?
?
?? nD
由第二,第三,…,第 n行减去第一行,得
.
1000
0100
0010
1111
)1(
?
?
?
??
?
?????
?
?
?
nD
由行列式定义,易见后一行列式等于对角线上元素的乘积
.)1( 1?? n
所以 ).1()1( 1 ??? ? nD n
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例 1 设,1
333231
232221
131211
?
aaa
aaa
aaa
求,
53
53
1026
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
?
?
??
练习选讲：
例 2 证明奇数阶反对称行列式的值为零,
例 3 计算,
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
例 4 计算,
3111
1311
1131
1113
?D
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.
1111
00
00
00
33
22
11
aa
aa
aa
?
?
?
例 5 计算
例 6 计算,
3610363
234232
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcba
D
??????
??????
??????
?
例 8 解方程
.0?
11321
12321
13221
13211
1321
??
??
??
??
??
??
?
?
?
xaaaaaa
axaaaaa
aaxaaaa
aaaxaaa
aaaaa
nnn
nnn
nn
nn
nn
?
?
??????
?
?
?
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,)det(
,)de t(
1
111
2
1
111
1
nnn
n
ij
kkk
k
ij
bb
bb
bD
aa
aa
aD
?
??
?
?
??
?
??
??
证明,
21
DDD ?
例 7 设
nnnnkn
nk
kkk
k
bbcc
bbcc
aa
aa
D
??
????
??
?
? ?
?
11
111111
1
111
0
?
00
0 ?
?
?
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1.4 子式和代数余子式 行列式依行 (列 )展开
一、内容分布
1.4.1子式和代数余子式
1.4.2行列式的依行依列展开定理
1.4.3拉普拉斯定理
二、教学目的：
1.掌握和理解子式和代数余子式的定义
2.熟练掌握利用行列式的依行依列展开定理计算及
证明行列式的技巧。
三、重点难点：
利用行列式的依行依列展开定理熟练计算及证明行
列式
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1.4.1．余子式与代数余子式
定义 1 在一个 n阶行列式 D中任意取定 k行和 k列,
位于这些行列相交处的元素所构成的 k阶行列式叫
做行列式 D的一个 k阶 子式,
例 1 在四阶行列式
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
中,取定第二行和第三行,第一列和第四列,那么位于
这些行列的相交处的元素就构成 D的一个二阶子式
.
3431
2421
aa
aaM ?
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定义 2 n (n>1)阶行列式
nnnjn
iniji
nj
aaa
aaa
aaa
D
??
?????
??
?????
??
1
1
1111
?
的某一元素
ija
的余子式
ijM
指的是在 D中划去 ija
所在行和列后所余下的 n－ 1阶子式,
例 2 例 1的四阶行列式的元素 的余子式是23a
.
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M ?
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定义 3 n阶行列式 D的元素 的余子式 附以
符号 后,叫做元素 的代数余子式,ij
a ijM
ji?? )1( ija
元素 的代数余子式用符号 来表示,
ija ijA
.)1( ijjiij MA ???
例 3 例 1中的四阶行列式 D的元素 的代数余子式23a
.)1(
444241
343231
141211
2323
32
23
aaa
aaa
aaa
MMA ?????? ?
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定理 1.4.1 若在一个 n阶行列式
nnnjn
iniji
nj
aaa
aaa
aaa
D
??
?????
??
?????
??
1
1
1111
?
中,第 i行 (或第 j列 )的元素除 外都是零,那么这个行
列式等于 与它的代数余子式 的乘积,
ija
ija ijA
.ijij AaD ?
证 我们只对行来证明这个定理
1) 先假定 D和第一行的元素除 外都是 0，这时11a
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nnnn
n
aaa
aaa
a
D
?
????
?
?
21
22221
11 00
?
我们要证明,11111111111111 )1( MaMaAaD ???? ?
也就是说：
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aD
?
????
?
?
32
33332
22322
11?
子式 的每一项都可以写作
11M
（ 1）
nnjjj aaa ?32 32
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此处 是 2,3,…, n这 n－１个数码的
一个排列，我们看项（ 1）与元素 的乘积
njjj,,,32 ?
