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第 7章 欧氏空间
7.1 向量的内积
7.2 正交基
7.3 正交变换
7.4 对称变换和对称矩阵
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在几何学中（编者按,在数学中），没有专门为国
王设置的捷径。
---欧几里德 (Euclid,约前 325 - 约前 265)
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7.1 向量的内积
一、内容分布
7.1.1向量的内积、欧氏空间的定义
7.1.2向量的长度、两非零向量的夹角
7.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质
二、教学目的,
1．准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的
长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离．
2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量 ξ
与 η的内积 <ξ,η>，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间．
3．掌握 ??????? ??????,,,2 及其它不等式，并会用它来证明另
三、重点难点,
1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念 ;
2.不等式
??????? ??????,,,2 的灵活运用,
一些不等式
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7.1.1向量的内积、欧氏空间的定义
1),,? ? ? ?? ? ? ? ?
2) ?????? ??? ???????,,,
3) ????? ????,,aa
0?? 0,??? ??4) 当 时,
定义 1 设 V是实数域 R上一个向量空间, 如果对于
V中任意一对向量 有一个 确定 的记作 ?? ??,
的实数与它们对应，并且下列条件被满足：
??,
这里 ???,,是 V的任意向量,a是任意实数，
?? ??,
那么
这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）,
叫做向量 ξ与 η的内积，而 V叫做对于
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nR
),,...,,( 21 nxxx?? ),.,,,,( 21 nyyy??
nn yxyxyx ??????,..,2211??
例 1 在
规定
里,对于任意两个向量
容易验证,关于内积的公理被满足,因而 nR
对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间,
nR
),,...,,( 21 nxxx?? ),.,,,,( 21 nyyy??
nn yxyxyx ??????,..,2211??
例 2 在
规定
里,对于任意向量
不难验证,也作成一个欧氏空间,nR
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例 3 令 C[a,b]是定义在 [a,b]上一切连续实函数
],[)(),( baCxgxf ?
我们规定
所成的向量空间,
.)()(,dxxgxfgf ba????
根据定积分的基本性质可知,内积的公理
1)---4)都被满足,因而 C[a,b]作成一个欧氏空间,
例 4 令 H是一切平方和收敛的实数列
),,...,,( 21 nxxx?? ?????
? 1
2
n
nx
所成的集合,在 H中用自然的方式定义加法和标
量与向量的乘法,
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设,),,,(,.,, ),,( 2121 Rayyxx ??? ???
,.,, ) ;,( 2211 yxyx ???? ??,...),( 21 axaxa ??规定
?
?
?
???
1
,
n
nn yx??
向量 的内积由公式
给出，那么 H是一个欧氏空间,
),,(,.,, ),,( 2121 ?yyxx ?? ??
),(),,( 2121 bbaa ?? ??
2R
2211,bnabma ????
练习 1 为向量空间
中任意两向量,证明, 对
作成欧氏空间的充分必要条件是 m > 0,n > 0.
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7.1.2 向量的长度、两非零向量的
夹角
?? ??,?? ??,
? ??? ???,
定义 2 设 ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数
的算术根
叫做 ξ的长度，向量 ξ的长度用符号
表示：
定理 7.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量
.,?? 有不等式
??????? ??????,,,2 (6)
当且仅当 ξ与 η线性相关时，上式才取等号,
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定义 3 设 ξ 与 η 是欧氏空间的两个非零向量，
ξ 与 η 的夹角 θ 由以下公式定义：
??
???
?
???,c o s
例 5 令 nR 是例 1 中的欧氏空间, 中向量
),.,,,,( 21 nxxx??
的长度是
22221,..,nxxx ??????? ???
由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量 ξ 和
任意实数 a,有
nR
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有不等式
2121211 )()()( nnnn bbaababa ??????? ??? (7)
(7)式称为柯西 (Cauchy)不等式,
?????? aaaaa ???????,,2
注：一个实数 a与一个向量 ξ的乘积的长度 等于 a的
绝对值与 ξ的长度的乘积,
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例 7 考虑例 3的欧氏空间 C[a,b]，由不等式（ 6）
推出，对于定义在 [a,b]上的任意连续函数
),(),( xgxf 有不等式
.)()()()( 22? ?? ? ba baba dxxdxxdxxgxf gf(8)
(8)式称为施瓦兹 (Schwarz)不等式,
（ 7）和（ 8）在欧氏空间的不等式（ 6）里被
统一 起来, 因此通常把 (6)式称为柯西 -施瓦兹
不等式,
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例 8 设 ??,为欧氏空间 V 中任意两个
(1) )0( ?? aa ?? 当且仅当 的夹角为 0;
非零向量,证明,
??,
(2) )0( ?? aa ?? 当且仅当 的夹角为 π; ??,
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7.1.3 向量的正交
定义 4 欧氏空间的两个向量 ξ 与 η 说是正交的,
,0??? ? ?如果
定理 7.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量 ξ
r???,,,21 ? 中每一个正交,那么 ξ 与
的任意一个线性组合也正交,r???,,,21 ?
与
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思考题 1,设 ??,是 n 维欧氏空间 V 中
,1|||| ?? ??
证明,
.1,???
两个不同的向量,且
思考题 2,在欧氏空间 nR 中,设
),,2,1)(,,,( 21 niaaa iniii ?? ???
两两正交,且
i?
的长度
nniji aAi ??? )(,|| ?
求 A 的行列式 || A 的值,
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7.2 正交基
一、内容分布
? 7.2.1正交组的定义、性质
? 7.2.2标准正交基的定义、性质及存在性
? 7.2.3子空间的正交补
? 7.2.4正交矩阵的概念
? 7.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别
二、教学目的：
? 1．准确理解和掌握正交向量组,n维欧氏空间的标准正交基等概念
及基本性质．
? 2．能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一
个标准正交向量组
? 3．能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念
及基本性质，并会求某些子空间的正交补．
? 4．掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系．
? 5．掌握 n维欧氏空间同构的概念及基本理论．
三、重点难点,正交向量组,n维欧氏空间的标准正交基等概念 ; 子空
间的正交补的概念及基本性质 ;施密特正交化方法
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7.2.1正交组的定义、性质
定义 1 欧氏空间 V的一组两两正交的非零向量叫做 V的
一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向
量,这个正交组就叫做一个标准正交组,
1．正交组的定义
例 1 向量
? ?,
2
1,0,
2
1,0,1,0
21 ??
??
?
??? ??
?
?
??
?
? ???
2
1,0,
2
1
3?
构成 3R 一个标准正交组，因为
,1321 ??? ???
.0,,,133221 ????????? ??????
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]2,0[ ?
]2,0[ ?C
例 2 考虑定义在闭区间
函数所作成的欧氏空间
（参看 8.1例 3），函数组
的一个正交组。
(1) 1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…
构成
上一切连续
]2,0[ ?C
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? ?? ?20,21 dx
? ???? ??? ?20,,,,0s i ns i n nm nmn x d xmx 若若
?
?
?
?
?
??
,,0
,,
c o sc o s
2
0 nm
nm
n x d xmx
若
若??
事实上，我们有
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2 2 2
0 0 0
c o s sin c o s sin 0
1,1 2,c o s,c o s sin,sin,
1,c o s 1,sin 0,
c o s,c o s sin,sin
m x n x d x n x d x n x d x
n x n x n x n x
n x n x
m x n x m x n x
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
所 以
,,0
s in,c o s
nm
nxmx
??
???
若
把（ 1）中每一向量除以它长度，我们就得
C[0,2π] 的一个标准正交组
,...s i n1,c o s1,...,s i n1,c o s1,21 nxnxxx ?????
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2,正交组的性质
定理 7.2.1 设 },,,{
21 n??? ?
一个正交组，那么 n???,,,21 ? 线性无关,
是欧氏空间的
证,设有 Raaa
n ?,,,21 ?
使得
02211 ???? nnaaa ??? ?
因为当 i≠j 时 0,???
ji ??
