第七章 欧氏空间 §7.1向量的内积 1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量,以下等式成立: (1)； (2) 在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间里,求向量与每一向量 , 的夹角. 3．在欧氏空间里找出两个单位向量,使它们同时与向量  中每一个正交. 4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形． 5．设是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明: (勾股定理) 6．设都是一个欧氏空间的向量,且是的线性组合.证明,如果与正交,,那么. 7．设是欧氏空间的个向量.行列式  叫做的格拉姆(Gram)行列式.证明=0,必要且只要线性相关. 8．设是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件: 和都是的整数. 证明:的夹角只可能是. 9.证明:对于任意实数, ). §7.2 正交基 1．已知 , , 是的一个基.对这个基施行正交化方法,求出的一个规范正交基． 2．在欧氏空间里,对于线性无关的向量级{1,,,}施行正交化方法,求出一个规范正交组． 3．令是欧氏空间V的一组线性无关的向量,是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即  4．令是维欧氏空间V的一个规范正交基,又令  K叫做一个-方体.如果每一都等于0或1,就叫做K的一个项点.K的顶点间一切可能的距离是多少? 5．设是欧氏空间V的一个规范正交组.证明,对于任意,以下等式成立: . 6．设V是一个维欧氏空间.证明 如果W是V的一个子空间,那么. 如果都是V的子空间,且,那么 如果都是V的子空间,那么 7．证明,中向量到平面  的最短距离等于 ． 8．证明,实系数线性方程组  有解的充分且必要条件是向量与齐次线性方程组  的解空间正交. 9．令是维欧氏空间V的一个非零向量．令 ． 称为垂直于的超平面,它是V的一个维子空间.V中有两个向量,说是位于的同侧,如果同时为正或同时为负.证明,V中一组位于超平面同侧,且两两夹角都的非零向量一定线性无关． [提示:设是满足题设条件的一组向量.则,并且不妨设.如果,那么适当编号,可设,,令,证明.由此推出.] 10．设U是一个正交矩阵.证明: U的行列式等于1或-1; U的特征根的模等于1; 如果是U的一个特征根,那么也是U的一个特征根; U的伴随矩阵也是正交矩阵. 11.设,且 . 证明,可逆,并且  12.证明:如果一个上三角形矩阵  是正交矩阵,那么A一定是对角形矩阵,且主对角线上元素是1或-1. §7.3正交变换 1．证明:维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换. 2．设是维欧氏空间V的一个正交变换.证明:如果V的一个子空间W在之下不变,那么W的正交补也在下不变. 3．设V是一个欧氏空间,是一个非零向量.对于,规定 . 证明,是V的一个正交变换,且,是单位变换. 线性变换叫做由向量所决定的一个镜面反射.当V是一个维欧氏空间时,证明,存在V的一个标准正交基,使得关于这个基的矩阵有形状:  在三维欧氏空间里说明线性变换的几何意义. 4．设是欧氏空间V到自身的一个映射,对有证明是V的一个线性变换,因而是一个正交变换. 5．设U是一个三阶正交矩阵,且.证明: U有一个特征根等于1; U的特征多项式有形状  这里. 6．设和是维欧氏空间V的两个规范正交基. 证明:存在V的一个正交变换,使. 如果V的一个正交变换使得,那么所生成的子空间与由所生成的子空间重合. 7．令V是一个维欧氏空间.证明: 对V中任意两不同单位向量,存在一个镜面反射,使得. V中每一正交变换都可以表成若干个镜面反射的乘积. [提示:为了证明,利用和习题6.] 8．证明:每一个阶非奇异实矩阵A都可以唯一地表示成  的形式,这里是一个正交矩阵,是一个上三角形实矩阵,且主对角线上元素都是正数. [提示:非奇异矩阵A的列向量作成维列空间的一个基.对这个基施行正交化,得出的一个规范正交基,以这个规范正交基为列的矩阵U是一个正交矩阵,写出由的表示式,就可以得出矩阵T.证明唯一性时,注意8.2习题12.] §7.4 对称变换和对称矩阵 1．设是维欧氏空间V的一个线性变换.证明,如果满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个: 是正交变换; 是对称变换;是单位变换. 2．设是维欧氏空间V的一个对称变换,且.证明,存在V的一个规范正交基,使得关于这个基的矩阵有形状  3．证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件. 4．维欧氏空间V的一个线性变换说是斜对称的,如果对于任意向量, . 证明: 斜对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条件的矩阵叫做斜对称矩阵) 反之,如果线性变换关于V的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么一定是斜对称线性变换. 斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数. 5．令A是一个斜对称实矩阵.证明,可逆,并且是一个正交矩阵. 6．对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得是对角形式: ;