11a
（ 2）
nnjjj aaaa ?32 3211
这一乘积的元素位在 D的不同的行与不同的列上，
因此它是 D的一项，反过来，由于行列式 D的每一项
都含有第一行的一个元素，而第一行的元素除 外
都是零，因此 D的每一项都可以写成（ 2）的形式。
这就是说,D的每一项都是 与它的子式 的某
一项的乘积，又 的不同项是 D的不同项，因此 D
与 有相同的项。
11a
11a 11M
1111Ma
1111Ma
乘积（ 2）在 D中的符号是 )()1( 22 )1()1( nn jjjj ?? ?? ???
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另一方面，乘积（ 2）在 的符号就是（ 1）
在 中的符号。乘积（ 1）在元素既然位在 D的
第 2,3,…, n行与在第 列，因此它位
在 的第 1,2,…, n－１行与列，所以（ 1）在
中的符号应该是 。显然，
，这样，乘积（ 2）在
中的符号与在 D中的符号一致。所以
1111Ma
11M
njjj,,,32 ?
11M
11M ))1()1(( 2)1( ??? njj ??
))1()1(()( 22 ??? nn jjjj ?? ??
1111Ma 1111 MaD ?
2) 现在我们来看一般的情形，设
nnjnnjjnn
ij
njjj
aaaaa
a
aaaaa
D
??
???????
??
???????
??
1,1,1
11,111,111
0000
??
??
?
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我们变动行列式 D的行列，使 位于第一行 与第一列，
并且保持 的余子式不变。
为了达到这一目的，我们把 D的第 i行依次与第 i－ 1，
i－ 2,…, 2,1行交换，这样，一共经过了 i－ 1次交换两
行的步骤，我们就把 D的第 i行换到第一行的位置。然后再把
第 j列依次与第 j－ 1,j－ 2,…, 2,1列交换，一共经过了 j
－ 1次交换两列的步骤,就被交换到第一行与第一列的位
置上，这时,D变为下面形式的行列式：
ija
ija
ija
nnjnjnnnj
nijijiiji
nijijiiji
njjj
ij
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
a
D
??
???????
??
??
???????
??
??
1,1,1
,11,11,11,1,1
,11,11,11,1,1
11,11,1111
1
0000
??
???????
???????
??
?
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是由 D经过（ i－ 1） +(j－ 1)次换行换列的步骤
而得到的。由命题 1.3.3，交换行列式的两行或两
列，行列式改变符号，因此
1D
ijijijjiijijijjiji AaMaMaDD ??????? ??? )1()1()1( 1
这样，定理得到证明。
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1.4.2行列式的依行依列展开
定理 1.4.2 n阶行列式 等于它的任意一行
(列 )的各元素与其对应代数余子式乘积的和,即ij
Da?
),,2,1(2211 niAaAaAaD ininiiii ?? ?????
),,2,1(2211 njAaAaAaD njnjjjjj ?? ?????
证 我们只对行来证明，即证明（ 3），先把行列
式 D写成以下形式：
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
????
????
?
21
21
11211
000000 ??????????
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也就是说，把 D的第 i行的每一元素写成 n项的和。
根据命题 1.3.9,D等于 n个行列式的和：
nnnn
in
n
nnnn
i
n
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
aaa
a
aaa
aaa
a
aaa
D
?
????
?
????
?
?
?
????
?
????
?
?
????
?
????
?
21
11211
21
2
11211
21
1
11211
000000 ????
在这 n个行列式的每一个中，除了第 i行外，其余
的行都与 D的相应行相同。因此，每一行列式的
第 i行的元素的代数余子式与 D的第 i行的对应元
素的代数余子式相同。这样，由定理 1.4.1，
),,2,1(2211 niAaAaAaD ininiiii ?? ?????
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定理 1.4.3 n阶行列式 的某一行 (列 )的元
素与另一行 (列 )对应元素的代数余子式乘积的
和等于零,即
ijaD ?
)(02211 jiAaAaAa jninjiji ????? ?（ 5）
)(02211 tsAaAaAa ntnststs ????? ?（ 6）
证 我们只证明等式（ 5）。看行列式
)(
)(
.
21
21
21
11211
1
j
i
aaa
aaa
aaa
aaa
D
nnnn
inii
inii
n
?
????
?
????
?
????
?
?
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的第 i行与第 j行完全相同，所以 =0。另
一方面,与 D仅有第 j行不同，因此 的第 j
行的元素的代数余子式与 D的第 j行的对应元
素的代数余子式相同，把 依第 j行展开，得
1D 1D
1D 1D
1D
jninjiji AaAaAaD ???? ?22111
因而 02211 ???? jninjiji AaAaAa ?