，所以
但 0,?
ii ??
，所以,,,2,1 na
i ??
即
n???,,,21 ? 线性无关,
iii
n
j
jij
n
j
jjii
aa
a
????
???
,,
,0,0
1
1
??
??
?
?
?
?
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7.2.2标准正交基的定义、性质及存在性
1．标准正交基的定义
设 V 是一个 n 维欧氏空间，如果 V 中有
n???,,,21 ?n 个向量 构成一个正交组,那么
由定理 7.2.1，这个 n 个向量构成 V 的一个基，
叫做 V 的一个正交基。如果 V 的一个正交基
还是一个规范正交级，那么就称这个基是一
个规范的正交基。
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例 2 欧氏空间 nR 的基是
),0,,0,1,0,,0(
)(
??
i
i ??
i =1,2,…,n,
nR 的一个标准正交基, 如果
},,,{ 21 n??? ?
正交基。令 ξ 是 V的任意一个向量那 么 ξ是可
.2211 nnxxx ???? ???? ?
是
是 n 维欧氏空间 V的一个 标准
以唯一写成
nxxx,,,21 ? 是 ξ 关于 },,,{ 21 n??? ? 的坐标。
由于 },,,{
21 n??? ?
是规范正交基，我们有
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（ 3）
i
n
j
ijji xx ?? ?
? 1
,,????
这就是说，向量 ξ 关于一个规范正交基的
第 i个坐标等于 ξ 与第 i个基向量的内积；
nnyyy ???? ???? ?2211
其次，令
那么
（ 4）
nn yxyxyx ???? ?2211,??
由此得
（ 5） 22
221,|| nxxx ????? ????
（ 6） 22
11 )()(),( nn yxyx ????? ???
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2．标准正交基的性质
设 },{
21 ?? 是 2V 的一个基，但不一定是
正交基 },,{ 21 ?? 问题就解决了,因为将 21 ?? 和
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
.11 ?? ? 借助几何直观，为了求出
正交 基。从这个基出发，只要能得出 2V 的一个
基。先取,
2?
我们考虑线性组合,
12 ?? a?
从这里决定实数 a，
使
112 ??? 与a? 正交，由
1112112,,,0 ??????? aa ????
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及 得0
1 ??
11
12
,
,
??
???a
取
1
11
12
22,
,
?
??
??
?? ??
那么,0,
12 ???
又因为 21,??
线性无关，所以对于任意实数 a
,01212 ???? ???? aa
因而,0
2 ??
这就得到
2V
的一个正交基 }.,{
21 ??
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3．标准正交基的存在性
定理 7.2.2（施密特正交化方法 ) 设 },,,{
21 n??? ?
是欧氏空间 V的一组线性无关的向量,那么可以求
},,,,{ 21 n??? ? 使得 k? 可以由
k???,,,21 ? 线性表示,k = 1,2,…,m.
出 V 的一个正交组
证 先取,11 ?? ? 那么 2? 是 1? 的线性组合，且
.01 ?? 其次取
1
11
12
22,
,?
??
???? ??
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又由
0,,,,,11
11
12
1212 ??? ????
??????
所以
12 ?? 与 正交。
假设 1 ＜ k ≤ m,而满足定理要求的
121,,,?k??? ?
都已作出,
那么 是2? 21,?? 的线性组合，并且因为
线性无关，所以,02 ??21,??
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1
11
1
1
11
1
,
,
,
,
?
??
?????
k
kk
kkk
kk ???
??
?
??
??
??
取
.112211 kkkk aaa ????? ????? ???
所以 k? 是
k???,,,21 ?
的线性组合。
由于假定了 ii ????,,,21 ?是
i = 1,2,…,k -1，所以把这些线性组
合代入上式，得
的线性组合，
k???,,,21 ? 线性无关，
由
,0?k?得
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又因为假定了 121,,,?k??? ? 两两正交。
这样，
k???,,,21 ?
也满足定理的要求。
1,,2,1,0,,,,,????? kiii
ii
ik
ikik ?????
??????
所以
定理得证。
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定理 7.2.3 任意 n（ n > 0）维欧氏空间
一定有正交基，因而有标准正交基,
例 4 在欧氏空间 3R 中对基
)3,0,2(),2,1,0(),1,1,1( 321 ??? ???
施行正交化方法得出 3R 的一个标准正交基,
???
?
???
???
3
1,
3
1,
3
1
|| 1
1
1 ?
??
解, 第一步，取
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第二步，先取
)1,0,1(
3
1
,
3
1
,
3
1
3)2,1,0(
,
,
,
11221
11
12
22
????
?
?
??
?
?
??
???? ?????
??
??
??
然后令
?
?
??
?
? ???
2
1,0,
2
1
|| 2
2
2 ?
?
?
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第三步，取
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
6
5
,
3
5
,
6
5
2
1
,
2
1
,
2
1
2
1
3
1
,
3
1
,
3
1
3
5
)3,0,2(
,,
,
,
,
,
231133
2
22
23
1
11
13
33
??????
?
??
??
?
??
??
??
再令
???
?
???
? ???
6
1,
6
2,
6
1
|| 3
3
3 ?
??
于是 ? ?
321,,???
就是 3R 的一个规范正交基。
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练习 1 设 ),0,2,0,1(1 ?? ),3,0,2,0(2 ??
),9,4,6,2(3 ?? 试把 ),,( 321 ???L
4R
的基
的一个基,并将它标准正交化, 扩充成
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7.2.3 子空间的正交补
1,向量与一个非空子集正交
定理 7.2.4 令 W是欧氏空间 V的一个有限维
??? WWV
子空间，那么
??? ??
0,,???? WW ??
因而 V的每一个向量 ξ 可以唯一写成
这里
(7)
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.V??
,,,,2211 ss rrrrrr ???? ???? ?
.??? ??
设 令
证明 当 W = {0}时，定理显然成立，这时
.VW ?? }.0{?W
? ?,d im,,,,21 Wss ???? ?
设 由于 W的维数有限，
因而可以取到 W的一个规范正交基
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那么,W?? 而
.,,2,1,0,,
,,,,
sirr
rrrr
ii
iiii
?????
????
??
?????
s???,,,21 ?
.?? W?
由于 是 W的基，所以 ζ 与 W正交，
这就证明了,??? WWV即
,?? WW ??
.0,???,0??
剩下来只要证明这个和是直和。这是
那么 从而
定理被证明。
显然的，因为如果
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证明 对于任意,W???
.?????? ???????
,?????? WW ???? 而
所以
.0,???? ????
.???? ????
定理 7.2.5 设 W 是欧氏空间 V 的一个有限维子空间，
ξ 是 V 的任意向量,η 是 ξ 在 W 上的正射影，那么对
于 W 中任意向量,都有,?? ??
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于是
.
,,
,
,
22
2
????
????????
????????
??????
?????
????????
?????????
???????
如果,?? ?? 那么,02 ?????
所以,22 ???? ????
即 ???? ????
我们也把向量 ξ 在子空间 W上的正射影 η 叫做 W
到 ξ 的最佳逼近。
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]2,0[ ?
].2,0[ ?C
例 5 考虑 上一切连续实函数所作成的
所生成的子空间,由例 2 看到,
欧氏空间
令 W是由以下 2n + 1个函数
1,cosx,sinx,…,cos nx,sinnx
,...,s i n1,c o s1,21 110 xx ?????? ???
nxnx nn s i n1,c o s1 ???? ??
是 W的一个规范正交基,
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W的每一元素都可以写成
nxbnxaxbxaaxp nnn s i nc o s...s i nc o s2)( 110 ??????
……… (8)
的形式, )(xp
n
叫做一个 n次三角多项式,
设 ].2,0[)( ?Cxf ?
