第六章 线性变换 §6.1 线性映射 1．令=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射 哪些是R3到自身的线性映射？ （1）() = +  ，是R3的一个固定向量． （2）() = (2x1–x2 + x3 ，x2 + x3 ，–x3) （3）() =（x12 ，x22 ，x32）． （4）() =（cosx1，sinx2，0）． 2．设V是数域F上一个一维向量空间．证明V到自身的一个映射是线性映射的充要条件是：对于任意V，都有() = a ，这里a是F中一个定数． 3．令Mn (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间．取定AMn (F).对任意XMn (F)，定义 (X) = AX–XA． 证明：是Mn (F)是自身的线性映射。 证明：对于任意X，YMn (F)， (XY) = (X)Y+X(Y) ． 4．令F4表示数域F上四元列空间，取 A= 对于 F4，令() = A．求线性映射的核和像的维数． 5．设V和W都是数域F上向量空间，且dimV = n．令是V到W的一个线性映射．我们如此选取V的一个基：1，…，s，s+1，…，n，使得1，…，s，是Ker()的一个基．证明： （i）(s+1)，…，(n)组成Im()的一个基； （ii）dim Ker() + dim Im() = n.。 6．设是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射．W1，W2是V的子空间，并且V = W1W2．证明：有逆映射的充要条件是V = (W1)(W1) ． §6.2 线性变换的运算 1．举例说明，线性变换的乘法不满足交换律． 2．在F[x]中，定义 ：f (x)  f’(x) ， ：f (x)  xf (x) ， 这里f’(x)表示f(x)的导数．证明, ,都是F[x]的线性变换，并且对于任意正整数n都有 n– n = nn-1 3．设V是数域F上的一个有限维向量空间．证明，对于V的线性变换来说，下列三个条件是等价的： （i）是满射； (ii)Ker() = {0}; (iii) 非奇异． 当V不是有限维时，(i)，(ii)是否等价？ 4．设L (V)，V，并且，()，…，k-1()都不等于零，但k() = 0．证明： ，()，…，k-1() 线性无关． 5．L (V) ．证明 (1) Im()Ker()当且仅当 2 = ； Ker()Ker(2)Ker(3)…； Im()Im(2)Im(3)…． 6．设Fn = { (x1，x2 ，…，xn ) | xiF }是数域F上n 维行空间．定义 (x1，x2 ，…，xn ) = (0，x1 ，…，xn-1 ) ． (i) 证明：是Fn的一个线性变换，且 n = ； (ii) 求Ker()和Im() 的维数． §6.3 线性变换和矩阵 1．令Fn[x]表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间，：f (x)  f’(x) ，求关于以下两个基的矩阵： (1) 1，x ，x2 ，…，xn， (2) 1，x–c， ，…，，cF． 2．设F上三维向量空间的线性变换关于基 {1 ，2，3}的矩阵是  求关于基 1 = 21 +32 +3， 2 = 31 +42 +3， 3 = 1 +22 +23， 的矩阵． 设= 21 +2–3．求()关于基1，2，3的坐标． 3．设{1，2，…，n}是n维向量空间V的一个基． j = ， = ， j = 1，2，…，n， 并且1 ，2，…，n线性无关．又设是V的一个线性变换，使得(j) = ，j = 1，2，…，n，求关于基，，…，的矩阵． 4．设A，B是n阶矩阵，且A可逆，证明，AB与BA相似． 5．设A是数域F上一个n阶矩阵，证明，存在F上一个非零多项式f (x)使得f (A) = 0． 6．证明，数域F上n维向量空间V的一个线性变换是一个位似（即单位变换的一个标量倍）必要且只要关于V的任意基的矩阵都相等． 7．令Mn (F)是数域F上全休n阶矩阵所成的向量空间．取定一个矩阵AMn (F) ．对任意XMn (F)，定义 (X) = AX–XA． 由7.1习题3知是Mn (F)的一个线性变换，设 A = 是一个对角形矩阵．证明，关于Mn (F)的标准基{Eij |1}(见6.4，例5)的矩阵也是对角形矩阵，它的主对角线上的元素是一切ai–aj (1).[建议先具体计算一下n = 3的情形．] 8．设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．证明，总可以如此选取V的两个基{1 ，2，…，n}和{1，2，…，n}，使得对于V的任意向量来说，如果=，则() =，这里0是一个定数[提示：利用7.1，习题5选取基1 ，2，…，n ．] §6.4 不变子空间 1．设是有限维向量空间V的一个线性变换，而W是的一个不变子空间，证明，如果 有逆变换，那么W也在-1之下不变． 