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例 4 计算四阶行列式
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
在这个行列式里，第三行已有一个元素是零，由
第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第四
列上，得：
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0355
0100
13111
1115
??
??
?
?D
根据定理 1.4.1
055
1111
115
)1(1 31
??
????? ?D
把所得的三阶行列式的第一行加到第二行，得：
40
55
26
)1(1
055
026
115
31 ?
??
?
???
??
? ?
所以 D = 40
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例 5 计算 n阶行列式
1221
1000
0000
0010
0001
axaaaa
x
x
x
x
nnn
n
?
?
?
?
??
??
?
?
??????
?
?
?
按第一行展开，得：
100
000
001
0001
)1(
1000
0010
0001
1
12321
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
???
x
x
x
a
axaaaa
x
x
x
x
n
n
nnn
n
?
?????
?
?
?
?
?
??????
?
?
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这里的第一个 n－ 1阶行列式与 有相同的形式，
把它们记作 ；第二个 n－ 1阶行列式 等
于 。
n?
1??n
1)1( ?? n 所以 nnn ax ???? ?1
这个式子对于任何 都成立，因此有( 2)nn ?
nn
nn
nnn
nnnnnn
axaxax
axax
aaxxax
??????
?
????
????????
?
??
??
???
1
2
21
1
12
2
121 )(
?
?????
但,所以 111 axax ????? nnnn axax ????? ? ?11
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例 6 计算四阶行列式
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
???
?
n
n
nn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
?
这个行列式叫做一个 n阶范德蒙德 (Vandermonde)
行列式,
由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘
以,得
1a
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)()()(0
)()()(0
0
1111
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaaaaa
D
n
n
n
nn
nn
n
n
???
???
???
?
???
?
?????
?
?
?
由定理 3.4.1
)()()(
)()()(
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaaaaa
D
n
n
n
nn
nn
n
n
???
???
???
?
??? ?
????
?
?
提取每列的公因子后，得
22
3
2
2
22
3
2
2
32
11312
111
)())((
???
????
n
n
nn
n
n
nn
aaa
aaa
aaa
aaaaaaD
?
????
?
?
?
?
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最后的因子是一个 n-1阶的范德蒙德行列式。我
们用 代表它：
1?nD
111312 )())(( ????? nnn DaaaaaaD ?
同样得
2224231 )())(( ?? ???? nnn DaaaaaaD ?
此处 是一个 n-2阶的范德蒙德行列式。如此继
续下去，最后得
2?nD
)(
)()(
)())((
1
223
111312
?
?
??
????
????
nn
n
nnn
aa
aaaa
DaaaaaaD
??????
?
?
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练习题：
例 1 计算行列式,
5021
0113
2101
4321
?
??
?D
例 2 计算行列式,
5021
0113
2101
4321
?
??
?D
例 3 计算行列式,
05320
04140
01320
25271
02135
??
?
?
?D
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21
)1(
??
??
nn
x,
11
21
311
2211
13211
4321
?
?
?
xxx
xxx
nxx
nx
n
n
?
?
??????
?
?
?
?
例 4 求证
例 5 证明范德蒙德 ( V a n d e r m o n d e 行列式
,)(
111
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
?
???
???
???
jin
ji
n
n
nn
n
n
n
xx
xxx
xxx
xxx
D
?
???
?
?
?
)
其中记号,”表示全体同类因子的乘积,?
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例 6 设,
3142
3131
5011
1253
???
?
?
?
?D D 中元素
ij
a 的余子式和代数
余子式依次记作 ijM 和 ijA,求
14131211
AAAA ??? 及
41312111
MMMM ???,
例 7,
2100
3210
0321
0032
的值用拉普拉斯定理求行列式
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1.5 克拉默法则
一、内容分布
1.5.1齐次与非齐次线性方程组的概念
1.5.2克莱姆法则
1.5.3齐次线性方程组解的定理
二、教学目的：
1.掌握和理解齐次与非齐次线性方程组的概念。
2.熟练掌握克莱姆法则。
3熟练掌握齐次线性方程组解的定理
三、重点难点：
利用克莱姆法则求线性方程组的解及证明一些相关问题。
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1.5.1.齐次与非齐次线性方程组的概念
含有 n 个方程的 n 元线性方程组的一般形式为
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
???