我们求一个 n次三角多项式 ),(xpn 使得
dxxpxf n? ??20 2)]()([ 的值最小,
用欧氏空间的语言来说就是：
求 Wxp n ?)( 使得
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dxxpxfxpxf nn?????20 22 )]()([)()(
最小,
)(xpn
由定理 7.2.4,我们有
?????? ?????????nnnn ff ffafxp ?????,,....,,,)( 111100
与等式 (8)作比较,我们得到
dxxfdxxffa ??????? ?? ???? 202000 )(21)(21,212
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从而
,)(1 200 dxxf?? ???
,c o s)(
1
c o s
1
)(
1
,
1
2
0
2
0
k x d xxfk x d xxf
fa kk
?? ??
???
??
???
?
?
,s i n)(
1
s i n
1
)(
1
,
1
2
0
2
0
k x d xxfk x d xxf
fb kk
?? ??
???
??
???
?
?
k = 1,2,…,n.
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注意到 cos0x = 1,我们有
nkk x d xxfa k,.,,.,2,1,c o s)(1 2
0
?? ? ??
nkk x d xxfb k,.,.,2,1,s i n)(1 2
0
?? ? ??
系数
nn babaa,,.,,,,,110
叫做 f (x)的富利叶系数,
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7.2.4 正交矩阵的概念
定义 2 一个 n 阶实矩阵 U 叫做一个正交矩阵，
如果 IUUUU ????
定理 7.2.6 n 维欧氏空间一个标准正交基到另
一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵,
例 6 设 ? ?n???,,,21 ? 是欧氏空间 V的标准正交
基，且 ? ? )(,,,,),,,(
2121 RMTT nnn ?? ?????? ??
证明,当 T是正交矩阵时,? ?
n???,,,21 ?
是标准正交基,
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练习 2 设 ? ?321,,,??? ?
标准正交基,证明, )22(
3
1
3211 ???? ???
)22(31 3212 ???? ??? )22(31 3213 ???? ???
也是 V的一个标准正交基,
是三维欧氏空间 V的
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7.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别
1,n维欧氏空间同构的定义
定义 3 欧氏空间 V与 V? 说是同构的，如果
(i) 作为实数域上向量空间，存在 V 到 V? 的一个
同构映射 ;,VVf ??
(ii) 对于任意 V???,，都有
????? )(),(,???? ff
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2,n维欧氏空间同构的概念及判别
定理 7.2.7 两个有限维欧氏空间同构的充分且
必要条件是它们的维数相等,
推论 7.2.8 任意 n维欧氏空间都与 nR 同构,
思考题
求
?
?
?
????
?????
0
022
5321
54321
xxxx
xxxxx
的解空间 W的一个标准正交基,
?W 的一个标准正交基,并求其正交补
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7.3 正交变换
一、内容分布
7.3.2 正交变换的等价条件
7.3.1 正交变换的定义
1．掌握并会用正交变换的概念及几个等价条件．
3．掌握并会用正交矩阵的某些性质．
二、教学目的：
2．掌握 的正交变换的全部类型．32.VV
三、重点难点：
正交变换的概念及几个等价条件
8.3.3 32.VV 的正交变换的类型．7.3.3 的正交变换的类型．
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7.3.1 正交变换的定义
定义 1 欧氏空间 V的一个线性变换 σ叫做一个
正交变换，如果对于任意 V?? 都有
|||)(| ??? ?
例 1 在 2V 里,把每一向量旋转一个角 ?的
的一个正交变换, 线性变换是
2V
例 2 令 H是空间 3V 里过原点的一个平面,对于
每一向量 3V??,令 ?对于 H的镜面反射 ??
与它对应, ??? ??,是 3V 的一个正交变换,
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例 3 欧氏空间 V的一个线性变换是正交变换的充要
条件是使任意两个向量的距离保持不变,即对一切,
都有,V???,|||)()(| ?????? ???
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7.3.2 正交变换的等价条件
定理 7.3.1 欧氏空间 V 的一个线性变换 σ 是正交
变换的充分且必要条件是：对于 V 中任意向量
,,??,????? ??????,)(),(
证明 条件的充分性是明显的, 因为（ 1）中 取
ξ=η,就得到,从而,反
过来，设 σ 是一个正交变换，那么对于 ξ,η∈
V，我们有
22 |||)(| ??? ? |||)(| ??? ?
22 |||)(| ????? ???
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然而
)(),(2)(),()(),(
)()(),()(
)(),(|)(| 2
????????????
????????
?????????
???
???
????
??????
??????
,2,,
,|| 2
???
????
????????????,)(),(,,)(),( ??由于
比较上面两个等式就得到：
??????,)(),( ?
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定理 7.3.2 设 V 是一个 n维欧氏空间,σ 是 V 的一
个线性变换，如果 σ 是正交变换，那么 σ 把 V 的任
意一个标准正交基仍旧变成 V 的一个标准正交基；
反过来，如果 σ 把 V 的某一标准正交基仍旧变成 V
的一个标准正交基，那么 σ 是 V 的一个正交变换,
定理 7.3.3 n 维欧氏空间 V的一个正交变换 σ 关于
V的任意标准正交基的矩阵是一个正交矩阵；反过
来, 如果 V的一个线性变换关于某一标准正交基的
矩阵是正交矩阵, 那么 σ 是一个正交变换,
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例 5 在欧氏空间 中,规定线性变换 σ 为,3R
??
?
?
??
?
?
??????? 32132121
321
3
3
3
3
3
3,
3
6
6
6
6
6,
2
2
2
2
),,(
xxxxxxxx
xxx?
证明, σ 是正交变换,
例 6 将 的每一向量旋转一个角 ψ 的正交变换
（参看例 1）关于 的任意标准正交基的矩阵是
2V
2V
???
?
???
? ?
??
??
c o ss in
s inc o s
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又令 σ 是例 2中的正交变换,在平面 H 内取两个正交
的单位向量,再取一个垂直于 H 的单位向量
,那么 是 的一个标准正交基, σ 关
于这个基的矩阵是
21,??
3? ? ?321,,??? 3V
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 100
010
001
以上两个矩阵都是正交矩阵,
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7.3.3 32.VV 的正交变换的类型
???
?
???
??
dc
baU
设 σ是 的一个正交变换,σ关于 的一个规范正
交基 的矩阵是2
V
? ?21,??
2V
那么 U 是一个正交矩阵, 于是
（ 2） 0,1,1 2222 ?????? bdaddbca
由第一个等式，存在一个角 α,使
a = cos α, c = ± sinα
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由于
cos α = cos(± α), ± sin α = sin（ ± α ）
因此可以令
a = cos φ, c = sin φ
这里 φ =α 或 –α, 同理，由（ 4）的第二个等式，
存在一个角 ψ 使
b = cosψ, d = sinψ
将 a,b,c,d代入（ 4）的第三个等式得
Cosφ cosψ + sinφ sinψ = 0
或
cos(φ +ψ ) = 0
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最后等式表明,φ － ψ是 π/ 2的一个奇数倍, 由此
得
???? c o ss i n,s i nc o s ??? ?
所以
???
?
???
? ??
??
??
c o ss in
s inc o sU
或
???
?
???
?
?? ??
??
c o ss in
s inc o sU
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在前一情形中,σ 是将 的每一向量旋转角
φ 的旋转； 2
V
这样,的正交变换或者是一个旋转，或者是
关于一条过原点的直线的反射,2
V
如果是后一情形，我们可以取这条直线上一个
单位向量 和垂直于这条直线的一个单位向量
作为 的一个规范正交基,
1?? 2??
2V
xy )2ta n ( ??
2V
坐标的向量, 这时 σ是直线的 反射,
在后一情形,σ将 中以（ x,y）为坐标的变
量变成以 (xcosφ+ysinφ,xsinφ–ycosφ) 为
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而 σ 关于基 的矩阵有形状 },{21???? ???????100
现在设 σ是 的一个正交变换, σ的特征多项
式是一个实系数三次多项式，因而至少有一个实根
r, 令 是 σ的属于本征值 r 的一个本征向量，并且
是一个单位向量, 再添加单位向量 使
是的一个规范正交基，那么 σ关于这个
基的矩阵有形状
1?