2．设是向量空间V的线性变换，且．证明Im()和Ker()都在之下不变． 3．是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件2 =．证明： (i) Ker() = {}； (ii)V = Ker()Im()； (iii)如果是V的一个线性变换，那么Ker()和Im()都在之下不变的充要条件是． 4．设是向量空间V的一个位似（即单位变换的一个标量倍）．证明，V的每一个子空间都在之下不变． 5．令S是数域F上向量空间V的一些线性变换所成的集合．V的一个子空间W如果在S中每一线性变换之下不变，那么就说W是S的一个不变子空间．S说是不可约的，如果S在V中没有非平凡的不变子空间，设S不可约，而是V的一个线性变换，它与S中每一线性变换可交换。证明或者是零变换，或者是可逆变换．[提示：令W = Ker.证明W是要的一个不变子空间．] §6.5 本征值和本征向量 1．求下列矩阵在实数域内的特征根和相应的特征向量： (i) ； (ii) ；(iii) ． 2．证明：对角形矩阵 与 相似必要且只要b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一个排列． 3．设 A =  是一个实矩阵且ad–bc = 1 ．证明： (i) 如果| trA |>2，那么存在可逆实矩阵T，使得 T-1AT = ． 这里且，1，-1． (ii) 如果| trA | = 2且A，那么存在可逆实矩阵T，使得 T-1AT = 或.． (iii) 如果| trA | < 2则存在可逆实矩阵T及，使得 T-1AT = ． [提示] 在(iii)，A有非实共轭复特征根=1.将写成三角形式．令是A的属于的一个特征向量，计算A和A． 4．设a，b，c．令 A=，B=，C=． (i) 证明，A，B，C彼此相似； (ii) 如果BC=CB，那么A，B，C的特征根至少有两个等于零． 5．设A是复数域C上一个n阶矩阵． (i) 证明：存在C上n阶可逆矩阵T使得 T-1AT =． (ii) 对n作数学归纳法证明，复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个“上三角形”矩阵  相似，这里主对角线以下的元素都是零． 6．设A是复数域C上一个n阶矩阵，是A的全部特征根（重根按重数计算）． (i) 如果f (x)是C上任意一个次数大于零的多项式，那么f (是f(A)的全部特征根． (ii) 如果A可逆，那么，并且是A-1的全部特征根 7．令 A =  是一个n阶矩阵。 (i) 计算． (ii) 求A的全部特征根． 8．是任意复数，行列式 D =  叫做一个循环行列式，证明： D = ， 这里，而是全部n次单位根．[提示：利用6.7两题的结果．] 9．设A，B是复数域上n阶矩阵．证明，AB与BA有相同的特征根，并且对应的特征根的重数也相同．[提示：参看5.3习题2．] §6.6 可以对角化的矩阵 1．检验7.5习题1中的矩阵哪些可以对角化．如果可以对角化，求出过渡矩阵T． 2．设 ， 求A10． 3．设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．令是的两两不同的本征值，是属于本征值的本征子空间．证明，子空间的和是直和，并在之下不变． 4．数域F上n维向量空间V的一个线性变换叫做一个对合变换，如果2 =ι,ι,是单位变换，设是V的一个对合变换，证明: (i) 的本征值只能是； (ii) V = V1，这里V1是的属于本征值1的本征子空间，V是的属于本征值 –1 的本征子空间．[提示：设] 5．数域F上一个n 阶矩阵A叫做一个幂等矩阵，如果,设A是一个幂等矩阵.证明： (i)I + A 可逆，并且求． (ii)秩A + 秩 [提示：利用7.4，习题3 (ii)．] 6．数域F上n维向量空间V的一个线性变换叫做幂零的，如果存在一个自然数m使m = 0.证明： (i) 是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零； (ii) 如果一个幂零变换可以对角化，那么一定是零变换． 7．设V是复数域上一个n维向量空间，S是V的某些线性变换所成的集合，而是V的一个线性变换，并且与S中每一线性变换可交换，证明，如果S不可约 (参看7.4，习题5)，那么一定是一个位似． [提示：令是的一个本征值，考虑的属于的本征子空间，并且利用7.4，习题5的结果．] 8．设是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换，令是的全部本征值．证明，存在V的线性变换，使得 (i) ； (ii)  (iii)  (iv)  (v) 的属于本征值的本征子空间， 9．令V是复数域C上一个n维向量空间，，是V的线性变换，且． (i) 证明，的每一本征子空间都在之下不变； (ii) 与在V中有一公共本征向量．