?
?
2211
22222121
11212111
（ 1.9）
它的系数 构成的行列式 ),,2,1,( njia
ij ??
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
? （ 1.10）
称为方程组（ 1.9）的系数行列式。
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如果线性方程组（ 1.9）的常数项为零，即
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
???
?
?
称为 齐次线性方程组 。
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1.5.2．克莱姆法则
定理 1.5.1 (克莱姆法则 ) 线性方程组 (1.9)当其系
数行列式 时,有且仅有唯一解0?D
,,,,2211 DDxDDxDDx nn ??? ?
此处 是将系数行列式中第 j列的元素对应地换为
方程组的常数项 后得到的 n 阶行列式,
jD
nbbb,,,21 ?
证 时是显然的,设,令是整数 1,2,…,
中的任意一个,分别以 乘方程组（ 1）
的第一，第二,…,第个 方程，然后相加，得
1?n 1?n
njjj AAA,，,?21
n
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11221111 )( xAaAaAa njnjj ??? ?
?????????????
jnjnjjjjj xAaAaAa )( 2211 ???? ?
?????????????
nnjnnjnjn xAaAaAa )( 2211 ???? ?
njnjj AbAbAb ???? ?2211
由定理 1.4.2和 1.4.3,的系数等于 D而
的系数都是零；因此等式左端等于,而等式
右端刚好是 阶行列式
jx )( jixi ?
jDx
n
nn
n
n
nn
j
a
a
a
ba
ba
ba
D
?
??
????
??
??
2
1
1
221
111
?
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这样，我们得到
jj DDx ?
令 我们得到方程组,，，,nj ?21?
.2211 nn DDxDDxDDx ??,＝，（ 3）
方程组（ 1）的每一解都是方程组（ 3）的解,事实
上，设 是方程组（ 1）的一个解。那
么在（ 1）中把 代以,就得到一
组等式。对于这一组等式施以由方程组（ 1）到方
程组（ 3）的变换，显然得到下面的一组等式：
n??? ?，,21
ix )21( nii,，,???
.2211 nn DDDDDD ?? ???,＝，
这就是说,也是方程组（ 3）的一解。
n??? ?，,21
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0?D当 时，方程组（ 3）有唯一解，就是
（ 2）。因此方程组（ 1）也最多有这一个解。
我们证明（ 2）是（ 1）的解。为此，把（ 2）
代入方程组（ 1），那么（ 1）的第 个方程
的左端变为
)21( nii,，,??
，DDaDDaDDa ninii ??? ?2211
而
.,,2,122111 njAbAbAbD njnjj ?? ?????,
计算出来，我们得到
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DAbAbAb nniii
1)(
111111 ??? ???
??? ????? DAbAbAb nniii 1)( 221212?
DAbAbAb nnnininin
1)(
11 ???? ???
??? ????? DAaAaAab ninii 1)( 11221111
??? ????? DAaAaAab ininiiiii 1)( 2211
inninninin bDAaAaAab ?????
1)(
2211 ??
这里我们应用了定理 1.4.2和 1.4.3。这就是说,（ 2）
是方程组（ 1）得解。
因此，当 时，方程组（ 1）有且仅有一
个解，这个解由公式（ 2）给出。
0?D
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例 解线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
???
????
0674
522
963
852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解,这个方程组的行列式
27
6741
2120
6031
1512
?
?
?
?
?
?D
因为,我们可以应用克拉默规则。再计算以
下的行列式：
0?D
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81
6740
2125
6039
1518
1 ?
?
??
?
?
?D
108
6701
2150
6081
1582
2 ??
?
??
?
?D
27
6041
2520
6931
1812
3 ???
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27
0741
5120
9031
8512
4 ?
?
??
?
?
?D
由克拉默规则，得方
程组的解是
1,1,4,3 4321 ?????? xxxx
注意：克拉默规则只有
在 时才能应用。0?D
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1.5.3．齐次线性方程组解的定理
定理 1.5.2 如果齐次线性方程组 (1.13)的系数行
列式,则它仅有零解,0?D
练习选讲：
例 1 用克莱姆法则解方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
???
???
????
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
例 2 设曲线 332210 xaxaxaay ???? 通过四点 )3,1(,
)4
,2(
,)3,3(, )3,4( ?,求系数,,,,3210 aaaa