32,??
3V
1?
},,{ 321 ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dc
ba
tsr
U
0
0
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由于 U 是正交矩阵，我们有
0,1,0,12 ??????? tsrrtrsr 从而
于是
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
dc
baU
0
0
001
由 U的正交性推出，矩阵
???
?
???
?
dc
ba
是一个二阶正交矩阵,
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由上面的讨论，存在一个解 φ使
???
?
???
?
??
?
?
?
???
? ??
???
?
???
?
??
??
??
??
c o ss i n
s i nc o s
c o ss i n
s i nc o s 或
dc
ba
在前一情形：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
c o ss in0
s inc o s0
001
U
在后一情形，根据对 的正交变换的讨论，我
们可以取 的一个规范正交基 使 σ关
于这个基的矩阵是
2V
3V },,{ 321 ??? ???
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
T
如
果
在
T
中
左
上
},{321??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
100
010
001
如果左上角的元素是 – 1,那么 σ关
于基 的矩阵是},,{
321 ??? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
c o ss i n0
s i nc o s0
001
100
010
001
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这样,的任意正交变换 σ关于某一正交基
的矩阵是下列的三种类型之一：3
V
},,{ 321 ???
,
c o ss in0
s inc o s0
001
)1(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??,
100
010
001
)2(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
c o ss i n0
s i nc o s0
001
c o ss i n0
s i nc o s0
001
)3(
??
??
??
??
在第一种情形,σ是绕通过 的直线 的一
个旋转；在第二种情形,σ是对于平面 的反
射；第三种情形,σ是前两种变换的合成,
1? )( 1?L
),( 32 ??L
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思考题 设 是欧氏空间 V的一个标准正交
基,试求正交变换 σ,使 σ适合
? ?321,,???
32111 3
1
3
2
3
2)( ?????? ????
32122 3
2
3
1
3
2)( ?????? ????
练习 设 V是一个欧氏空间,是一个非零向量,
对于,规定 V的一个变换
V??
V??
??? ?????,,2)( ??
证明,τ是 V的一个正交变换,且 ι是单位变换,,2 ?? ?
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7.4 对称变换和对称矩阵
一、内容分布
7.4.1 对称变换的定义
7.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系
7.4.3 对称变换的性质
二、教学目的：
1．掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间
的关系解题．
2．掌握对称变换的特征根、特征向量的性质．
3．对一个实对称矩阵 Ａ,能熟练地找到正交矩阵 Ｔ,使
为对角形
三、重点难点：
1.对称变换和对称矩阵之间的关系 ;对称变换的特征根、特征向
量的性质 ;
2.对实对称矩阵 Ａ,能熟练地找到正交矩阵 Ｔ,使 为对角
形
ATT?
ATT?
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7.4.1 对称变换的定义
定义 1 设 σ是欧氏空间 V的一个线性变换，如果对
于 V中的任意向量,等式
成立，那么就称 σ是一个对称变换,
??,
????? )(,),( ??????
例 1 以下 的线性变换中,指出哪些是对称变换? 3R
),,(),,( 1332213211 xxxxxxxxx ?????
);2,2,(),,( 32132313212 xxxxxxxxxx ??????
),,(),,( 3123213 xxxxxx ????
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7.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系
定理 7.4.2 设 σ是 n维欧氏空间 V的一个对称变换，
如果 σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那
么 σ是一个对称变换,
证 设 σ关于 V的一个规范正交基 的矩
阵 是对称的，令
是 V的任意向量。那么
n???,,,21 ?
)( ijaA ? ??
??
??
n
i
ii
n
i
ii yx
11
,????
?? ???
?? ???
???
?
???
??? n
j
ji
n
i
n
k
kkii
n
j
ji
n
i
ii yaxyx
11 111
,,)(),( ????????
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同样的计算可得 ? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiij yxa
1 1
)(,???
? ?
?? ?
? ?
?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
j
n
i
jiji
n
j
jik
n
k
n
i
iki
yxa
yxa
1 1
11 1
,??
因为,
ijji aa ?
所以 ? ?
? ?
??
n
i
n
j
jiij yxa
1 1
)(,),( ??????
即 σ是一个对称变换。
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7.4.3 对称变换的性质
定理 7.4.3 实对称矩阵的特征根都是实数,
证 设 是一个 n 阶实对称矩阵,令 λ 是 A
在复数域内一个特征根。于是存在不全为零的复数
使得
)( ijaA ?
nccc,,,21 ?
（ 2）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn c
c
c
c
c
c
A
??
2
1
2
1
?
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令
ii cc 表示
的共轭复数。
用矩阵 左乘（ 2）的两边得? ?
nccc,,,21 ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
n
n
c
c
c
ccc
c
c
c
Accc
?
?
?
?
2
1
21
2
1
21,,,,,,?
即, （ 3） ?? ?
?? ?
?
n
i
ii
n
i
n
j
jiij cccca
11 1
?
等式（ 3）两端取轭复数，注意 是实数。得
ija
（ 4）
i
n
i
i
n
i
n
j
jiij cccca ?? ?
?? ?
?
11 1
?
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又因为 且等式（ 3）与等式（ 4）左端相
等，因此
ijji aa ?
i
n
i
ii
n
i
i cccc ??
??
?
11
??
而 不全为零，所以 是一个正实数，所
以, λ是实数。
ic ii
n
i
i cc?
?1
?? ?
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定理 7.4.4 n 维欧氏空间的一个对称变换的属于不
同特征根的特征向量彼此正交,
证 设 σ是 n维欧氏空间的一个对称变换,λ,μ是 σ
的本征值，且 λ ≠ μ。令 α和 β分别是属于 λ和 μ的本征
向量：
σ（ α） = λ α,σ（ β） = μ β
我们有
λ<α,β> = < λ α,β> = < σ (α),β>
= < α,σ (β)> = <α,μβ>
= μ<α,β>
因为 λ ≠ μ,所以必须 <α,β> = 0,
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定理 7.4.5 设 σ是 n维欧氏空间 V的一个对称变换，
那么存在 V的一个标准正交基，使得 σ关于这个基
的矩阵是对角形式,
定理 7.4.6 设 A是一 个 n阶实对称矩阵，那么存在一
个 n阶正交矩阵 U，使得 是对角形,AUU ?
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为了求出 U,我们可以用以下方法,首先由于 U是正交矩
阵,所以因此 与 A相似,于是可以利用 7.6所给的
步骤求出一个可逆矩阵 T,使得 是对角形式,这样
求出的矩阵 T一般来说还不是正交矩阵,然而注意到 T的
列向量都是 A的特征向量,A的属于不同特征根的特征向
量彼此正交,因此只要再对 T中属于 A的同一特征根的列
向量施行正交化手续,就得到 的一个规范正交组,以
这样的规范正交组作列,就得到一个满足要求的正交矩
阵 U.
AUU?
ATT 1?
nR
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例 2 设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
422
242
224
A
找出求一个正交矩阵 U 使 是对角形矩阵。AUU '
第一步，先求 A的全部特征根,我们有
? ? ? ?82 2 ???? xxAxI
所以 A的特征根是 2,2,8.
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第二步，先对于特征根 2，求出齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
0
0
0
222
222
222
3
2
1
x
x
x
的一个基础解系
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
1
0
1
,
0
1
1
21 ??
再 把正交化，得? ?21,??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
6
2
6
1
6
1
,
0
2
1
2
1
21 ??
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对于特征根 8,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
1
3
1
3
1
3
?
求出属于它的一个单位特征向量
第三步，以 为列，作一个矩阵321,,???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
3
1
6
2
0
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
U
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那么 U是正交矩阵，并且
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
800
020
002
' AUU
例 3 设 σ是 n维欧氏氏空间 V的一个线性变换,证明,
σ为对称变换的充分必要条件是 σ有 n个两两正交的
特征向量,
第 7章 欧氏空间
7.1 向量的内积
7.2 正交基
7.3 正交变换
7.4 对称变换和对称矩阵
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在几何学中（编者按,在数学中），没有专门为国
王设置的捷径。
---欧几里德 (Euclid,约前 325 - 约前 265)
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7.1 向量的内积
一、内容分布
7.1.1向量的内积、欧氏空间的定义
7.1.2向量的长度、两非零向量的夹角
7.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质
二、教学目的,
1．准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的
长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离．
2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量 ξ
与 η的内积 <ξ,η>，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间．
3．掌握 ??????? ??????,,,2 及其它不等式，并会用它来证明另
三、重点难点,
1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念 ;
2.不等式
??????? ??????,,,2 的灵活运用,
一些不等式
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7.1.1向量的内积、欧氏空间的定义
1),,? ? ? ?? ? ? ? ?
2) ?????? ??? ???????,,,
3) ????? ????,,aa
0?? 0,??? ??4) 当 时,
定义 1 设 V是实数域 R上一个向量空间, 如果对于
V中任意一对向量 有一个 确定 的记作 ?? ??,
的实数与它们对应，并且下列条件被满足：
??,
这里 ???,,是 V的任意向量,a是任意实数，
?? ??,
那么
这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）,
叫做向量 ξ与 η的内积，而 V叫做对于
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nR
),,...,,( 21 nxxx?? ),.,,,,( 21 nyyy??
nn yxyxyx ??????,..,2211??
例 1 在
规定
里,对于任意两个向量
容易验证,关于内积的公理被满足,因而 nR
对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间,
nR
),,...,,( 21 nxxx?? ),.,,,,( 21 nyyy??
nn yxyxyx ??????,..,2211??
例 2 在
规定
里,对于任意向量
不难验证,也作成一个欧氏空间,nR
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例 3 令 C[a,b]是定义在 [a,b]上一切连续实函数
],[)(),( baCxgxf ?
我们规定
所成的向量空间,
.)()(,dxxgxfgf ba????
根据定积分的基本性质可知,内积的公理
1)---4)都被满足,因而 C[a,b]作成一个欧氏空间,
例 4 令 H是一切平方和收敛的实数列
),,...,,( 21 nxxx?? ?????
? 1
2
n
nx
所成的集合,在 H中用自然的方式定义加法和标
量与向量的乘法,
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设,),,,(,.,, ),,( 2121 Rayyxx ??? ???
,.,, ) ;,( 2211 yxyx ???? ??,...),( 21 axaxa ??规定
?
?
?
???
1
,
n
nn yx??
向量 的内积由公式
给出，那么 H是一个欧氏空间,
),,(,.,, ),,( 2121 ?yyxx ?? ??
),(),,( 2121 bbaa ?? ??
2R
2211,bnabma ????
练习 1 为向量空间
中任意两向量,证明, 对
作成欧氏空间的充分必要条件是 m > 0,n > 0.
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7.1.2 向量的长度、两非零向量的
夹角
?? ??,?? ??,
? ??? ???,
定义 2 设 ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数
的算术根
叫做 ξ的长度，向量 ξ的长度用符号
表示：
定理 7.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量
.,?? 有不等式
??????? ??????,,,2 (6)
当且仅当 ξ与 η线性相关时，上式才取等号,
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定义 3 设 ξ 与 η 是欧氏空间的两个非零向量，
ξ 与 η 的夹角 θ 由以下公式定义：
??
???
?
???,c o s
例 5 令 nR 是例 1 中的欧氏空间, 中向量
),.,,,,( 21 nxxx??
的长度是
22221,..,nxxx ??????? ???
由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量 ξ 和
任意实数 a,有
nR
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有不等式
2121211 )()()( nnnn bbaababa ??????? ??? (7)
(7)式称为柯西 (Cauchy)不等式,
?????? aaaaa ???????,,2
注：一个实数 a与一个向量 ξ的乘积的长度 等于 a的
绝对值与 ξ的长度的乘积,
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例 7 考虑例 3的欧氏空间 C[a,b]，由不等式（ 6）
推出，对于定义在 [a,b]上的任意连续函数
),(),( xgxf 有不等式
.)()()()( 22? ?? ? ba baba dxxdxxdxxgxf gf(8)
(8)式称为施瓦兹 (Schwarz)不等式,
（ 7）和（ 8）在欧氏空间的不等式（ 6）里被
统一 起来, 因此通常把 (6)式称为柯西 -施瓦兹
不等式,
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例 8 设 ??,为欧氏空间 V 中任意两个
(1) )0( ?? aa ?? 当且仅当 的夹角为 0;
非零向量,证明,
??,
(2) )0( ?? aa ?? 当且仅当 的夹角为 π; ??,
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7.1.3 向量的正交
定义 4 欧氏空间的两个向量 ξ 与 η 说是正交的,
,0??? ? ?如果
定理 7.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量 ξ
r???,,,21 ? 中每一个正交,那么 ξ 与
的任意一个线性组合也正交,r???,,,21 ?
与
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思考题 1,设 ??,是 n 维欧氏空间 V 中
,1|||| ?? ??
证明,
.1,???
两个不同的向量,且
思考题 2,在欧氏空间 nR 中,设
),,2,1)(,,,( 21 niaaa iniii ?? ???
两两正交,且
i?
的长度
nniji aAi ??? )(,|| ?
求 A 的行列式 || A 的值,
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7.2 正交基
一、内容分布
? 7.2.1正交组的定义、性质
? 7.2.2标准正交基的定义、性质及存在性
? 7.2.3子空间的正交补
? 7.2.4正交矩阵的概念
? 7.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别
二、教学目的：
? 1．准确理解和掌握正交向量组,n维欧氏空间的标准正交基等概念
及基本性质．
? 2．能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一
个标准正交向量组
? 3．能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念
及基本性质，并会求某些子空间的正交补．
? 4．掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系．
? 5．掌握 n维欧氏空间同构的概念及基本理论．
三、重点难点,正交向量组,n维欧氏空间的标准正交基等概念 ; 子空
间的正交补的概念及基本性质 ;施密特正交化方法
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7.2.1正交组的定义、性质
定义 1 欧氏空间 V的一组两两正交的非零向量叫做 V的
一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向
量,这个正交组就叫做一个标准正交组,
1．正交组的定义
例 1 向量
? ?,
2
1,0,
2
1,0,1,0
21 ??
??
?
??? ??
?
?
??
?
? ???
2
1,0,
2
1
3?
构成 3R 一个标准正交组，因为
,1321 ??? ???
.0,,,133221 ????????? ??????
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]2,0[ ?
]2,0[ ?C
例 2 考虑定义在闭区间
函数所作成的欧氏空间
（参看 8.1例 3），函数组
的一个正交组。
(1) 1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…
构成
上一切连续
]2,0[ ?C
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? ?? ?20,21 dx
? ???? ??? ?20,,,,0s i ns i n nm nmn x d xmx 若若
?
?
?
?
?
??
,,0
,,
c o sc o s
2
0 nm
nm
n x d xmx
若
若??
事实上，我们有
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2 2 2
0 0 0
c o s sin c o s sin 0
1,1 2,c o s,c o s sin,sin,
1,c o s 1,sin 0,
c o s,c o s sin,sin
m x n x d x n x d x n x d x
n x n x n x n x
n x n x
m x n x m x n x
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
所 以
,,0
s in,c o s
nm
nxmx
??
???
若
把（ 1）中每一向量除以它长度，我们就得
C[0,2π] 的一个标准正交组
,...s i n1,c o s1,...,s i n1,c o s1,21 nxnxxx ?????
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2,正交组的性质
定理 7.2.1 设 },,,{
21 n??? ?
一个正交组，那么 n???,,,21 ? 线性无关,
是欧氏空间的
证,设有 Raaa
n ?,,,21 ?
使得
02211 ???? nnaaa ??? ?
因为当 i≠j 时 0,???
ji ??
，所以
但 0,?
ii ??
，所以,,,2,1 na
i ??
即
n???,,,21 ? 线性无关,
iii
n
j
jij
n
j
jjii
aa
a
????
???
,,
,0,0
1
1
??
??
?
?
?
?
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7.2.2标准正交基的定义、性质及存在性
1．标准正交基的定义
设 V 是一个 n 维欧氏空间，如果 V 中有
n???,,,21 ?n 个向量 构成一个正交组,那么
由定理 7.2.1，这个 n 个向量构成 V 的一个基，
叫做 V 的一个正交基。如果 V 的一个正交基
还是一个规范正交级，那么就称这个基是一
个规范的正交基。
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例 2 欧氏空间 nR 的基是
),0,,0,1,0,,0(
)(
??
i
i ??
i =1,2,…,n,
nR 的一个标准正交基, 如果
},,,{ 21 n??? ?
正交基。令 ξ 是 V的任意一个向量那 么 ξ是可
.2211 nnxxx ???? ???? ?
是
是 n 维欧氏空间 V的一个 标准
以唯一写成
nxxx,,,21 ? 是 ξ 关于 },,,{ 21 n??? ? 的坐标。
由于 },,,{
21 n??? ?
是规范正交基，我们有
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（ 3）
i
n
j
ijji xx ?? ?
? 1
,,????
这就是说，向量 ξ 关于一个规范正交基的
第 i个坐标等于 ξ 与第 i个基向量的内积；
nnyyy ???? ???? ?2211
其次，令
那么
（ 4）
nn yxyxyx ???? ?2211,??
由此得
（ 5） 22
221,|| nxxx ????? ????
（ 6） 22
11 )()(),( nn yxyx ????? ???
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2．标准正交基的性质
设 },{
21 ?? 是 2V 的一个基，但不一定是
正交基 },,{ 21 ?? 问题就解决了,因为将 21 ?? 和
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
.11 ?? ? 借助几何直观，为了求出
正交 基。从这个基出发，只要能得出 2V 的一个
基。先取,
2?
我们考虑线性组合,
12 ?? a?
从这里决定实数 a，
使
112 ??? 与a? 正交，由
1112112,,,0 ??????? aa ????
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及 得0
1 ??
11
12
,
,
??
???a
取
1
11
12
22,
,
?
??
??
?? ??
那么,0,
12 ???
又因为 21,??
线性无关，所以对于任意实数 a
,01212 ???? ???? aa
因而,0
2 ??
这就得到
2V
的一个正交基 }.,{
21 ??
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3．标准正交基的存在性
定理 7.2.2（施密特正交化方法 ) 设 },,,{
21 n??? ?
是欧氏空间 V的一组线性无关的向量,那么可以求
},,,,{ 21 n??? ? 使得 k? 可以由
k???,,,21 ? 线性表示,k = 1,2,…,m.
出 V 的一个正交组
证 先取,11 ?? ? 那么 2? 是 1? 的线性组合，且
.01 ?? 其次取
1
11
12
22,
,?
??
???? ??
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又由
0,,,,,11
11
12
1212 ??? ????
??????
所以
12 ?? 与 正交。
假设 1 ＜ k ≤ m,而满足定理要求的
121,,,?k??? ?
都已作出,
那么 是2? 21,?? 的线性组合，并且因为
线性无关，所以,02 ??21,??
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1
11
1
1
11
1
,
,
,
,
?
??
?????
k
kk
kkk
kk ???
??
?
??
??
??
取
.112211 kkkk aaa ????? ????? ???
所以 k? 是
k???,,,21 ?
的线性组合。
由于假定了 ii ????,,,21 ?是
i = 1,2,…,k -1，所以把这些线性组
合代入上式，得
的线性组合，
k???,,,21 ? 线性无关，
由
,0?k?得
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又因为假定了 121,,,?k??? ? 两两正交。
这样，
k???,,,21 ?
也满足定理的要求。
1,,2,1,0,,,,,????? kiii
ii
ik
ikik ?????
??????
所以
定理得证。
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定理 7.2.3 任意 n（ n > 0）维欧氏空间
一定有正交基，因而有标准正交基,
例 4 在欧氏空间 3R 中对基
)3,0,2(),2,1,0(),1,1,1( 321 ??? ???
施行正交化方法得出 3R 的一个标准正交基,
???
?
???
???
3
1,
3
1,
3
1
|| 1
1
1 ?
??
解, 第一步，取
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第二步，先取
)1,0,1(
3
1
,
3
1
,
3
1
3)2,1,0(
,
,
,
11221
11
12
22
????
?
?
??
?
?
??
???? ?????
??
??
??
然后令
?
?
??
?
? ???
2
1,0,
2
1
|| 2
2
2 ?
?
?
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第三步，取
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
6
5
,
3
5
,
6
5
2
1
,
2
1
,
2
1
2
1
3
1
,
3
1
,
3
1
3
5
)3,0,2(
,,
,
,
,
,
231133
2
22
23
1
11
13
33
??????
?
??
??
?
??
??
??
再令
???
?
???
? ???
6
1,
6
2,
6
1
|| 3
3
3 ?
??
于是 ? ?
321,,???
就是 3R 的一个规范正交基。
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练习 1 设 ),0,2,0,1(1 ?? ),3,0,2,0(2 ??
),9,4,6,2(3 ?? 试把 ),,( 321 ???L
4R
的基
的一个基,并将它标准正交化, 扩充成
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7.2.3 子空间的正交补
1,向量与一个非空子集正交
定理 7.2.4 令 W是欧氏空间 V的一个有限维
??? WWV
子空间，那么
??? ??
0,,???? WW ??
因而 V的每一个向量 ξ 可以唯一写成
这里
(7)
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.V??
,,,,2211 ss rrrrrr ???? ???? ?
.??? ??
设 令
证明 当 W = {0}时，定理显然成立，这时
.VW ?? }.0{?W
? ?,d im,,,,21 Wss ???? ?
设 由于 W的维数有限，
因而可以取到 W的一个规范正交基
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那么,W?? 而
.,,2,1,0,,
,,,,
sirr
rrrr
ii
iiii
?????
????
??
?????
s???,,,21 ?
.?? W?
由于 是 W的基，所以 ζ 与 W正交，
这就证明了,??? WWV即
,?? WW ??
.0,???,0??
剩下来只要证明这个和是直和。这是
那么 从而
定理被证明。
显然的，因为如果
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证明 对于任意,W???
.?????? ???????
,?????? WW ???? 而
所以
.0,???? ????
.???? ????
定理 7.2.5 设 W 是欧氏空间 V 的一个有限维子空间，
ξ 是 V 的任意向量,η 是 ξ 在 W 上的正射影，那么对
于 W 中任意向量,都有,?? ??
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于是
.
,,
,
,
22
2
????
????????
????????
??????
?????
????????
?????????
???????
如果,?? ?? 那么,02 ?????
所以,22 ???? ????
即 ???? ????
我们也把向量 ξ 在子空间 W上的正射影 η 叫做 W
到 ξ 的最佳逼近。
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]2,0[ ?
].2,0[ ?C
例 5 考虑 上一切连续实函数所作成的
所生成的子空间,由例 2 看到,
欧氏空间
令 W是由以下 2n + 1个函数
1,cosx,sinx,…,cos nx,sinnx
,...,s i n1,c o s1,21 110 xx ?????? ???
nxnx nn s i n1,c o s1 ???? ??
是 W的一个规范正交基,
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W的每一元素都可以写成
nxbnxaxbxaaxp nnn s i nc o s...s i nc o s2)( 110 ??????
……… (8)
的形式, )(xp
n
叫做一个 n次三角多项式,
设 ].2,0[)( ?Cxf ?
我们求一个 n次三角多项式 ),(xpn 使得
dxxpxf n? ??20 2)]()([ 的值最小,
用欧氏空间的语言来说就是：
求 Wxp n ?)( 使得
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dxxpxfxpxf nn?????20 22 )]()([)()(
最小,
)(xpn
由定理 7.2.4,我们有
?????? ?????????nnnn ff ffafxp ?????,,....,,,)( 111100
与等式 (8)作比较,我们得到
dxxfdxxffa ??????? ?? ???? 202000 )(21)(21,212
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从而
,)(1 200 dxxf?? ???
,c o s)(
1
c o s
1
)(
1
,
1
2
0
2
0
k x d xxfk x d xxf
fa kk
?? ??
???
??
???
?
?
,s i n)(
1
s i n
1
)(
1
,
1
2
0
2
0
k x d xxfk x d xxf
fb kk
?? ??
???
??
???
?
?
k = 1,2,…,n.
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注意到 cos0x = 1,我们有
nkk x d xxfa k,.,,.,2,1,c o s)(1 2
0
?? ? ??
nkk x d xxfb k,.,.,2,1,s i n)(1 2
0
?? ? ??
系数
nn babaa,,.,,,,,110
叫做 f (x)的富利叶系数,
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7.2.4 正交矩阵的概念
定义 2 一个 n 阶实矩阵 U 叫做一个正交矩阵，
如果 IUUUU ????
定理 7.2.6 n 维欧氏空间一个标准正交基到另
一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵,
例 6 设 ? ?n???,,,21 ? 是欧氏空间 V的标准正交
基，且 ? ? )(,,,,),,,(
2121 RMTT nnn ?? ?????? ??
证明,当 T是正交矩阵时,? ?
n???,,,21 ?
是标准正交基,
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练习 2 设 ? ?321,,,??? ?
标准正交基,证明, )22(
3
1
3211 ???? ???
)22(31 3212 ???? ??? )22(31 3213 ???? ???
也是 V的一个标准正交基,
是三维欧氏空间 V的
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7.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别
1,n维欧氏空间同构的定义
定义 3 欧氏空间 V与 V? 说是同构的，如果
(i) 作为实数域上向量空间，存在 V 到 V? 的一个
同构映射 ;,VVf ??
(ii) 对于任意 V???,，都有
????? )(),(,???? ff
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2,n维欧氏空间同构的概念及判别
定理 7.2.7 两个有限维欧氏空间同构的充分且
必要条件是它们的维数相等,
推论 7.2.8 任意 n维欧氏空间都与 nR 同构,
思考题
求
?
?
?
????
?????
0
022
5321
54321
xxxx
xxxxx
的解空间 W的一个标准正交基,
?W 的一个标准正交基,并求其正交补
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7.3 正交变换
一、内容分布
7.3.2 正交变换的等价条件
7.3.1 正交变换的定义
1．掌握并会用正交变换的概念及几个等价条件．
3．掌握并会用正交矩阵的某些性质．
二、教学目的：
2．掌握 的正交变换的全部类型．32.VV
三、重点难点：
正交变换的概念及几个等价条件
8.3.3 32.VV 的正交变换的类型．7.3.3 的正交变换的类型．
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7.3.1 正交变换的定义
定义 1 欧氏空间 V的一个线性变换 σ叫做一个
正交变换，如果对于任意 V?? 都有
|||)(| ??? ?
例 1 在 2V 里,把每一向量旋转一个角 ?的
的一个正交变换, 线性变换是
2V
例 2 令 H是空间 3V 里过原点的一个平面,对于
每一向量 3V??,令 ?对于 H的镜面反射 ??
与它对应, ??? ??,是 3V 的一个正交变换,
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例 3 欧氏空间 V的一个线性变换是正交变换的充要
条件是使任意两个向量的距离保持不变,即对一切,
都有,V???,|||)()(| ?????? ???
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7.3.2 正交变换的等价条件
定理 7.3.1 欧氏空间 V 的一个线性变换 σ 是正交
变换的充分且必要条件是：对于 V 中任意向量
,,??,????? ??????,)(),(
证明 条件的充分性是明显的, 因为（ 1）中 取
ξ=η,就得到,从而,反
过来，设 σ 是一个正交变换，那么对于 ξ,η∈
V，我们有
22 |||)(| ??? ? |||)(| ??? ?
22 |||)(| ????? ???
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然而
)(),(2)(),()(),(
)()(),()(
)(),(|)(| 2
????????????
????????
?????????
???
???
????
??????
??????
,2,,
,|| 2
???
????
????????????,)(),(,,)(),( ??由于
比较上面两个等式就得到：
??????,)(),( ?
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定理 7.3.2 设 V 是一个 n维欧氏空间,σ 是 V 的一
个线性变换，如果 σ 是正交变换，那么 σ 把 V 的任
意一个标准正交基仍旧变成 V 的一个标准正交基；
反过来，如果 σ 把 V 的某一标准正交基仍旧变成 V
的一个标准正交基，那么 σ 是 V 的一个正交变换,
定理 7.3.3 n 维欧氏空间 V的一个正交变换 σ 关于
V的任意标准正交基的矩阵是一个正交矩阵；反过
来, 如果 V的一个线性变换关于某一标准正交基的
矩阵是正交矩阵, 那么 σ 是一个正交变换,
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例 5 在欧氏空间 中,规定线性变换 σ 为,3R
??
?
?
??
?
?
??????? 32132121
321
3
3
3
3
3
3,
3
6
6
6
6
6,
2
2
2
2
),,(
xxxxxxxx
xxx?
证明, σ 是正交变换,
例 6 将 的每一向量旋转一个角 ψ 的正交变换
（参看例 1）关于 的任意标准正交基的矩阵是
2V
2V
???
?
???
? ?
??
??
c o ss in
s inc o s
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又令 σ 是例 2中的正交变换,在平面 H 内取两个正交
的单位向量,再取一个垂直于 H 的单位向量
,那么 是 的一个标准正交基, σ 关
于这个基的矩阵是
21,??
3? ? ?321,,??? 3V
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 100
010
001
以上两个矩阵都是正交矩阵,
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7.3.3 32.VV 的正交变换的类型
???
?
???
??
dc
baU
设 σ是 的一个正交变换,σ关于 的一个规范正
交基 的矩阵是2
V
? ?21,??
2V
那么 U 是一个正交矩阵, 于是
（ 2） 0,1,1 2222 ?????? bdaddbca
由第一个等式，存在一个角 α,使
a = cos α, c = ± sinα
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由于
cos α = cos(± α), ± sin α = sin（ ± α ）
因此可以令
a = cos φ, c = sin φ
这里 φ =α 或 –α, 同理，由（ 4）的第二个等式，
存在一个角 ψ 使
b = cosψ, d = sinψ
将 a,b,c,d代入（ 4）的第三个等式得
Cosφ cosψ + sinφ sinψ = 0
或
cos(φ +ψ ) = 0
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最后等式表明,φ － ψ是 π/ 2的一个奇数倍, 由此
得
???? c o ss i n,s i nc o s ??? ?
所以
???
?
???
? ??
??
??
c o ss in
s inc o sU
或
???
?
???
?
?? ??
??
c o ss in
s inc o sU
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在前一情形中,σ 是将 的每一向量旋转角
φ 的旋转； 2
V
这样,的正交变换或者是一个旋转，或者是
关于一条过原点的直线的反射,2
V
如果是后一情形，我们可以取这条直线上一个
单位向量 和垂直于这条直线的一个单位向量
作为 的一个规范正交基,
1?? 2??
2V
xy )2ta n ( ??
2V
坐标的向量, 这时 σ是直线的 反射,
在后一情形,σ将 中以（ x,y）为坐标的变
量变成以 (xcosφ+ysinφ,xsinφ–ycosφ) 为
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而 σ 关于基 的矩阵有形状 },{21???? ???????100
现在设 σ是 的一个正交变换, σ的特征多项
式是一个实系数三次多项式，因而至少有一个实根
r, 令 是 σ的属于本征值 r 的一个本征向量，并且
是一个单位向量, 再添加单位向量 使
是的一个规范正交基，那么 σ关于这个
基的矩阵有形状
1?
32,??
3V
1?
},,{ 321 ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dc
ba
tsr
U
0
0
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由于 U 是正交矩阵，我们有
0,1,0,12 ??????? tsrrtrsr 从而
于是
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
dc
baU
0
0
001
由 U的正交性推出，矩阵
???
?
???
?
dc
ba
是一个二阶正交矩阵,
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由上面的讨论，存在一个解 φ使
???
?
???
?
??
?
?
?
???
? ??
???
?
???
?
??
??
??
??
c o ss i n
s i nc o s
c o ss i n
s i nc o s 或
dc
ba
在前一情形：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
c o ss in0
s inc o s0
001
U
在后一情形，根据对 的正交变换的讨论，我
们可以取 的一个规范正交基 使 σ关
于这个基的矩阵是
2V
3V },,{ 321 ??? ???
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
T
如
果
在
T
中
左
上
},{321??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
100
010
001
如果左上角的元素是 – 1,那么 σ关
于基 的矩阵是},,{
321 ??? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
c o ss i n0
s i nc o s0
001
100
010
001
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这样,的任意正交变换 σ关于某一正交基
的矩阵是下列的三种类型之一：3
V
},,{ 321 ???
,
c o ss in0
s inc o s0
001
)1(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??,
100
010
001
)2(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
c o ss i n0
s i nc o s0
001
c o ss i n0
s i nc o s0
001
)3(
??
??
??
??
在第一种情形,σ是绕通过 的直线 的一
个旋转；在第二种情形,σ是对于平面 的反
射；第三种情形,σ是前两种变换的合成,
1? )( 1?L
),( 32 ??L
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思考题 设 是欧氏空间 V的一个标准正交
基,试求正交变换 σ,使 σ适合
? ?321,,???
32111 3
1
3
2
3
2)( ?????? ????
32122 3
2
3
1
3
2)( ?????? ????
练习 设 V是一个欧氏空间,是一个非零向量,
对于,规定 V的一个变换
V??
V??
??? ?????,,2)( ??
证明,τ是 V的一个正交变换,且 ι是单位变换,,2 ?? ?
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7.4 对称变换和对称矩阵
一、内容分布
7.4.1 对称变换的定义
7.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系
7.4.3 对称变换的性质
二、教学目的：
1．掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间
的关系解题．
2．掌握对称变换的特征根、特征向量的性质．
3．对一个实对称矩阵 Ａ,能熟练地找到正交矩阵 Ｔ,使
为对角形
三、重点难点：
1.对称变换和对称矩阵之间的关系 ;对称变换的特征根、特征向
量的性质 ;
2.对实对称矩阵 Ａ,能熟练地找到正交矩阵 Ｔ,使 为对角
形
ATT?
ATT?
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7.4.1 对称变换的定义
定义 1 设 σ是欧氏空间 V的一个线性变换，如果对
于 V中的任意向量,等式
成立，那么就称 σ是一个对称变换,
??,
????? )(,),( ??????
例 1 以下 的线性变换中,指出哪些是对称变换? 3R
),,(),,( 1332213211 xxxxxxxxx ?????
);2,2,(),,( 32132313212 xxxxxxxxxx ??????
),,(),,( 3123213 xxxxxx ????
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7.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系
定理 7.4.2 设 σ是 n维欧氏空间 V的一个对称变换，
如果 σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那
么 σ是一个对称变换,
证 设 σ关于 V的一个规范正交基 的矩
阵 是对称的，令
是 V的任意向量。那么
n???,,,21 ?
)( ijaA ? ??
??
??
n
i
ii
n
i
ii yx
11
,????
?? ???
?? ???
???
?
???
??? n
j
ji
n
i
n
k
kkii
n
j
ji
n
i
ii yaxyx
11 111
,,)(),( ????????
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同样的计算可得 ? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiij yxa
1 1
)(,???
? ?
?? ?
? ?
?? ?
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?
?
?
?
?
?
?
n
j
n
i
jiji
n
j
jik
n
k
n
i
iki
yxa
yxa
1 1
11 1
,??
因为,
ijji aa ?
所以 ? ?
? ?
??
n
i
n
j
jiij yxa
1 1
)(,),( ??????
即 σ是一个对称变换。
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7.4.3 对称变换的性质
定理 7.4.3 实对称矩阵的特征根都是实数,
证 设 是一个 n 阶实对称矩阵,令 λ 是 A
在复数域内一个特征根。于是存在不全为零的复数
使得
)( ijaA ?
nccc,,,21 ?
（ 2）
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nn c
c
c
c
c
c
A
??
2
1
2
1
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令
ii cc 表示
的共轭复数。
用矩阵 左乘（ 2）的两边得? ?
nccc,,,21 ?
? ? ? ?
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n
n
n
n
c
c
c
ccc
c
c
c
Accc
?
?
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2
1
21
2
1
21,,,,,,?
即, （ 3） ?? ?
?? ?
?
n
i
ii
n
i
n
j
jiij cccca
11 1
?
等式（ 3）两端取轭复数，注意 是实数。得
ija
（ 4）
i
n
i
i
n
i
n
j
jiij cccca ?? ?
?? ?
?
11 1
?
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又因为 且等式（ 3）与等式（ 4）左端相
等，因此
ijji aa ?
i
n
i
ii
n
i
i cccc ??
??
?
11
??
而 不全为零，所以 是一个正实数，所
以, λ是实数。
ic ii
n
i
i cc?
?1
?? ?
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定理 7.4.4 n 维欧氏空间的一个对称变换的属于不
同特征根的特征向量彼此正交,
证 设 σ是 n维欧氏空间的一个对称变换,λ,μ是 σ
的本征值，且 λ ≠ μ。令 α和 β分别是属于 λ和 μ的本征
向量：
σ（ α） = λ α,σ（ β） = μ β
我们有
λ<α,β> = < λ α,β> = < σ (α),β>
= < α,σ (β)> = <α,μβ>
= μ<α,β>
因为 λ ≠ μ,所以必须 <α,β> = 0,
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定理 7.4.5 设 σ是 n维欧氏空间 V的一个对称变换，
那么存在 V的一个标准正交基，使得 σ关于这个基
的矩阵是对角形式,
定理 7.4.6 设 A是一 个 n阶实对称矩阵，那么存在一
个 n阶正交矩阵 U，使得 是对角形,AUU ?
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为了求出 U,我们可以用以下方法,首先由于 U是正交矩
阵,所以因此 与 A相似,于是可以利用 7.6所给的
步骤求出一个可逆矩阵 T,使得 是对角形式,这样
求出的矩阵 T一般来说还不是正交矩阵,然而注意到 T的
列向量都是 A的特征向量,A的属于不同特征根的特征向
量彼此正交,因此只要再对 T中属于 A的同一特征根的列
向量施行正交化手续,就得到 的一个规范正交组,以
这样的规范正交组作列,就得到一个满足要求的正交矩
阵 U.
AUU?
ATT 1?
nR
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例 2 设
?
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?
?
?
?
?
422
242
224
A
找出求一个正交矩阵 U 使 是对角形矩阵。AUU '
第一步，先求 A的全部特征根,我们有
? ? ? ?82 2 ???? xxAxI
所以 A的特征根是 2,2,8.
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第二步，先对于特征根 2，求出齐次线性方程组
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?
?
?
?
?
???
???
???
0
0
0
222
222
222
3
2
1
x
x
x
的一个基础解系
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1
0
1
,
0
1
1
21 ??
再 把正交化，得? ?21,??
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6
2
6
1
6
1
,
0
2
1
2
1
21 ??
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对于特征根 8,
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3
1
3
1
3
1
3
?
求出属于它的一个单位特征向量
第三步，以 为列，作一个矩阵321,,???
?
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??
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3
1
6
2
0
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
U
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那么 U是正交矩阵，并且
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800
020
002
' AUU
例 3 设 σ是 n维欧氏氏空间 V的一个线性变换,证明,
σ为对称变换的充分必要条件是 σ有 n个两两正交的
特征向量,
